精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学经开校区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第一学期 八年级数学学科 期中质量调研试卷 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在实数，，，，，中，无理数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 正数、零和负数都有立方根 C. 是的平方根 D. 的立方根是 4. 展开后不含x的一次项，则m为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A. 2，3，2 B. 2，4，2 C. 2，5，2 D. 2，5，4 7. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为100．小正方形面积为9．若用表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（ ） ①；②；③；④ A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 二．填空题（每题3分，共18分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 10. 若，，则______________． 11. 的平方根是____． 12. 若，，则代数式的值是________． 13. 如图，在中，，DE垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则BC的长为 ________． 14. 如图，在中，，．射线平分． 射线上有一点N，N到点B，C的距离相等．连接，则四边形的面积为_________． 三．解答题（共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 分解因式： （1） （2） 17. 先化简，再求值，其中，． 18. 如图，在中，D为边上的一点，． （1）请说明． （2）求的面积． 19. 如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地． （1）用含有，的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，，求出绿化部分的总面积． 20. 如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且．（以上长度单位：） （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． 21. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值； （3）． 22. 阅读材料：若，求，的值． 解：， ． 根据你的观察，探究下面的问题： （1），则_____，______； （2）已知，求的值； （3）已知的三边长为，，，且，满足，请直接写出的周长． 23. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题； （1）【直接应用】若，，求的值； （2）【类比应用】填空： ①若，则______； ②若，则______； （3）【知识迁移】两块形状和大小完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 24. 如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为秒． （1）的长为____；（用含的代数式表示） （2）当的面积是12时，求t的值； （3）若点P在的角平分线上，求的值； （4）在整个运动中，直接写出是等腰三角形时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期 八年级数学学科 期中质量调研试卷 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据同底数幂的乘除法、幂的运算法则，进行判断即可． 【详解】A选项，，故不符合题意； B选项，，故符合题意； C选项，，故不符合题意； D选项，，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 2. 在实数，，，，，中，无理数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，注意是无理数，是有理数是解答关键．根据无理数是无限不循环小数进行判断即可． 【详解】解：∵，是无理数， ，，，是有理数， ∴无理数有2个， 故选：B． 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 正数、零和负数都有立方根 C. 是的平方根 D. 的立方根是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根与立方根．解题的关键是掌握：如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根；如果一个数的立方等于，即，那么叫做的立方根；有平方根的数一定是非负数，正数的平方根有两个且互为相反数，而任意数都有唯一的立方根．据此解答即可． 【详解】解：A．的平方根是，原说法正确，故此选项不符合题意； B．正数、零和负数都有立方根，原说法正确，故此选项不符合题意； C．是的平方根，原说法正确，故此选项不符合题意； D．的立方根是，原说法不正确，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 展开后不含x的一次项，则m为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用，能熟练地运用法则进行计算是解此题的关键． 先根据多项式乘以多项式法则进行计算，合并同类项，根据已知得出方程，求解即可． 【详解】解： ∵展开后不含x的一次项， ∴， 解得：， 故选：B． 5. 下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，两数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，掌握公式的特点是解题的关键．根据平方差公式的特点分析即可． 【详解】解：A、满足平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符号题意； B、，不能用平方差公式计算，不符号题意； C、，不能用平方差公式计算，不符号题意； D、两个因式都是两数的差的积，不能用平方差公式计算，不符号题意； 故选：A． 6. 如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A. 2，3，2 B. 2，4，2 C. 2，5，2 D. 2，5，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的几何意义，是解决问题的关键． 利用长乘宽表示长方形面积，各类卡片组成此长方形，长方形面积等于各类卡片面积和，即可找出相应卡片的数量． 【详解】由图知（图形画法不唯一），长方形面积：， ∴需要A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张． 故选：C． 7. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图——基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可. 【详解】解：A、作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故A不符合题意； B、作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定，故B符合题意； C、作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故C不符合题意； D、作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，不能确定，故D不符合题意. 故选：B. 8. 如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为100．小正方形面积为9．若用表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（ ） ①；②；③；④ A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、完全平方公式等知识，掌握完全平方公式成为解题的关键． 用勾股定理解直角三角形可判断①正确；根据4个直角三角形全等，可判断②正确；根据“大正方形面积等于4个直角三角形面积加上小正方形面积”，可判断④正确；利用①④，根据完全平方公式可判断③正确． 【详解】解：∵大正方形面积为100，小正方形面积为9， ∴大正方形边长为10，小正方形边长为3， 由勾股定理可得：，即①正确； ∵图中4个直角三角形全等， ∴，即②正确； ∵大正方形面积个直角三角形面积小正方形面积， ∴， ∴，即④正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，即③正确． 综上所述，①②③④正确． 故选D． 二．填空题（每题3分，共18分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 若，，则______________． 【答案】28 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法的逆用是解决此题的关键，根据同底数幂的乘法的逆用可直接进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： ． 11. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 12. 若，，则代数式的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：2． 13. 如图，在中，，DE垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则BC的长为 ________． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换思想的应用． 根据线段垂直平分线的性质可知，再利用已知条件结合三角形的周长计算即可． 【详解】解：的周长为，即， DE垂直平分AB， ， ， ， ， 故答案为：8． 14. 如图，在中，，．射线平分． 射线上有一点N，N到点B，C的距离相等．连接，则四边形的面积为_________． 【答案】81 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．如图作于，于，可证明，则，，，同理可证明：，则，故，则，根据即可求解． 【详解】解：∵N到点B，C的距离相等， ∴， 如图作于，于． 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， 同理可证明：， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：81． 三．解答题（共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，掌握算术平方根、立方根、绝对值的性质是解题的关键． （1）根据算术平方根、立方根、绝对值的性质进行计算； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解： 16. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式，运用完全平方公式以及平方差公式化简中括号内的式子，再计算多项式除以单项式化成最简，再把，代入计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 18. 如图，在中，D为边上的一点，． （1）请说明． （2）求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， ∴为直角三角形， ∴； （2）的面积为84 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，求三角形的面积， 对于（1），根据，可知为直角三角形，即可得出答案； 对于（2），先根据勾股定理求出，即可得出，然后根据的面积得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 19. 如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地． （1）用含有，的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，，求出绿化部分的总面积． 【答案】（1）绿化部分的总面积为平方米 （2）绿化部分的总面积为13200平方米 【解析】 【分析】本题主要考查的是整式的四则混合运算的应用，代数式求值等知识． （1）根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去两个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案； （2）把，，代入（1）中算出的式子即可得出答案． 【小问1详解】 解：绿化部分的总面积 平方米． 答：绿化部分的总面积为平方米． 【小问2详解】 当，时， 原式（平方米）． 答：绿化部分的总面积为13200平方米． 20. 如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且．（以上长度单位：） （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． 【答案】（1） （2）49 【解析】 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式： （1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到，，利用完全平方公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，得：，， ∴， ∴． 21. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值； （3）． 【答案】（1） （2） （3）9 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，掌握分母有理化和题干给定的解题方法，是解题的关键： （1）进行分母有理化即可； （2）先进行分母有理化，再仿照题干的方法，求值即可； （3）先进行分母有理化，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 原式 ． 22. 阅读材料：若，求，的值． 解：， ． 根据你的观察，探究下面的问题： （1），则_____，______； （2）已知，求的值； （3）已知的三边长为，，，且，满足，请直接写出的周长． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，偶次方的非负性，勾股定理的应用． （1）通过完全平方公式进行变式得，然后由非负数性质求得结果； （2）由得，然后由非负数性质求得结果； （3）把原方程化为，然后由非负数性质求得、，进而根据勾股定理求得，便可求得三角形的周长． 【小问1详解】 解：由，得， ∵≥0，， ∴，， ∴，． 故答案为：3；0． 【小问2详解】 解：由得：， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵的三边长为，，， ∴或 ∴的周长为或． 23. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题； （1）【直接应用】若，，求的值； （2）【类比应用】填空： ①若，则______； ②若，则______； （3）【知识迁移】两块形状和大小完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1） （2）①7；②5 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键． （1）把，代入 从而可得答案； （2）①由完全平方公式的变形可得，再代入求值即可； ②利用完全平方公式变形可得，再求值即可； （3）先证明三点共线，，可得，结合已知条件可得，，再利用，求解2ab，从而可得答案． 【小问1详解】 解： ，，而 解得：； 【小问2详解】 解：①， ； ②，， ； 【小问3详解】 解：三点共线，且 三点共线， ，， ， 24. 如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为秒． （1）的长为____；（用含的代数式表示） （2）当的面积是12时，求t的值； （3）若点P在的角平分线上，求的值； （4）在整个运动中，直接写出是等腰三角形时的值． 【答案】（1） （2）或 （3）t的值为 （4）或或4 【解析】 【分析】（1）根据题意列代数式可求得答案； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可求解． （3）根据角平分线的定义可得，进而证明，设，则，根据勾股定理解答即可； （4）分作为底和腰两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：已知点从点出发，以每秒个单位长度的速度运动， 点运动的长度为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：的面积是且， ， ． 当时，， ，解得； 当时，， ，解得； 综上，或3 【小问3详解】 解：过点作于点，如图所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， 点P在的角平分线上， ， ，， 又， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 即若点P在的角平分线上，则t的值为； 【小问4详解】 解：当作为底边时，如图所示： 则，设，则， 在中，， ， 解得： 此时； 当作为腰时，如图所示： ，此时； 时， ， ， 此时， 综上分析可知，t的值为或或4． 【点睛】本题主要考查了列代数式，勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $