精品解析：山东省聊城临清市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024~2025学年第一学期期末调研 八年级数学试题 （时间130分钟 满分150分） 一、选择题（本题12个小题，每小题4分，共48分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 甲骨文是我国古代一种文字，反映了我国悠久的历史文化．下列甲骨文中，可看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（ ） A. 平分 B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 同位角不相等，两直线不平行 B. 一个角的余角一定大于这个角 C. 三角形中至少有一个角不大于 D. 有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等 5. 在樱桃采摘园，五位游客各采摘了一篮樱桃，质量分别为（单位：千克）：5，2，3，4，5，则这组数据的众数与中位数分别为 （ ） A. 5，3 B. 5，4 C. 4，5 D. 5，5 6. 某学校为进一步开展“阳光大课间”活动，购买了一批篮球和足球．已知购买足球数量是篮球的2倍，购买足球用了4000元，购买篮球用了2800元，篮球的单价比足球贵16元．篮球和足球的单价分别是多少元？小明列出了方程，则小明列的方程中表示的是（ ） A. 足球单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量 7. 桌面上有A，B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示4个点中，可以瞄准的点是（ ） A. D B. E C. F D. G 8. 用反证法证明命题“中，若，则”时，第一步应该假设（ ） A. B. C. D. 且 9. 若常数M，N满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 如图，△ABC为等边三角形，要在△ABC外部取一点D，使得△ABC和△DBC全等，下面是两名同学做法： 甲：①作∠A的角平分线l； ②以B为圆心，BC长为半径画弧，交l于点D，点D即为所求； 乙：①过点B作平行于AC的直线l； ②过点C作平行于AB的直线m，交l于点D，点D即为所求． A. 两人都正确 B. 两人都错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 11. 如图，中，平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，若点与点恰好重合，则度数为（ ） A. B. C. D. 12. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点P是坐标轴上的一点，使为等腰三角形的点P的个数有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分，只要求写出最后结果） 13. 若，则___________． 14. 甲、乙两人10次射击成绩的折线图如图所示，图上水平的直线表示平均数水平，甲、乙两人射击成绩数据的方差分别为，则______．（填“>”“<”或“=”） 15. 直角坐标系中，直线l是经过且平行于x轴的直线，那么点关于直线l的对称点的坐标是______． 16. 如图，，，若，则的度数是__________． 17. 如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为__________． 18. 在中，，分别过点A、B作射线，使得，且点D、C、E在同侧，点C、E在同侧，若，则的度数为 __． 三、解答题（本题7个小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 计算： （1）； （2）． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 21. 如图，于点，是上一点，交于点，与互余． （1）试说明：； （2）若，求的长． 22. 有一段全长为720米公路的路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工作效率比原计划增加，结果提前3天完成这一任务，求原计划每天整改多少米？ 23. 某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图． （1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁； （2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果． 24. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）只用无刻度的直尺，在图①中的线段上找一点D，连接，使； （2）只用无刻度的直尺，在图②中画，使（点A，B，C的对应点分别为点E，A，F），E，F在格点上，且与B，C均不重合； （3）利用直尺和圆规，在图③中作，保留作图痕迹，不用写作法． 25. 如图1，等边中，点P，Q分别是边的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且运动速度相同，连接交于点M． （1）求证：； （2）当点P运动到什么位置时，是等边三角形？说明理由； （3）当点P，Q分别在边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数； （4）如图2，若点P，Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期期末调研 八年级数学试题 （时间130分钟 满分150分） 一、选择题（本题12个小题，每小题4分，共48分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 甲骨文是我国古代的一种文字，反映了我国悠久的历史文化．下列甲骨文中，可看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识点，解题的关键是理解轴对称图形的定义，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 依次对每个选项中的甲骨文图形进行分析，看是否能找到一条直线使其沿直线对折后两部分完全重合． 【详解】A、该甲骨文图形沿着中间一条竖直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，所以它是轴对称图形； B、无论沿哪条直线对折，该甲骨文图形直线两侧的部分都不能完全重合，所以它不是轴对称图形； C、无论沿哪条直线对折，该甲骨文图形直线两侧的部分都不能完全重合，所以它不是轴对称图形； D、无论沿哪条直线对折，该甲骨文图形直线两侧的部分都不能完全重合，所以它不是轴对称图形． 故选A 2. 如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）．由于斜边为公共边，则添加一组直角边对应相等即可． 【详解】解：∵， ∴当添加或时，． 故选：C． 3. 下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质即可判断，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、不一定成立，故选项不符合题意； B、不一定成立，故选项不符合题意； C、，正确，故选项符合题意； D、的分子和分母不能约分，，故选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列命题为假命题的是（ ） A. 同位角不相等，两直线不平行 B. 一个角的余角一定大于这个角 C. 三角形中至少有一个角不大于 D. 有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行线的判定、余角和补角的概念、三角形的内角和定理与全等三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：、同位角不相等，两直线不平行，是真命题，不符合题意； 、一个角的余角不一定大于这个角，例如角的余角是，，故本选项命题是假命题，符合题意； 、三角形中至少有一个角不大于，真命题；不符合题意； 、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等，是真命题，不符合题意； 故选：． 5. 在樱桃采摘园，五位游客各采摘了一篮樱桃，质量分别为（单位：千克）：5，2，3，4，5，则这组数据的众数与中位数分别为 （ ） A. 5，3 B. 5，4 C. 4，5 D. 5，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据；一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数． 先把数据按大小排列，再根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：在数据5，2，3，4，5中5出现2次、次数最多，故众数为5； 将该组数据按从小到大的顺序排列为2，3，4，5，5．中间的这个数为4， 故这组数据的中位数是4． 故选：B． 6. 某学校为进一步开展“阳光大课间”活动，购买了一批篮球和足球．已知购买足球数量是篮球的2倍，购买足球用了4000元，购买篮球用了2800元，篮球的单价比足球贵16元．篮球和足球的单价分别是多少元？小明列出了方程，则小明列的方程中表示的是（ ） A. 足球的单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量 【答案】D 【解析】 【分析】设篮球的数量为x个，足球的数量是个，列出分式方程解答即可． 【详解】解：设篮球的数量为x个，足球的数量是个． 根据题意可得：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，得到相应的关系式是解决本题的关键． 7. 桌面上有A，B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示4个点中，可以瞄准的点是（ ） A. D B. E C. F D. G 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点．根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解． 【详解】解：如图，将B球射向桌面的点D，可使一次反弹后击中A球， 故选：A 8. 用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应该假设（ ） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反证法的应用，熟练掌握反证法的意义及步骤是解题的关键． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立进行判断作答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“已知在中，若，则， ∴首先应该假设． 故选：B． 9. 若常数M，N满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式加减运算、解二元一次方程组、代数式求值，先利用分式的加减运算法则，将已知等式的右边化简，进而取得M、N，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴，解得， ∴， 故选：A． 10. 如图，△ABC为等边三角形，要在△ABC外部取一点D，使得△ABC和△DBC全等，下面是两名同学做法： 甲：①作∠A的角平分线l； ②以B为圆心，BC长为半径画弧，交l于点D，点D即为所求； 乙：①过点B作平行于AC的直线l； ②过点C作平行于AB的直线m，交l于点D，点D即为所求． A. 两人都正确 B. 两人都错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先画出相应的图形，然后根据题意进行推理即可得到哪个正确哪个错误，本题得以解决． 【详解】（甲）如图一所示， ∵△ABC为等边三角形，AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠BEA=∠BED=90°， 由甲的作法可知，AB=BD， ∴∠ABC=∠DBC， 在△ABC与△DBC中，， ∴△ABC≌△DBC， 故甲的作法正确； （乙）如图二所示， ∵BD∥AC，CD∥AB， ∴∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠DCB， 在△ABC和△DCB中，， ∴△ABC≌△DCB（ASA）， ∴乙的作法是正确的． 故选A． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是明确题意，作出相应的图形，进行合理的推理证明． 11. 如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，若点与点恰好重合，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接，延长交于，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直平分线的性质得到，，由折叠的性质，三角形外角的性质得到，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长交于， ∵，是的角平分线，， ∴，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，则， ∴，， ∵将沿（上，在上）折叠，若点与点恰好重合， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定，三角形外角的性质，折叠的性质的综合，掌握等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，折叠的性质，得到是解得的关键． 12. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点P是坐标轴上的一点，使为等腰三角形的点P的个数有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定．分别以、为圆心，以长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点，再作线段的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点，作出图形，利用数形结合求解即可． 【详解】解：如图，以为圆心，以长为半径作圆，与坐标轴有4个交点， 以为圆心，以长为半径作圆，与坐标轴有2个交点， 线段的垂直平分线与坐标轴有2个交点， ∴满足条件的点P的个数为（个）． 故选：D． 二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分，只要求写出最后结果） 13. 若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握其性质． 根据题意得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：． 14. 甲、乙两人10次射击成绩的折线图如图所示，图上水平的直线表示平均数水平，甲、乙两人射击成绩数据的方差分别为，则______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图和方差．利用折线统计图可判断乙的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小． 【详解】解：由折线统计图得乙的成绩波动较大， 故答案为：<． 15. 直角坐标系中，直线l是经过且平行于x轴的直线，那么点关于直线l的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标特征知识点，解题的关键是掌握关于平行于轴的直线对称的点的坐标变化规律． 先确定直线的方程，再根据关于平行于轴的直线对称的点的坐标特点求出对称点坐标． 【详解】已知直线经过且平行于轴，在平面直角坐标系中，平行于轴直线上的所有点纵坐标都相等，所以直线的方程为， 点到直线的距离为， 那么对称点的纵坐标为，横坐标不变仍为2， 所以点关于直线的对称点的坐标是． 故答案为：． 16. 如图，，，若，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等边对等角，三角形内角和定理，角的和差解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 17. 如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据题意证明，得出，结合求得，根据，即可解题． 【详解】解：，， 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 在中，，分别过点A、B作射线，使得，且点D、C、E在同侧，点C、E在同侧，若，则的度数为 __． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，①利用三角形的内角和得出，再利用平行线的性质得出结果；②先求出，再利用平行线的性质得出，最后利用，得出结论． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的度数为：或， 故答案我：或． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及平行线的性质，正确画出图形是解题的关键． 三、解答题（本题7个小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算； （1）直接利用分母不变，把分子相加，再约分即可； （2）先计算括号内的减法运算，再计算除法运算即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：方程两边同时乘，得 ， 化简，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 所以； 【小问2详解】 解：方程两边同时乘以，得， 化简，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的增根所以原分式方程无解． 21. 如图，于点，是上一点，交于点，与互余． （1）试说明：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）根据同角的余角相等即可证明； （2）由，推出，由，，推出，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，， ， ． 22. 有一段全长为720米公路的路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工作效率比原计划增加，结果提前3天完成这一任务，求原计划每天整改多少米？ 【答案】原计划每天整改40米 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程的应用，设原计划每天整改米，那么实际每天整改米．根据提前3天完成这一任务为等量关系列出分式方程求解即可得出答案． 【详解】解：设原计划每天整改米，那么实际每天整改米．根据题意得 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 所以，原计划每天整改40米． 23. 某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图． （1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁； （2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果． 【答案】（1）甲 （2）乙 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图数据求解即可； （2）根据“能力”、“学历”、“经验”所占比进行加权再求总分即可． 【小问1详解】 解：甲三项成绩之和为：9+5+9=23； 乙三项成绩之和为：8+9+5=22； ∴23>22 录取规则是分高者录取，所以会录用甲． 【小问2详解】 “能力”所占比例为：； “学历”所占比例为：； “经验”所占比例为：； ∴“能力”、“学历”、“经验”的比为3：2：1； 甲三项成绩加权平均为：； 乙三项成绩加权平均为：； ∴8>7 所以会录用乙． ∴会改变录用结果 【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，根据图表信息进行求解是解题的关键． 24. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）只用无刻度的直尺，在图①中的线段上找一点D，连接，使； （2）只用无刻度的直尺，在图②中画，使（点A，B，C的对应点分别为点E，A，F），E，F在格点上，且与B，C均不重合； （3）利用直尺和圆规，在图③中作，保留作图痕迹，不用写作法． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是复杂作图，全等三角形的判定，等腰三角形的性质； （1）取格点，使，连接，可得； （2）取格点，且，，，可得即为所求； （3）作射线，在射线上截取，再以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于，可得，，可得． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． ； 【小问3详解】 解：如图，即为所求． ； 25. 如图1，等边中，点P，Q分别是边动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且运动速度相同，连接交于点M． （1）求证：； （2）当点P运动到什么位置时，是等边三角形？说明理由； （3）当点P，Q分别在边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数； （4）如图2，若点P，Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 【答案】（1）见解析 （2）当为中点时，是等边三角形，见解析 （3）不变， （4）不变， 【解析】 【分析】此题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用证明； （2）当为中点时，，，得是等边三角形； （3）由根据全等三角形的性质可得，从而得到； （4）由根据全等三角形的性质可得，从而得到 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ， 点运动速度相同， ， 在与中， ； 【小问2详解】 解：当为中点时，是等边三角形．理由是： 为中点，， ， 又， 是等边三角形； 【小问3详解】 解：不变．理由是： ， ， 是的外角， ， ， ； 【小问4详解】 解：不变．理由是： 同理可得，， ， 是的外角， ， ， 即若点在运动到终点后，继续在射线上运动，的度数为120°． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $