第09讲 不等式的意义及其基本性质-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（湘教版2024）

第09讲 不等式的意义及其基本性质 课程标准 学习目标 不等式的意义 不等式的基本性质 1.了解不等式的概念，认识不等号的含义。 2理解并掌握不等式的基本性质 3.能灵活运用不等式的基本性质对不等式进行变形 知识点01 不等式的定义 用不等号(>,<,>,<,≠)连接而成的式子叫作不等式. 代数式、等式、不等式的区别 (1)代数式:用运算符号把数字与字母连起来的式子; (2)等式:用“=”连接代数式,表示相等关系的式子; (3)不等式:用不等号连接代数式,表示不等关系的式子. 【即学即练1】 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义，有理数的大小比较，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．根据不等式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有：①②③⑥，共有4个， 故选：B． 知识点02 列不等式 1.列不等式表示不等关系的步骤: (1)审题,分清数量的大小关系 (2)列出相应的代数式,用表示不等关系的符号列出不等式. 3. 不等式与方程的区别 (1) 从定义上来看,不等式是表示不等关系的式子，而方程是含有未知数的等式; (2)从符号上来看,不等式是用“>”“<”“>”“<”或“≠”连接而成的式子,而方程是用“=”来连接两边的式子; (3)从是否含有未知数上来看,不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数,而方程则必须含有未知数. 【即学即练1】 “x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了把文字语言转化为数学语言，理解好题意是解题关键． 根据x与5的差不小于x的3倍，可知x与5的差大于等于x的3倍，从而可以用相应的不等式表示出来. 【详解】解：“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为， 故答案为：. 知识点03 不等式的基本性质 基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式),不等号的方向不变,即若a>b,则a±c>b±c. 基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即若a>b,c>0,则ac>bc,a>b， 基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即若a>b,c<0,则ac<bc, 【即学即练1】 如果，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的意义，熟知不等式的性质是解题的关键： 不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质逐项判断即可得出答案． 【详解】取，，则， ，， ，故选项A不成立． ，但未说明a的符号，当 时，不等式 ，故选项B不一定成立． 将不等式 两边同时乘以 得到，然后两边同时加 5，得．故选项C一定成立． 当， 时，，故选项D不一定成立． 故选：C． 【即学即练2】 请根据不等式的基本性质填空： 问题：若，，，试判断x的取值范围． 解答：∵，∴（理由：不等式的基本性质1） ∴（理由：__________） ∵，∴（理由：___________） ∴________（理由：_________） ∵，∴______（理由：_________） 【答案】不等式的基本性质2，不等式的传递性，6，不等式的基本性质2，6，不等式的传递性． 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．依据不等式的基本性质进行填空即可． 【详解】解：， （理由：不等式的基本性质． （理由：不等式的基本性质． ， （理由：不等式的传递性）． （理由：不等式的基本性质． ， （理由：不等式的传递性）． 故答案为：不等式的基本性质2，不等式的传递性，6，不等式的基本性质2，6，不等式的传递性． 题型01 不等式的定义 【典例1】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的定义，用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 根据不等式的定义逐一判断即可． 【详解】解：不等式有①；②；⑤；⑥，共4个， 故选C． 【变式1】下列各式中，是不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，理解并掌握不等式的定义是解题的关键． 由不等号“”连接的式子即为不等式即可求解． 【详解】解：根据不等式的定义可得，②；③；④；⑥是不等式，共4个， 故选：C ． 【变式2】下列各项中，蕴含不等关系的是（   ） A．小明与小强一样高 B．王老师的年龄比小红年龄的3倍还大2岁 C．铅球的质量比篮球的质量大 D．明天可能下雨 【答案】C 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据不等关系的概念，一一判断即可． 【详解】解：A、是等量关系，故错误； B、是等量关系，故错误； C、铅球的质量比篮球的大，属于不等关系，正确； D、属于随机事件问题，故错误； 故选：C． 【变式3】若m●4是不等式，则符号“●”可以是（   ） A．+ B．= C．× D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．用符号“，”或“、”表示大小关系的式子，叫做不等式． 如． 像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式． 根据不等式的定义即可求解． 【详解】解：∵若m●4是不等式，则符号“●”可以是． 故选：D． 题型02 列不等式 【典例1】的与4的差不小于2，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用不等式号列不等式，准确理解不小于的意义是解题的关键． 【详解】解：的与4的差表示为，不小于2，即大于等于2， 故答案为． 【变式1】某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为万元，今年的收入为万元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列不等式，根据不等量关系，直接列出不等式即可 【详解】解：因为农户今年的收入比去年至少多1.5万元， 所以，列不等式为：， 故选：B． 【变式2】年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意找出不等关系是解答本题的关键． 根据题意可知，当天的气温应该大于或等于最低气温，且小于或等于最高气温，根据上述分析，即可列出不等式，得到答案． 【详解】解：根据题意可得：这天气温的变化范围是， 故选：D． 题型03 不等式的基本性质 【典例1】若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、若，则应为，原说法错误，故不符合题意； B、若，则应为，原说法错误，故不符合题意； C、若，则应为，原说法错误，故不符合题意； D、若，则，原说法正确，故符合题意， 故选：D． 【变式1】若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选B． 【变式2】若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不正确； B．∵，∴，故不正确； C．∵，∴，∴，故不正确； D．∵，∴ ，正确； 故选D． 【变式3】请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知，试比较：与的大小． 解：，， 根据不等式的基本性质3，得 ，    第一步 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得．    第二步 (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可得到答案； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：一  ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； 故答案为：一  ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （2）解：，， 根据不等式的基本性质3，得， 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得． 题型04 不等式的基本性质的应用 【典例1】定义：若两个有理数，满足，则称，是关于的平衡数． (1)与3是否为关于的平衡数，答： ；（填“是”或“否”） 4与是关于3的平衡数，则 ； (2)若，两数是关于1的平衡数，，试比较与4的大小，并说明理由． 【答案】(1)否；2 (2)或． 【分析】本题考查了新定义、一元一次方程的解，不等式的应用．解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题． （1）根据平衡数的定义求解；由平衡数的定义得，据此求解即可； （2）根据平衡数的定义求得，分或两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：与3的平衡数是， ∴与3不是关于的平衡数， 由题意得， 即，解得， 故答案为：否；2； （2）解：由题意得， ∴， ∵， ∴或， 当时，，则， ∴， ∴； 当时，， 则，即； 综上，或． 【变式1】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴表示数以及不等式的性质，加法与乘法法则，依次判断选项即可． 【详解】解：从题图中得出，，， 所以，，，， 故选项B、C、D错误，选项A正确， 故选：A． 【变式2】下列说法正确的序号是 ． 已知，，是非零的有理数，且时，则的值为或； 已知，，是有理数，且，时，则的值为或； 已知时，那么的最大值为，最小值为； 【答案】 【分析】当时，则，分两种情况：一是，，，二是，，，分别讨论即可；当且时，，，，且、、三个数中只有一个负数，另外两个均为正数，不妨设，，，化简求解即可；当时，分两种情况：当时与当时，分别化简求值即可；综合以上，即可得出答案． 【详解】解：当时，则， 此时有两种情况： 一是，，， 则， 二是，，， 则， 故正确； 当且时， ，，， 且、、三个数中只有一个负数，另外两个均为正数， 不妨设，，， 则 ， 故错误； 当时，分两种情况： 第一种情况： 当时， ，， ， ， ； 第二种情况： 当时， ，， ； 综上所述，当时，的最大值为，最小值为， 故正确； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，化简绝对值，等式的性质，代数式求值，不等式的性质，整式的加减运算，合并同类项等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 一、单选题 1．若，且为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】、∵， ∴或或，原选项不符合题意； 、∵， ∴，原选项不符合题意； 、∵， ∴或或，原选项不符合题意； 、∵，， ∴，原选项符合题意； 故选：． 2．有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查不等式的判断，根据不等式的定义，用不等号连接的式子叫做不等式，进行判断即可． 【详解】解：在①；②；③；④；⑤；⑥中，①②⑤⑥四个式子含有不等号，是不等式，共4个； 故选B 3．当时，下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，熟练掌握该知识点是解题的关键．把分别代四个选项中，一一验证不等式两边是否成立，即可判断出答案． 【详解】解：A、时，，故不符合题意； B、时，，故不符合题意； C、时，，故不符合题意； D、时，，故符合题意； 故选：D． 4．设、为实数，则下列说法正确的是（   ） A．，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、若，则，不能确定，所以此项说法错误，不符合题意； B、若，，则，所以，此项说法正确，符合题意； C、若，，则，所以此项说法错误，不符合题意； D、若，则或，所以不一定大于0，此项说法错误，不符合题意； 故选：B． 5．已知是两个钝角，计算的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案，分别为，，，．其中，只有一个答案是正确的，正确的答案是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的概念，理解钝角的定义，掌握不等式的性质是得出答案的关键．根据钝角的定义，钝角都大于且小于计算． 【详解】解： ，是两个钝角（钝角都大于且小于）， ，． 所以一定大于且小于； 则一定大于且小于， 故正确． 故选：B． 6．若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质．不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，由此即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 7．若，且，则的值可能是（   ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据题意可知不等式两边同时乘以a之后不等号改变，则． 【详解】，且， ， ∴的值可能是． 故选：A． 8．如图，设表示甲图阴影部分面积，表示乙图阴影部分面积，则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，分式的化简，不等式的性质，解答的关键是表示出甲乙两图中的阴影部分的面积及熟悉分式的运算． 分别把甲乙两图中的阴影部分的面积表示出来，代入求值，再讨论即可求解． 【详解】解：甲图阴影部分的面积为：， 乙图阴影部分的面积为：， 则 ， ， ∴， ∴， 故选C． 9．如果正整数x、y、z满足，则（      ） A．72 B．78 C．82 D．93 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，不等式的性质，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，进而得出，即可得到答案． 【详解】解：，，， ，，， ， （当且仅当时取等号）， x、y、z均为正整数， ， ，， ， A选项符合题意， 故选：A． 10．已知多项式，，（a，b为常数），下列说法： 其中正确的个数是（   ） ①当时，无论x，y取何值，都有； ②若，且，则； ③若，则存在整数x，y，使得； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方的非负性等知识点，结合已知，依次对各个选项进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性进行判断即可，熟练掌握配方法的步骤是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴ ∵， ∵当时，， ∴， ∴，即，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ， 设， ∴， ∵ ， ∴， ∴要使， ∴， ∵是整数，，而不是整数， ∴不存在整数使得，故③错误， 综上所述，正确的有1个， 故选：B． 二、填空题 11．如图，和5分别表示天平两边砝码的质量，请你用“＞”或“＜”填空： 5． 【答案】 【分析】本题考查了用不等式表达不等关系，理解题意是解题的关键．根据题意，可知左边的质量小于右边的质量，从而得到答案． 【详解】解：由题意可知，左边的质量小于右边的质量 所以 故答案为： 12．在，，，，0，1，2这些整数中，能使不等式成立的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了不等式的性质，理解并掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；由此即可求解． 【详解】解：， 不等式两边同时减去得，， 不等式两边同时乘以得，， ∴在，，，，0，1，2这些整数中，能使不等式成立的有，共3个， 故答案为：3 ． 13．是最小的正整数，是最小的非负数，表示不小于且小于3的整数的个数，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数的分类、不等式的整数解、有理数的混合运算等知识点，求出a、b、m的值是解题的关键． 先根据有理数和不等式求出a、b、m的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：∵a是最小的正整数，b是最小的非负数，不小于且小于3的整数有共7个， ∴， ∴， 故答案为：8． 14．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是路程、速度、时间之间关系及用不等式表示范围，先求出要在内通过时的速度，再根据按照当前时速行驶能通过下一路口求出此时速度，即可解决． 【详解】解：， 当距离下一路口时，以速度通过需要的时间为：， 要在内通过， 小车的速度至少为， 因为导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口， 则小车当前行驶速度的取值范围是． 15．若，且，则b a．（填不等号） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，有理数的乘法：根据同号得正，异号得负的逆运用，得是异号，结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是异号， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 16．若四位数满足且各个数位上的数互不相等，那么称这个数为“合作数”，例如：四位数，∵，∴是合作数，又如四位数，∵，∴不是合作数．若一个“合作数”千位为，则满足条件的最大“合作数”是 ；若一个“合作数”的前三个数字组成的三位数和后三个数字组成的三位数的和满足被整除，则满足条件的最大“合作数”是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程，不等式的性质，列代数式，整式的加减，熟练根据题意列出代数式，并熟练掌握分离整数法，解不定方程是解题的关键．利用千位为，得出，要使“合作数”最大确定百位数为，得出，再取十位最大即可；根据题意列出前三个数字组成的三位数和后三个数字组成的三位数的和为，利用它们的和被整除，得出是整数，结合及、、、的性质得出，则此时，结合、、、的性质即可得出满足条件的最大“合作数”． 【详解】解：∵“合作数”千位为，， ∴， 要使“合作数”最大，则百位数为， ∴，即， ∵各个数位上的数互不相等， ∴十位数为且个位数为时，“合作数”最大， ∴若一个“合作数”千位为，则满足条件的最大“合作数”是； 由题意得、、、是整数，且，，，， 前三位数可表示为，后三位数可表示为， ∴它们的和为 ， ∵它们的和被整除， ∴是整数， ∵、、、是整数， ∴是整数， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，且各个数位上的数互不相等， ∴， 又∵是整数， ∴， ∴，即， 又∵、是整数，且，， ∴要使满足条件的“合作数”最大，最大取（大于时，）， 此时， ∵，、是整数，且，， ∴要使满足条件的“合作数”最大，最大值为，此时，， ∴满足条件的“合作数”最大是， 故答案为：①；②． 17．对于一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“中和数”．对于“中和数”，将其千位与百位的差替换原来的千位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将其千位与百位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，，如：当时，，，，若为最小的“中和数”，则 ；一个“中和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若为整数，是一个完全平方数，则满足条件的“中和数”的最大值与最小值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查数式的新定义计算，涉及有理数的运算，列代数式，整式的加减运算，不等式的性质，熟练读懂新定义，并可以根据新定义列式是解题的关键．根据定义即可得出最小的“中和数”为，再计算即可；由题意可得，，，根据题意列出，利用为整数，结合、、、的范围得出或，再分别讨论计算即可． 【详解】解：由各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“中和数”， 则最小的“中和数”为， 则，， 则； 由题意，可得，，， ∴， ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∵，，，，且，， ∴，， ∴或， ①当时， 是一个完全平方数， 当时，，， ∵， ∴， 又∵此时，故舍； 当时，，， 没有整数满足； 当时，，， ∵， ∴， 此时的最小值； 当时，，， 没有整数满足； 当时，，， ∵， ∴或， 当时，此时的最小值； 当时，此时，故舍； 综上所述，的最小值； ②当时， 是一个完全平方数， 当时，，， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值， 综上，，， ∴满足条件的“中和数”的最大值与最小值之和为； 故答案为：；． 三、解答题 18．完成下列填空：若，比较与的大小． 解： （依据： ） （依据： ） 【答案】，，不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分析即可求解． 【详解】解： （依据：不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．） （依据：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变）， 故答案为：，，不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 19．已知实数，，． (1)若，，，求的取值范围． (2)若，，都是整数，且是偶数．求证：，，都是偶数． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质、整式的加减、数的奇偶性等知识点． （1）由已知可得；代入消去b和c，可得，再由，得出的取值范围； （2）由，，都是整数，得出，，是偶数；再由已知条件可得，，，由此得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，都是整数，    ∴，，是偶数， ∴；； ∵也是偶数，    ∴，，都是偶数． 20．先填空，再探究： (1)①如果，那么a________b； ②如果，那么a________b； ③如果，那么a________b； (2)由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来； (3)用（1）的方法，你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程． 【答案】(1)①>  ②=  ③< (2)能，见解析 (3)能，见解析 【分析】该题主要考查了不等式的性质，整式的加减等知识点，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质和等式的性质，移项即可； （2）作差法比较a，b两数，即可根据差的情况得出结论； （3）作差：，化简和0比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：①>；②=；③<． （2）解：能． 叙述：如果a减b的值大于0，那么a大于b； 如果a减b的值等于0，那么a等于b； 如果a减b的值小于0，那么a小于b． （3）解：能． ∵， ∴． 21．根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质两边都减去即可求解； （2）根据不等式的性质两边都除以即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）∵， 22．五个不同的自然数分别是A、B、C、D、E，它们从小到大依次排列，它们的平均数是23，前四个数的平均数是21，后四个数的平均数是24，已知C是偶数，D是多少？ 【答案】23 【分析】平均数问题与不定方程，先求出A和E，从而得到，再根据这些自然数的大小关系推出，再根据C是偶数，得到，从而对D分类讨论得解． 【详解】依题意得： ． 因为>21，所以D应大于21． 而，，故． 所以 又由于，故 因此， 又已知C是偶数， 因此，此时D至少为23． 若，此时则． 若，则，不符合题意． 故． 【点睛】本题考查平均数问题与不定方程，根据题意推出是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 不等式的意义及其基本性质 课程标准 学习目标 不等式的意义 不等式的基本性质 1.了解不等式的概念，认识不等号的含义。 2理解并掌握不等式的基本性质 3.能灵活运用不等式的基本性质对不等式进行变形 知识点01 不等式的定义 用不等号(>,<,>,<,≠)连接而成的 叫作不等式. 代数式、等式、不等式的区别 (1)代数式:用运算符号把数字与字母连起来的式子; (2)等式:用“=”连接代数式,表示相等关系的式子; (3)不等式:用不等号连接代数式,表示不等关系的式子. 【即学即练1】 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 知识点02 列不等式 1.列不等式表示不等关系的步骤: (1)审题,分清数量的 关系 (2)列出相应的 ,用表示 关系的符号列出不等式. 3. 不等式与方程的区别 (1) 从定义上来看,不等式是表示不等关系的式子，而方程是含有未知数的等式; (2)从符号上来看,不等式是用“>”“<”“>”“<”或“≠”连接而成的式子,而方程是用“=”来连接两边的式子; (3)从是否含有未知数上来看,不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数,而方程则必须含有未知数. 【即学即练1】 “x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 知识点03 不等式的基本性质 基本性质1:不等式的两边都 (或减去)同一个数(或式),不等号的方向不变,即若a>b,则a±c>b±c. 基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个 ,不等号的方向不变,即若a>b,c>0,则ac>bc,a>b， 基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个 ,不等号的方向改变.即若a>b,c<0,则ac<bc, 【即学即练1】 如果，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】 请根据不等式的基本性质填空： 问题：若，，，试判断x的取值范围． 解答：∵，∴（理由：不等式的基本性质1） ∴（理由：__________） ∵，∴（理由：___________） ∴________（理由：_________） ∵，∴______（理由：_________） 题型01 不等式的定义 【典例1】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】下列各式中，是不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】下列各项中，蕴含不等关系的是（   ） A．小明与小强一样高 B．王老师的年龄比小红年龄的3倍还大2岁 C．铅球的质量比篮球的质量大 D．明天可能下雨 【变式3】若m●4是不等式，则符号“●”可以是（   ） A．+ B．= C．× D． 题型02 列不等式 【典例1】的与4的差不小于2，用不等式表示为 ． 【变式1】某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为万元，今年的收入为万元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 题型03 不等式的基本性质 【典例1】若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知，试比较：与的大小． 解：，， 根据不等式的基本性质3，得 ，    第一步 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得．    第二步 (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确的解题过程． 题型04 不等式的基本性质的应用 【典例1】定义：若两个有理数，满足，则称，是关于的平衡数． (1)与3是否为关于的平衡数，答： ；（填“是”或“否”） 4与是关于3的平衡数，则 ； (2)若，两数是关于1的平衡数，，试比较与4的大小，并说明理由． 【变式1】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列说法正确的序号是 ． 已知，，是非零的有理数，且时，则的值为或； 已知，，是有理数，且，时，则的值为或； 已知时，那么的最大值为，最小值为； 一、单选题 1．若，且为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 3．当时，下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．设、为实数，则下列说法正确的是（   ） A．，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 5．已知是两个钝角，计算的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案，分别为，，，．其中，只有一个答案是正确的，正确的答案是（ ） A． B． C． D． 6．若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．若，且，则的值可能是（   ） A． B．0 C．1 D．4 8．如图，设表示甲图阴影部分面积，表示乙图阴影部分面积，则取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．如果正整数x、y、z满足，则（      ） A．72 B．78 C．82 D．93 10．已知多项式，，（a，b为常数），下列说法： 其中正确的个数是（   ） ①当时，无论x，y取何值，都有； ②若，且，则； ③若，则存在整数x，y，使得； A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．如图，和5分别表示天平两边砝码的质量，请你用“＞”或“＜”填空： 5． 12．在，，，，0，1，2这些整数中，能使不等式成立的有 个． 13．是最小的正整数，是最小的非负数，表示不小于且小于3的整数的个数，则 ． 14．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ． 15．若，且，则b a．（填不等号） 16．若四位数满足且各个数位上的数互不相等，那么称这个数为“合作数”，例如：四位数，∵，∴是合作数，又如四位数，∵，∴不是合作数．若一个“合作数”千位为，则满足条件的最大“合作数”是 ；若一个“合作数”的前三个数字组成的三位数和后三个数字组成的三位数的和满足被整除，则满足条件的最大“合作数”是 ． 17．对于一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“中和数”．对于“中和数”，将其千位与百位的差替换原来的千位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将其千位与百位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，，如：当时，，，，若为最小的“中和数”，则 ；一个“中和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若为整数，是一个完全平方数，则满足条件的“中和数”的最大值与最小值之和为 ． 三、解答题 18．完成下列填空：若，比较与的大小． 解： （依据： ） （依据： ） 19．已知实数，，． (1)若，，，求的取值范围． (2)若，，都是整数，且是偶数．求证：，，都是偶数． 20．先填空，再探究： (1)①如果，那么a________b； ②如果，那么a________b； ③如果，那么a________b； (2)由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来； (3)用（1）的方法，你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程． 21．根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2)． 22．五个不同的自然数分别是A、B、C、D、E，它们从小到大依次排列，它们的平均数是23，前四个数的平均数是21，后四个数的平均数是24，已知C是偶数，D是多少？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$