专题03 实数运算中的常见题型-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（湘教版2024）

专题03 实数运算中的常见题型 题型1：实数运算与乘法公式 题型2：实数运算与方程组 题型3：新定义下的实数运算 题型4：实数运算与规律探究 题型1：实数运算与乘法公式 已知，的值有（　　） A．1个 B．2个 C．大于2个但有限 D．无数个 【答案】B 【分析】先把已知等式的常数项移到等号右侧得①，然后求得②，再把①②相加，进行分解因式，再利用平方数的非负性进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴①， ∵②， 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知：的值有2个，为或2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解，差的立方公式，立方和公式，完全平方公式，实数的非负性，熟练掌握掌握公式，灵活分解因式，活用非负性是解题的关键． 一．填空题（共1小题） 1．若b为常数，且是完全平方式，那么 ． 二．解答题（共2小题） 2．小梦同学在学习整式的乘法这一章后，对其进行深入探究：若一个正整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“梦想数”．例如：因为，所以5是“梦想数”． (1)小梦同学发现13是“梦想数”，则． (2)请你再写两个小于30的“梦想数”（5和13除外）________、________． (3)已知（x，y，k是整数），要使M为“梦想数”，求k的值． 3．已知，求的值． 题型2：实数运算与方程组 阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论， . 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 【答案】(1)和的零点值分别为、； (2)． 【分析】（）令和，求出的值即可求解； （）根据零点值分、和三种情况解答即可求解； 本题考查了绝对值的性质，解绝对值方程，理解零点值的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：令和， 解得，， 和的零点值分别为、； （2）解：在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和， 当时， ； 当时， ；     当时， ； 综上，． 一．选择填空题（共2小题） 1．下列说法正确的有（      ） ①若与的值互为相反数，且，则；    ② 若是整数，关于的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③ 若关于x，y的二元一次方程组，不论a为何值，x，y满足关系式； ④已知关于的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，则的值为 ． 题型3：新定义下的实数运算 现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的运算，平方根的应用，理解新运算是关键；由规定的新运算得：，整理后用平方根的定义即可求解 【详解】解：∵， ∴， 即 解得：， 故选：C． 一．填空题（共2小题） 1．设，都是有理数，规定 ，则= ． 2．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为，满足，则称该四位数为“和百数”．例如：四位数，，是“和百数”；又如四位数，，不是“和百数”．若一个“和百数”为，则这个数为 ；若一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，则满足条件的数的最大值是 ． 二．解答题（共2小题） 3.三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：、、这三个数，，，其结果都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”．这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； 4．对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 题型4：实数运算与规律探究 将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：实数运算．根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得出最大的有理数所在的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数， 的被开方数是的被开方数3的30倍， ， 所以位于第六行第五个数，记为． 故最大的有理数位于第6行第2个数，记为． 故答案为：． 1． 选择填空题（共3小题） 1．观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．按顺序排列的一列数：，，，，是正整数，从第二个数开始，每一个数都等于与它前一个数的倒数之差，即：，，，则下列说法：当且且时，；若，则；代数式的值恒为负；若，则其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 3．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是 ．（用含的代数式表示） 4．已知，则 ． 2． 解答题（共3小题） 5．观察下列等式，并解答问题． ， ， ， ， …… (1)将2025写成相邻两数的平方差的形式：_____________． (2)用含有字母m（m为不小于0的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． (3)相邻的两个奇数的平方差一定是8的倍数吗？请说说你的理由． 6．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：______；… 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式； (2)请写出符合上述规律的第个等式，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 实数运算中的常见题型 题型1：实数运算与乘法公式 题型2：实数运算与方程组 题型3：新定义下的实数运算 题型4：实数运算与规律探究 题型1：实数运算与乘法公式 已知，的值有（　　） A．1个 B．2个 C．大于2个但有限 D．无数个 【答案】B 【分析】先把已知等式的常数项移到等号右侧得①，然后求得②，再把①②相加，进行分解因式，再利用平方数的非负性进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴①， ∵②， 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知：的值有2个，为或2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解，差的立方公式，立方和公式，完全平方公式，实数的非负性，熟练掌握掌握公式，灵活分解因式，活用非负性是解题的关键． 一．填空题（共1小题） 1．若b为常数，且是完全平方式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求完全平方式中字母的值，根据题意可确定两平方项为，进而根据完全平方式的特点得到，据此计算求解即可． 【详解】解：， ∵是完全平方式，b为常数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 二．解答题（共2小题） 2．小梦同学在学习整式的乘法这一章后，对其进行深入探究：若一个正整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“梦想数”．例如：因为，所以5是“梦想数”． (1)小梦同学发现13是“梦想数”，则． (2)请你再写两个小于30的“梦想数”（5和13除外）________、________． (3)已知（x，y，k是整数），要使M为“梦想数”，求k的值． 【答案】(1)2，3 (2)20，29（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，新定义等知识点， (1)根据“梦想数”的定义判断即可； (2)根据“梦想数”的定义判断即可； (3)要使M为“梦想数”，则M可以化为两个数的平方和的形式，据此可求k的值； 熟练掌握完全平方公式是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：2，3； （2）解：∵，， ∴20，29是符合条件的“梦想数”， 故答案为：20，29（答案不唯一）； （3）解： ， 是一个“梦想数”， 是一个完全平方式， ， ． 3．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据完全平方公式，得即，结合实数的非负性性质解答即可． 本题考查了完全平方公式的应用，非负性的应用，求代数式的值，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2：实数运算与方程组 阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论， . 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 【答案】(1)和的零点值分别为、； (2)． 【分析】（）令和，求出的值即可求解； （）根据零点值分、和三种情况解答即可求解； 本题考查了绝对值的性质，解绝对值方程，理解零点值的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：令和， 解得，， 和的零点值分别为、； （2）解：在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和， 当时， ； 当时， ；     当时， ； 综上，． 一．选择填空题（共2小题） 1．下列说法正确的有（      ） ①若与的值互为相反数，且，则；    ② 若是整数，关于的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为； ③ 若关于x，y的二元一次方程组，不论a为何值，x，y满足关系式； ④已知关于的方程组无论取何值，和的值都不可能互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查立方根，实数的性质，根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据立方根的定义，实数的性质，加减法解方程组，逐一进行判断即可． 【详解】解：若与的值互为相反数，且， 则：，解得：， ∴；故①错误； ∵，解得：， ∵是整数，均为整数， ∴， ∴， ∴满足条件的所有的值的和为；故②正确； ∵， ，得：；故③错误； ∵，解得：， 当互为相反数时，， 即：，此方程无解， 故无论取何值，和的值都不可能互为相反数．故④正确； 综上，正确的有2个； 故选B． 2．对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义，根据新运算法则列出方程组，再解方程组求出x、y的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 题型3：新定义下的实数运算 现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的运算，平方根的应用，理解新运算是关键；由规定的新运算得：，整理后用平方根的定义即可求解 【详解】解：∵， ∴， 即 解得：， 故选：C． 一．填空题（共2小题） 1．设，都是有理数，规定 ，则= ． 【答案】1 【分析】本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：1 2．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为，满足，则称该四位数为“和百数”．例如：四位数，，是“和百数”；又如四位数，，不是“和百数”．若一个“和百数”为，则这个数为 ；若一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，则满足条件的数的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的运算、一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据“和百数”的定义列出方程，解方程求出结果． 根据“和百数”的定义可列方程，解方程求出的值即可得到这个数； 首先根据是“和百数”，可得：，根据这个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，可知是整数，所以可知，因为和为从到之间的整数，所以可得当，时，，，此时时为满足条件的最大数． 【详解】解： 是“和百数”， 则， ， 解得，， 这个数为； 是“和百数”， 则，， ， ， 一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除， 是整数，即是整数， 各数位上的数字均不为， ， ， 当，时，，即， 和为从到之间的整数， 不成立， 当，时，，即， ，， 此时为满足条件的数的最大， 满足条件的数为， 故答案为：；． 二．解答题（共2小题） 3.三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：、、这三个数，，，其结果都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”．这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； 【答案】是；理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义运算、算术平方根，根据“完美组合数”的定义，结合算术平方根进行计算判断即可． 【详解】解：三个数是“完美组合数”，理由如下： 三个数都是负数， ， ， 结果4、6、12都是整数， 三个数是“完美组合数”． 4．对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 【答案】(1) (2)30 (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，无理数的估算，解题的关键是理解新定义，列出算式． （1）根据题干提供的信息列出算式进行计算即可； （2）根据x为的整数部分，得出，然后把代入列式求解即可； （3）先求出，，比小，得出m的取值范围，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， 又∵x为的整数部分， ∴， ∴ ． （3）解：∵， ， 又∵比小， ∴， ∴， ∴满足条件的m值可以是．（答案不唯一） 题型4：实数运算与规律探究 将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：实数运算．根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得出最大的有理数所在的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数， 的被开方数是的被开方数3的30倍， ， 所以位于第六行第五个数，记为． 故最大的有理数位于第6行第2个数，记为． 故答案为：． 1． 选择填空题（共3小题） 1．观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 2．按顺序排列的一列数：，，，，是正整数，从第二个数开始，每一个数都等于与它前一个数的倒数之差，即：，，，则下列说法：当且且时，；若，则；代数式的值恒为负；若，则其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的性质，实数运算的规律，实数的运算，根据题意逐项即可，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键． 【详解】设，则， ， ， ，，，可以发现每四个次循环， 则，故正确； 若，则可得，，，，，可见每四个次循环，从而 ， ，故正确； 由题意得，，，， 故， ∵对于任意实数都有， ∴为非正数，当时为，故错误； 由题意得：，， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上正确， 故选：． 3．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了实数的规律探究．根据题意推导规律是解题的关键．由题意知，每一个数都是连续正整数的算术平方根，且前行的数据个数为，则第（是整数，且）行从左向右数第个数为，整理作答即可． 【详解】解：由题意知，每一个数都是连续正整数的算术平方根， 前行的数据个数为， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数为， 故答案为：． 4．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算，得到即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 2． 解答题（共3小题） 5．观察下列等式，并解答问题． ， ， ， ， …… (1)将2025写成相邻两数的平方差的形式：_____________． (2)用含有字母m（m为不小于0的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． (3)相邻的两个奇数的平方差一定是8的倍数吗？请说说你的理由． 【答案】(1) (2) (3)是，理由见详解 【分析】该题考察了平方差公式的应用和实数运算规律以及整式混合运算的知识. （1）观察发现，每个奇数都可以表示为相邻两个整数的平方差，且较大的数为较小的数加1．奇数可以表示为：，则2025可以表示为． （2）根据观察到的规律，可知，然后验证即可． （3）相邻两个奇数的平方差可以表示为，利用平方差公式展开后得到 ．由于n为正整数，因此一定是8的倍数． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴， ∴ （2）解：由（1）可知， 方程右边为： ， 方程左边为：， ∴方程左边等于方程右边， ∴等式成立． （3）解：设两个相邻的奇数分别为：和， 相邻两个奇数的平方差可以表示为， ∴ ， ∴n为正整数， ∴一定是8的倍数． 6．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：______；… 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式； (2)请写出符合上述规律的第个等式，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根规律探究； （1）根据规律写出第4个等式，即可求解； （2）根据规律写出第个等式，进而根据算术平方根的意义，即可求解． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 故答案为：． （2），理由如下， ∵， ∴， 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$