专题14 圆锥曲线中的轨迹方程问题（4大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

专题14 平面中的轨迹方程问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 题型01 直接法 1 题型02 定义法 2 题型03 相关点法 4 题型04 交轨法 5 题型01 直接法 【解题规律·提分快招】 1、曲线方程的定义 一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系： ①曲线上的点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤 （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围． 上述五个步骤可简记为：建(建系)设(设点)现(限制条件)代(代点)化(化简)． 3、直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就可得到轨迹方程，且要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等） 【典例训练】 一、单选题 1．（2024·山东泰安·一模）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．圆 2．（24-25高三上·全国·课后作业）已知两定点，动点满足，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·全国·课后作业）已知是坐标原点，点满足，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高三上·吉林通化·期中）在中，，，，则点的轨迹方程为 ． 5．（24-25高三上·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 题型02 定义法 【解题规律·提分快招】 1、椭圆定义 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (0＜＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当0＜＜1时，该动点的轨迹为椭圆。 2、双曲线定义 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (＞1) ，则该动点的轨迹为双曲线，该常数为双曲线离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当＞1时，该动点的轨迹为双曲线。 3、抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线． 注意： (1)定直线l不经过定点F. (2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值. 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆沙坪坝·期末）点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·黑龙江·期中）已知圆和圆，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型03 相关点法 【解题规律·提分快招】 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程． 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·开学考试）在平面直角坐标系中，将圆上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，则得到的新曲线的曲线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建莆田·期末）在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ） A．+=1(y) B．+=1(y) C．+=1(y) D．+=1(y) 3．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 ． 5．（23-24高三上·山东烟台·阶段练习）已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ． 题型04 交轨法 【解题规律·提分快招】 求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程. 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三上·全国·专题练习）设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2024高三·全国·专题练习）已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为 ． 一、单选题 1．（24-25高三上·福建福州·期末）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之和是2，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知曲线，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为，且，则点N的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）当点在圆上运动时，它与定点相连，则线段PQ的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广西·模拟预测）已知，分别为轴、轴上的动点，若以线段为直径的圆过点，则线段的中点的轨迹方程为（   ）. A． B． C． D． 7．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知等腰底边两端点的坐标分别为，，则顶点A的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·贵州铜仁·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为圆 C．若，则点的轨迹为双曲线 D．若，则点的轨迹为一条线段 9．（24-25高三上·河北·期中）已知圆，点，点在圆上运动，线段的中垂线与交于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·辽宁·模拟预测）已知是椭圆的长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点与点关于轴对称，则直线与直线的交点所形成的轨迹为（    ） A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．两条互相垂直的直线 二、填空题 11．（24-25高三上·山西晋城·期中）已知平面内点，，平面内满足的动点的轨迹方程为 ．（化简成最简形式） 12．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为 ． 13．（24-25高三上·河北承德·期中）过曲线C上一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若，则曲线C的方程为 ． 14．（24-25高三上·黑龙江黑河·阶段练习）已知分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点，则动点的轨迹方程是 . 15．（24-25高三上·山西·期末）在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为 . 16．（23-24高三上·四川成都·期中）关于直线​，有下列说法: ①对任意​，直线​不过定点； ②平面内任给一点，总存在​，使得直线​经过该点； ③当​时，点​到直线​的距离最小值为​； ④对任意​，且有​，则直线​与​的交点轨迹为一直线. 其中正确的是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 平面中的轨迹方程问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 题型01 直接法 1 题型02 定义法 3 题型03 相关点法 7 题型04 交轨法 11 题型01 直接法 【解题规律·提分快招】 1、曲线方程的定义 一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系： ①曲线上的点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤 （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围． 上述五个步骤可简记为：建(建系)设(设点)现(限制条件)代(代点)化(化简)． 3、直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就可得到轨迹方程，且要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等） 【典例训练】 一、单选题 1．（2024·山东泰安·一模）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．圆 【答案】D 【分析】根据题意求出动点的轨迹方程即可判断. 【详解】设点，点， 则，. 由可得：，即. 所以点的轨迹为圆. 故选：D 2．（24-25高三上·全国·课后作业）已知两定点，动点满足，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点的斜率公式表示夹角正切，化简计算即可. 【详解】动点满足，则，其中， 化简可得． 故选：B． 3．（24-25高三上·全国·课后作业）已知是坐标原点，点满足，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点P坐标，利用平面向量的坐标表示消元化简即可. 【详解】设，，由题意可知， ， 所以，消去参数，得点的轨迹方程为． 故选：D． 二、填空题 4．（24-25高三上·吉林通化·期中）在中，，，，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点，分别表示与，化简即可. 【详解】设点， 则，， 则， 化简可得， 故答案为：. 5．（24-25高三上·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】先设点的坐标，再根据已知等式化简得出轨迹方程. 【详解】设，则， 又因为可得. 则点的轨迹方程为. 故答案为：. 题型02 定义法 【解题规律·提分快招】 1、椭圆定义 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (0＜＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当0＜＜1时，该动点的轨迹为椭圆。 2、双曲线定义 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (＞1) ，则该动点的轨迹为双曲线，该常数为双曲线离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当＞1时，该动点的轨迹为双曲线。 3、抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线． 注意： (1)定直线l不经过定点F. (2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值. 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆沙坪坝·期末）点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件和斜率公式列出等式化简可得. 【详解】 设，因为，所以， 由已知，，化简得， 故选：B． 2．（24-25高三上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得. 【详解】设点，则， 化简即得：. 即点的轨迹方程为：. 故选：B. 3．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D 4．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解. 【详解】设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是集合. 由此得，将上式两边平方并化简，得， 即. 所以动点的轨迹方程为. 故选：B. 5．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象利用双曲线的定义判断动圆圆心的轨迹，然后再求方程即可. 【详解】圆与圆外切，如图， ，即， ， 由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，， ． 故所求轨方程为：． 故选：C． 6．（24-25高三上·黑龙江·期中）已知圆和圆，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先通过半径判断出两圆关系为内含，然后根据结合椭圆的几何定义，判断出轨迹为椭圆得解. 【详解】圆和圆的圆心、半径分别为，，，， 由可知圆内含于圆， 设动圆半径为R，由题意可得，，两式相加可得， 故P点的轨迹是以，为焦点的椭圆，，， 所以，， 所以椭圆方程为， 故选：D. 题型03 相关点法 【解题规律·提分快招】 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程． 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·广东·开学考试）在平面直角坐标系中，将圆上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，则得到的新曲线的曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为上任意一点，通过变换后得，根据点在圆上代入化简即可. 【详解】设为上任意一点， 将点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩到原来的得到点， 则，所以， 因为，所以，所以新的曲线方程为． 故选：D． 2．（24-25高三上·福建莆田·期末）在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ） A．+=1(y) B．+=1(y) C．+=1(y) D．+=1(y) 【答案】A 【分析】设点，，则，因点在圆上 ，利用相关点法即可求得点M的轨迹方程. 【详解】    如图，设点，，则， 因点在圆上 ，则 （*）， 又因轴，且M是线段上的点，，则， 则得，即， 将其代入（*），即得是点M的轨迹方程. 故选：A. 3．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用三角形重心坐标公式可得，代入椭圆方程中化简即可. 【详解】由题意知、是椭圆的短轴的两个端点， 所以， 设， 由为的重心， 所以， 又为椭圆上一动点， 所以即， 所以有：， 又为的重心， 所以，即的轨迹方程为. 故选：B. 二、填空题 4．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点的坐标为，点，可得，根据点在圆上即可求出． 【详解】解：设点的坐标为，点，由题意可知， 则由题可得，即， 点在圆上运动， ， 即点的轨迹方程为． 故答案为： 5．（23-24高三上·山东烟台·阶段练习）已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ． 【答案】． 【分析】由角平分线的性质定理和向量的坐标运算、圆的方程，可得所求方程． 【详解】设，则， 设， 由为的角平分线， 可得， 即有， 可得,， 即，， 可得，， 则， 即为． 故答案为：． 题型04 交轨法 【解题规律·提分快招】 求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程. 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过设出交点的坐标，利用、、、的坐标关系以及已知条件来建立等式，从而求出的轨迹方程. 【详解】设，，. 因为，所以.   已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距），可得直线的方程：. 已知，，则直线的方程为.   因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程. 对于直线的方程，可得. 对于直线的方程，可得. 又因为，所以，即.   故选：D. 2．（2024高三上·全国·专题练习）设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设出和根据三点共线得到两组等式，左右两边相乘后利用点在椭圆上，代入消元即得点的轨迹方程. 【详解】 如图，设直线与的交点为，则 ∵共线，故①，又∵共线，故②. 由①，② 两式相乘得（*）, 因在椭圆上，则，可得：将其代入（*）式，即得：， 化简得：，即P的轨迹方程为. 故选：C. 二、填空题 3．（2024高三·全国·专题练习）已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为 ． 【答案】（）． 【分析】设，直线和的交点为，根据三点共线及三点共线，可得两个式子，两式相乘，再结合在椭圆上即可得出答案. 【详解】设， 因为椭圆的长轴端点为， 设直线和的交点为， 因为三点共线，所以，， 因为三点共线，所以， 两式相乘得，（）, 因为，所以，即， 所以，整理得（）， 所以直线和的交点的轨迹方程（）. 故答案为：（）. 一、单选题 1．（24-25高三上·福建福州·期末）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之和是2，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点坐标，根据斜率公式列方程，化简得轨迹方程，最后根据范围去掉部分点. 【详解】设，则， ，又因为， . 故选：D. 2．（2024高三·全国·专题练习）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线定义得到点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线，得到答案. 【详解】由题意得点到点与点的距离之差的绝对值为3，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线， 故， 所以， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 3．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点求斜率，即可列等量关系化简求解即可. 【详解】设动点， 由于，，根据直线与的斜率之积为． 整理得，化简得：． 故选：B 4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知曲线，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为，且，则点N的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量找到三点的关系，设所求点的坐标，由三点关系得到的坐标，然后代入曲线，得到点N的轨迹方程. 【详解】∵，∴三点共线，且 又∵轴， ∴设，则，， ∵点在上， ∴，即. 故选：B. 5．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）当点在圆上运动时，它与定点相连，则线段PQ的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出M点坐标，根据M是线段PQ中点可表示出P点坐标，再根据P在圆上可建立关于M横纵坐标的关系式，即可得出M轨迹方程. 【详解】如图所示， 设，因为M是线段PQ中点， 所以由中点坐标公式可得，，所以， 又因为P在圆上，所以， 于是可得M的轨迹方程为：， 故选：B. 6．（2024·广西·模拟预测）已知，分别为轴、轴上的动点，若以线段为直径的圆过点，则线段的中点的轨迹方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点坐标，根据中点坐标公式得到、两点的坐标，结合已知条件利用垂直关系，分直线斜率不存在，和直线斜率存在两种情况求解即可. 【详解】设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 由圆的性质可知， 当时，直线斜率不存在， 此时直线斜率为，所以，，， 当时，有，即， 整理得：， 经检验在直线上， 所以的轨迹方程为：. 故选：B. 7．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知等腰底边两端点的坐标分别为，，则顶点A的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得顶点A的轨迹是的垂直平分线（除去垂直平分线与线段的交点），利用斜率关系与点斜式方程可得． 【详解】，且三点不共线， 顶点A的轨迹是线段的垂直平分线（除去垂直平分线与线段的交点，即除去的中点）， ，， ，所以与直线BC垂直的直线的斜率为， 又BC的中点， 则线段的垂直平分线的方程为，即. 顶点A的轨迹方程是， 故选：D.    8．（24-25高三上·贵州铜仁·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为圆 C．若，则点的轨迹为双曲线 D．若，则点的轨迹为一条线段 【答案】B 【分析】令，结合椭圆、双曲线定义判断A、C；利用向量加减、模长的坐标运算列方程求轨迹判断B；应用两点距离公式列方程求轨迹判断D. 【详解】令，则： A：由，结合椭圆定义，显然轨迹不是椭圆，错； B：由，则， 所以，即点的轨迹为圆，对； C：由，根据双曲线定义，轨迹为双曲线的右支，错； D：由题设，整理得，即点的轨迹为一条直线，错. 故选：B 9．（24-25高三上·河北·期中）已知圆，点，点在圆上运动，线段的中垂线与交于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到，从而点的轨迹是以为焦点，且长轴长为，焦距为的椭圆，即可求解. 【详解】如图，易知，所以， 由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点，且长轴长为，焦距为的椭圆， 而焦点在上，长轴长为，焦距为的椭圆的标准方程为， 又点的轨迹的中心为，所以的轨迹方程为， 故选：C. 10．（2024·辽宁·模拟预测）已知是椭圆的长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点与点关于轴对称，则直线与直线的交点所形成的轨迹为（    ） A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．两条互相垂直的直线 【答案】A 【分析】由题意设出点，坐标，然后求出直线与直线的方程，根据直线方程的特点，两方程相乘，从而得到点的轨迹方程，进而得解. 【详解】   由于是椭圆的长轴上的两个顶点，所以， 设，则， 所以直线的方程为①，直线的方程为②， ①②得， 又因为在椭圆上，所以，即， 所以，即， 即直线与直线的交点在双曲线上. 故选：A. 二、填空题 11．（24-25高三上·山西晋城·期中）已知平面内点，，平面内满足的动点的轨迹方程为 ．（化简成最简形式） 【答案】 【分析】设坐标为，由题意得，化简得到答案. 【详解】设坐标为，由题意得， 变形为，两边平方得 ， 化简得， 两边平方得， 化简得. 故答案为： 12．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【详解】由椭圆的定义可知， 所以， 因此点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， 故它的轨迹方程为． 故答案为：. 13．（24-25高三上·河北承德·期中）过曲线C上一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若，则曲线C的方程为 ． 【答案】（且） 【分析】设及切线方程，由直线与圆相切得出关于斜率k的方程，由判别式得出，再由斜率关系计算即可. 【详解】设，则过点的切线方程为，即， 所以，得， 则，是此方程的两根，，， 即， 所以，得，又，所以， 即曲线的方程为（且）． 故答案为：（且）. 14．（24-25高三上·黑龙江黑河·阶段练习）已知分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点，则动点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】根据中点关系以及两点距离公式，即可化简求解. 【详解】设，，则，则在， 故，或， 根据， 故，进而可得， 即， 故答案为： 15．（24-25高三上·山西·期末）在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】将点，代入椭圆方程，两式相加，代入斜率的坐标公式可得，再代入中点的坐标公式化简即可求解. 【详解】因为点，在椭圆：上，所以， 两式相加可得，即， 又因为直线，的斜率之积为，所以，可得， 所以， 设中点为，则，， 所以，即， 即中点的轨迹方程为， 故答案为： 16．（23-24高三上·四川成都·期中）关于直线​，有下列说法: ①对任意​，直线​不过定点； ②平面内任给一点，总存在​，使得直线​经过该点； ③当​时，点​到直线​的距离最小值为​； ④对任意​，且有​，则直线​与​的交点轨迹为一直线. 其中正确的是 . 【答案】①③ 【分析】①变形为，可得到直线不过定点； ②可举出反例； ③利用点到直线距离公式和基本不等式进行求解； ④联立两直线方程，求出交点坐标，结合，得到交点轨迹方程. 【详解】①对任意，随着的变化，也随之变化，故直线不过定点，①正确； 平面内取点，则，即，无解，故②错误； 点到直线的距离，令， 则， 因此， 当且仅当，即时，等号成立，③正确； 联立直线与，得到， 故交点坐标为， 又因为， 所以交点坐标满足方程， 但当时，，不合题意，所以交点取不到， 所以交点轨迹为一直线的一部分，④错误. 故答案为：①③. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$