专题13 椭圆、双曲线中离心率的求法（8大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

专题13 椭圆、双曲线中离心率的求法 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 题型01 利用a、b、c的齐次式 1 题型02 利用勾股定理 2 题型03 利用正、余弦定理 3 题型04 利用相似和斜率乘积 4 题型05 利用双余弦定理 5 题型06 利用点差法 6 题型07 焦点弦定比分点和焦点三角形双角度 8 题型08 求离心率的范围 10 题型01 利用a、b、c的齐次式 【解题规律·提分快招】 只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式 两边分别除以a或a2转化为关于e的方程，解方程即可得e 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·北京延庆·期末）已知椭圆的左右焦点为，，上下顶点为，，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏·期末）在矩形ABCD中，，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东江门·期末）已知点分别是双曲线的左右焦点，以线段为边作等边三角形，线段的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 4．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，过点F且与长轴垂直的直线交C于A，B两点．若为直角三角形，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·贵州·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 6．（24-25高三上·云南·期中）已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 题型02 利用勾股定理 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·云南丽江·阶段练习）已知，分别为椭圆E：的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏扬州·期中）设椭圆（）的左焦点为，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的一个交点为（点在轴上方），且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 （   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·天津西青·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，分别是双曲线（a，）的左、右焦点，A为双曲线的右顶点，线段的垂直平分线交双曲线于点P，其中，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型03 利用正、余弦定理 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆 分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点，且 ，若 ，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·吉林四平·阶段练习）已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·天津南开·期末）已知双曲线的离心率为为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D． 4．（24-25高三上·浙江·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·贵州贵阳·二模）已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，左顶点为是上一点，为等腰三角形，且外接圆的周长为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）设椭圆的焦点为，是椭圆上的一点，且 ，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型04 利用相似和斜率乘积 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·吉林·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与圆相切于点N，交双曲线的右支于点M，且点N是线段的中点，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．5 2．（24-25高三上·内蒙古包头·期中）已知是椭圆的焦点，若椭圆上存在一点，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·山东泰安·期末）已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，是椭圆上关于原点对称的点，若直线交线段于 ，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）已知双曲线的左顶点为，点均在双曲线上且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知点P在双曲线上，点A与点B是C上关于原点O对称的两点，若直线PA与直线PB的斜率之积为，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型05 利用双余弦定理 【解题规律·提分快招】 圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质： 1.焦点四边形具有中心对称性质。 2.焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。 3.焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·湖北·期中）已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，线段与轴交于点，．过作，垂足为，线段交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D．2 4．（24-25高三上·四川泸州·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知为平行四边形的边的中点，以B，E为焦点的椭圆过点A，D，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型06 利用点差法 【解题规律·提分快招】 中点弦问题（点差法）秒杀公式 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似． 直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有． 两式相减得，所以． 中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得 ． 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·四川攀枝花·阶段练习）已知椭圆E： 的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广西钦州·阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 3．（24-25高三上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）已知两点在双曲线C：的右支上，点M与点N关于原点对称，交y轴于点T，若，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型07 焦点弦定比分点和焦点三角形双角度 【解题规律·提分快招】 一、椭圆 1、已知椭圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 2、以椭圆两焦点及椭圆上任一点(除长轴两端点外) 为顶点 , 则 3、点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 二、双曲线中 1、已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 2、以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率 3、点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 【典例训练】 一、单选题 1.已知、是双曲线的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为（ ） A. B. C. D.2 2.（23-24高三下·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的右焦点为F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为 A． B． C． D． 4．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则 A．1 B． C． D．2 5.（23-24高三下·山西长治·模拟）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6.设、是椭圆的左、右焦点，过且斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，，则椭圆C的离心率为_______. 题型08 求离心率的范围 【典例训练】 一、单选题 1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·浙江台州·期中）椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知的三个顶点都在椭圆：（）上，其中为左顶点，为上顶点，若以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线的焦点在圆上，且圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，当取最大值时，的离心率的取值范围为(    ) A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）双曲线的右顶点为在轴上，若上存在一点（异于点）使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，若，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·江苏常州·期中）设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线交的右支于点，且，则的离心率等于（   ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点为在第一象限上的一点.若为等腰三角形，且，则的离心率为（    ） A．或 B．2或 C．2或 D．或 3．（2024·全国·模拟预测）设椭圆和双曲线的离心率分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，其左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于，两点，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于，两点，若为钝角三角形，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 9．（23-24高三上·浙江宁波·期末）过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别，.A是C上的一点（在第一象限），直线与y 轴的负半轴交于点B，若，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·天津南开·期末）过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于，两点，且，，是坐标原点，则该双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D．3 12．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知双曲线的焦点为，以为直径的圆与双曲线的一个交点为，且有，则双曲线的离心率（   ） A． B． C．2 D． 13．（2024·山西晋中·三模）已知双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线与的两条渐近线分别交于点，且分别位于第二、三象限，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，为所在平面内一点，线段分别与交于两点，若为中点，为靠近端的四等分点，则的离心率的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 15．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 17．（2024·陕西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线：，椭圆与抛物线相交于不同的两点，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于点A，B，弦AB的中点为M且.若过原点O与点M的直线的斜率不小于，则双曲线E的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 19．（24-25高三上·四川绵阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是 . 20．（2025·吉林·二模）已知椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称.若直线，的斜率之积为，则椭圆C的离心率为 . 21．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，则的离心率为 . 22．（2024高三·全国·专题练习）过点作斜率为的直线与椭圆（）相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于 ． 23．（2024·四川成都·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于 . 24.已知、是双曲线的左、右焦点，过且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若是正三角形，则双曲线C的离心率为_______. 25．（24-25高三下·江西九江·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与曲线C的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为 ． 26．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为是线段的中点，若，则的离心率为 ． 27．（24-25高三上·上海·课后作业）若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为 ． 28．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）过双曲线的上焦点，作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的上､下两支分别交于，若，则双曲线的离心率 . 29．（2024·重庆·三模）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上存在不在轴上的两点A，B满足，且，则椭圆离心率的取值范围为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 椭圆、双曲线中离心率的求法 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 题型01 利用a、b、c的齐次式 1 题型02 利用勾股定理 4 题型03 利用正、余弦定理 8 题型04 利用相似和斜率乘积 14 题型05 利用双余弦定理 18 题型06 利用点差法 24 题型07 焦点弦定比分点和焦点三角形双角度 29 题型08 求离心率的范围 34 题型01 利用a、b、c的齐次式 【解题规律·提分快招】 只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式 两边分别除以a或a2转化为关于e的方程，解方程即可得e 【典例训练】 选填13素材01 一、单选题 1．（24-25高三上·北京延庆·期末）已知椭圆的左右焦点为，，上下顶点为，，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】根据为等腰直角三角形，故, 故 ， 故选：B 2．（24-25高三上·江苏·期末）在矩形ABCD中，，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，根据勾股定理求出，利用椭圆的定义即可求离心率. 【详解】由题知：，则， 因为点C在椭圆上，所以由椭圆的定义知：，即， 所以. 故选：A. 3．（24-25高三上·广东江门·期末）已知点分别是双曲线的左右焦点，以线段为边作等边三角形，线段的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义可得的关系，从而可得离心率. 【详解】由题设有，其中为半焦距，则 设的中点为，则，且，， 故，故， 故选：D. 4．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，过点F且与长轴垂直的直线交C于A，B两点．若为直角三角形，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得两点坐标，结合已知可得，求解即可. 【详解】由椭圆方程可得， 将代入椭圆方程可求得，所以. 因为为直角三角形，所以，则， 即，又，解得． 故选：D. 5．（24-25高三下·贵州·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用，得出，即渐近线倾斜角为，即，即可得到离心率. 【详解】因为,， 所以， 所以，. 故选：D 6．（24-25高三上·云南·期中）已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据的斜率得到，，，结合椭圆定义得到，，由勾股定理列出方程，求出离心率. 【详解】 因为经过左焦点，且斜率为，故， 为三角形内角，所以，所以，则， 设，则， 由椭圆的定义可知：，即，解得：， 所以，， 由勾股定理得：， 故， 解得：，故椭圆离心率. 故选：B 题型02 利用勾股定理 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·云南丽江·阶段练习）已知，分别为椭圆E：的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，建立方程求出离心率. 【详解】由椭圆定义得，而，则， 又，，于是，解得， 所以椭圆的离心率为， 故选：A 2．（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据推断出，进而根据勾股定理可知，把进而整理关于a和c的方程求得即离心率e的值. 【详解】   ，， ，即， 整理得，即， 等号两边同时除以得，即，求得， ，， 故选：B. 3．（24-25高三上·江苏扬州·期中）设椭圆（）的左焦点为，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的一个交点为（点在轴上方），且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可知，结合椭圆定义及斜率与倾斜角的关系可得，，结合勾股定理可得离心率. 【详解】    设椭圆右焦点为，连接，， 由，则为直角三角形，， 由已知直线的斜率为， 则，即， 又，则，， 在中由勾股定理得， 即， 整理可得离心率， 故选：C. 4．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆方程求出，再在焦点中，由椭圆和双曲线的定义及勾股定理得，即可求出的离心率． 【详解】双曲线：，可得，所以， 解得，所以，，， ，， 在中，， ，即， ，. 故选：C. 5．（24-25高三上·天津西青·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义求得（用表示），再由勾股定理求得关系得离心率． 【详解】因为，设，， 又，所以， 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 再由得，即，所以离心率为， 故选：A．    6．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，分别是双曲线（a，）的左、右焦点，A为双曲线的右顶点，线段的垂直平分线交双曲线于点P，其中，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，结合勾股定理、离心率的定义进行求解即可. 【详解】如图，设线段的垂直平分线与x轴的交点为B，不妨设P在第一象限， 则， ， 再由勾股定理得：， 所以，等式两边同除以整理可得 得或舍去 故选：C 题型03 利用正、余弦定理 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆 分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点，且 ，若 ，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，后由题及余弦定理可得，即可得答案. 【详解】设,则，因，由余弦定理： ， 则，，则. 故选：D 2．（24-25高三上·吉林四平·阶段练习）已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】取椭圆的另一个焦点为,连接， 则， 由可得， 故， 故由余弦定理可得， 化简可得，故， 故选：A 3．（24-25高三上·天津南开·期末）已知双曲线的离心率为为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用余弦定理可得，从而得解. 【详解】根据题意，，由， 则，． 由余弦定理可得， ， 所以， 所以． 故选：A 4．（24-25高三上·浙江·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点在轴上方，可得其不符合题意，舍去，若点在轴下方，则有，再结合正弦定理及离心率定义计算即可得解. 【详解】由椭圆焦距为，故，故直线经过点， 若点在轴上方，有，即， 又，则， 此时，不符，故舍去； 若点在轴下方，有，即， 又，则， 则， 故 . 故选：C. 5．（2024·贵州贵阳·二模）已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，左顶点为是上一点，为等腰三角形，且外接圆的周长为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为等腰三角形利用正弦定理可求得，再由二倍角公式可得点坐标为，代入双曲线方程整理可得，可得结果. 【详解】不妨设在第二象限，则在等腰中，，如下图所示： 设，则为锐角． 外接圆周长为， 则其半径为，由正弦定理可得， 因此， 设点坐标为，则， 即点坐标为， 由点在双曲线上，得， 整理得， 所以离心率， 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理和外接圆半径求得点坐标为，再代入双曲线方程得出的关系式，求得双曲线得离心率即可. 6．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）设椭圆的焦点为，是椭圆上的一点，且 ，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，再根据余弦定理和三角形的面积公式可得，根据，可求椭圆的离心率. 【详解】如图： 设，，则① 在中，，由余弦定理可得：， 即② 得：. 所以. 又. 又. 因为. 所以. 又，所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：（1）在选择填空题中，涉及圆锥曲线焦点三角形的问题，首先要考虑圆锥曲线定义的应用，其次要考虑正弦、余弦定理的应用. （2）求圆锥曲线的离心率，通常是构造关于的齐次式求解. 题型04 利用相似和斜率乘积 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·吉林·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与圆相切于点N，交双曲线的右支于点M，且点N是线段的中点，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据题意，连接，，由双曲线的定义和中位线的性质分析可得，，进而可得， 变形可得，由此可得，由双曲线的离心率公式计算可得答案． 【详解】根据题意，如图，连接，， 因过点的直线与圆相切于点N，则， 又由，，则， 因点分别为线段和的中点，则， ，， 由双曲线的定义，，即，变形可得， 则， 故该双曲线的离心率 故选：C. 2．（24-25高三上·内蒙古包头·期中）已知是椭圆的焦点，若椭圆上存在一点，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，由题意可得，，连接，可得，由椭圆的定义求得，最后借助于，推得，即可求得离心率. 【详解】 如图，点分别是椭圆的左、右焦点，与以椭圆的短轴为直径的圆相切于点， 则，，连接， 因，则，且， 又点为椭圆上的一点，则有，故， 在中，，即， 将代入化简得：，解得， 则. 故选：A. 3．（23-24高三上·山东泰安·期末）已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，是椭圆上关于原点对称的点，若直线交线段于 ，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，取取椭圆的右焦点为,连接，证得，由，结合条件建立方程求解即得. 【详解】    如图，取椭圆的右焦点为,连接, 因是椭圆上关于原点对称的点，且,可得, 即有,又,则有， 即，解得，故. 故选：B. 4．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）已知双曲线的左顶点为，点均在双曲线上且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设出坐标后结合题意表示出斜率之积，计算可得，由即可得离心率. 【详解】 设，则，， 则， 由在双曲线上，故， 即有，故， 即有，即， 故. 故选：A. 5．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知点P在双曲线上，点A与点B是C上关于原点O对称的两点，若直线PA与直线PB的斜率之积为，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用斜率的两点式及点差法求得，结合已知及离心率公式求结果. 【详解】令，则，， 所以， 而、，则，即， 所以，则离心率为. 故选：A 6．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆，过原点斜率不为0的直线交E于A，B两点，过A作x轴的垂线，垂足为M，直线交椭圆E于另一点D，记直线，的斜率分别为，，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率的坐标表示，结合椭圆的性质，可求得，再求得，进而可得即可求离心率. 【详解】 设，则， 所以， 又， 所以， 又点在上，所以， 所以， 即，由， 故选:D． 题型05 利用双余弦定理 【解题规律·提分快招】 圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质： 1.焦点四边形具有中心对称性质。 2.焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。 3.焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解 【典例训练】 选填13素材05 一、单选题 1．（24-25高三上·湖北·期中）已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和椭圆的定义可得和的各边边长，再结合余弦定理列方程，求解即可. 【详解】如图所示：    由题意得，又，则， 因为，，则，，故， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，化简得，即，解得. 故选：A. 2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，，，利用余弦定理列式求解即可. 【详解】 由题意可知：，，且， 在中，由余弦定理可得 ， 在中，由余弦定理可得 ， 则，化简得， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 3．（2024高三·全国·专题练习）设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，线段与轴交于点，．过作，垂足为，线段交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】根据已知得出为的重心，再结合双曲线的定义得出，，求出，最后由余弦定理得出齐次式计算出离心率即可. 【详解】如图，设，． 因为为线段的中点，， 所以为的重心，所以为线段的中点． 又，所以． 由双曲线的定义可知，，所以． 因为，所以，． 在中，． 在中，由余弦定理的推论，得． 整理得，所以， 解得或（舍去）． 故选：A． 4．（24-25高三上·四川泸州·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用椭圆的定义求出各边长，利用余弦定理得到方程，即可求出离心率. 【详解】 由，可得在同一条直线上， 设，则， 由椭圆的定义， 则 因为，则即，解得， 所以 在中，， 在中，， 则，化简得，即,解得：. 故选：B. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知为平行四边形的边的中点，以B，E为焦点的椭圆过点A，D，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算以及数量积运算律可得，连接并利用椭圆的定义求，再由余弦定理求，易知，建立方程求间的关系，进而可得椭圆的离心率 【详解】如下图所示：    因为为平行四边形的边的中点， 所以 ， 所以，所以． 连接，由椭圆的定义可知，； 设，则，故， 在中，． 在中，． 在平行四边形中，，所以， 所以，则，整理得， 所以椭圆的离心率为， 故选：D． 【点睛】方法点睛：处理本题中向量数量积问题时还可以利用平面向量中的极化恒等式：或．其几何意义为向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”的平方差的． 题型06 利用点差法 【解题规律·提分快招】 中点弦问题（点差法）秒杀公式 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似． 直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有． 两式相减得，所以． 中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得 ． 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·四川攀枝花·阶段练习）已知椭圆E： 的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法列方程，解方程求得的值，进而求得离心率. 【详解】设代入椭圆方程得  , 两式相减并化简得，即， 解得;， 故离心率为. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查椭圆中点弦有关的问题，考查点差法，考查椭圆离心率的求法，属于中档题. 2．（24-25高三上·广西钦州·阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】设，应用点差法，结合为线段中点及、列方程求得，进而求离心率. 【详解】由题意，设，则， 两式相减得，而， ， 所以. 故选：B. 3．（24-25高三上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 4．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，由点差法求解离心率即可. 【详解】设，则， 则，两式相减可得， ，即， 即，，故. 故选：B 5．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，联立求得椭圆的离心率，再结合条件，即可求解. 【详解】设，，的中点为点， ，两式相减得， 化解得，即，得， 所以， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以，则，平方后得， ，即， 解得：或， 由条件，得，即，得， 所以.    故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查了求离心率的方法，①可以直接求出求出离心率，②由条件构造关于的齐次方程，即可求解离心率. 6．（23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）已知两点在双曲线C：的右支上，点M与点N关于原点对称，交y轴于点T，若，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设O为的中点，设，，利用点差的方法表示出，结合题意继而表示出，推出，根据即可求得的关系，从而可求双曲线离心率. 【详解】如图，不妨设M在第一象限，设Q为的中点， 因为O为的中点，故, 设，， 在双曲线上，则，两式相减可得， 即，而,故， 即； 又因为，则，故，即, 即，即，所以， 又，则， 即，故， 所以，而,故， 故，则双曲线C的离心率为， 根据双曲线的对称性可知，当M在第四象限时，同理可求得， 当M在双曲线的顶点时，由于，此时与双曲线相切，不合题意， 故双曲线C的离心率为 故选：C 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，实际上就是求之间的关系，因而本题解答的方法是利用“点差”的方法，表示出，继而利用条件再表示出，从而求得，由此由可得之间的关系，即可求得答案. 题型07 焦点弦定比分点和焦点三角形双角度 【解题规律·提分快招】 一、椭圆 1、已知椭圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 2、以椭圆两焦点及椭圆上任一点(除长轴两端点外) 为顶点 , 则 3、点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 二、双曲线中 1、已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 2、以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率 3、点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 【典例训练】 双角度 一、单选题 1.已知、是双曲线的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为（ ） A. B. C. D.2 【答案】A 【解析】解法1：如图，不妨设，， 则，所以. 解法2： . 2.（23-24高三下·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用双曲线定义结合正弦定理把离心率转化为角的正弦，再根据两角和差和辅助角公式化简， 根据已知角范围求解即可. 【详解】在中， 由． 因为，所以， 所以，所以．故选:A. 3．已知双曲线的右焦点为F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过A，B分别作右准线的垂直AM，AN，垂足分别为M,N,再过B作BH垂直AM垂足为H，设|BF|=x,则|AF|=4x,根据双曲线的第二定义可知 |AM|=4ex,|BN|=ex,|AH|=|AM|-|BN|=3ex,由于直线l的倾斜角为,所以 ，所以 . 4．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则 A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得 设坐标分别为，则 因为，所以，从而有 ① 再由可得，根据椭圆第二定义可得，即 ② 由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B 5.（23-24高三下·山西长治·模拟）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义，结合角的值，化简得出离心率即可. 【详解】根据题意，得出，在中由正弦定理得：, 由椭圆定义可得，， 椭圆离心率为， .故选：D. 二、填空题 6.设、是椭圆的左、右焦点，过且斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，，则椭圆C的离心率为_______. 【答案】 【解析】解法l：如图，直线的斜率为， 又，所以，， 不妨设，则，， 所以椭圆C的离心率. 解法2：如图，直线的斜率为， 又，所以，， 故椭圆C的离心率. 题型08 求离心率的范围 【典例训练】 一、单选题 1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量关系结合椭圆的对称性， 找到当分别位于的左、右顶点时，有最大值，求出离心率的取值范围. 【详解】如图，延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，得，， 当分别位于的左、右顶点时，有最大值， 又因为不重合，所以，即， 解得， 所以的离心率的取值范围为． 故选：C． 2．（23-24高三上·浙江台州·期中）椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆与轴正半轴的交点为，椭圆上存在点，使得，则需，再结合椭圆的性质，即可求解. 【详解】设椭圆的上顶点为，连接、，如图所示： 则，， 椭圆上存在点，使得，则需， 则，显然，所以， 所以，所以，又， 所以，即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 3．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】根据椭圆定义可得，又，故， 因此，故，故， 故选：D 4．（23-24高三下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为，根据，得到四边形为为矩形，再由，结合椭圆的定义得到，然后由求解. 【详解】设椭圆的左焦点为， 因为，所以四边形为为矩形，所以， 因为， 所以，，则， 由椭圆的定义得， 所以， 因为，所以， 所以， 其中 ， 所以， 所以. 故选：A 5．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知的三个顶点都在椭圆：（）上，其中为左顶点，为上顶点，若以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知只需椭圆与圆有四个公共点，求出的关系得离心率的取值范围 【详解】由题意知的第三个顶点在以为圆心，以为半径的圆上，要使以为顶角的等腰三角形恰好有3个，则需要满足椭圆与圆有四个公共点， 由 得， 所以或， 当时，椭圆与圆有两个交点，分别为左右顶点，当位于右顶点处满足条件； 当时，要满足椭圆与圆有两个不同交点，需要， 即，即，解得，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：要满足条件的三角形有3个，关键是将条件转化为椭圆与圆有四个公共点解决. 6．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线的焦点在圆上，且圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件可求得和，从而可求离心率的取值范围. 【详解】由题可得：，则， 由直线与圆有公共点，则点到直线的距离， 所以，由离心率． 故选：B． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，当取最大值时，的离心率的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用双曲线的定义求出代入所求，利用基本不等式计算可得. 【详解】由双曲线的定义可知，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 又，解得，所以，即离心率的取值范围为. 故选：A. 8．（2024高三·全国·专题练习）双曲线的右顶点为在轴上，若上存在一点（异于点）使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出未知点的坐标，根据圆的性质可得轨迹方程，联立方程解得坐标，由题意建立不等式，结合离心率的定义，可得答案. 【详解】设，因为， 则点的轨迹方程为以为直径的圆， 又中点为，， 所以点的轨迹方程为． 联立，得， 分解因式可得， 解得（舍去），，由题意知点在双曲线的右支上，即， 故，化简得，因为，所以. 故选：D． 9．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，若，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合双曲线的定义和题干得，根据的最小值为得，分类讨论求解离心率范围即可. 【详解】由题意，不妨设点在的右支上， 由双曲线的定义可得，即， 由，可得，即， 又由的最小值为（当点为双曲线右顶点时取得最小值）， 可得，即． 当，即时，显然成立； 当，即时，，可得． 综上可知，双曲线的离心率的取值范围为． 故选：B 10．（24-25高三上·江苏常州·期中）设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【详解】如图所示： 设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即， 则，故， 所以， 所以椭圆离心率的取值范围是， 故选：A 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于的齐次不等式，从而得解. 一、单选题 1．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线交的右支于点，且，则的离心率等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设，由双曲线的定义，向量垂直，斜率的意义列方程组求解即可； 【详解】设， 因为过且斜率为的直线交的右支于点，且，所以， 所以，解得， 所以的离心率. 故选：D. 2．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点为在第一象限上的一点.若为等腰三角形，且，则的离心率为（    ） A．或 B．2或 C．2或 D．或 【答案】B 【分析】由条件分和两类情况，结合余弦定理求解即可. 【详解】在第一象限，，又为等腰三角形， 当时，， 又，则； 当时，， 又， 解得或（舍去），则； 故的离心率为或2. 故选：B 3．（2024·全国·模拟预测）设椭圆和双曲线的离心率分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆与双曲线的性质得到离心率的表达式，再根据得到的范围 ，代入中即可求解. 【详解】由题意可得． 因为，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：B． 4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得、，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得与的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】 由题意，， ， ， 由正弦定理得，又， 所以，，又， 可得，所以椭圆的离心率. 故选：B. 5．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，其左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于，两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离心率为2得，根据双曲线的定义有，又得，从而可求出，根据余弦定理即可求出. 【详解】依题意有.， 而，，， ，，又等腰， ，. 故选:A. 6．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于，两点，若为钝角三角形，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，得到，转化为，进而求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于两点， 可得，即， 因为为钝角三角形，则，可得，即，即， 又因为，可得，即， 即，且，解得， 即椭圆的离心率的取值范围为. 故选：A. 7．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用中位线性质得到是的直角三角形，在焦点三角形中利用双曲线定义即可建立的关系，从而求得离心率． 【详解】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接， 因为为正三角形，，所以为的中点，所以， 故，易知，所以， 由双曲线的定义知，即，得. 故选：D. 8．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线定义结合题目条件得到，，由直线的倾斜角和余弦定理得到，从而求出离心率. 【详解】因为，所以由双曲线的定义得，， 又，所以， 因为直线的倾斜角为，所以． 由余弦定理得，， 即，化简得，则， 解得或（舍去）． 故选：D． 9．（23-24高三上·浙江宁波·期末）过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入双曲线方程作差，结合，利用斜率公式列式可得，即可求解离心率. 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故选：C. 10．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别，.A是C上的一点（在第一象限），直线与y 轴的负半轴交于点B，若，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，设，根据双曲线的定义和勾股定理的应用可得，，，结合余弦定理计算可得的方程，解之即可求解. 【详解】设，如图所示： 由题意可得，，； 又，由可得 即，解得； 所以，，； 在中， 在中，， 又由，有，解得，故. 故选：D. 11．（24-25高三上·天津南开·期末）过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于，两点，且，，是坐标原点，则该双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据向量关系得出渐近线的倾斜角，再根据渐近线斜率以及的关系进而得出离心率. 【详解】由双曲线方程可得渐近线方程为， 又因为，，可知为线段的中点，且， 因此，可知为等腰三角形，即， 连接，如下图所示： 由双曲线性质可得， 所以， 可得，即， 所以. 故选：A 12．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知双曲线的焦点为，以为直径的圆与双曲线的一个交点为，且有，则双曲线的离心率（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】不妨设点在第一象限，由，根据双曲线的定义可得、，结合勾股定理和离心率的定义计算即可求解. 【详解】 不妨设点在第一象限，如图所示，，， 由，得，所以， 得，故，又， 即，得， 由，得，即双曲线的离心率为. 故选：D. 13．（2024·山西晋中·三模）已知双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线与的两条渐近线分别交于点，且分别位于第二、三象限，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，令，中，由正弦定理解得，可求双曲线离心率. 【详解】设O为坐标原点，由，得，又两渐近线关于轴对称，所以 直线斜率为，则， 令，则， 中，由正弦定理得， 即，解得，故， 所以的离心率 故选：B 14．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，为所在平面内一点，线段分别与交于两点，若为中点，为靠近端的四等分点，则的离心率的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在椭圆上设坐标，结合平面向量的线性关系与坐标运算即可得坐标关系，利用椭圆上的点的坐标范围列不等式即可得求得的离心率的取值范围 【详解】设：， 则，所以， 又在上，则，故， 同理：设，由，， 因为在上，则，故①， 联立①式与的方程得：， 由于在上，则，解得：，即：. 故选：C. 15．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长，再根据不等式整理可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，所以， 因为，所以，可得， 即，可得， 所以，所以， 又，所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选：B 16．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的倾斜角为，根据可得，利用同角三角函数的基本关系可求出直线的斜率. 【详解】 由题意得，， ∴椭圆的离心率为. 设直线的倾斜角为，根据焦比定理得， 由得，∴， ∵，∴， ∴，， ∴，即直线的斜率为. 故选：D. 17．（2024·陕西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线：，椭圆与抛物线相交于不同的两点，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形的外接圆就是的外接圆，再利用正弦定理求得，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到的取值范围，从而得到关于的齐次不等式，解之即可得解. 【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点关于轴对称， 四边形是等腰梯形，易知四边形的外接圆就是的外接圆， 设四边形的外接圆半径为. 在中，由正弦定理，知， 记椭圆的上顶点为，坐标原点为， 易知，又，则，， ，即为锐角， ， 又 又，，则， 所以，则，即， 则椭圆的离心率的取值范围是， 故选：A. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）． 18．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线l与双曲线E的左、右两支分别交于点A，B，弦AB的中点为M且.若过原点O与点M的直线的斜率不小于，则双曲线E的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：连接，，结合双曲线的定义，再由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果；方法二：连接，，可得，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，表示出，列出不等式，即可得到结果. 【详解】 方法一：如图，设双曲线E的半焦距为c，连接，，因为， 所以.设， 由双曲线的定义，得，， 所以，，， 所以，即. 设，则， 所以，解得. 又，所以， 解得，所以，即，所以. 故选：B. 方法二：如图，设双曲线E的半焦距为c，连接，，因为，所以. 设，由双曲线的定义，得，，所以. 设直线l的方程为，，. 由，消去x并整理，得. ， 因为直线l与双曲线E的两支相交，所以，即. 由，得.结合，化简得①. 由，两式相减，得，即②， ②代入①化简，得， 所以，即，所以. 故选：B. 二、填空题 19．（24-25高三上·四川绵阳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是 . 【答案】 【分析】根据题意可得，结合椭圆定义运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 又因为，即，可得， 所以该椭圆的离心率是. 故答案为：. 20．（2025·吉林·二模）已知椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称.若直线，的斜率之积为，则椭圆C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据轨迹的求法，确定椭圆方程，可求其离心率. 【详解】由题意：，设（），则. 由直线，的斜率之积为，可得. 所以，，，所以. 故答案为： 21．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，则的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意根据圆的性质得到圆心A到渐近线的距离，再利用点到直线的距离公式可得的关系，利用离心率公式求解即可． 【详解】双曲线：的右顶点为，一条渐近线，即， ∵圆的半径为，且， ∴， ∴到渐近线的距离为， 又到渐近线的距离， ∴，则，则的离心率为． 故答案为：． 22．（2024高三·全国·专题练习）过点作斜率为的直线与椭圆（）相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于 ． 【答案】/ 【分析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可得到的关系，进而求出椭圆的离心率． 【详解】设，，则 ∴， ∴． ∵，，， ∴，∴． 又∵，∴， ∴，∴．即椭圆C的离心率． 故答案为： 23．（2024·四川成都·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于 . 【答案】 【分析】由题意可知，，，从而得，结合椭圆的定义及离心率公式求解即可. 【详解】解：由题意可知，，， 从而，    所以， 所以. 故答案为： 24.已知、是双曲线的左、右焦点，过且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若是正三角形，则双曲线C的离心率为_______. 【答案】 【解析】解法1：如图，是正三角形，不妨设，则，， 离心率. 解法2：如图，是正三角形，，， 所以双曲线C的离心率. 25．（24-25高三下·江西九江·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与曲线C的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】设，表示其他边长，利用双曲线定义可得，在和中分别利用余弦定理可得的关系，即可求出双曲线的离心率. 【详解】 如图，设，则， 由双曲线定义得，，， ∴，故. 在中，， 在中，， ∵， ∴，故，即， ∴曲线C的离心率． 故答案为：. 26．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为是线段的中点，若，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为，与两渐近线方程联立求得交点的坐标，进而求得中点的坐标，结合已知可求得，进而可求的离心率. 【详解】设直线的方程为， 双曲线的渐近线方程为， 由，解得，所以， 由，解得，所以， 可得线段的中点的坐标为，所以， 又，，所以，所以 所以的离心率为. 故答案为：. 27．（24-25高三上·上海·课后作业）若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】先假设出直线方程，再代入双曲线方程，利用韦达定理得，，再结合有，联立解得的值，从而得解． 【详解】因为双曲线：，所以， 设直线方程为，代入双曲线方程消去得． 设， 因为，且， 所以，． 因为，所以， 所以，， 两式联立解得（负值舍去）． 故答案为：. 28．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）过双曲线的上焦点，作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的上､下两支分别交于，若，则双曲线的离心率 . 【答案】 【分析】设双曲线右焦点为，，，由题意结合双曲线定义可依次求出、、、、和，接着分别在、和中结合余弦定理求出，进而建立等量关系式求出，从而求得，进而由离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线右焦点为，由题，双曲线的一条渐近线方程为即， 过该渐近线作垂线，则由题，， 设，则由题，，， 所以，， 所以在中，①， 在中，②， 在中，③， 由①②得，化简解得， 由①③得，化简解得， 所以， 故双曲线的离心率. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：依据题意设双曲线右焦点为，，则结合双曲线定义可得、和的边长均是已知的，接着结合余弦定理均可求出三个三角形的公共角的余弦值，从而可建立等量关系式依次求出和，进而由离心率公式得解. 29．（2024·重庆·三模）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上存在不在轴上的两点A，B满足，且，则椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】由判断出四边形为平行四边形，由正弦定理，利用可得答案. 【详解】由知，为AB中点，四边形为平行四边形， 由与可知， 在中由正弦定理知，， 在中，有，又因为， 可得，，由，得， 故离心率的取值范围为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$