第十六章 二次根式（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第十六章 二次根式（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列二次根式有意义的范围为 的是（　　） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如果与的和等于，那么的值是（　　） A． B． C． D． 5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（　　） A．2a＋b B．－2a＋b C．b D．2a－b 6．若 =10，则x的值等于（　　） A．4 B．±2 C．2 D．±4 7．下列等式从左到右的变形过程正确的是（　　） A． B． C． D． 8． 若，，则a与b的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 9．已知 ， 则代数式 的值是（　　） A．2 B．0 C．4 D．1 10．已知x为实数，化简 的结果为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．已知是整数，则正整数n的最小值是　 　. 12． 若与最简二次根式可以合并，则　 　． 13．已知，，求的值是　 　. 14．对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则　 　 ． 15．如图，将，按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是　 　． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（9分）当分别取下列值时，求二次根式的值． （1）． （2）． （3）． 17．（8分） 在进行二次根式的化简和计算时，我们通常可以借助平方差公式对二次根式进行化简．例如． （1）分别化简、和； （2）已知实数、满足，求的值． 18．（8分）先化简，再求值：，其中. 19．（8分）数学课上，老师布置一道计算题：，小红的解答过程如下： 解：原式 请判断她的解答是否正确？若是错误的，请你写出正确的解答过程． 20．（9分）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： 解：∵， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题， （1）化简：． （2）若，求的值， 21．（9分）阅读理解题，下面我们观察： 反之，所以， 所以． 完成下列各题： （1）在实数范围内因式分解：； （2）化简：； （3）化简：． 22．（12分）阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解：，，又，，当时取等号． 的最小值为． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，当且仅当　 　 时，有最小值为　 　 ． （2）当时，求的最小值． （3）请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙墙足够长，另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 23．（12分）阅读下面解题过程． 例：化简． 解： 请回答下列问题． （1）归纳：请直接写出下列各式的结果： ①＝　 　； ②＝　 　． （2）应用：化简 （3）拓展：　 　．（用含n的式子表示，n为正整数） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列二次根式有意义的范围为 的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件 【解析】【解答】解：A、x﹣4≥0，x≥4，A不符合题意； B、x﹣4＞0，x＞4，B不符合题意； C、x+4＞0，x＞﹣4，C不符合题意； D、x+4≥0，x≥﹣4，D符合题意． 故答案为：D 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）结合分式有意义的条件（分母不为0）即可求解。 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】选项A、C未进行分母有理化，选项D根式内包含完全平方数4，唯有B符合要求，故答案为：B． 【分析】满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数,因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。根据这两个条件判断。 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法 【解析】【解答】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故运算错误，不符合题意，A错误； B.，故运算错误，不符合题意，B错误； C.，故运算错误，不符合题意，C错误； D.，运算正确，符合题意，D正确． 故选：D． 【分析】本题考查二次根式的运算．与不是同类二次根式，不能进行合并，计算，据此可判断A选项；进行合并类项可得，据此可判断B选项；利用有理数的运算可得，据此可判断C选项；利用根式的运算性质：进行计算可得：，据此可判断D选项. 4．如果与的和等于，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式；同类二次根式 【解析】【解答】解：∵与的和等于， ∴与是同类二次根式. . A、a=0，，与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B、a=1，，与不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意； C、a=2，，与是同类二次根式，，故C符合题意； D、a=3，，与不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据与的和等于，可知与是同类二次根式，根据，对4个选项逐项判断，即可得到a的值. 5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（　　） A．2a＋b B．－2a＋b C．b D．2a－b 【答案】C 【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系 【解析】【解答】解：由数轴可知，b＞0＞a，且|a|＞|b|， ∴． 故答案为：C． 【分析】利用数轴得出b＞0＞a，a＋b＜0，然后利用二次根式的性质并化简绝对值，即可得到答案． 6．若 =10，则x的值等于（　　） A．4 B．±2 C．2 D．±4 【答案】C 【知识点】二次根式的性质与化简；利用等式的性质解一元一次方程 【解析】【解答】解：3 + + ＝10， 5 ＝10， ＝2， 则2x＝4， x＝2， 故答案为：C 【分析】由二次根式的性质“、、”可将方程左边化简得：3 + + ＝10，再合并同类二次根式得，5 ＝10，把方程两边同时平方可去掉根号，然后按照一元一次方程的解题步骤计算即可求解。 7．下列等式从左到右的变形过程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：，当a≥0、b≥0时成立，故此选项不符合题意； ，故B错误； ，当，时不成立，故C错误； ，故D正确. 故选：D． 【分析】（1）根据a，b的符号说理； （2）根据说明； （3）根据成立的条件说明； （4）根据成立的条件说明． 8． 若，，则a与b的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， 故答案为：B． 【分析】根据二次根式的混合运算化简a和b，再根据二次根式的估算比较即可． 9．已知 ， 则代数式 的值是（　　） A．2 B．0 C．4 D．1 【答案】A 【知识点】二次根式的化简求值 【解析】【解答】解：= ∵ ∴x<0，y<0 ∴原式= 故答案为A. 【分析】本题考查的是二次根式的化简.先由已知条件得出：x<0，y<0，再将进行化，最后代入求值即可. 10．已知x为实数，化简 的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的加减法 【解析】【解答】由原式成立，所以x<0，所以原式= + = ，故选C． 【分析】根据二次根式成立的条件，正确判断字母的正负性，从而判断每一项的正负性，最后进行二次根式的加减法计算． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．已知是整数，则正整数n的最小值是　 　. 【答案】2 【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求算术平方根 【解析】【解答】解：∵是整数，n是正整数， ∴最小的值是4， ∴最小的正整数n的值是2． 故答案为：2． 【分析】根据2n是完全平方数进行求解即可. 12． 若与最简二次根式可以合并，则　 　． 【答案】2 【知识点】最简二次根式；同类二次根式 【解析】【解答】由题可知m+1=3，解得m=2； 正确答案：2. 【分析】因为两二次根式可以合并，故是同类二次根式；且，可得m的方程，求解即可。 13．已知，，求的值是　 　. 【答案】 【知识点】因式分解的应用；分母有理化 【解析】【解答】解：∵，， ∴a+b=4，a-b=，ab=1， =3（a2-b2）+11ab=3(a+b)(a-b)+11ab =3×4×（）+11×1=11-24. 故答案为：. 【分析】利用分母有理化分别确定a、b值，继而求出a+b，a-b，ab的值，再将原式化为3(a+b)(a-b)+11ab，然后整体代入计算即可. 14．对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则　 　 ． 【答案】 【知识点】二次根式的化简求值；定义新运算 【解析】【解答】解：根据题意可得： ， 故答案为：. 【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。 15．如图，将，按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是　 　． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除法；探索规律-数阵类规律 【解析】【解答】解：根据题意，（5，4）表示的数易知是. 这四个数为一组，循环出现，第n排有n个数，则到第14排的最后一个数时，总共出现了1+2+3+...+14=105，而105÷4=26余1，代表第14排的最后一个数为1，则第15排的第1个数为，第2个数为. ∴（15，2）表示的数为. ∴ 故答案为：. 【分析】根据条件先分析出数字呈现的规律，循环出现是解题关键. 三、解答题：共8题，共75分。 16．（9分）当分别取下列值时，求二次根式的值． （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）解：把x=0代入 得， =； （2）解：把x=2代入 得， =； （3）解：把x=代入 得， =.​ 【知识点】二次根式的化简求值 【解析】【分析】（1）（2）（3）将x的值分别代入二次根式，根据二次根号具有括号的作用，先按含有理数的加减乘除混合运算的运算顺序计算计算被开方数，再化为最简二次根式或整式即可. 17．（8分） 在进行二次根式的化简和计算时，我们通常可以借助平方差公式对二次根式进行化简．例如． （1）分别化简、和； （2）已知实数、满足，求的值． 【答案】（1）解：； ； ． （2）解：， ． 同理可得，． ， ，即． ． 【知识点】分母有理化 【解析】【分析】（1）根据材料，利用平方差公式进行分母有理化，从而达到根式化简目的； （2）同理利用平方差可对式子进行化简，从而实现因式降幂重组，即与，最后利用式子结构特性解出a，b. 18．（8分）先化简，再求值：，其中. 【答案】解： 当时， 原式 【知识点】分式的化简求值；分母有理化 【解析】【分析】根据异分母分式的加减法先算括号内的运算，再把除法变成乘法，约分后得到最简结果，然后代入计算即可． 19．（8分）数学课上，老师布置一道计算题：，小红的解答过程如下： 解：原式 请判断她的解答是否正确？若是错误的，请你写出正确的解答过程． 【答案】解：小红的解答是错误的，正确解答如下： . 【知识点】二次根式的混合运算 【解析】【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可. 20．（9分）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： 解：∵， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题， （1）化简：． （2）若，求的值， 【答案】（1）解：原式． （2）解：． ∵， ∴原式． 【知识点】整式的混合运算；二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）根据例子进行分母有理化的操作，进而即可化简； （2）先根据整式的混合运算结合题意得到，进而将a化简，从而代入即可求解. 21．（9分）阅读理解题，下面我们观察： 反之，所以， 所以． 完成下列各题： （1）在实数范围内因式分解：； （2）化简：； （3）化简：． 【答案】（1）解：； （2）解：∵， 反之， ∴； （3）解：， 反之， ∴． 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简即可求出答案. （2）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可求出答案. （3）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可求出答案. （1）解：； （2）解：∵， 反之， ∴； （3）解：， 反之， ∴． 22．（12分）阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解：，，又，，当时取等号． 的最小值为． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，当且仅当　 　 时，有最小值为　 　 ． （2）当时，求的最小值． （3）请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙墙足够长，另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】（1）3；6 （2）解：， ， ， 又， ，当且仅当时取等号， 的最小值为， 的最小值为， 即的最小值为； （3）解：根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米， ， ， 又， ，当且仅当时取等号， 的最小值为， 即需要用的篱笆最少是米． 【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用；偶次方的非负性 【解析】【解答】解：， ， 又， ，当且仅当时取等号． 的最小值为． 故答案为：，； 【分析】（1）根据例题中的公式计算即可； （2）先化简成例题中的形式，再运用公式计算即可； （3）由题意得篱笆的长为米，再根据例题中的公式计算即可． 23．（12分）阅读下面解题过程． 例：化简． 解： 请回答下列问题． （1）归纳：请直接写出下列各式的结果： ①＝　 　； ②＝　 　． （2）应用：化简 （3）拓展：　 　．（用含n的式子表示，n为正整数） 【答案】（1）； （2）解： = =； （3） 【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算 【解析】【解答】解：（1）①， ②； 故答案为：①；② （3）解： ． 故答案为： 【分析】（1）①分子分母同乘即可求解；②分子分母同乘即可求解； （2）先分母有理化进行化简，再进行二次根式的加减即可； （3）先分母有理化进行化简，再进行二次根式的加减即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$