第七章 相交线平行线（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（山西专用，人教版2024）

第七章 相交线平行线（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角及其性质 【解析】【解答】解：根据对顶角的定义： A中∠1和∠2顶点不在同一位置，不是对顶角； B中∠1和∠2是对顶角； C中∠1和∠2顶点不在同一位置，不是对顶角； D中∠1和∠2顶点不在同一位置，不是对顶角； 故答案为：B． 【分析】有公共顶点的两个角且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，像这样的两个角是对顶角，据此判断即可. 2．下列命题是真命题的是（　　） A．垂直于同一条直线的两直线垂直 B．相等的角是对顶角 C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．内错角相等 【答案】C 【知识点】平行公理及推论；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，内错角相等 【解析】【解答】解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，原命题缺少前提“在同一平面内”，不一定能成立，故原命题是假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，例如一对90°的邻补角，故原命题为假命题，不符合题意； C、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，原命题为真命题，符合题意； D、两直线平行，内错角相等，原命题缺少前提“两直线平行”，不一定能成立，故原命题是假命题，不符合题意. 故答案为：C． 【分析】根据垂直的性质，对顶角的概念，平行公理以及平行线的性质，逐一进行判断即可． 3．如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平行线的性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：∵∠1=40°， ∴∠BEF=140°， ∵平分， ∴∠BEG=70°， ∵AB∥CD， ∴∠2=∠BEG=70°。 故答案为：A。 【分析】首先根据邻补角定义得出∠BEF=140°，再根据角平分线的定义求得∠BEG=70°，然后根据平行线的性质，即可得出∠2的度数。 4．如图所示的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平移设计图案；图形的平移 【解析】【解答】解：A．是由“基本图案”经过翻折得到，不是由“基本图案”经过平移得到，故A不符合题意； B．不是由“基本图案”经过平移得到，故B不符合题意； C．是由“基本图案”经过翻折得到，不是由“基本图案”经过平移得到，故C不符合题意； D．是由“基本图案”经过平移得到，故D符合题意； 故答案为：D． 【分析】根据平移变换定义，分别进行判断，即可得出答案． 5．如图，已知直线，被直线所截，下列结论正确的有(　　) ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】平行线的定义与现象；对顶角及其性质 【解析】【解答】解：∵对顶角相等， ∴∠1=∠2，①正确； ∵直线a、b被直线c所截，而a与b不平行， ∴②③④错误； ∴正确的个数为1个， 故答案为：A 【分析】根据对顶角相等结合题意即可判断。 6．将一副三角板按如图的方式放置，则下列结论：①；②若，则有；③若，则有；④若，则必有，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】平行线的判定与性质；余角 【解析】【解答】解：①，， ∴， ∴原结论正确； ②，∠1+∠2=90°， ， ， ∴AC∥DE； ∴原结论正确； ③，∠3+∠2=90°， ， ， ∴； ∴原结论正确； ④， ∴AC∥DE， ， ∵∠CAF=90°， ， ， ． ∴原结论正确． ∴正确的结论有：①②③④. 故答案为：D. 【分析】①根据同角的余角相等可求解； ②由角的构成求出∠1的度数，根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可求解； ③由角的构成求出∠3的度数，根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可求解； ④根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可得：AC∥DE，由平行线的性质“两直线平行同旁内角互补”可求得∠EFA的度数，然后由角的构成求出∠2的度数，结合已知可求解. 7．如图摆放的是一副直角三角板，，，与相交于点，当的度数是（　　）时，两三角板的边 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理 【解析】【解答】解：延长EH交BC于点H，如图所示： 在和中，，， ，， 当EF//BC，则∠BHE=∠E=60° ， 故选：B． 【分析】延长EH交BC于点H，根据在和中，，，可得，，根据EF//BC，可得∠BHE=∠E=60°，最后利用三角形的内角和定理即可得出答案． 8．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，AB=12，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　） A．60 B．96 C．84 D．42 【答案】A 【知识点】平移的性质；图形的平移 【解析】【解答】解：∵AB=DE=12，DO=4， ∴OE=DE-DO=12-4=8， 根据题意得BE=6，， ∵，， ∴S梯形ABEO=S阴影， ∴阴影部分的面积为：. 故答案为：A. 【分析】根据题意得出阴影部分的面积为梯形ABEO的面积，接下来求OE、BE的值，最后代入梯形面积公式进行计算即可求解. 9．下列图形中，由能得到的图形有(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】平行线的判定 【解析】【解答】解：如图， 图1， 由不能得到，故不符合题意； 图2：∵∠1=∠2， ∴∠BAC=∠ACD， ∴AB∥CD，故符合题意； 图3： 由不能得到，故不符合题意； 图4：∵∠1=∠2， ∴AB∥CD，故符合题意； 故答案为：C. 【分析】由∠1=∠2，结合图形，利用平行线的判定定理逐图判断即可. 10．如图， 已知 分别平分 和 ， 且交于点 ， 则 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的性质 【解析】【解答】解：过E点作线段平行于AB（则同时平行于CD），过F点作线段平行于CD（则同时平行于AB）. ∴. ∴. ∴，即. 故答案为：B. 【分析】利用AB∥CD的条件作辅助线，通过平行线的性质以及角平分的条件分别表示∠E与∠F的表达式，从中找出联系. 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11． 如图， 要把河中的水引到农田 处， 若 河岸 ，垂足为点 ， 则沿着线段 铺设管道能使水管最短， 其中蕴含的数学道理是　 　. 【答案】垂线段最短 【知识点】垂线段最短及其应用 【解析】【解答】根据垂线段的性质：垂线段最短可得解， 故答案为：垂线段最短. 【分析】利用垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短分析求解即可. 12．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，DE与地面平行，，则　 　． 【答案】 【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质 【解析】【解答】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【分析】根据直线平行性质可得，再根据三角形外角性质即可求出答案. 13． 如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面 上，镜面 的调节角 ，激光笔发出的光束 射到平面镜上后，形成反射光束 ， 发现 ，若激光笔与水平天花板 (直线 ) 的夹角 ，则 与天花板所形成的角 的度数可用含 的代数式表示为　 　 【答案】 或 【知识点】平行线的性质 【解析】【解答】解：如图，当点H在点P左侧时，过点G作GQ∥EF， ， ， ，， ， 根据光的反射定理可知，， ， ； 当点H在点P右侧时，过点G作GQ∥EF， ， ， ， 根据光的反射定理可知，， ， ， ， 故答案为：或 【分析】分两种情况：①当点H在点P左侧时，过点G作GQ∥EF；②当点H在点P右侧时，过点G作GQ∥EF，分别根据平行线的性质和光的反射定理，进行求解即可． 14．如图，长方形纸片中，，，将纸片沿折叠，使顶点、分别落在点、处，交于点若，那么　 　 【答案】44 【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：∵， ∴，， ∵将纸片沿折叠，使顶点、分别落在点、处，交于点， ∴， ∴， 故答案为： 【分析】先根据平行线的性质得到，，进而根据折叠的性质得到，再根据“”进行角的运算即可求解。 15． 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图．其中都与地面平行，，，当为　 　度时，与平行． 【答案】66 【知识点】平行线的判定；平行线的性质；平行线的判定与性质 【解析】【解答】解：由题意得， ， ， ， 时，与平行， 故答案为： 【分析】先根据题意得到，进而根据平行线的性质得到∠ACD的度数，再根据比值结合题意即可求出∠ACB的度数，进而即可求解。 三、解答题：共8题，共75分. 16．（10分）（1）如图，OA⊥OB，OB平分∠MON，若∠AON=120°，求∠AOM的度数． 【答案】解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∵∠AON=120°， ∴∠BON=120°﹣90°=30°， ∵OB平分∠MON， ∴∠MOB=∠NOB=30°， ∴∠AOM=90°﹣30°=60° 【知识点】垂线的概念；角平分线的概念 【解析】【分析】首先根据垂直定义可得∠AOB=90°，再由∠AON=120°可得∠BON，再根据角平分线的性质可得∠MOB=∠NOB，进而得到答案． （2）．如图，已知，试判断BE与CF的位置关系，并说明你的理由．请补全下列说理过程. 解：BE ∥CF． 理由是： ． ▲ ▲ 垂直的定义 已知． = ▲ ．（等式的基本性质） 即 ▲ ∥ （ 【答案】解：BE∥CF. 理由：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）， ∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直的定义）. ∵∠1=∠2（已知）， ∴∠ABC−∠1=∠BCD−∠2， （等式的基本性质） 即∠EBC=∠BCF， ∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行） 【知识点】垂线的概念；平行线的判定 【解析】【分析】根据垂直的定义可得∠ABC=∠BCD=90°，再结合∠2=∠1，由等式的基本性质可推出∠EBC=∠BCF，最后由内错角相等，两直线平行，得出结论． 17．（7分）如图，已知，，，求的度数． 【答案】解：， ， ， ， ， ． ​​​​ 【知识点】平行线的判定与性质 【解析】【分析】先由平行线的性质推出，由，得到，再根据平行线的判定方法可得，最后由平行线的性质可得． 18．（8分）如图所示，平分，，． （1）求证：； （2）若，试求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ； （2）解：由可知：， ， ， 平分， ， ， ． 【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）首先根据， 可得出AB∥EF，再根据EF∥CD，即可得出AB∥CD； （2）首先根据平行线的性质，由， 可得出∠BAC=100°，再根据角平分线的定义，可得出∠BAE=50°，进而得出∠AEF=130°。 19．（9分）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系．的三个顶点坐标分别为，，． （1）填空：的面积为 ； （2）把先向左平移5个单位长度得到，再将沿x轴翻折得到，请在平面直角坐标系中直接画出与； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使的面积是的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）5 （2）解：如图， ∴△A1B1C1为所求；△A2B2C2为所求. （3）解：存在，理由如下： 由（2）可知，， ， 的面积是的面积的一半，， ， 设，则S△PB1B2=×B1B2×， 即×2×=2.5， 解得：m=2.5或m=-2.5， 点P的坐标为，. 【知识点】坐标与图形性质；作图﹣轴对称；作图﹣平移 【解析】【解答】 （1）解：由图可知： S△ABC. 故答案为：5. 【分析】（1）根据网格图的特征并结合三角形ABC的面积的构成即可求解； （2）根据平移变换的性质分别作出的A、B、C对应点，，对应点，依次连接得到即可求解；根据翻折的性质在作出对应点，，依次连接得到即可； （3）根据的面积是△ABC的面积的一半，设，根据S△PB1B2=2.5可列关于m的方程，解方程即可求解． 20.（8分）如图，现有以下三个条件：①；②；③．请以其中两个条件为条件，第三个条件为结论构造新的命题． （1）请写出所有的命题；（数学中的命题通常可以写成“如果那么”的形式） （2）请选择其中的一个真命题进行证明． 【答案】（1）解：第一种：如果，，那么． 第二种：如果，，那么． 第三种：如果，那么． （2）解：证明第一种，（其他都是真命题，证明第二、三种都可） 证明：，（两直线平行，同位角相等）， ，（等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 【知识点】平行线的判定与性质 【解析】【分析】(1)由题意根据平行的性质与判定书写命题； (2)根据平行的性质与判定进行判断即可. 21．（8分）（1）阅读并回答： 科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时． ①由条件可知：，依据是___________；，依据是___________； ②反射光线与平行，依据是___________． （2）解决问题： 如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若反射出的光线平行于，且，则___________；___________． 【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换；②同位角相等，两直线平行；（2）80°；90° 【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理 【解析】【解答】解：（1）①由条件可知：，依据是两直线平行，同位角相等；，依据是等量代换； 故答案为两直线平行，同位角相等；等量代换； ②由①可得：，所以反射光线与平行，依据是同位角相等，两直线平行； 故答案为同位角相等，两直线平行； （2）如图所示： 由题意得：∠1=∠4，∠5=∠6， ∵， ∴∠4=40°， ∵∠1+∠7+∠4=180°， ∴∠7=100°， ∵m∥n， ∴∠2+∠7=180°， ∴∠2=80°， ∵∠2+∠5+∠6=180°， ∴∠5=∠6=50°， ∵∠3+∠4+∠5=180°， ∴∠3=90°， 故答案为80°，90°． 【分析】（1）①由题意及图形所给信息即可求出答案. ②根据直线平行判定定理即可求出答案. （2）根据题中所给定义，直线平行性质及三角形内角和定理即可求出答案. 22．（12分）如图直线，一副教学三角板中，，，，现按如图1放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上． （1）如图1，当CE平分∠ACM时，求的值． （2）若将三角板ABC绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒． ①在旋转过程中，如图2所示，当边，求的值． ②若三角板ABC绕点B旋转的同时，三角板CDE绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），请直接写出当边时的值． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∵平分． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ​​​​​​ （2）解：①∵，速度为每秒3度， ∴旋转的度数范围为， 则只有一种情况，如图， 设延长线与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边，的值为； ②如图，当时，延长KH交MN于R． ∵， ∴， 过点K作，则， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 如图，当时，延长HK交MN于R． ∵， ∴， 过点K作，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 根据运动规律：每隔36秒一次，又，故， 综上所述，满足条件的t的值为6s或42s或78s或114s 【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；三角形的综合 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，然后求出与的度数，即可求解. （2）①画出图形，设延长线与交于点，利用平行线的性质即可求解； ②当时，延长KH交MN于R．过点K作，则；当时，延长HK交MN于R，过点K作，则，分别求出t的值即可. 23．（13分）综合与实践 【课题学习】：平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作， ∴______，， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数． 【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数． 【答案】（1）；； （2）解：过点E作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴； （3）过E点作，如图， ∵，FH//AB， ∴， ∴，， ∵，∠BFC=36°， ∴. 即∠ABF－∠GCD=36°. ∵平分，平分， ∴，， ∴∠ABE－∠DCE=2∠ABF－2∠GCD=2×36°=72°. 由（2）可得：∠ABE－∠DCE=180°－∠BEC， ∴180°－∠BEC=72°， ∴∠BEC=108°. 【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质 【解析】【解答】（1）解：过点A作， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：；； 【分析】（1）过点A作，如图1，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到； （2）过点E作，如图2，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得； （3）过E点作，根据平行线的性质得到，从而，，∠ABF－∠GCD=36°.根据角平分线的定义得到，，计算出∠ABE－∠DCE=72°，由（2）的结论可得∠ABE－∠DCE=180°－∠BEC， 对比即可得到∠BEC的度数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 相交线平行线（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D．2．下列命题是真命题的是（　　） A．垂直于同一条直线的两直线垂直 B．相等的角是对顶角 C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．内错角相等 3．如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知直线，被直线所截，下列结论正确的有(　　) ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 6．将一副三角板按如图的方式放置，则下列结论：①；②若，则有；③若，则有；④若，则必有，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 7．如图摆放的是一副直角三角板，，，与相交于点，当的度数是（　　）时，两三角板的边 A． B． C． D． 8．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，AB=12，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　） A．60 B．96 C．84 D．42 9．下列图形中，由能得到的图形有(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图， 已知 分别平分 和 ， 且交于点 ， 则 (　　) A． B． C． D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11． 如图， 要把河中的水引到农田 处， 若 河岸 ，垂足为点 ， 则沿着线段 铺设管道能使水管最短， 其中蕴含的数学道理是　 　. 12．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，DE与地面平行，，则　 　． 13． 如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面 上，镜面 的调节角 ，激光笔发出的光束 射到平面镜上后，形成反射光束 ， 发现 ，若激光笔与水平天花板 (直线 ) 的夹角 ，则 与天花板所形成的角 的度数可用含 的代数式表示为　 　 14．如图，长方形纸片中，，，将纸片沿折叠，使顶点、分别落在点、处，交于点若，那么　 　 15． 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图．其中都与地面平行，，，当为　 　度时，与平行． 三、解答题：共8题，共75分. 16．（10分）（1）如图，OA⊥OB，OB平分∠MON，若∠AON=120°，求∠AOM的度数． （2）．如图，已知，试判断BE与CF的位置关系，并说明你的理由．请补全下列说理过程. 解：BE ∥CF． 理由是： ． ▲ ▲ 垂直的定义 已知． = ▲ ．（等式的基本性质） 即 ▲ ∥ （ 17．（7分）如图，已知，，，求的度数． 18．（8分）如图所示，平分，，． （1）求证：； （2）若，试求的度数． 19．（9分）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系．的三个顶点坐标分别为，，． （1）填空：的面积为 ； （2）把先向左平移5个单位长度得到，再将沿x轴翻折得到，请在平面直角坐标系中直接画出与； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使的面积是的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 20.（8分）如图，现有以下三个条件：①；②；③．请以其中两个条件为条件，第三个条件为结论构造新的命题． （1）请写出所有的命题；（数学中的命题通常可以写成“如果那么”的形式） （2）请选择其中的一个真命题进行证明． 21．（8分）（1）阅读并回答： 科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时． ①由条件可知：，依据是___________；，依据是___________； ②反射光线与平行，依据是___________． （2）解决问题： 如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若反射出的光线平行于，且，则___________；___________． 22．（12分）如图直线，一副教学三角板中，，，，现按如图1放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上． （1）如图1，当CE平分∠ACM时，求的值． （2）若将三角板ABC绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒． ①在旋转过程中，如图2所示，当边，求的值． ②若三角板ABC绕点B旋转的同时，三角板CDE绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），请直接写出当边时的值． 23．（13分）综合与实践 【课题学习】：平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作， ∴______，， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数． 【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$