精品解析： 河南省安阳市殷都区2024-2025学年九年级上学期期末教学质量检测数学试卷

2024−2025学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请直接将答案写在答题卡上，写在试题卷上的答案无效． 3．答题时，必须使用2B铅笔按要求规范填涂，用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转 后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 抛物线y＝（x﹣3）2+2的顶点坐标是（　　） A. （﹣3，2） B. （﹣3，﹣2） C. （3，﹣2） D. （3，2） 【答案】D 【解析】 【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】∵y＝（x﹣3）2+2， ∴该函数的顶点坐标是（3，2）， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握抛物线y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）． 3. 如图，将 绕顶点A逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，先找到旋转角，再根据进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意可知旋转角， 所以． 故选：C． 4. 如图，是一个小孔成像的示意图，光线经过小孔，物体在幕布前形成倒立的实像 （点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到物体和实像的水平距离 ，分别为，则实像 的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意可得，得到，即得，再由得，据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵ ，分别为， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图，点A，B，C在 上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆内接四边形．如图，在优弧 上取一点 ，连接 ， ．利用圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理解决问题． 【详解】解：如图，在优弧 上取一点 ，连接 ， ． ， ， ， 故选：C． 6. 关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象与坐标轴没有交点 B. 图象关于y轴对称 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 若点在图象上，则点也一定在图象上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象分布，性质，对称性和图象过点问题，正确理解性质，是解题的关键． 【详解】反比例函数， A. 图象与坐标轴没有交点，选项正确，不符合题意； B. 图象关于原点对称，选项错误，符合题意； C. 当时，y随x的增大而增小；选项正确，不符合题意； D. 若点在图象上，则，故点也一定在图象上，正确，不符合题意； 故选B． 7. 已知不透明的袋子中装有20个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在附近，则袋子中的红球大约有（ ） A. 80个 B. 98个 C. 100个 D. 120个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了利用概率的求法估计总体个数．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数；二者的比值就是其发生的概率，据此计算即可． 【详解】解：设袋中红球有x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 故袋中黑球有80个． 故选：A． 8. 如图，的直角边在轴上，，反比例函数的图象经过另一条直角边 的中点 ，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中线与三角形面积，反比例函数的k的几何意义，先理解直角边 的中点是 ，，得，又因为反比例函数经过另一条直角边 的中点 ，轴，即． 【详解】解：∵直角边 的中点是 ，， ， 反比例函数经过另一条直角边 的中点 ，轴， ， 故选B． 9. 如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，点D是 中弦的中点， 经过圆心O交 于点C，若路面，净高，则此圆的半径 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 由垂径定理得，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， 由勾股定理得，， ∴， 解得． 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，，点A的坐标为．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转 ，则第2025次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，过点 作轴于点D，求出点B的坐标为，即，根据将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转 ，每6次一个循环，得出第次旋转结束时点B的对应点与点B正好关于原点对称，根据关于原点对称点特点求出结果即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：过点 作轴于点D，如图所示： 则， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为，即， ∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转 ， ∴每6次一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时点B的对应点与点B正好关于原点对称， ∴第2025次旋转结束时，点B的对应点的坐标为， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向下平移5个单位长度，平移后抛物线的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，根据函数图象平移的性质：左加右减，上加下减，结合题意求出平移后的函数解析式即可． 【详解】解：∵抛物线向下平移5个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， 故答案为： 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 13. 已知抛物线的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，则当时，x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质知识点，解题的关键是利用抛物线的对称轴求出其与轴的另一个交点坐标． 根据抛物线对称轴及已知的与轴的一个交点坐标求出另一个交点坐标，再结合抛物线与轴的位置关系确定时的取值范围． 【详解】设抛物线与轴的另一个交点坐标为． 根据抛物线对称轴公式，且抛物线上纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，那么，解得， 时，的取值范围是． 故答案为：． 14. 传统服饰日益受到关注，图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图）．若长为米，裙长为米，圆心角，则的长度为______米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，由题意知，求得米，然后根据弧长公式计算求解即可，掌握弧长公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵长为米， ∴， ∴（米）， ∴（米） ∴的长度为米， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，，O为上一点，且，将线段绕点O逆时针旋转（旋转角小于 ），得到线段，连接并延长，交直线于点P，则 的最小值为_______，最大值为_______． 【答案】 ①. 2 ②. 14 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，切线长定理的应用，如图，当 与相切时， 最小，则，如图，当与 相切于正方形外的点时，此时 最大；再进一步求解即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴， ， 如图，当 与相切时， 最小，则， ∴为 的切线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ 的最小值为：； 如图，当与 相切于正方形外的点时，此时 最大； 同理可得：， ∴ 的最大值为：； 故答案为：2，． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）将方程整理后利用开平方法解一元二次方程即可． （2）将方程整理后利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 整理得： 【小问2详解】 解： 移项，得： 方程有两个不等的实数根， 即 17. 某校数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图是印有三位数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，卡片除图案外其他均相同．将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小明随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家祖冲之邮票图案的概率是_______； （2）小明随机抽取了一张卡片，然后将卡片放回洗匀，再由小亮随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮所抽到的卡片恰好是同一张的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式求概率，用画树状图法或列表法求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意列出，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：小明随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家祖冲之邮票图案的概率是； 【小问2详解】 解：根据题意，画出如下的树状图： 由树状图可得，一共有9种等可能的结果，其中小明和小亮所抽到的卡片恰好是同一张的结果有3种， 所以小明和小亮所抽到的卡片恰好是同一张的概率为． 18. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，B，C均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点关于原点O的对称点A； （2）连接AC，AB，BC得 ，将 绕点A逆时针旋转90°得．画出旋转后的； （3）在（2）的条件下，点的坐标是_______，边AB扫过区域的面积为_______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了中心对称和旋转的性质，写出平面直角坐标系中点的坐标，扇形面积公式． （1）根据关于原点对称点的性质画出点A，然后写出点A的坐标即可； （2）结合旋转的性质即可得到旋转后的图形； （3）根据（2）的图形，写出点的坐标，边AB扫过区域的面积利用旋转的性质和扇形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：点A即为所求，． 【小问2详解】 如图，即为所求 【小问3详解】 解：根据（2）旋转后的图形，的坐标， ． 故答案为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，求得交点坐标，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法得出，，分别求出反比例函数和和一次函数的表达式即可； （2）解析式联立，求得A点的坐标，然后根据图象即可求得． 【小问1详解】 ∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ，， ，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 由， 解得：或， ∴， 观察图象，不等式的解集为或． 20. 如图，在中， ，延长 到点C，使，在以O为圆心， 为直径的半圆上取一点D，使，连接． （1）求证：是 的切线； （2）若，则 的半径长为_______． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）连接 ，则，证明，可得，从而可得答案； （2）连接 ，证明，可得，进一步可得答案． 【小问1详解】 证明：连接 ，则， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ∵ 是 的半径，且， ∴是 的切线． 【小问2详解】 解：连接 ， 是 的直径， ， ， 又， ， ，即：， 解得：．即圆的半径为 . 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 21. 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式（不必写出自变量的取值范围）； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】（1） （2）球不能射进球门 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出二次函数解析式． （1）用待定系数法，求出抛物线的解析式即可； （2）把代入抛物线解析式，求出y的值，然后与进行比较即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得 ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：当时，， ∴球不能射进球门． 22. 某市按照《关于切实做好2025年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求，跳绳项目为必选项目，某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售300条，6月份销售432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该跳绳销售量的月增长率； （2）若此种跳绳的进价为30元/条．经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的实际售价应定为多少元/条？ 【答案】（1） （2）50元/条 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设跳绳销售量的月增长率为，利用该跳绳6月份的销售量该跳绳4月份的销售量该跳绳销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该跳绳的售价应定为a元/条，则每条跳绳的销售利润为元，月销售量为条，利用总利润每条的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设该跳绳销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该跳绳销售量的月增长率为20%． 【小问2详解】 解：设该跳绳的售价应定为a元/条，则每条跳绳的销售利润为元， 月销售量为条， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该跳绳的售价应定为50元/条． 23. 已知点 为△ 和△的公共顶点，将△绕点 顺时针旋转，连接． （1）问题发现：如图1所示，若△ 和△均为等边三角形，则线段与线段的数量关系是__________； （2）类比探究：如图2所示，若，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：如图3所示，若 ，，当点 三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） 解：；理由如下： ， ， ∴， ， ∵ ， ∴， ， ， ． （3）或 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得出，， ，进而可求出，即可证，从而得出结论 ； （2）由题意易证，得出，，进而可证 ，得出，即； （3）分类讨论：当点 落在线段 上时和当点落在线段上时，分别画出图形，根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：和都是等边三角形， ，， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的长为或 ． 当点 落在线段 上时，如图所示： ， ，， ，， ，， ， ， ； 如图，当点落在线段上时，同理可得， 综上所述，的长为或 ． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值等知识．正确作出辅助线构造全等或相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请直接将答案写在答题卡上，写在试题卷上的答案无效． 3．答题时，必须使用2B铅笔按要求规范填涂，用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线y＝（x﹣3）2+2的顶点坐标是（　　） A. （﹣3，2） B. （﹣3，﹣2） C. （3，﹣2） D. （3，2） 3. 如图，将 绕顶点A逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是一个小孔成像的示意图，光线经过小孔，物体 在幕布前形成倒立的实像 （点的对应点分别是）．若物体 的高为，小孔到物体和实像的水平距离 ，分别为，则实像 的高度为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A，B，C在 上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 图象与坐标轴没有交点 B. 图象关于y轴对称 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 若点在图象上，则点也一定在图象上 7. 已知不透明的袋子中装有20个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在附近，则袋子中的红球大约有（ ） A. 80个 B. 98个 C. 100个 D. 120个 8. 如图，的直角边在轴上，，反比例函数的图象经过另一条直角边 的中点 ，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 9. 如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，点D是 中弦 的中点， 经过圆心O交 于点C，若路面，净高，则此圆的半径 的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，，点A的坐标为．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转 ，则第2025次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将抛物线向下平移5个单位长度，平移后抛物线的解析式为_______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 13. 已知抛物线的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，则当时，x的取值范围是_______． 14. 传统服饰日益受到关注，图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图）．若长为米，裙长 为米，圆心角，则的长度为______米．（结果保留） 15. 如图，在正方形中，，O为 上一点，且，将线段 绕点O逆时针旋转（旋转角小于 ），得到线段，连接并延长，交直线 于点P，则 的最小值为_______，最大值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 某校数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图是印有三位数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，卡片除图案外其他均相同．将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小明随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家祖冲之邮票图案的概率是_______； （2）小明随机抽取了一张卡片，然后将卡片放回洗匀，再由小亮随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮所抽到的卡片恰好是同一张的概率． 18. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，B，C均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点关于原点O的对称点A； （2）连接AC，AB，BC得 ，将 绕点A逆时针旋转90°得．画出旋转后的； （3）在（2）的条件下，点的坐标是_______，边AB扫过区域的面积为_______． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集． 20. 如图，在中， ，延长 到点C，使，在以O为圆心， 为直径的半圆上取一点D，使，连接． （1）求证：是 的切线； （2）若，则 的半径长为_______． 21. 如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高 为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式（不必写出自变量的取值范围）； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 22. 某市按照《关于切实做好2025年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求，跳绳项目为必选项目，某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售300条，6月份销售432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该跳绳销售量的月增长率； （2）若此种跳绳的进价为30元/条．经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的实际售价应定为多少元/条？ 23. 已知点 为△ 和△的公共顶点，将△绕点 顺时针旋转，连接． （1）问题发现：如图1所示，若△ 和△均为等边三角形，则线段与线段 的数量关系是__________； （2）类比探究：如图2所示，若，其他条件不变，请写出线段与线段 的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：如图3所示，若 ，，当点 三点共线时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $