精品解析：福建省福州市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题

2024-2025学年第一学期福州市高二年级质量检测 数学试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】有，可得，再根据空间向量数量积的坐标运算建立方程，解方程即可. 【详解】因为，所以 又， 所以，解得 故选：C 2. 经过点，且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出与已知直线平行的直线方程，代入点A坐标，即可求得答案. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上，所以， 解得，所以所求直线的方程为：. 故选：B. 3. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的定义求出公比q，从而可求等比数列的通项公式，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为 因为在等比数列中，，，所以 所以，所以， 故选：D 4. 如图，在长方体中，点为的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B 5. 已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义求解即得. 【详解】抛物线的准线为，设点，则，解得， 所以点到轴的距离为4. 故选：D 6. 已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，，，可得的面积. 【详解】在椭圆中，，，， 则， 点在上，，所以， 则. 故选：A 7. 已知数列满足，，则的前25项和为（ ） A. 2 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】通过计算出等的值可以发现数列是一个周期为3的周期数列，从而可得前25项和． 【详解】 由以上可知，数列是一个周期为3的周期数列，， 又， 又 的前25项和为. 故选：D. 8. 已知为原点，，若圆上存在点使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由确定的轨迹方程，通过与圆由交点，求解即可； 【详解】设，由可得， 化简得的轨迹方程为 ，所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 若圆上存在点使得， 则圆与圆有公共点.因为两圆的圆心距为4，所以， 解得：， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，，，则（ ） A. 是直角三角形 B. 边上的高所在直线的方程是 C. 的面积是1 D. 边上的中线所在直线的方程是 【答案】ABC 【解析】 【分析】由，可判断A；边上的高斜率为0，可求边上的高所在直线的方程，判断B；求，由直角三角形面积判断C；求出点，中点，再求，即可得边上的中线所在直线的方程，判断D. 【详解】根据题意，，， 则，所以，是直角三角形，A正确； 由，所以边上的高斜率为0， 边上的高则所在直线的方程是，B正确； 由，所以，C正确； 由点，中点，则， 所以边上的中线所在直线的方程是， 即，D错误. 故选：ABC. 10. 将边长为2的正方形（图1）沿对角线折成直二面角（图2），则（ ） A. B. C. 直线与所成角为 D. 点到平面的距离是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得折叠后AB与CD异面，可判断A；对于B，取BD中点O，连接AO，CO，AC，证明平面，即可判断B；对于C，通过取分别取的中点，利用中位线平移异面直线，得出异面直线所成角为，证明为等边三角形，即可判断C；对于D，利用等体积法即可求得点到平面的距离. 【详解】对于A，折叠后，AB与CD异面，并不平行，故A错； 对于B，取BD中点O，连接AO，CO，AC， 由题意可得，， 所以平面,又平面，所以，故B正确； 对于C，分别取的中点,连接， 则，所以（或补角）为直线与所成角， 因为直二面角，又，平面平面， 所以平面， 取BO的点M，连接EM，易知，所以平面， 平面，所以， 在中，， ，即， 所以，所以， 即直线与所成角为，故C错误； 对于D，由选项C知，平面，又平面，所以， 因为， 所以， 在中，， 所以， 设点到平面的距离是h， ， 解得，故D正确. 故选：BD 11. 已知曲线，则（ ） A. 点在曲线上 B. 曲线关于轴对称 C. 直线与曲线无交点 D. 当直线与曲线恰有两个公共点时，的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接将点代入曲线方程即可判断A；上的任意一点，将关于轴的对称点为代入的方程，方程是否变化可判断B；通过分的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，再结合双曲线性质可判断C；由C知，直线只可能与会有两个交点，联立方程，利用判别式和数形即可即可判断D. 【详解】将代入曲线的方程可得，所以A正确； 设为上的点，则，关于轴的对称点为，代入的方程为，所以B错误； 曲线的方程化简为 根据双曲线的性质可知直线为曲线的渐近线，所以与曲线无交点，所以C正确； 由可得，，所以，由图象知， 当时直线与曲线有且只有一个公共点，所以当直线与曲线恰有两个公共点时，的取值范围为，所以D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 准线为的抛物线的标准方程是_______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据准线方程写出抛物线方程即可. 【详解】由抛物线的准线为，故，则抛物线方程为. 所以抛物线标准方程为. 故答案为： 13. 某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2024年全年生产新能源汽车10000辆，如果在后续的几年中，后一年的产量在前一年的基础上提高20%，那么2032年全年生产新能源汽车约_____辆. （参考数据：，，） 【答案】43000 【解析】 【分析】将其转化为等比数列，运用等比数列通项知识求基本量即可求出结果 【详解】根据题意，从2024年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，则 ，公比， 所以， 则2032年全年约生产新能源汽车为（辆）， 故2032年全年生产新能源汽车约43000辆. 故答案为：43000. 14. 如图，是双曲线的右焦点，过原点的直线分别交的左、右两支于两点.若，且线段的中 点在的一条渐近线上，则的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】因为O，M为中点，得出，结合，得出，用点到直线的距离公式可以求得，进而求得，从而求得，，再结合双曲线定义即可求解. 【详解】如图，设的左焦点为，连接，， 与渐近线的交点为，由题意可知M为的中点， 由双曲线对称性可知，O为的中点，所以， 由得，，所以， 又，渐近线， 所以， 所以，所以，， 又由双曲线的定义可知， 所以，所以，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和的最大值. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）在等差数列中，根据题意建立方程组，解方程组即可求得首项和公差，从而得通项公式； （2）思路一：由等差数列求和公式可得，结合二次函数的单调性可求最值；思路二：由易知当时，；从第4项起，均为负项，所以前3项的和为最大值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 依题意，得 解方程组，得 所以； 【小问2详解】 解法一： . 因为，所以当时，的最大值为9. 解法二：（1）同解法一； （2）由，可得： 当时，； 当时，； 所以. 即当时，最大， 因为，所以的最大值为9. 16. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求的方程； （2）若直线与交于A，B两点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：设圆的表示方程，根据条件利用待定系数法，即可求解；解法二：首先求的垂直平分线方程，根据圆的几何性质求圆心和半径，即可求解； （2）解法一：代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解；解法二：联立直线和圆的方程，求交点的坐标，即可求两点间距离. 【小问1详解】 解法一：设圆的方程为， 依题意，得 解方程组，得 所以圆的方程为； 解法二：（1）设线段的中点为，由，，可得点的坐标为， 线段的垂直平分线的方程是， 由得圆心的坐标为， 圆的半径， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 解法一：圆心到直线的距离， 所以. 解法二：由得，， 设，，， 所以，， 所以，， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，. （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 设棱的中点为，连接，，如图所示， 因为为棱的中点，所以， 又因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量求其夹角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，，AD，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 所以，，，， 取平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则即 令，得. 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）记. （i）求数列的前项和； （ii）若对任意的，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）应用计算化简得出等比数列进而得出通项公式； （2）（i）应用对数运算得出，再应用裂项相消计算求和；（ii）分和时结合作差法证明数列的单调性计算求参. 【小问1详解】 因为， 故当时，， 两式相减得：， 即， 当时，，解得：， 可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 （i）可知： . 所以 ； （ii）对任意的，， 即对任意的，， 等价于对任意的，， 当时，不等式显然成立； 当时，不等式等价于对任意的，， 设， 因为， 所以是单调递减数列，则，所以， 所以实数的取值范围是. 19. 已知椭圆的焦点在轴上，经过点，. （1）求的标准方程； （2）定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作. （i）证明：存在两个点使得是的“共轭点对”，并求的坐标； （ii）设（i）中的两个点分别为，，已知过点的直线与椭圆交于C，D两点，则直线上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；，；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上，代入椭圆方程求解即可； （2）（i）由新定义列出等式求解即可； （ii）设，直线，，，联立椭圆方程，结合韦达定理得到，再由其为定值得到求解即可. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为， 依题意，得， 解方程组，得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）设， 根据“共轭点对”定义可知点的坐标满足， 解方程组，得或， 所以有两个点满足“共轭点对”，且点的坐标为，. （ii）由（i）得，直线的方程为. 假设存在定点，依题意可知直线斜率存在， 设直线，即， 由消去得，， 其中，所以， 设，， ，， 所以 ， 设为定值，则， 当且仅当 解得，， 所以存在定点，使得直线与的斜率之积为定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期福州市高二年级质量检测 数学试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 2. 经过点，且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 16 4. 如图，在长方体中，点为的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 6. 已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，则的前25项和为（ ） A. 2 B. 12 C. 13 D. 14 8. 已知为原点，，若圆上存在点使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，，，则（ ） A. 是直角三角形 B. 边上的高所在直线的方程是 C. 的面积是1 D. 边上的中线所在直线的方程是 10. 将边长为2的正方形（图1）沿对角线折成直二面角（图2），则（ ） A. B. C. 直线与所成角为 D. 点到平面的距离是 11. 已知曲线，则（ ） A. 点在曲线上 B. 曲线关于轴对称 C. 直线与曲线无交点 D. 当直线与曲线恰有两个公共点时，的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 准线为的抛物线的标准方程是_______________ 13. 某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2024年全年生产新能源汽车10000辆，如果在后续的几年中，后一年的产量在前一年的基础上提高20%，那么2032年全年生产新能源汽车约_____辆. （参考数据：，，） 14. 如图，是双曲线的右焦点，过原点的直线分别交的左、右两支于两点.若，且线段的中 点在的一条渐近线上，则的离心率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和的最大值. 16. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求的方程； （2）若直线与交于A，B两点，求. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，. （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）记. （i）求数列的前项和； （ii）若对任意的，，求的取值范围. 19. 已知椭圆的焦点在轴上，经过点，. （1）求的标准方程； （2）定义：若椭圆上的两个点，满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，记作. （i）证明：存在两个点使得是的“共轭点对”，并求的坐标； （ii）设（i）中的两个点分别为，，已知过点的直线与椭圆交于C，D两点，则直线上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $