精品解析：新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2024-2025学年高一上学期期末监测数学试题

2024—2025 学年第一学期期末监测 高一数学 （考试时间：120分钟总分：150分） 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式计算. 【详解】. 故选：B. 2. 已知集合，为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数求集合B，进而求交集. 【详解】由题意可得， 且，所以. 故选：C. 3. 已知关于x的函数（，且）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质判断. 【详解】令，则，所以函数图象恒过定点. 故选：D. 4. 已知命题，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】特称量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】∵，， ∴命题p的否定为，. 故选：A 5. 下列函数中，与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数定义域，值域，解析式相同分别判断各个选项即可. 【详解】定义域是，值域是， 对于A：定义域是，定义域不同，A选项错误； 对于B：值域是，值域不同，B选项错误； 对于C：定义域是，定义域不同，C选项错误； 对于D：定义域是，值域是，解析式可以化成相同，D选项正确； 故选：D. 6. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式由内到外可计算得出的值. 【详解】由题意可得，则. 故选：C. 7. 若，则为（ ）. A. 第一、四象限的角 B. 第二、三象限的角 C. 第一、三象限的角 D. 第二、四象限的角 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数与象限角的符号关系，就可以作出判断. 【详解】由可知，同号， 所以为第一象限的角和第四象限的角， 故选：A. 8. 指数函数（，且）与（，且）的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象，利用指数函数的性质可得，再结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】由图知，，且是增函数，为减函数， 所以，， 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列判断正确的有（ ） A. 在区间上为减函数 B. 的值域为R C. 方程实数根为 D. 为偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，利用待定系数法求解析式，然后判断单调性即可；B选项，根据幂函数的性质判断；C选项，解方程即可；D选项，根据奇偶性的定义判断. 【详解】由题意可设幂函数，的图象经过点， 则，解得，故，在上为减函数，故A正确； 值域为，故B错误； ，则，解得，故C错误； ，定义域为，故为偶函数，故D正确． 故选：AD． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】BD 【解析】 【分析】根据图象结合周期性和最值求，即可判断AB；可得、的解析式，直接代入运算判断对称性，即可判断CD. 【详解】设的最小正周期为，则，即， 且，则，解得，故B正确； 则， 因为，可得， 又因为，则， 可得，解得，故A错误； 所以， 对于选项C：因为， 所以的图象关于点对称，故C错误； 对于选项D：令， 因为（为最小值）， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 故选：BD. 11. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则下列说法正确的是（ ） A. 地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级为七级 B. 八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的倍 C. 八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的2000倍 D. 记地震里氏震级为（，2，…，9），地震释放的能量为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系可得答案. 【详解】A因地震释放的能量为，则，故A正确； B八级地震释放的能量满足， 七级地震释放的能量满足， 则八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的倍，故B正确； C六级地震释放的能量满足， 则八级地震释放的能量为六级地震释放能量的倍，故C错误； D，则，则，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式以及对数函数性质求函数定义域. 【详解】函数的定义域满足解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：将两式平方相加即可解出． 【详解】［方法一］：【最优解】 两式两边平方相加得，． ［方法二］： 利用方程思想直接解出 ，两式两边平方相加得，则． 又或，所以． ［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式 由，可得，则或． 若，代入得，即． 若，代入得，与题设矛盾． 综上所述，． ［方法四］：平方关系＋诱导公式 由，得． 又，，即，则．从而． ［方法五］：和差化积公式的应用 由已知得 ，则或． 若，则，即． 当k为偶数时，，由，得，又，所以． 当k为奇数时，，得，这与已知矛盾． 若，则．则，得，这与已知矛盾． 综上所述，． 【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解； 方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出； 方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出； 方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同； 方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦． 14. 已知，则的最小值为__________，此时__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据条件，二次利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，得到， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故答案为：，. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15 设集合，集合，． （1）若集合是空集，求的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由空集构造不等式求解即可； （2）由条件确定集合是集合的真子集，再构造不等式求解即可； 【小问1详解】 因为集合是空集，所以， 解得，所以的取值范围为． 【小问2详解】 ． 集合不是空集，则，解得． “”是“”的充分不必要条件等价于集合是集合的真子集， 则，等号不同时取到，解得， 故的取值范围为． 16. （1）计算：； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2）5 【解析】 【分析】（1）由指数、对数的运算即可求解； （2）由诱导公式得到，再结合商的关系，弦化切即可求解； 【详解】（1）原式． （2）， 所以． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为1 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式及两角和的正弦展开式化简函数，再结合正弦型函数的周期计算可得答案； （2）根据的范围和正弦函数的单调性可得答案. 【小问1详解】 依题意，， 则的最小正周期为； 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，， 因正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，当，即时，取最大值， 当，即时，取最小值， 所以在区间上的最大值为，最小值为1. 18. 某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费.因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米元，左､右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元，设屋子的左､右两面墙的长度均为米，总造价为元. （1）写出与的函数关系式，并注明函数定义域； （2）当左､右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价. 【答案】（1） （2）当左､右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为14400元 【解析】 【分析】（1）由题意可得屋子前面新建墙体长为米，进而可得函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题意可知，总造价为元，左､右两面墙长度均为米， 则屋子前面新建墙体长为米. 则. 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 当且仅当，即时，等号成立， 所以当左､右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元. 19. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断的单调性并根据定义证明； （3）若存在区间，使得函数在区间上的值域为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质列方程，解方程即可； （2）利用单调性的定义判断和证明； （3）根据的单调性列方程，然后根据方程得到是方程的两个根，然后列不等式求解即可. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数， 得，解得，故． ，即是奇函数，所以． 【小问2详解】 函数为增函数． 证明：设任意实数， 因为，所以， 所以，所以函数为增函数． 【小问3详解】 由（2）知函数在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增． 依题意，，即 令，因此是方程的两个根， 即的两个不等的正根，于是解得， 所以的取值范围是． 【点睛】关键点睛：（3）的解题关键在于由得到是方程的两个根，然后转化为一元二次方程根的分布问题求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025 学年第一学期期末监测 高一数学 （考试时间：120分钟总分：150分） 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的函数（，且）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（ ） A. B. C D. 4. 已知命题，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列函数中，与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，则为（ ）. A. 第一、四象限的角 B. 第二、三象限的角 C. 第一、三象限的角 D. 第二、四象限的角 8. 指数函数（，且）与（，且）图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列判断正确的有（ ） A. 在区间上为减函数 B. 的值域为R C. 方程的实数根为 D. 为偶函数 10. 已知函数部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 11. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则下列说法正确的是（ ） A. 地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级为七级 B. 八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的倍 C. 八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的2000倍 D. 记地震里氏震级为（，2，…，9），地震释放的能量为，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为______． 13. 已知，，则__________． 14. 已知，则最小值为__________，此时__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15 设集合，集合，． （1）若集合是空集，求的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 16. （1）计算：； （2）已知，且，求的值． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值. 18. 某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费.因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米元，左､右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元，设屋子的左､右两面墙的长度均为米，总造价为元. （1）写出与的函数关系式，并注明函数定义域； （2）当左､右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价. 19. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断的单调性并根据定义证明； （3）若存在区间，使得函数在区间上的值域为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$