专题 一次函数的实际应用（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

（华东师大版）八年级下册数学《第17章 函数及其图象》 专题 一次函数的实际应用 题型一 利用一次函数解决有关行程问题 解题技巧提炼 本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2024秋•鄞州区期末）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，则下列说法错误的是（　　） A．乙车前6秒行驶的路程为48米 B．在0到6秒内甲车的速度每秒增加米 C．当两车速度相等时，乙车行驶19.6米 D．在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度 2．（2024•港南区二模）小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（米）与爸爸出发时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（　　） A．a＝15 B．小明的速度是150米/分钟 C．爸爸从家到商店的速度为200米/分钟 D．爸爸出发7分钟追上小明 3．（2024秋•法库县期末）“五一节”期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260千米的某目的地，下面是她们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，她们出发2.3小时时，离目的地还有（　　）千米． A．22 B．32 C．238 D．228 4．（2024•江岸区模拟）甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A地的路程S（单位：km）与所用时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为（　　） A． B．15min C．20min D． 5．（2024春•东港区校级期中）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，甲、乙两人之间的距离y（单位：m）与甲行走时间x（单位：min）的函数关系如图所示，则a＝　 ． 6．（2024•二道区校级开学）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为0.1升/千米． （1）工厂离目的地的路程为 　 千米； （2）求s与t之间的函数表达式； （3）求货车行驶多长时间后会显示加油提醒． 7．（2024秋•柯城区期末）一辆货车和轿车同时从甲地出发驶向乙地．货车一直匀速行驶，轿车途中停车休息了0.5h，且休息前后行驶速度不变．若两车出发后距离甲地的路程y（km）与行驶时间x（h）的关系如图所示（部分被污染）． （1）请画出被污染部分的函数图象． （2）求轿车的速度及点A的纵坐标． （3）求当x＞1.7时，两车相遇点距离甲地的路程． 8．（2024•西湖区校级二模）甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是　 km/h，乙的速度是　 km/h； （2）对比图①、图②可知：a＝　 ，b＝　 ； （3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？ 题型二 利用一次函数解决商品销售问题 解题技巧提炼 本题考查了销售问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2024秋•阿城区期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 2．（2024秋•安徽期中）如图所示，l1反映了天利公司某种产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该种产品的销售成本与销售量的关系．根据图象提供信息，下列说法正确的是（　　） A．当销售量为2吨时，销售成本是2000元 B．销售成本是5000元时，该公司的该产品盈利 C．当销售量为5吨时，该公司的该产品盈利1000元 D．l2的函数表达式为y＝400x+2000 3．（2024秋•南岗区校级期中）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后又每千克降价0.1元出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象，若降价后他将剩余土豆售完时手中的钱（含备用零钱）是26元，则他一共带了（　　）千克土豆． A．15 B．32.4 C．40 D．45 4．（2024秋•阜阳月考）某水果店销售某种新鲜水果，出售量x（kg）与销售额y（元）之间的函数关系如图所示．若小强同学在该家水果店一次购买30kg该种水果，需要付款 　 　元． 5．（2024春•宁江区校级期中）作为世界苹果最佳优生区，洛川苹果备受市场青睐!苹果产业已成为县城经济的发展和农民增收致富奔小康的主导产业．小李想在洛川县某果园购买一些苹果，经了解，该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买10斤以上，超过10斤部分的苹果的价格打8折． （1）设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，求出y与x之间的函数关系式； （2）若小李在该果园购买8斤苹果，请你算一算，小李花了多少钱？ （3）若小李想在该果园购买130元的苹果送给朋友，请你算一算，小李一共能购买多少斤苹果？ 6．（2024秋•凤城市期末）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元． （1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元； （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求购买A型号的节能灯a只，记购买两种型号的节能灯的总费用为W元． ①求W与a的函数关系式； ②当a＝80时，求购买两种型号的节能灯的总费用是多少？ 7．（2024•天桥区二模）某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》，拟购买A，B两种型号的帐篷，为游客提供露营服务．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元． （1）求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？ （2）若该景区要购买，B两种型号的帐篷共20顶，其中B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 8．（2024秋•庐阳区校级月考）如图，这是某种产品30天的销售图象．图1是产品日销售量y（件）与时间t（天）之间的函数关系图象，图2是一件产品的销售利润z（元）与时间t（天）之间的函数关系图象．已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润． （1）第24天的日销售量为 　 件． （2）求第10天销售一件产品的利润是多少元？ （3）求第12天的日销售利润是多少元？ 题型三 利用一次函数解决工程问题 解题技巧提炼 本题考查了工程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2024•松北区一模）如图，是某工程队修路的长度y（单位：m）与修路时间t（单位：天）之间的函数关系．该工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率，则该工程队提高效率前每天修路的长度是（　　）米． A．150 B．110 C．75 D．70 2．（2024•洪山区模拟）一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．每分钟进水5L B．每分钟出水3.75L C．容器中水为25L的时间是8min或14min D．第2或min时容器内的水恰为10升 3．（2024春•滨州期末）有一个附有进出水管的容器，每单位时间内进水量都是一定的．设从某时刻开始的4分钟内只进水、不出水，在随后的8分钟内既进水、又出水，得到时间x（分）与水量y（升）关系如图所示，则进水量比出水量每分钟多 　 　升． 4．（2024•济南模拟）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为 　 　时． 5．（2024•龙川县校级开学）一个蓄水池的剩水量Q和水泵抽水时间t的关系图象如图． （1）水泵抽水前，该蓄水池内有多少水？抽完这些水需要多长时间？ （2）水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量是多少？ （3）当蓄水池的剩水量是100m3时，求水泵的抽水时间． 6．（2024春•澄城县期末）甲、乙两车间一起加工一批零件，同时开始加工，10个小时完成任务．在这个过程中，甲车间的工作效率不变，乙车间在中间停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工．设甲、乙两车间各自加工零件的数量为y（个），甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示． （1）甲车间每小时加工零件的个数为 　 个，这批零件的总个数为 　 个； （2）求乙车间维护设备后，乙车间加工零件的数量y与x之间的函数关系式； （3）在加工这批零件的过程中，当甲、乙两车间共同加工完930个零件时，求甲车间的时间． 7．（2024•吉林一模）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题： （1）甲队在开挖后6小时内，每小时挖 　 　m． （2）当2≤x≤6时，求y乙与x的之间的函数关系式． （3）直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5m． 8．（2024春·吉林长春·八年级校考期末）一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，在整个过程中进水速度不变，同时修船过程中排水速度不变，船修好后不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽，设轮船触礁后船舱内积水量为，时间为，y与x之间的函数图象，如图所示．      (1)修船过程中排水速度为 ，a的值为 . (2)求修船完工后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)当船内积水量是船内最高积水量的时，直接写出x的值． 题型四 利用图表信息解决实际问题 解题技巧提炼 利用表格给出的信息，采用待定系数法求出函数解析式，进而解答实际问题. 1．（2024秋•曹县期末）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表： 目的地 甲地 乙地 每吨费用（元） 150 240 设运往甲地为x吨，全部运出的总费用为y元． （1）求y与x间的函数表达式； （2）若该公司运出货物的总费用为5400元，求该公司运往乙地多少吨货物？ 2．（2024春•邵阳期末）为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm桌子高度ycm． 第一套 第二套 椅子高度xcm 40 37 桌子高度ycm 75 70 （1）请确定y与x的函数关系式． （2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？ 3．已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度． 水银柱的长度x（cm） 4.2 … 8.2 9.8 体温计的读数y（℃） 35.0 … 40.0 42.0 （1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； （2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数． 4．（2024秋•兴化市期末）客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李质量超过规定时，需付的行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数，且部分对应关系如表所示． x（kg） … 30 40 50 … y（元） … 4 6 8 … （1）求y关于x的函数表达式； （2）求旅客最多可免费携带行李的质量； （3）当行李费2≤y≤7（元）时，可携带行李的质量x（kg）的取值范围是　 　． 5．（2024•南关区校级模拟）如图①，一个底面是正方形的长方体铁块放置在高为50cm的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为止．容器顶部离水面的距离y（cm）与注水时间x（min）之间的函数图象如图②所示． （1）长方体的高度为 　 cm． （2）求该容器水面没过长方体后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）若该长方体的底面积为81cm2，直接写出该圆柱形容器的底面积S的值． 6．（2024春·河北唐山·八年级统考期末）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作： 请根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球量筒中水面升高　 　cm； （2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 7．（2024秋•南岸区期末）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元/（吨•km），铁路的运价为1.0元/（吨•km）． （1）从A地运回m吨原材料到工厂，需要的运费是多少？（用含m的代数式表示） （2）若其中一批原料，从A地运回，到生产成产品运到B地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料是多少吨？每吨原料能加工成的产品数量是多少？ （3）若生产该产品，每月的其它成本费为350000元，每吨的生产费为3000元，求该产品每月的毛利润w与原料x吨之间的函数关系． （规定：每月的毛利润＝销售额﹣原料费﹣其它成本费﹣生产费﹣运输费） 题型五 实际问题中的分段函数 解题技巧提炼 学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点： ⑴在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。 ⑵分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线. ⑶分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解,尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义. 1．（2024秋•中原区校级期中）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x kg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．甲园的门票费用是60元 B．草莓优惠前的销售价格是40元/kg C．乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折 D．若顾客采摘15kg草莓，那么到甲园比到乙园采摘更实惠 2．（2024•鹿城区校级模拟）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为 　 　． 3．（2024秋•埇桥区校级期中）为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过7立方米，每立方米收取1元外加0.4元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.3元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元． （1）求出y关于x的函数解析式； （2）该市一户某月若用水x＝10立方米时，求应缴水费； （3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量． 4．（2024•四平模拟）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司研发出一款新能源纯电动车，如图是这款电动车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象． （1）当0≤x≤150时，1千瓦时的电量新能源纯电动车能行驶的路程为5千米， 则a＝　 　； （2）当150≤x≤190时，求y关于x的函数表达式； （3）请计算当新能源纯电动车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量． 5．（2024秋•霍邱县月考）有一鱼缸，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示： （1）当0≤x≤5时，求y关于x的函数表达式； （2）当5＜x≤15时，求y关于x的函数表达式； （3）每分钟进水、出水各是多少升？ 6．（2024•辽宁模拟）辽宁省今年南果梨喜获丰收．国庆节当天甲超市进行南果梨优惠促销活动，南果梨销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示． （1）当x≥4时，求销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式； （2）乙超市南果梨的标价为20元/千克，国庆节当天也进行优惠促销活动，按标价的8折销售．若购买12千克南果梨，通过计算说明在哪个超市购买更划算． 7．（2024秋•庐阳区校级月考）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取．居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． （1）若用水不超过10吨，水费为 　 元/吨． （2）当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式． （3）若某户居民8月共交水费65元，求该户居民8月共用水多少吨？ 8．（2024春•潼南区期末）某校组队参加庆祝中国共青团成立100周年经典诵读比赛，需要为参赛选手每人配备一个朗诵文件夹．已知甲、乙两家店铺销售同款文件夹，原价相同，但销售方式不同，在甲店铺，无论一次性购买多少个文件夹，一律打8.5折；在乙店铺，当购买数量不超过30个时，按原价出售，当购买数量超过30个时，超过的部分打7折．设该校需购买x个朗诵文件夹，在甲店铺购买所需的费用为y1元，在乙店铺购买所需的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示． （1）分别求出y1，y2关于x的函数解析式； （2）求图中m的值，并说明m的实际意义； （3）若该学校一次性购买朗诵文件夹的数最超过40个，但不超过90个，到哪家店铺购买更优惠？ 题型六 利用一次函数解决最值问题 解题技巧提炼 根据题意求出函数解析式，再利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键． 1．（2024秋•安徽期中）近年来，宣城市不断践行德智体美劳“五育并举”目标，努力将劳动教育落到实处，某校八年级策划举行劳动技能比赛，计划购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本． （1）设买A种笔记本n本，买两种笔记本的总费用为w元，求w关于n的函数表达式； （2）在（1）的条件下，若购买A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的，但又不少于B种笔记本数量的，则购买这两种笔记本各多少时费用最少？最少的费用是多少元？ 2．（2024春•固始县期末）我省要按照城市功能特点，城区消费到2022年，建设20个省内特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造郑州“夜商都”等地方夜消费品牌升级版．允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示： 甲商品 乙商品 进价（元/件） 35 5 售价（元/件） 45 8 小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售．设小王购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得的利润为y元． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲，乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大？ 3．（2024秋•福田区校级期末）某快递公司为提高效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨． （1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2.5万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共20台，同时厂家要求A型机器人购买量不得少于10台．请报据以上要求，求出A、B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 4．（2024秋•乌鲁木齐月考）乌鲁木齐市某水果店为庆祝2024年国庆节计划将50个哈密瓜与140个火龙果搭配成A，B两种礼盒出售，A礼盒装2个哈密瓜和7个火龙果，B礼盒装1个哈密瓜和2个火龙果，结果哈密瓜全部装完，火龙果还有剩余，设装有A礼盒共x份，B礼盒共y份． （1）求出y关于x的函数关系式； （2）A礼盒最多可以装多少份？ （3）若哈密瓜成本每个10元，火龙果成本每个6元，装成礼盒后A礼盒每份售价90元，B礼盒每份售价30元，剩余火龙果售价每个8元，问怎样销售利润最大？最大利润为多少元？ 5．（2024•灌云县二模）新春佳节来临，某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 苹果 芦柑 香梨 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（万元） 0.15 0.2 0.1 （1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围 （2）用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 6．（2024秋•庐阳区校级期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ （3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少b元，售价不变，且a﹣b＝4，若最大利润为4000元，求a的值． 7．（2024春•无棣县期末）我县某百货公司准备购进甲、乙两种商品，已知购进4件甲商品和3件乙商品，需要1550元；购进5件甲商品和4件乙商品，需要2000元． （1）求甲、乙两种商品的进货单价分别是多少元？ （2）若该公司购进甲商品400件，乙商品600件，准备把这些商品全部运往A、B两地销售．已知每件甲商品运往A、B两地的运费分别为20元和25元；每件乙商品运往A、B两地的运费分别为15元和24元．若运往A地的商品共480件，运往B地的商品共520件． ①设运往A地的甲商品为x（件），投资总运费为y（元），请写出y与x的函数关系式； ②怎样调运甲、乙两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用+运费） 题型七 利用一次函数解决选择方案问题 解题技巧提炼 方案选择问题首先根据题意分别用函数表达式表示出各自的收费标准，然后列方程、不等式根据一次函数的性质来进行选择最佳的方案即可. 1．（2024秋•连平县期中）一个代号为Master的神秘棋手打败众多围棋领域的高手，引起人们的广泛关注，后Master自曝身份，原来它是谷歌人工智能产品AlphaGo的升级版．某教学网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式： 收费方式 月使用费（元） 包时上网时间（h） 超时费（元/h） A 70 25 6 B 100 50 8 设小明每月上网学习人工智能课程的时间为xh，方案A，B的收费金额分别为yA元、yB元（包时上网时间是指月使用费中包含的上网时间，超过该时间需另外付费）． （1）当x≥50时，分别求出yA，yB与x之间的函数关系式； （2）若小明3月份上该网站学习的时间为60h，则他选择哪种方式上网学习合算？ 2．（2024秋•历城区校级月考）某移动公司设了两类通讯业务，A类收费标准为不管通话时间多长使用者都应缴50元月租费，然后每通话1分钟，付0.4元，B类收费标准为用户不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元，若一个月通讯x分钟，两种方式费用分别是yA，yB元． （1）分别写出yA，yB与x之间的函数关系式． （2）某人估计一个月通话时间为300分钟，应选哪种通讯方式合算些，请书写计算过程． （3）小明用的A卡，他计算了一下，若是B卡，他本月话费将会比现在多100元，请你算一下小明实际话费是多少元？ 3．（2024秋•章丘区期末）某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是 　 　元；甲复印社每张收费是 　 　元； （2）分别求出甲、乙两复印社收费情况关于复印张数x的函数解析式； （3）每月复印多少张时，选择乙复印社较为便宜？ 4．（2024春•潼南区期末）某校组队参加庆祝中国共青团成立100周年经典诵读比赛，需要为参赛选手每人配备一个朗诵文件夹．已知甲、乙两家店铺销售同款文件夹，原价相同，但销售方式不同，在甲店铺，无论一次性购买多少个文件夹，一律打8.5折；在乙店铺，当购买数量不超过30个时，按原价出售，当购买数量超过30个时，超过的部分打7折．设该校需购买x个朗诵文件夹，在甲店铺购买所需的费用为y1元，在乙店铺购买所需的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示． （1）分别求出y1，y2关于x的函数解析式； （2）求图中m的值，并说明m的实际意义； （3）若该学校一次性购买朗诵文件夹的数最超过40个，但不超过90个，到哪家店铺购买更优惠？ 5．（2024秋•天桥区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式； （2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？ （3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 6．（2024春•虞城县校级期末）“每天一杯纯牛奶”已经成为人们生活的健康时尚，市场上对牛奶的需求越发增大．某乳品公司每月均需通过“飞快”快递公司向A地输送一批牛奶．“飞快”公司给出三种运费方案，具体如下： 方案一：每千克运费0.45元，按实际运输重量结算； 方案二：每月收取600元管理费用，再每千克运费0.15元； 方案三：每月收取1350元包干，不限运输重量． 设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为y1元，选择方案二时，运费为y2元，选择方案三时，运费为y3元． （1）请直接写出y1，y2，y3与x之间的关系式； （2）在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出点C，D，E的坐标，并直接写出如何选择方案更合算． 7．（2024•新安县一模）民族要复兴，乡村必振兴．2月21日发布的2021年中央一号文件，主题是全面推进乡村振兴，加快农业农村现代化．乡村振兴战略的实施效果要用农民生活富裕水平来评价，某合作社为尽快打开市场，对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下： 线下销售模式：标价5元/千克，八折出售； 线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利1.5元． 购买这种新产品x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示． 根据以上信息回答下列问题： （1）请求出两种销售模式对应的函数解析式； （2）说明图中点C坐标的实际意义； （3）若想购买这种产品10千克，请问选择哪种模式购买最省钱？ 题型八 利用一次函数解决几何问题 解题技巧提炼 本题考查了动点问题的函数图象,三角形的面积公式等知识．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程,学会分类讨论的思想方法． 1．（2024春•武江区校级期末）在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y．（当点P与点A或D重合时，y＝0） （1）写出y与x之间的函数解析式； （2）直接写出△APD的面积的最大值． 2．如图①所示，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），三角形APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题： （1）点P在AB上运动的时间为　 　s，在CD上运动的速度为　 　cm/s，三角形APD的面积S的最大值为　 　cm2； （2）求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式； （3）当t为何值时，三角形APD的面积为10cm2 3．（2042春•景德镇期末）如图①所示，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，a秒时点P，Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/秒，点Q的速度变为ccm/秒，如图②所示的是△APD的面积S1（cm2）与点P出发时间x（秒）之间的关系．图③是△AQD的面积S2（cm2）与点Q出发时间x（秒）之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ； （2）设点P，Q出发x（x＞a）秒后离开点A的路程分别为y1，cm，y2，cm，请分别写出y1，y2与x之间的关系式，并求出点P，Q相遇时x的值． 4．（2023春•济南期末）如图1，已知△ABC中，BC＝6，AF为BC边上的高，P是BC上一动点，沿BC由B向C运动，连接AP，在这个变化过程中设BP＝x，且把x看成自变量，设△APC的面积为S，图2刻画的是S随x变化而变化的图象，根据图象回答以下问题： （1）△ABC的高AF的长为 　 　． （2）写出S与x的关系式 　 　． （3）设△ABP的面积为y，写出y与x的关系式，并求当x为何值时，△APC的面积与△ABP的面积相等？ 5．（2024春•柳南区校级期末）如图1，已知长方形ABCD，AB＝CD，BC＝AD，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→D运动到D点停止，速度为2cm/s，设点P用的时间为x秒，△APD的面积为ycm2，y和x的关系如图2所示． （1）AB＝　 　cm，BC＝　 　cm； （2）写出0≤x≤3时，y与x之间的关系式； （3）当y＝12时，求x的值； （4）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APD的周长最小？若存在，请直接写出此时∠APD的度数． 6．（2024春•朝阳区校级月考）如图1，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿AB﹣BC﹣CD的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿DC﹣CB﹣BA路线运动，到点A停止．若点P、Q同时出发，速度分别为每秒1cm，2cm，a秒时，P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm，cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s和运动时间x（秒）的图象． （1）求出a值； （2）设点P已行的路程为y1，点Q还剩的路程为y2，请分别求出改变速度后，y1、y2与x的函数关系式； （3）当P、O两点都在BC边上时，若PQ＝3cm，求x的值． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （华东师大版）八年级下册数学《第17章 函数及其图象》 专题 一次函数的实际应用 题型一 利用一次函数解决有关行程问题 解题技巧提炼 本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2024秋•鄞州区期末）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，则下列说法错误的是（　　） A．乙车前6秒行驶的路程为48米 B．在0到6秒内甲车的速度每秒增加米 C．当两车速度相等时，乙车行驶19.6米 D．在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度 【分析】根据图中自变量时间与因变量速度关系结合速度、时间及路程的关系依次判断即可． 【解答】解：A、根据图象可得，乙前6秒的速度不变，为8米/秒，则行驶的路程为：6×8＝48（米）， 故该选项说法正确，不符合题意； B、根据图象得：在0到9秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到30米/秒，则每秒增加：（米）， 故该选项说法正确，不符合题意； C、当两车速度相等时的时间为：（秒），乙车行驶：2.4×8＝19.2（米）， 故该选项说法错误，符合题意； D、由图象知，3秒时甲的速度为米/秒，则在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度， 故该选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的应用，弄清函数图象表示的意义是解答本题的关键． 2．（2024•港南区二模）小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（米）与爸爸出发时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（　　） A．a＝15 B．小明的速度是150米/分钟 C．爸爸从家到商店的速度为200米/分钟 D．爸爸出发7分钟追上小明 【分析】由图象可得a的值；根据小明的路程和时间可得速度；设爸爸从家到商店的速度是x米/分钟，列一元一次方程可求解；根据追及问题中相距路程÷速度差＝时间可得答案． 【解答】解：线段BC是爸爸买水果的时间5分钟，a＝10+5＝15，故A不符合题意； 由图象可得小明的速度是3300÷（20+2）＝150（米/分钟），故B不符合题意； 设爸爸从家到商店的速度是x米/分钟，则从商店到学校的速度是（x+60）米/分钟， 依题意得，10x+（20﹣15）（x+60）＝3300， 解得x＝200， 所以爸爸从家到商店的速度是200米/分钟，故C不符合题意； 爸爸追上小明得时间是150×2÷（200﹣150）＝6（分钟），故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的实际应用和行程问题的数量关系，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时合理运用行程问题的数量关系求解是关键． 3．（2024秋•法库县期末）“五一节”期间，乐乐老师一家自驾游去了离家260千米的某目的地，下面是她们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，她们出发2.3小时时，离目的地还有（　　）千米． A．22 B．32 C．238 D．228 【分析】当1.5＜x≤2.5时，设y＝kx+b，利用待定系数法求出函数解析式为y＝110x﹣15，当x＝2.3时，求出y的值，即可得解． 【解答】解：当1.5＜x≤2.5时，设y＝kx+b， 将（1.5，150）和（2.5，260）代入解析式得， 解得：， ∴当1.5＜x≤2.5时，y＝110x﹣15， 当x＝2.3时，y＝110×2.3﹣15＝238（千米）， 距离目的地还有：260﹣238＝22（千米）， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是利用待定系数法求出函数解析式解答． 4．（2024•江岸区模拟）甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A地的路程S（单位：km）与所用时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为（　　） A． B．15min C．20min D． 【分析】根据函数图象中的数据，可以分别写出甲和乙的速度，再设甲乙两地的路程，根据路程＝速度×时间，即可求得两次相遇的时间，再作差即可． 【解答】解：设甲乙两地的路程为a km， 由图象可得， 甲的速度为km/min，乙的速度为km/min， 设甲和乙第一次相遇的时间为t1，他们第二次相遇的时间为t2， 由题意可得：， 解得， 则t2﹣t1（min）， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．（2024春•东港区校级期中）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，甲、乙两人之间的距离y（单位：m）与甲行走时间x（单位：min）的函数关系如图所示，则a＝　 ． 【分析】根据函数图象中的数据可以先求出甲走路的速度，然后再求出乙走路的速度，然后即可计算出a的值． 【解答】解：由图象可得， 甲走路的速度为：120÷3＝40（m/min）， 则乙走路的速度为：12040＝50（m/min）， ∴a＝120÷50＝2.4， 故答案为：2.4． 【点评】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 6．（2024•二道区校级开学）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为0.1升/千米． （1）工厂离目的地的路程为 　 千米； （2）求s与t之间的函数表达式； （3）求货车行驶多长时间后会显示加油提醒． 【分析】（1）根据图象中的数据，可以写出工厂离目的地的路程； （2）根据图象中的数据，可以计算出s与t之间的函数表达式； （3）根据题意和题目中的数据，可以计算出货车行驶多长时间后会显示加油提醒． 【解答】解：（1）由图可得， 工厂离目的地的路程为880千米， 故答案为：880； （2）设s与t之间的函数表达式为s＝kt+b， ∵点（0，880），（4，560）在该函数图象上， ∴， 解得， 即s与t之间的函数表达式为s＝﹣80t+880； （3）（60﹣10）÷0.1 ＝50÷0.1 ＝500（千米）， 令s＝880﹣500＝380， 则380＝﹣80t+880， 解得t＝6.25， 答：货车行驶6.25小时后会显示加油提醒． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7．（2024秋•柯城区期末）一辆货车和轿车同时从甲地出发驶向乙地．货车一直匀速行驶，轿车途中停车休息了0.5h，且休息前后行驶速度不变．若两车出发后距离甲地的路程y（km）与行驶时间x（h）的关系如图所示（部分被污染）． （1）请画出被污染部分的函数图象． （2）求轿车的速度及点A的纵坐标． （3）求当x＞1.7时，两车相遇点距离甲地的路程． 【分析】（1）直接补充图象即可； （2）根据速度＝路程÷时间计算轿车的速度，根据路程＝速度×时间求出轿车在最初的（1.7﹣0.5）h内行驶的路程，即点A的纵坐标； （3）根据速度＝路程÷时间求出货车的速度，再由路程＝速度×时间求出货车距离甲地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式；利用待定系数法求出线段AB对应的函数关系式，二者联立建立方程组并求解，y值即为当x＞1.7时，两车相遇点距离甲地的路程． 【解答】解：（1）画出被污染部分的函数图象如图所示： （2）轿车的速度为300÷（3.5﹣0.5）＝100（km/h）， 100×（1.7﹣0.5）＝120（km）， ∴点A的纵坐标为120． （3）货车的速度为300÷4＝75（km/h）， ∴货车距离甲地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为y＝75x（0≤x≤4）； 设线段AB对应的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）， 将坐标A（1.7，120）和B（3.5，300）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴线段AB对应的函数关系式为y＝100x﹣50（1.7≤x≤3.5）． 当x＞1.7，两车相遇时，得， 解得． 答：当x＞1.7时，两车相遇点距离甲地的路程为150km． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 8．（2024•西湖区校级二模）甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是　 km/h，乙的速度是　 km/h； （2）对比图①、图②可知：a＝　 ，b＝　 ； （3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？ 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度； （2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到a、b的值； （3）由图象可知甲乙相距7.5km有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【解答】解：（1）由图可得， 甲的速度为：25÷（1.5﹣0.5）＝25÷1＝25（km/h），乙的速度为：25÷2.5＝10（km/h）， 故答案为：25，10； （2）由图可得， a＝25×（1.5﹣0.5）﹣10×1.5＝10， b＝1.5， 故答案为：10；1.5； （3）由题意可得， 前0.5h，乙行驶的路程为：10×0.5＝5＜7.5， 则甲、乙两人路程差为7.5km是在甲乙相遇之后， 设乙出发xh时，甲、乙两人路程差为7.5km， 25（x﹣0.5）﹣10x＝7.5， 解得，x， 25﹣10x＝7.5，得x； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为7.5km． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 题型二 利用一次函数解决商品销售问题 解题技巧提炼 本题考查了销售问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2024秋•阿城区期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 【分析】根据函数图象中的数据，可以求得日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式，然后将x＝20代入求出相应的y的值，从而可以计算出该玩具某天的销售单价是20元时，当日的销售利润． 【解答】解：设日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b， ∵点（25，50），（35，30）在该函数图象上， ∴， 解得， 即日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣2x+100， 当x＝20时，y＝﹣2×20+100＝60， 则该玩具某天的销售单价是20元时，当日的销售利润为：（20﹣15）×60＝300（元）， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 2．（2024秋•安徽期中）如图所示，l1反映了天利公司某种产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该种产品的销售成本与销售量的关系．根据图象提供信息，下列说法正确的是（　　） A．当销售量为2吨时，销售成本是2000元 B．销售成本是5000元时，该公司的该产品盈利 C．当销售量为5吨时，该公司的该产品盈利1000元 D．l2的函数表达式为y＝400x+2000 【分析】利用图象交点得出天利公司盈利以及天利公司亏损情况． 【解答】解：A．当销售量为2吨时，销售成本是3000元，故选项A说法错误，不符合题意； B．销售成本是5000元时，销售利润是4500元，该公司的该产品盈利，故选项B说法正确，符合题意； C．当销售量为5吨时，该公司的该产品盈利5000﹣4500＝500元，故选项C说法错误，不符合题意； D．设l2的解析式为y2＝kx+b，， 把（0，2000），（4，4000）代入解析式得： ， 解得， 故l2的解析式为：y2＝500x+2000，所以，选项D说法错误，不符合题意， 故选：B． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，熟练利用数形结合得出是解题关键． 3．（2024秋•南岗区校级期中）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后又每千克降价0.1元出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象，若降价后他将剩余土豆售完时手中的钱（含备用零钱）是26元，则他一共带了（　　）千克土豆． A．15 B．32.4 C．40 D．45 【分析】根据图象先求出农民自带零钱和降价前的销售量，再求出降价前每千克的售价，从而得出降价后每千克的售价，从而得出结论． 【解答】解：由函数图象可知，农民自带零钱为5元，降价前售出土豆30千克， 降价前每千克售价为0.5（元）， ∴降价后每千克售价为0.4元， ∴降价后销售的土豆为15（千克）， ∴这个农民一共带了土豆30+15＝45（千克）， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的应用，根据图象获取信息是解题关键． 4．（2024秋•阜阳月考）某水果店销售某种新鲜水果，出售量x（kg）与销售额y（元）之间的函数关系如图所示．若小强同学在该家水果店一次购买30kg该种水果，需要付款 　 　元． 【分析】根据题意求出x＞10时与y与x之间的函数关系式，再把x＝30代入计算可得答案． 【解答】解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（x＞0）， 则， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝8x+20， 当x＝30时，y＝30×8+20＝260， ∴小强同学在该家水果店一次购买30kg该种水果，需要付款260元， 故答案为：260． 【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是求出函数解析式． 5．（2024春•宁江区校级期中）作为世界苹果最佳优生区，洛川苹果备受市场青睐!苹果产业已成为县城经济的发展和农民增收致富奔小康的主导产业．小李想在洛川县某果园购买一些苹果，经了解，该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买10斤以上，超过10斤部分的苹果的价格打8折． （1）设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，求出y与x之间的函数关系式； （2）若小李在该果园购买8斤苹果，请你算一算，小李花了多少钱？ （3）若小李想在该果园购买130元的苹果送给朋友，请你算一算，小李一共能购买多少斤苹果？ 【分析】（1）分没有超过10斤和超过10斤两种情况，分别根据“付款金额＝单价×数量”列出函数关系式即可； （2）将x＝8代入相应的解析式求解即可； （3）将y＝130代入函数解析式中计算对应的x的值即可． 【解答】解：（1）由题意得： 当0＜x≤10时，y＝5x， 当x＞10时，y＝5×10+0.8×5×（x﹣10）＝4x+10， ∴y与x之间的函数关系式为：． （2）∵8＜10， ∴小李在该果园购买8斤苹果的花费为：8×5＝40元． 答：小李花了40元． （3）令y＝130，则4x+10＝130，解得：x＝30． 答：小李一共能购买30斤苹果． 【点评】本题主要考查了函数的关系式，利用分类讨论的方法依据题意列出函数关系式是解题的关键． 6．（2024秋•凤城市期末）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元． （1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元； （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求购买A型号的节能灯a只，记购买两种型号的节能灯的总费用为W元． ①求W与a的函数关系式； ②当a＝80时，求购买两种型号的节能灯的总费用是多少？ 【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据总费用等于两种型号节能灯的费用之和可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式． 【解答】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元； （2）①设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（200﹣a）只，费用为w元， W＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400， 答：购买两种型号的节能灯的总费用W与a的函数关系式为W＝﹣2a+1400； ②当a＝80时，W＝﹣2a+1400＝﹣2×80+1400＝1240（元）． 答：购买两种型号的节能灯的总费用是1240元． 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出w与x的函数关系式． 7．（2024•天桥区二模）某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》，拟购买A，B两种型号的帐篷，为游客提供露营服务．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元． （1）求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？ （2）若该景区要购买，B两种型号的帐篷共20顶，其中B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【分析】（1）设A种帐篷的单价是m元，B种帐篷的单价是n元，根据购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元得：，即可解得A种帐篷的单价是600元，B种帐篷的单价是1000元； （2）设购买A种帐篷x顶，购买帐篷的总费用为y元，由B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，可得x≤15，而y＝600x+1000（20﹣x）＝﹣400x+20000，由一次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）设A种帐篷的单价是m元，B种帐篷的单价是n元， 根据题意得：， 解得， ∴A种帐篷的单价是600元，B种帐篷的单价是1000元； （2）设购买A种帐篷x顶，购买帐篷的总费用为y元，则购买B种帐篷（20﹣x）顶， ∵B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的， ∴20﹣xx， 解得x≤15， 根据题意得：y＝600x+1000（20﹣x）＝﹣400x+20000， ∵﹣400＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝15时，y取最小值﹣400×15+20000＝14000， 此时20﹣x＝20﹣15＝5， ∴购买A种帐篷15顶，购买B种帐篷5顶，总费用最低为14000元． 【点评】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． 8．（2024秋•庐阳区校级月考）如图，这是某种产品30天的销售图象．图1是产品日销售量y（件）与时间t（天）之间的函数关系图象，图2是一件产品的销售利润z（元）与时间t（天）之间的函数关系图象．已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润． （1）第24天的日销售量为 　 件． （2）求第10天销售一件产品的利润是多少元？ （3）求第12天的日销售利润是多少元？ 【分析】（1）根据图1作答即可； （2）由图2得CD经过（0，25）、（20，5）两点，用待定系数法可求出线段CD的解析式，把x＝10代入即可得解； （3）由AB和CD的解析式分别求出第12的天日销售量与一件产品销售利润，可求出日销售利润． 【解答】解：（1）根据图1可知：当t＝24时，y＝200， ∴第24天的日销售量为200件， 故答案为：200； （2）如图2，当0≤t≤20时，设z与t之间的函数关系式为z＝kt+b． 将坐标（0，25），（20，5）分别代入得： ， 解得 ∴z与t之间的函数关系式为z＝﹣t+25（0≤t≤20）． 当t＝10时，z＝﹣10+25＝15， ∴第10天销售一件产品的利润是15元； （3）如图1，当0≤t≤24时，设y与t之间的函数关系式为y＝mt+n． 将坐标（0，100），（24，200）分别代入得： 解得 ∴y与t之间的函数关系式为 ， 当t＝12时，． 由（2）得z＝﹣t+25（0≤t≤20）， 当t＝12时，z＝﹣12+25＝13， ∴150×13＝1950（元）， 故第12天的日销售利润是1950元． 【点评】本题主要考查了函数的图象，一次函数的应用，正确的识图，读懂图象信息，求出相应的函数关系式是解决问题的关键． 题型三 利用一次函数解决工程问题 解题技巧提炼 本题考查了工程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 1．（2024•松北区一模）如图，是某工程队修路的长度y（单位：m）与修路时间t（单位：天）之间的函数关系．该工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率，则该工程队提高效率前每天修路的长度是（　　）米． A．150 B．110 C．75 D．70 【分析】设工程队提高了工作效率后修路的长度y与修路时间t之间的函数关系为y＝kx+b，用待定系数法求出函数解析式，然后求出x＝2时，y的值，再根据除以2即可． 【解答】解：设工程队提高了工作效率后修路的长度y与修路时间t之间的函数关系为y＝kx+b（k≠0）， 把（4，370）和（5，480）代入解析式得：， 解得， ∴工程队提高了工作效率后修路的长度y与与修路时间t之间的函数关系为y＝110x﹣70， 当x＝2时，y＝110×2﹣70＝150， ∴该工程队提高效率前每天修路的长度是75（米）． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数应用，关键是用待定系数法求函数解析式． 2．（2024•洪山区模拟）一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．每分钟进水5L B．每分钟出水3.75L C．容器中水为25L的时间是8min或14min D．第2或min时容器内的水恰为10升 【分析】由图象可得开始4min内进水20L，可求出每分钟进水5L，在随后的8min内既进水又出水，则12min时的水量是30L，列式计算求出每分钟出水量，当4≤x≤12时，求y与x的函数解析式，即可得出结论． 【解答】解：A．每分进水的速度为：20÷4＝5（L/min）； B．出水管的出水速度是每分钟53.75（L/min）； C．设当4≤x≤12时，求y与x的函数解析式为y＝kx+b， 根据题意得，解得， ∴yx+15（4≤x≤12）； 设t min时该容器内的水恰好为25升，根据题意得， t+15＝25或30﹣3.75×（t﹣12）＝25， 解得t＝8或． 即容器中水为25L的时间是8min或min； D．设m分钟时该容器内的水恰好为10升，根据题意得， 5m＝10或30﹣3.75×（m﹣12）＝10， 解得m＝2或， 即第2或min时容器内的水恰为10升． 故说法中错误的是C． 故选：C． 【点评】本题是一次函数实际应用问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（2024春•滨州期末）有一个附有进出水管的容器，每单位时间内进水量都是一定的．设从某时刻开始的4分钟内只进水、不出水，在随后的8分钟内既进水、又出水，得到时间x（分）与水量y（升）关系如图所示，则进水量比出水量每分钟多 　 　升． 【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出进水管和出水管的速度，然后作差即可． 【解答】解：由图象可得， 进水管的速度为20÷4＝5（升/分钟）， 则出水管的速度为：5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）＝3.75（升/分钟）， 5﹣3.75＝1.25（升）， 即水量比出水量每分钟多1.25升， 故答案为：1.25． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（2024•济南模拟）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为 　 　时． 【分析】根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；联立两个函数解析式，解方程组求出x即可． 【解答】解：设y1为甲池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y1＝k1x+b1， ∴， 解得， 即y1＝﹣4x+4 （ 0≤x≤1）， 设y2乙池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y2＝k2x+b2， ∴， 解得， 即y2＝6x+2 （0≤x≤1）； 令y1＝y2，则﹣4x+4＝6x+2， 解得：x， ∴当甲、乙两池中水的深度相同时，则注水时间为小时． 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数表达式，一次函数的交点问题等内容；解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答． 5．（2024•龙川县校级开学）一个蓄水池的剩水量Q和水泵抽水时间t的关系图象如图． （1）水泵抽水前，该蓄水池内有多少水？抽完这些水需要多长时间？ （2）水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量是多少？ （3）当蓄水池的剩水量是100m3时，求水泵的抽水时间． 【分析】（1）根据图象中数据，可以写出水泵抽水前，该蓄水池内有多少水，抽完这些水需要多长时间； （2）根据图象中数据，可以写出水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量； （3）根据图象中的数据，先计算出抽水速度，然后即可计算出当蓄水池的剩水量是100m3时，水泵的抽水时间． 【解答】解：（1）由图象可得， 水泵抽水前，该蓄水池内有600m3的水；抽完这些水需要12h； （2）由图象可得， 水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量是200m3； （3）由图象可得， 抽水的速度为：（600﹣200）÷8＝50（m3/h）， 当蓄水池的剩水量是100m3时，水泵的抽水时间为：（600﹣100）÷50＝10（h）， 即当蓄水池的剩水量是100m3时，水泵的抽水时间为10h． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6．（2024春•澄城县期末）甲、乙两车间一起加工一批零件，同时开始加工，10个小时完成任务．在这个过程中，甲车间的工作效率不变，乙车间在中间停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工．设甲、乙两车间各自加工零件的数量为y（个），甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示． （1）甲车间每小时加工零件的个数为 　 个，这批零件的总个数为 　 个； （2）求乙车间维护设备后，乙车间加工零件的数量y与x之间的函数关系式； （3）在加工这批零件的过程中，当甲、乙两车间共同加工完930个零件时，求甲车间的时间． 【分析】（1）根据工作效率＝工作总量÷工作时间，即可求出甲车间每小时加工零件件数，再根据乙车间停工前后的作效率不变求出乙加工的件数即可解答； （2）根据待定系数法，即可求出乙车间维修设备后，乙车间加工零件数量y与x之间的函数关系式； （3）根据加工的零件总件数＝工作效率×工作时间，求出甲车间加工零件数量y与x之间的函数关系式，将甲、乙两关系式相加令其等于930，求出x值，此题得解． 【解答】解：（1）甲车间每小时加工零件件数为750÷10＝75（件）， 这批零件的总件数为750+90÷2×（10﹣4+2）＝1110（件）． 故答案为：75；1110． （2）设乙车间维护设备后，乙车间加工零件的数量y与x之间的函数关系式y＝kx+b， 由图象经过（4，90）与（10，360）两点可得， ， 解得 ， 所以y＝45x﹣90． （3）甲车间加工零件数量y与x之间的函数关系式为y＝75x， 当75x+45x﹣90＝930时，x＝8.5． 答：甲、乙两车间共同加工完930件零件时甲车间所用的时间为8.5小时． 【点评】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据数量关系，找出乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；（3）根据数量关系，找出甲车间加工服装数量y与x之间的函数关系式． 7．（2024•吉林一模）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题： （1）甲队在开挖后6小时内，每小时挖 　 　m． （2）当2≤x≤6时，求y乙与x的之间的函数关系式． （3）直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5m． 【分析】（1）结合图象，用甲6小时挖的长度÷时间，即可得出结论； （2）根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式； （3）先用待定系数法求出y甲与x的之间的函数关系式以及当0≤x≤2时y乙与x的函数解析式，然后根据他们所挖河渠长度差为5米，列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）根据图象可知，甲队在开挖后6小时内，每小时挖10（米）， 故答案为：10； （2）设乙队在2≤x≤6的时段内y乙与x之间的函数关系式为y乙＝kx+b（k≠0）， 由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50）， ∴， 解得， ∴当2≤x≤6时，y乙与x的之间的函数关系式为y乙＝5x+20； （3）当0≤x≤2时，设y乙与x的函数解析式为y乙＝mx， 可得2m＝30， 解得m＝15， 即y乙＝15x； 设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y甲＝k1x， 由图可知，函数图象过点（6，60）， ∴6k1＝60， 解得k1＝10， ∴y甲＝10x； 当0≤x≤2时，15x﹣10x＝5， 解得x＝1； 当2＜x≤6时，|5x+20﹣10x|＝5， 解得x＝3或x＝5． 答：当两队所挖的河渠长度之差为5m时，x的值为1h或3h或5h． 【点评】此题主要考查学生对函数图象掌握情况及利用待定系数法求一次函数关系式，理解题意是解题的关键． 8．（2024春·吉林长春·八年级校考期末）一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，在整个过程中进水速度不变，同时修船过程中排水速度不变，船修好后不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽，设轮船触礁后船舱内积水量为，时间为，y与x之间的函数图象，如图所示．      (1)修船过程中排水速度为 ，a的值为 . (2)求修船完工后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)当船内积水量是船内最高积水量的时，直接写出x的值． 【分析】（1）先求出进水速度，再求出排水速度，最后根据船修好后不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，求出排水完成所用时间即可得出答案； （2）利用待定系数法求出函数关系式，并求出自变量x的取值范围即可； （3）分修船过程中和修完船后两种情况进行解答即可． 【解答】（1）解：进水速度为：， 排水速度为：， ∵船修好后不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同， ∴； 故答案为：1；24． （2）解：设修船完工后y与x之间的函数关系式为，根据题意得： ， 解得：， ∴修船完工后y与x之间的函数关系式为； （3）解：设修船过程中y与x之间的函数关系式为，根据题意得： ， 解得：， ∴修船过程中y与x之间的函数关系式为 当修船过程中，船内积水量是船内最高积水量的时，根据题意得： ， 解得：； 当船修好后不再进水，船内积水量是船内最高积水量的时，根据题意得： ， 解得：； 综上分析可知，当或时，船内积水量是船内最高积水量的． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，从函数图象中获得有用的信息，熟练掌握待定系数法． 题型四 利用图表信息解决实际问题 解题技巧提炼 利用表格给出的信息，采用待定系数法求出函数解析式，进而解答实际问题. 1．（2024秋•曹县期末）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表： 目的地 甲地 乙地 每吨费用（元） 150 240 设运往甲地为x吨，全部运出的总费用为y元． （1）求y与x间的函数表达式； （2）若该公司运出货物的总费用为5400元，求该公司运往乙地多少吨货物？ 【分析】（1）根据总费用＝运往甲地和乙地的费用之和列出函数解析式； （2）令y＝5400，解方程即可． 【解答】解：（1）设运往甲地为x吨，则运往乙地（30﹣x）吨， 根据题意得：y＝150x+240（30﹣x）＝﹣90x+7200， ∴y与x间的函数表达式为y＝﹣90x+7200； （2）当y＝5400时，﹣90x+7200＝5400， 解得x＝20， 此时30﹣x＝10， 答：若该公司运出货物的总费用为5400元，则该公司运往乙地10吨货物． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． 2．（2024春•邵阳期末）为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm桌子高度ycm． 第一套 第二套 椅子高度xcm 40 37 桌子高度ycm 75 70 （1）请确定y与x的函数关系式． （2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？ 【分析】（1）由于y应是x的一次函数，根据表格数据利用待定系数法即可求解； （2）利用（1）的函数关系式代入计算即可求解． 【解答】解：（1）依题意设y＝kx+b， 则， 解之得：k，b， ∴yx； （2）当x＝39时，y3978.2， ∴一把高39cm的椅子和一张高为78.2cm的课桌不配套． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，解题时扇形正确理解题意，然后根据题意求出函数关系式即可解决问题． 3．已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度． 水银柱的长度x（cm） 4.2 … 8.2 9.8 体温计的读数y（℃） 35.0 … 40.0 42.0 （1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； （2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数． 【分析】（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，由统计表的数据建立方程组求出其解即可； （2）当x＝6.2时，代入（1）的解析式就可以求出y的值． 【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得 ， 解得：， ∴yx+29.75． ∴y关于x的函数关系式为：y29.75； （2）当x＝6.2时， y6.2+29.75＝37.5． 答：此时体温计的读数为37.5℃． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 4．（2024秋•兴化市期末）客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李质量超过规定时，需付的行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数，且部分对应关系如表所示． x（kg） … 30 40 50 … y（元） … 4 6 8 … （1）求y关于x的函数表达式； （2）求旅客最多可免费携带行李的质量； （3）当行李费2≤y≤7（元）时，可携带行李的质量x（kg）的取值范围是　 　． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答； （2）令y＝0时求出x的值即可； （3）分别求出2≤y≤7时的x的取值范围，然后解答即可． 【解答】解：（1）∵y是 x的一次函数， ∴设y＝kx+b（k≠0） 将x＝30，y＝4；x＝40，y＝6分别代入y＝kx+b，得 ， 解得： ∴函数表达式为y＝0.2x﹣2， （2）将y＝0代入y＝0.2x﹣2，得0＝0.2x﹣2， ∴x＝10， （3）把y＝2代入解析式，可得：x＝20， 把y＝7代入解析式，可得：x＝45， 所以可携带行李的质量x（kg）的取值范围是20≤x≤45， 故答案为：20≤x≤45． 【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量． 5．（2024•南关区校级模拟）如图①，一个底面是正方形的长方体铁块放置在高为50cm的圆柱形容器内，现以一定的速度往容器内注水，注满容器为止．容器顶部离水面的距离y（cm）与注水时间x（min）之间的函数图象如图②所示． （1）长方体的高度为 　 cm． （2）求该容器水面没过长方体后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）若该长方体的底面积为81cm2，直接写出该圆柱形容器的底面积S的值． 【分析】（1）直接利用一次函数图象结合水面高度的变化得出长方体的高； （2）直接利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用函数图象得出自变量x的取值范围； （3）利用一次函数图象结合水面高度的变化得出该圆柱形容器的底面积． 【解答】解：（1）由题意可得：0至3min时，容器顶部离水面的距离变小得快，3分钟后容器顶部离水面的距离变小减慢， 故长方体的高为50﹣30＝20（cm）； 故答案为：20． （2）容器水面没过长方体后y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 由题意得， 解得， ∴该容器水面没过长方体后y与x之间的函数关系式为yx+35． 当y＝0时，x+35＝0，解答x＝21， ∴自变量x的取值范围为3≤x≤21． （3）设每分钟的注水量为mcm3，则下底面中未被长方体覆盖部分的面积是：m（cm2）， 圆柱体的底面积为：m（cm2）， 二者比为 ：1：4， ∴长方体底面积：圆柱体底面积＝3：4． ∴该圆柱形容器的底面积为：S＝81108（cm2）． 答：该圆柱形容器的底面积为108cm2． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用以及利用图象获取正确信息，难度中等，利用已知图象得出正确信息是考查重点，需牢固掌握，解答时计算长方体的体积与容器的体积的比是难点． 6．（2024春·河北唐山·八年级统考期末）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作： 请根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球量筒中水面升高　 　cm； （2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 【分析】（1）比较第一、二两个量桶可知，放入三个球，水面上升6cm，由此可求放入一个小球量桶中水面升高的高度； （2）根据（1）的结论可知，放入小球x（个）后，量桶中水面的高度，即可得到y与x的一次函数关系式； （3）根据（2）可以得出y＞49，再进行求解即可得出答案． 【解答】解：（1）36-30=6（cm）, 6÷3=2（cm） 故答案为：2； （2）设y＝kx+b，把（0，30），（3，36）， 代入得：， 解得， 即y＝2x+30； （3）由2x+30＞49， 得x＞9.5， 即至少放入10个小球时有水溢出． 【点评】本题主要考查一次函数实际应用问题，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用． 7．（2024秋•南岸区期末）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元/（吨•km），铁路的运价为1.0元/（吨•km）． （1）从A地运回m吨原材料到工厂，需要的运费是多少？（用含m的代数式表示） （2）若其中一批原料，从A地运回，到生产成产品运到B地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料是多少吨？每吨原料能加工成的产品数量是多少？ （3）若生产该产品，每月的其它成本费为350000元，每吨的生产费为3000元，求该产品每月的毛利润w与原料x吨之间的函数关系． （规定：每月的毛利润＝销售额﹣原料费﹣其它成本费﹣生产费﹣运输费） 【分析】（1）根据“总运费＝铁路运费+公路运费”列式计算即可； （2）设这一批原料有a吨，生产成的产品有b吨，根据“从A地运回，到生产成产品运到B地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元”列出方程组，解出方程组即可； （3）根据“每月的毛利润＝销售额﹣原料费﹣其它成本费﹣生产费﹣运输费”列式即可． 【解答】解：（1）根据“总运费＝铁路运费+公路运费”列式计算可得： 120×1.0m+10×1.5m＝135m（元）； 答：需要的运费是135m元； （2）设这一批原料有a吨，生产成的产品有b吨， ∴ ∴， 300÷500＝0.6（吨）， 答：这一批原料有500吨；每吨原料能加工成的产品是0.6吨． （3）由题意可得： w＝8000×0.6x﹣1000x﹣350000﹣3000x﹣135x﹣（110x+20x×1.5）×0.6x， ∴w＝581x﹣350000． 【点评】本题主要考查列代数式以及二元一次方程组的应用，正确找出数量关系是解答本题的关键． 题型五 实际问题中的分段函数 解题技巧提炼 学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点： ⑴在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。 ⑵分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线. ⑶分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解,尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义. 1．（2024秋•中原区校级期中）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x kg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．甲园的门票费用是60元 B．草莓优惠前的销售价格是40元/kg C．乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折 D．若顾客采摘15kg草莓，那么到甲园比到乙园采摘更实惠 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象可得， 甲园的门票费用是60元，故选项A正确； 草莓优惠前的销售价格是200÷5＝40（元/千克），故选项B正确； 乙园超过5千克后，超过的部分价格优惠是打40×10＝5折，故选项C正确； 若顾客采摘15千克草莓，那么到甲园和乙园采花费一样多，故选项D错误； 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．（2024•鹿城区校级模拟）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为 　 　． 【分析】根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s，满过“几何体”上方圆柱需24s﹣18s＝6s，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42s﹣24s＝18s，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得a•（30﹣15）＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18），再解方程即可． 【解答】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：42s﹣24s＝18（s）， 这段高度为：14﹣11＝3（cm）， 设匀速注水的水流速度为x cm3/s，则18•x＝30×3， 解得x＝5， 即匀速注水的水流速度为5cm3/s； “几何体”下方圆柱的高为a，则a•（30﹣15）＝18×5， 解得a＝6， 所以“几何体”上方圆柱的高为11﹣6＝5（cm）， 设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18）， 解得S＝24， 即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2． 故答案为：24cm2． 【点评】本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题． 3．（2024秋•埇桥区校级期中）为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过7立方米，每立方米收取1元外加0.4元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.3元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元． （1）求出y关于x的函数解析式； （2）该市一户某月若用水x＝10立方米时，求应缴水费； （3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量． 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出各段对应的函数解析式； （2）将x＝10代入（1）中的函数解析式，求出相应的函数值即可； （3）用26.6与（2）中的结果比较大小，即可判断x的取值范围，然后代入（1）中相应的函数解析式，求出x的值即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 当0≤x≤7时，y＝（1+0.4）x＝1.4x， 当x＞7时，y＝（1+0.4）×7+（x﹣7）×（1.5+1.3）＝2.8x﹣9.8， 由上可得，y关于x的函数解析式为y； （2）当x＝10时，y＝2.8×10﹣9.8＝18.2， 即该市一户某月若用水x＝10立方米时，应缴水费18.2元； （3）∵26.6＞18.2， ∴该用户的用水量超过10立方米， 令2.8x﹣9.8＝26.6， 解得x＝13， 答：该户这月用水量为13立方米． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 4．（2024•四平模拟）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司研发出一款新能源纯电动车，如图是这款电动车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象． （1）当0≤x≤150时，1千瓦时的电量新能源纯电动车能行驶的路程为5千米， 则a＝　 　； （2）当150≤x≤190时，求y关于x的函数表达式； （3）请计算当新能源纯电动车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量． 【分析】（1）根据函数图象中的数据，1千瓦时的电量新能源纯电动车能行驶的路程为5千米，汽车已经行驶的路程，求出a的值； （2）根据函数图象中的数据，可以计算出当150≤x≤190时，y关于x的函数解析式， （3）然后将x＝160代入求出相应的y值即可． 【解答】解：（1）由图象可得， 当0≤x≤150时，1千瓦时的电量新能源纯电动车能行驶的路程为5千米，汽车能行驶150千米耗电为：150÷5＝30（千瓦时）， a＝60﹣30＝30， 故答案为：30； （2）当150≤x≤200时，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b， ∵点（150，30），（190，10）在该函数图象上， ∴， 解得， 即当150≤x≤200时，y关于x的函数解析式是y＝﹣0.5x+105； （3）当x＝160时，y＝﹣0.5×160+105＝25， 答：y关于x的函数解析式是y＝﹣0.5x+105，当新能源纯电动车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量25千瓦时． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明题意，利用数形结合的思想解答． 5．（2024秋•霍邱县月考）有一鱼缸，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示： （1）当0≤x≤5时，求y关于x的函数表达式； （2）当5＜x≤15时，求y关于x的函数表达式； （3）每分钟进水、出水各是多少升？ 【分析】（1）当0≤x≤5时，设y＝kx，将（5，20）代入，利用待定系数法即可求出对应的函数关系式； （2）当5＜x≤15时，设y随x变化的函数解析式为y＝ax+b．将（5，20）、（15，30）代入，利用待定系数法即可求出对应的函数关系式； （3）首先求出每分钟进水20÷5＝4升，设每分钟出水m升，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx，将（5，20）代入函数解析式可得： ∴5k＝20， ∴k＝4， ∴y＝4x（0≤x≤5）； （2）设y＝ax+b， 将（5，20）、（15，30）代入函数解析式可得： ∴， ∴， ∴y＝x+15（5＜x≤15）； （3）每分钟进水20÷5＝4升，设每分钟出水m升， 则4×（15﹣5）﹣（15﹣5）m＝30﹣20， 解得m＝3， 答：每分钟进水、出水各是4升、3升． 【点评】此题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意，利用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键． 6．（2024•辽宁模拟）辽宁省今年南果梨喜获丰收．国庆节当天甲超市进行南果梨优惠促销活动，南果梨销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示． （1）当x≥4时，求销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式； （2）乙超市南果梨的标价为20元/千克，国庆节当天也进行优惠促销活动，按标价的8折销售．若购买12千克南果梨，通过计算说明在哪个超市购买更划算． 【分析】（1）设销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为y＝kx+b，用待定系数法即可求解； （2）分别计算两个超市所需费用，比较，即可求解． 【解答】解：（1）当x≥4时，设销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为y＝kx+b， 将（4，80），（10，152）代入得， ， 解得， ∴当x≥4时，销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为：y＝12x+32； （2）依题意，甲超市：12×12+32＝176（元）， 乙超市：20×0.8×12＝192（元）， ∵176＜192， ∴甲超市更划算． 【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从图象中获取信息，掌握待定系数法是解题的关键． 7．（2024秋•庐阳区校级月考）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取．居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． （1）若用水不超过10吨，水费为 　 元/吨． （2）当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式． （3）若某户居民8月共交水费65元，求该户居民8月共用水多少吨？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出用水不超过10吨时，每吨的水费； （2）根据图象中的数据，可以计算出当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式； （3）先判断用水的范围，再计算即可． 【解答】解：（1）由图象可得， 若用水不超过10吨，水费为25÷10＝2.5（元/吨）， 故答案为：2.5； （2）设当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为y＝kx+b． ∵点（10，25），（16，49）在该函数图象上， ∴， 解得， ∴当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为y＝4x﹣15； （3）∵65＞25， ∴该户居民用水量超过10吨． 将y＝65 代入y＝4x﹣15， 4x﹣15＝65， 解得x＝20， 答：该户居民8月共用水20吨． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．（2024春•潼南区期末）某校组队参加庆祝中国共青团成立100周年经典诵读比赛，需要为参赛选手每人配备一个朗诵文件夹．已知甲、乙两家店铺销售同款文件夹，原价相同，但销售方式不同，在甲店铺，无论一次性购买多少个文件夹，一律打8.5折；在乙店铺，当购买数量不超过30个时，按原价出售，当购买数量超过30个时，超过的部分打7折．设该校需购买x个朗诵文件夹，在甲店铺购买所需的费用为y1元，在乙店铺购买所需的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示． （1）分别求出y1，y2关于x的函数解析式； （2）求图中m的值，并说明m的实际意义； （3）若该学校一次性购买朗诵文件夹的数最超过40个，但不超过90个，到哪家店铺购买更优惠？ 【分析】（1）根据甲、乙商店的不同销售方案，可得关系式，注意乙商店的； （2）根据等量关系：甲商店所需费用＝乙商店所需费用，列出方程并求解即可； （3）注意分情况讨论，当m＝7m+90时，当m＜7m+90时，当m＞7m+90时，解之即可． 【解答】解：（1）文件夹的原价：300÷30＝10（元），30个文件夹的价格：30×10×0.85＝255（元）， 由题意得，设y1＝kx， 把（30，255）代入得，k， ∴y1x； 当0≤x≤30时，设y2＝kx，把（30，300）代入得，k＝10， ∴y2＝10x； 当x＞30时，y2＝10×30+10×0.7×（x﹣30）＝7x+90， ∴y2， 答：y1关于x的函数解析式是y1x，y2关于x的函数解析式是y2． （2）当m＝7m+90时，m＝60， m的实际意义是当购买60个朗诵文件夹时，甲乙两家商店花费相同． （3）当x＝7x+90时，即x＝60，两家店铺所需费用相同； 当x＜7x+90时，即40＜x＜60，选择甲店铺更合算； 当x＞7x+90时，即60＜x≤90，选择乙店铺更合算． 【点评】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用．题目难度不大．理解两个店铺不同的销售方案是解决本题的关键． 题型六 利用一次函数解决最值问题 解题技巧提炼 根据题意求出函数解析式，再利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键． 1．（2024秋•安徽期中）近年来，宣城市不断践行德智体美劳“五育并举”目标，努力将劳动教育落到实处，某校八年级策划举行劳动技能比赛，计划购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本． （1）设买A种笔记本n本，买两种笔记本的总费用为w元，求w关于n的函数表达式； （2）在（1）的条件下，若购买A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的，但又不少于B种笔记本数量的，则购买这两种笔记本各多少时费用最少？最少的费用是多少元？ 【分析】（1）设买A种笔记本n本，则买B种笔记本（30﹣n）本，根据总费用＝A，B两种笔记本费用之和列出函数解析式； （2）根据购买A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的，但又不少于B种笔记本数量的，求出n的取值范围，再由函数的性质求最值． 【解答】解：（1）由题意得：w＝12n+8（30﹣n）＝4n+240， ∴w关于n的函数表达式为w＝4n+240； （2）由题意得，， 解得5≤n， ∵w＝4n+240， ∴w随着n的增大而增大， ∴当n＝5时，w取最小值，最小值为260， 此时30﹣n＝25． 答：购买A种笔记本5本，B种笔记本25本时费用最少，最少的费用是260元． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． 2．（2024春•固始县期末）我省要按照城市功能特点，城区消费到2022年，建设20个省内特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造郑州“夜商都”等地方夜消费品牌升级版．允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示： 甲商品 乙商品 进价（元/件） 35 5 售价（元/件） 45 8 小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售．设小王购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后获得的利润为y元． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲，乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大？ 【分析】（1）由y＝甲商品利润+乙商品利润，可得解析式； （2）根据购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍列出不等式，求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题． 【解答】解：（1）由题意可得：y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300， ∴y与x之间的函数关系式为y＝7x+300； （2）由题意，得100﹣x≥3x， 解得x≤25． ∵y＝7x+300， ∴k＝7＞0， ∴y随x增大而增大， ∴x＝25时，y的值最大， 100﹣25＝75， 答：当购进甲种商品25件，乙种商品75件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会利用一次函数的性质解决实际问题中的最值问题． 3．（2024秋•福田区校级期末）某快递公司为提高效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨． （1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2.5万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共20台，同时厂家要求A型机器人购买量不得少于10台．请报据以上要求，求出A、B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，根据“每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨”列方程组解答即可； （2）题目中的不等关系是：厂家要求A型机器人购买量不得少于10台，等量关系是：总费用＝A型机器费用+B型机器费用，极值问题来利用函数的递增情况解决． 【解答】解：（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，根据题意得：， 解得：， 答：每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物75吨； （2）设：A种机器人采购m台，B种机器人采购（20﹣m）台，总费用为w（万元），根据题意得：m≥10； w＝3m+2.5（20﹣m）＝05m+50， ∵0.5＞0， ∴w随着m的减少而减少． ∴当m＝10时，w有最小值，最小值为＝0.5×10+50＝55． ∴A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是55万元． 【点评】考查二元一次方程组的应用，一次函数应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，并列出对应的方程组，极值问题来利用函数的递增情况解决 4．（2024秋•乌鲁木齐月考）乌鲁木齐市某水果店为庆祝2024年国庆节计划将50个哈密瓜与140个火龙果搭配成A，B两种礼盒出售，A礼盒装2个哈密瓜和7个火龙果，B礼盒装1个哈密瓜和2个火龙果，结果哈密瓜全部装完，火龙果还有剩余，设装有A礼盒共x份，B礼盒共y份． （1）求出y关于x的函数关系式； （2）A礼盒最多可以装多少份？ （3）若哈密瓜成本每个10元，火龙果成本每个6元，装成礼盒后A礼盒每份售价90元，B礼盒每份售价30元，剩余火龙果售价每个8元，问怎样销售利润最大？最大利润为多少元？ 【分析】（1）根据“50个哈密瓜搭配成A，B两种礼盒出售，A礼盒装2个哈密瓜，B礼盒装1个哈密瓜，结果哈密瓜全部装完，设装有A礼盒共x份，B礼盒共y份．”可得2x+y＝50，变形即可求解； （2）根据“50个哈密瓜与140个火龙果搭配成A，B两种礼盒出售，A礼盒装2个哈密瓜和7个火龙果，B礼盒装1个哈密瓜和2个火龙果，结果哈密瓜全部装完，火龙果还有剩余”可列不等式，求解即可； （3）根据题意列出函数关系式，根据一次函数的性质求最大值即可． 【解答】解：（1）由题意可得：y关于x的函数关系式为y＝﹣2x+50； （2）由题意得：y＝﹣2x+50①，7x+2y＜140②， 把①代入②，得7x+2（﹣2x+50）＜140， 解得， ∵x为整数， ∴x的值最大为13． 答：A礼盒最多可以装13份； （3）设利润为w， 则w＝90x+30y+8（140﹣7x﹣2y）﹣10×50﹣6×140＝34x+14y﹣220， 把y＝﹣2x+50代入，整理得w＝6x+480， ∵6＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝13时，w的值最大，最大值为：6×13+480＝558（元）， 此时y＝﹣2x+50＝﹣2×13+50＝24（份）， 答：装13份A礼盒，24份B礼盒时利润最大，最大利润为558元． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题关键是根据题意列出不等式或函数解析式去求解． 5．（2024•灌云县二模）新春佳节来临，某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 苹果 芦柑 香梨 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（万元） 0.15 0.2 0.1 （1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围 （2）用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 【分析】（1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，则运香梨的车辆（10﹣x﹣y）辆．根据表格可列出等量关系式7x+6y+5（10﹣x﹣y）＝60，化简得y＝﹣2x+10（2≤x≤4）； （2）由利润＝车辆数×每车水果获利可得w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，则运香梨的车辆（10﹣x﹣y）辆． 7x+6y+5（10﹣x﹣y）＝60， ∴y＝﹣2x+10（2≤x≤4）； （2）w＝7×0.15x+6×0.2（﹣2x+10）+5×0.1[10﹣x﹣（﹣2x+10）]， 即w＝﹣0.85x+12， ∵﹣0.85＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝2时，w有最大值10.3万元， ∴装运苹果的车辆2辆，装运芦柑的车辆6辆，运香梨的车辆2辆时，此次销售获利最大，最大利润为10.3万元． 【点评】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，理清题目中的数量关系是解题的关键． 6．（2024秋•庐阳区校级期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ （3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少b元，售价不变，且a﹣b＝4，若最大利润为4000元，求a的值． 【分析】（1）根据总利润＝甲、乙两种服装利润之和列出函数解析式； （2）先确定自变量的取值范围，再根据一次函数增减性求最值； （3）先写出y与x之间的函数关系式，再一次项系数大于0，等于0，小于0三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）由题意得：y＝（210﹣160）x+（150﹣120）×（100﹣x）＝20x+3000， ∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+3000； （2）由题意得：， 解得60≤x≤75， ∵y＝20x+3000中，20＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝75时，y有最大值，最大值＝20×75+3000＝4500（元）． ∴最大利润为4500元； （3）∵a﹣b＝4， ∴b＝a﹣4， 由题意得：y＝（210﹣160﹣a）x+（150﹣120+b）（100﹣x） ＝（50﹣a）x+（30+b）×100﹣（30+b）x ＝（24﹣2a）x+100a+2600． ∵60≤x≤75，0＜a＜20， ∴当0＜a＜12时，24﹣2a＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝75时，y最大＝（24﹣2a）×75+100a+2600＝4000， 解得a＝8，符合题意； 当a＝12时，y＝100×12+2600＝3800≠4000，不合题意； 当12＜a＜20时，24﹣2a＜0， y随x的增大而减小． ∴当x＝60时，y最大＝（24﹣2a）×60+100a+2600＝4000， 解得a＝2，不合题意，舍去． 综上，a＝8． 【点评】本题考查一次函数的应用，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． 7．（2024春•无棣县期末）我县某百货公司准备购进甲、乙两种商品，已知购进4件甲商品和3件乙商品，需要1550元；购进5件甲商品和4件乙商品，需要2000元． （1）求甲、乙两种商品的进货单价分别是多少元？ （2）若该公司购进甲商品400件，乙商品600件，准备把这些商品全部运往A、B两地销售．已知每件甲商品运往A、B两地的运费分别为20元和25元；每件乙商品运往A、B两地的运费分别为15元和24元．若运往A地的商品共480件，运往B地的商品共520件． ①设运往A地的甲商品为x（件），投资总运费为y（元），请写出y与x的函数关系式； ②怎样调运甲、乙两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用+运费） 【分析】（1）设甲商品的进货单价为x元，乙商品的进货单价为y元，根据购进4件甲商品和3件乙商品，需要1550元；购进5件甲商品和4件乙商品，需要2000元，列出不等式组，解不等式组即可； （2）①设运往A地的甲商品为x件，则设运往B地的甲商品为（400﹣x）件，运往A地的乙商品为（480﹣x）件，运往B地的乙商品为（120+x）件，根据每件甲商品运往A、B两地的运费分别为20元和25元；每件乙商品运往A、B两地的运费分别为15元和24元，列出函数解析式即可； ②先求出总费用与x的函数解析式w＝4x+250080，根据函数的增减性，求出结果即可． 【解答】解：（1）设甲商品的进货单价为x元，乙商品的进货单价为y元， 根据题意，得， 解得：， 答：甲商品的进货单价为200元，乙商品的进货单价为250元； （2）①设运往A地的甲商品为x件，则设运往B地的甲商品为（400﹣x）件，运往A地的乙商品为（480﹣x）件，运往B地的乙商品为（520﹣400+x）＝（120+x）件， 则y＝20 x+25（400﹣x）+15（480﹣x）+24（120+x）＝4 x+20080， ∴y与x的函数关系式为：y＝4x+20080； ②投资总费用w＝400×200+600×250+4x+20080＝4x+250080， 自变量的取值范围是：0≤x≤400， ∵k＝4＞0， ∴w随x增大而增大． 当x＝0时，w取得最小值，w最小＝250080（元）， ∴最佳调运方案为：调运480件乙商品到甲地，调运400件甲商品、120件乙商品到乙地，最少费用为250080元． 答：调运480件乙商品到A地，调运400件甲商品、120件乙商品到B地总费用最少，最少费用为250080元． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，写出函数解析式． 题型七 利用一次函数解决选择方案问题 解题技巧提炼 方案选择问题首先根据题意分别用函数表达式表示出各自的收费标准，然后列方程、不等式根据一次函数的性质来进行选择最佳的方案即可. 1．（2024秋•连平县期中）一个代号为Master的神秘棋手打败众多围棋领域的高手，引起人们的广泛关注，后Master自曝身份，原来它是谷歌人工智能产品AlphaGo的升级版．某教学网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式： 收费方式 月使用费（元） 包时上网时间（h） 超时费（元/h） A 70 25 6 B 100 50 8 设小明每月上网学习人工智能课程的时间为xh，方案A，B的收费金额分别为yA元、yB元（包时上网时间是指月使用费中包含的上网时间，超过该时间需另外付费）． （1）当x≥50时，分别求出yA，yB与x之间的函数关系式； （2）若小明3月份上该网站学习的时间为60h，则他选择哪种方式上网学习合算？ 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以分别求出yA，yB与x之间的函数关系式； （2）将x＝60代入（1）中的函数关系式，求出yA，yB的值，然后比较大小，即可得到选择哪种方式上网学习合算． 【解答】解：（1）由题意可得， 当x≥50时，yA与x之间的函数关系式为：yA＝70+（x﹣25）×6＝6x﹣80， yB与x之间的函数关系式为：yB＝100+（x﹣50）×8＝8x﹣300； （2）当x＝60时， yA＝6×60﹣80＝280， yB＝8×60﹣300＝180， ∵280＞180， ∴yA＞yB， 故选择B方式上网学习合算． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式和函数值． 2．（2024秋•历城区校级月考）某移动公司设了两类通讯业务，A类收费标准为不管通话时间多长使用者都应缴50元月租费，然后每通话1分钟，付0.4元，B类收费标准为用户不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元，若一个月通讯x分钟，两种方式费用分别是yA，yB元． （1）分别写出yA，yB与x之间的函数关系式． （2）某人估计一个月通话时间为300分钟，应选哪种通讯方式合算些，请书写计算过程． （3）小明用的A卡，他计算了一下，若是B卡，他本月话费将会比现在多100元，请你算一下小明实际话费是多少元？ 【分析】（1）A类应缴50元月租费，每通话1分钟，付0.4元，则费用是月租费加上通话费；B类不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元，则费用是通话费与时间的乘积，通讯x分钟，由此即可求解； （2）由（1）的结论可知，当x＝300时，yA＝170元，yB＝180元，由此即可求解； （3）由题意可知选择A卡的费用比选择B卡的费用少100元，由此可列出等量关系yA+100＝yB，由此即可求解． 【解答】解：（1）根据题意得，A类的费用是月租费加上通话费，即yA＝50+0.4x； B类的费用是通话费与时间的乘积，即yB＝0.6x， ∴yA＝50+0.4x，yB＝0.6x． （2）通话时间为300分钟，根据（1）中的结论得， yA＝50+0.4x＝50+0.4×300＝170（元），yB＝0.6x＝0.6×300＝180（元）， ∵yA＜yB， ∴选择A类； （3）根据题意得，yA+100＝yB， ∴50+0.4x+100＝0.6x，解方程得，x＝750，即小明打电话的时间为750分钟， ∴yA＝50+0.4x＝50+0.4×750＝350（元）， ∴小明实际话费是350元． 【点评】本题主要考查一次函数在实际中的运用，解题的关键是理解两类缴费的方式，A类的费用是月租费加上通话费，B类的费用是通话费与时间的乘积． 3．（2024秋•章丘区期末）某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是 　 　元；甲复印社每张收费是 　 　元； （2）分别求出甲、乙两复印社收费情况关于复印张数x的函数解析式； （3）每月复印多少张时，选择乙复印社较为便宜？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出乙复印社要求客户每月支付的承包费是多少元和甲复印社每张收费； （2）用待定系数法可以求得； （3）根据（2）的结论列不等式解答即可． 【解答】解：（1）由图可知， 乙复印社要求客户每月支付的承包费是18元； 甲复印社每张收费是10÷50＝0.2（元）． 故答案为：18；0.2； （2）设乙复印社收费情况y关于复印张数x的函数解析式为y＝kx+b， 把（0，18）和（50，22）代入解析式得： ， 解得：， ∴乙复印社收费情况y关于复印张数x的函数解析式为y＝0.08x+18； 设甲复印社收费情况y关于复印张数x的函数解析式为y＝mx， 则50x＝10， 解得：x＝0.2， ∴y＝0.2x； （3）当0.08x+18＜0.2x时， 解得：x＞150， 即每月复印大于150张时，选择乙复印社较为便宜． 【点评】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 4．（2024春•潼南区期末）某校组队参加庆祝中国共青团成立100周年经典诵读比赛，需要为参赛选手每人配备一个朗诵文件夹．已知甲、乙两家店铺销售同款文件夹，原价相同，但销售方式不同，在甲店铺，无论一次性购买多少个文件夹，一律打8.5折；在乙店铺，当购买数量不超过30个时，按原价出售，当购买数量超过30个时，超过的部分打7折．设该校需购买x个朗诵文件夹，在甲店铺购买所需的费用为y1元，在乙店铺购买所需的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示． （1）分别求出y1，y2关于x的函数解析式； （2）求图中m的值，并说明m的实际意义； （3）若该学校一次性购买朗诵文件夹的数最超过40个，但不超过90个，到哪家店铺购买更优惠？ 【分析】（1）根据甲、乙商店的不同销售方案，可得关系式，注意乙商店的； （2）根据等量关系：甲商店所需费用＝乙商店所需费用，列出方程并求解即可； （3）注意分情况讨论，当m＝7m+90时，当m＜7m+90时，当m＞7m+90时，解之即可． 【解答】解：（1）文件夹的原价：300÷30＝10（元），30个文件夹的价格：30×10×0.85＝255（元）， 由题意得，设y1＝kx， 把（30，255）代入得，k， ∴y1x； 当0≤x≤30时，设y2＝kx，把（30，300）代入得，k＝10， ∴y2＝10x； 当x＞30时，y2＝10×30+10×0.7×（x﹣30）＝7x+90， ∴y2， 答：y1关于x的函数解析式是y1x，y2关于x的函数解析式是y2． （2）当m＝7m+90时，m＝60， m的实际意义是当购买60个朗诵文件夹时，甲乙两家商店花费相同． （3）当x＝7x+90时，即x＝60，两家店铺所需费用相同； 当x＜7x+90时，即40＜x＜60，选择甲店铺更合算； 当x＞7x+90时，即60＜x≤90，选择乙店铺更合算． 【点评】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用．题目难度不大．理解两个店铺不同的销售方案是解决本题的关键． 5．（2024秋•天桥区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式； （2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？ （3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式； （2）根据（1）的结论联立方程组解答即可； （3）分别令（1）中的y＝240，求出对应的x的值，再比较即可． 【解答】解：（1）设y甲＝k1x， 根据题意得4k1＝80，解得k1＝20， ∴y甲＝20x； 设y乙＝k2x+80， 根据题意得：12k2+80＝200， 解得k2＝10， ∴y乙＝10x+80； （2）解方程组 解得：， ∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元； （3）当y＝240时，y甲＝20x＝240， ∴x＝12； 当y＝240时，y乙＝10x+80＝240， 解得x＝16； ∵12＜16， ∴选择乙种更合算． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键． 6．（2024春•虞城县校级期末）“每天一杯纯牛奶”已经成为人们生活的健康时尚，市场上对牛奶的需求越发增大．某乳品公司每月均需通过“飞快”快递公司向A地输送一批牛奶．“飞快”公司给出三种运费方案，具体如下： 方案一：每千克运费0.45元，按实际运输重量结算； 方案二：每月收取600元管理费用，再每千克运费0.15元； 方案三：每月收取1350元包干，不限运输重量． 设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为y1元，选择方案二时，运费为y2元，选择方案三时，运费为y3元． （1）请直接写出y1，y2，y3与x之间的关系式； （2）在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出点C，D，E的坐标，并直接写出如何选择方案更合算． 【分析】（1）根据题意可得y1，y2，y3与x之间的关系式； （2）根据（1）的结论列方程可得点C，D，E的坐标，再根据点C，D，E的坐标可得结论． 【解答】解：（1）由题意得y1＝0.45x；y2＝0.15x+600；y3＝1350； （2）解方程0.45x＝0.15x+600，得x＝2000， 0.45×2000＝900， 故点C的坐标为（2000，900）； 解方程0.45x＝1350，得x＝3000， 故点D的坐标为（3000，1350）； 解方程0.15x+600＝1350，得x＝5000， 故点E的坐标为（5000，1350）； 由图象可知，当0＜x＜2000时，采用方案一更合算；当x＝2000时，费用方案一，二费用一样；当2000＜x≤5000时，采用方案二更合算；当x＝5000时，方案二，三费用一样，当x＞5000时，采用方案三更合算． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 7．（2024•新安县一模）民族要复兴，乡村必振兴．2月21日发布的2021年中央一号文件，主题是全面推进乡村振兴，加快农业农村现代化．乡村振兴战略的实施效果要用农民生活富裕水平来评价，某合作社为尽快打开市场，对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下： 线下销售模式：标价5元/千克，八折出售； 线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利1.5元． 购买这种新产品x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示． 根据以上信息回答下列问题： （1）请求出两种销售模式对应的函数解析式； （2）说明图中点C坐标的实际意义； （3）若想购买这种产品10千克，请问选择哪种模式购买最省钱？ 【分析】（1）由题意，用待定系数法求函数解析式即可； （2）由图象知，点C是射线OA和折线OBD的交点，说明x取同一个值时，函数值y相等，从而说明点C坐标的实际意义； （3）把x＝10分别代入y＝4x和y＝3x+9求值即可． 【解答】解：（1）由题意知，图中射线OA为线下销售，折线OBD为线上销售， 线下销售：y＝5×0.8x＝4x； 线上销售：当0≤x≤6时，y＝5×0.9x＝4.5x， 当x＞6时，y＝5×0.9×6+（x﹣6）×（5×0.9﹣1.5）＝27+3（x﹣6）＝3x+9， ∴y， ∴线下销售y与x之间的函数关系为y＝4x，线上销售y与x之间的函数关系为y； （2）图象得：4x＝3x+9， 解得：x＝9， y＝4×9＝36， ∴C（9，36）， ∴图中点C坐标的实际意义为当购买9千克产品时，线上线下都花费36元； （3）购买10千克产品线下需花费：4×10＝40（元）， 线上需花费：3×10+9＝39（元）， ∴购买这种产品10千克，线上购买最省钱． 或：根据图象，当x＞9时，线上购买比线下购买省钱． 【点评】本题考查一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键． 题型八 利用一次函数解决几何问题 解题技巧提炼 本题考查了动点问题的函数图象,三角形的面积公式等知识．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程,学会分类讨论的思想方法． 1．（2024春•武江区校级期末）在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y．（当点P与点A或D重合时，y＝0） （1）写出y与x之间的函数解析式； （2）直接写出△APD的面积的最大值． 【分析】（1）分三种情况：点P在AB上运动，点P在BC上运动，点P在CD上运动，分别求出y与x之间的函数解析式即可； （2）画出函数图象，观察图象可得答案． 【解答】解：（1）当点P在AB上运动时，即0≤x＜3时，yAD×AP4×x＝2x； 当点P在BC上运动时，即3≤x＜7时，yAD×AB4×3＝6； 当点P在CD上运动时，即7≤x≤10时，yAD×PD4×（10﹣x）＝﹣2x+20， 综上所述，y； （2）函数图象如下： 由图象可得，y最大为6， ∴△APD的面积的最大值是6． 【点评】本题考查动点问题的函数图象、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想方法． 2．如图①所示，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），三角形APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题： （1）点P在AB上运动的时间为　 　s，在CD上运动的速度为　 　cm/s，三角形APD的面积S的最大值为　 　cm2； （2）求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式； （3）当t为何值时，三角形APD的面积为10cm2 【分析】（1）直接根据函数图象上坐标可求出点P在AB上运动的时间为6s，在CD上运动的速度为 6÷3＝2cm/s； （2）用t表示PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t，代入面积公式可求S＝90﹣6t； （3）通过图象可知，△APD的面积为10cm2．即S＝10，分别在S＝3t和S＝90﹣6t，上代入即可求得t，t． 【解答】解：（1）点P在AB上运动的时间为 6s，在CD上运动的速度为 6÷3＝2cm/s， 当点P运动到点B时，△APD的面积S最大，最大值是6×6＝18cm2； 故答案为：6，2，18； （2）PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t， SAD•PD6×（30﹣2t）＝90﹣6t； （3）当0≤t≤6时，S＝3t， △APD的面积为10cm2，即S＝10时， ∴3t＝10， ∴t， 当12≤t≤15时，90﹣6t＝10， ∴t， 所以当t为（s）、（s）时，△APD的面积为10cm2． 【点评】本题是四边形综合题，考查了三角形面积，正方形的性质，函数的图象，解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意分类讨论思想的运用． 3．（2042春•景德镇期末）如图①所示，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，a秒时点P，Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/秒，点Q的速度变为ccm/秒，如图②所示的是△APD的面积S1（cm2）与点P出发时间x（秒）之间的关系．图③是△AQD的面积S2（cm2）与点Q出发时间x（秒）之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 ； （2）设点P，Q出发x（x＞a）秒后离开点A的路程分别为y1，cm，y2，cm，请分别写出y1，y2与x之间的关系式，并求出点P，Q相遇时x的值． 【分析】（1）根据题意和S△APD求出a，b，c的值； （2）首先求出y1，y2关于x的等量关系，然后根据题意可得y1＝y2求出x的值． 【解答】解：（1）观察图象得，S△APDPA•AD（1×a）×6＝24， 解得a＝8， ∴b2， （22﹣8）c＝（12×2+6）﹣2×8 解得c＝1， 故答案为：8，2，1； （2）依题意得：y1＝1×8+2（x﹣8），即y1＝2x﹣8（x＞8）， y2＝（30﹣2×8）﹣1×（x﹣8）＝22﹣x（x＞8）， ∵P与Q相遇时，y1＝y2， ∴2x﹣8＝22﹣x， 解得x＝10， ∴点P，Q相遇时x的值为10． 【点评】本题考查的是一次函数与图象的综合运用，主要考查一次函数的基本性质和函数的图象，难度中等． 4．（2023春•济南期末）如图1，已知△ABC中，BC＝6，AF为BC边上的高，P是BC上一动点，沿BC由B向C运动，连接AP，在这个变化过程中设BP＝x，且把x看成自变量，设△APC的面积为S，图2刻画的是S随x变化而变化的图象，根据图象回答以下问题： （1）△ABC的高AF的长为 　 　． （2）写出S与x的关系式 　 　． （3）设△ABP的面积为y，写出y与x的关系式，并求当x为何值时，△APC的面积与△ABP的面积相等？ 【分析】（1）由图象知，当x＝0时，S＝12，代入三角形面积公式，可得AF的长； （2）根据SCP×AF12﹣2x即可； （3）由题意知，y2x，当△APC的面积与△ABP的面积相等时，则2x＝12﹣2x，从而得出答案． 【解答】解：（1）当x＝0时， S＝S△ABC12， ∴12， ∴AF＝4， 故答案为：4； （2）SCP×AF12﹣2x， 故答案为：12﹣2x； （3）由题意知，y2x， 当△APC的面积与△ABP的面积相等时， 2x＝12﹣2x， ∴x＝3， ∴x＝3时，△APC的面积与△ABP的面积相等． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是理解函数图象中关键点所代表的意义，理解动点的完整运动过程． 5．（2024春•柳南区校级期末）如图1，已知长方形ABCD，AB＝CD，BC＝AD，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→D运动到D点停止，速度为2cm/s，设点P用的时间为x秒，△APD的面积为ycm2，y和x的关系如图2所示． （1）AB＝　 　cm，BC＝　 　cm； （2）写出0≤x≤3时，y与x之间的关系式； （3）当y＝12时，求x的值； （4）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APD的周长最小？若存在，请直接写出此时∠APD的度数． 【分析】（1）由题意得出AB＝6，AB+BC＝18，得出AD＝BC＝12即可； （2）当0≤x≤3时，由三角形面积公式得出y＝6x； （3）分两种情况：①当点P在AB上时，则y＝12x＝12，得出x＝1； ②当点P在CD上时，由三角形面积公式得出y＝144﹣12x，由题意得出144﹣12x＝12，解得x＝11即可； （4）延长AB至A'，使A'B＝AB，连接A'D交BC于P，连接AP，此时△APD的周长最小；证出△AA'D是等腰直角三角形，得出∠A'＝45°，由线段垂直平分线的性质得出AP＝PA'，得出∠A'＝∠BAP＝45°，由三角形外角性质即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得：CD＝AB＝3×2＝6，AB+BC＝9×2＝18， ∴AD＝BC＝18﹣6＝12， 故答案为：6，12； （2） 当0≤x≤3时，动点P在线段AB上，如图1所示： ∴y12×2x＝12x； 即y与x之间的关系式为y＝12x（0≤x≤3）； （3）分两种情况： ①当点P在AB上时，如图1所示： 则y＝12x＝12， 解得：x＝1； ②当点P在CD上时，如图3所示： 则AB+BC+CP＝2x，CP＝2x﹣6﹣12＝2x﹣18， ∴PD＝CD﹣CP＝6﹣（2x﹣18）＝24﹣2x， ∴△APD的面积为yAD×PD12×（24﹣2x）＝144﹣12x， 当y＝12时，144﹣12x＝12， 解得：x＝11； 综上所述，当y＝12时，x的值为1s或11s； （4）存在点P使得△APD的周长最小，∠APD＝90°；理由如下： 延长AB至A'，使A'B＝AB，连接A'D交BC于P，连接AP，如图4所示： 此时△APD的周长最小； AA'＝AB+A'B＝6+6＝12， ∴AD＝AA'＝12， ∴△AA'D是等腰直角三角形， ∴∠A'＝45°， 又∵∠ABC＝90°，BP是AA'的中垂线， ∴AP＝PA'， ∴∠A'＝∠BAP＝45°， ∴∠APD＝∠A'+∠BAP＝90°． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、三角形面积公式、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、函数图象以及分类讨论等知识；理解题意和图象，熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键． 6．（2024春•朝阳区校级月考）如图1，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿AB﹣BC﹣CD的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿DC﹣CB﹣BA路线运动，到点A停止．若点P、Q同时出发，速度分别为每秒1cm，2cm，a秒时，P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm，cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s和运动时间x（秒）的图象． （1）求出a值； （2）设点P已行的路程为y1，点Q还剩的路程为y2，请分别求出改变速度后，y1、y2与x的函数关系式； （3）当P、O两点都在BC边上时，若PQ＝3cm，求x的值． 【分析】（1）根据图象变化确定a秒时，P点位置，利用面积求a； （2）P、Q两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒．； （3）以（2）为基础可知，两个点相距3cm分为相遇前相距或相遇后相距，因此由（2）可列方程． 【解答】解：（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，△APD的面积保持不变， 则a秒时，点P在点AB上，则10AP＝30， ∴AP＝6，即6秒时，P、Q两点同时改变速度， ∴a＝6； （2）由（1）6秒后点P变速， ∴点P已行的路程为y1＝6+2（x﹣6）＝2x﹣6（6≤x≤20）， ∵Q点路程总长为34cm，第6秒时已经走12cm， ∴点Q还剩的路程为y2＝34﹣12（x﹣6）x（6≤x）； （3）当P、Q两点相遇前相距3cm时， x（2x﹣6）＝3， 解得x＝10； 当P、Q两点相遇后相距3cm时， （2x﹣6）﹣（x）＝3， 解得x， ∴当x＝10或时，P、Q两点相距3cm． 【点评】本题是四边形综合题，考查双动点问题，矩形的性质，一次函数的基本性质和函数的图象，路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$