第17章 函数及其图象（单元测试卷）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

第17章：《函数及其图象》章末综合检测卷 （试卷满分：120分，考试用时：120分钟） 姓名___________ 班级 考号______________ 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．（2024秋•荣成市期中）函数中自变量x的取值范围是（　　） A．且x≠﹣1 B． C．且x≠﹣1 D．x≠﹣1 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【解答】解：由二次根式的被开方数是非负数、分母不为零得：2﹣3x≥0且x+1≠0， 解得：x且x≠﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键． 2．（2024秋•临泽县校级期中）已知函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 【分析】根据正比例函数的定义，可得m+1≠0，m2﹣3＝1，即可求解． 【解答】解：根据题意，得m+1≠0，m2﹣3＝1， 解得m＝±2． 故选：C． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，理解正比例函数的定义是解题的关键． 3．（2024秋•化州市期末）已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜2 【分析】根据反比例函数的图象和性质，由4﹣2m＜0即可解得答案． 【解答】解：∵反比例函数图象的两支分布在第二、四象限， ∴4﹣2m＜0， 解得m＞2． 故选：C． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质；反比例函数中的比例系数小于0，图象的两个分支在第二、四象限是关键． 4．（2024秋•宜兴市月考）关于一次函数y＝﹣2x﹣3，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第一、二、四象限 B．当x＞0时，y＜﹣3 C．函数值y随自变量x的增大而增大 D．图象与y轴交于点 【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可． 【解答】解：A、由k＝﹣2＜0，则图象必过第二、四象限，由b＝﹣3＜0，则图象还过第三象限，即函数图象过第二、三、四象限，原说法错误，不符合题意； B、令x＝0，则y＝﹣3，又k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，则当x＞0时，y＜﹣3，正确，符合题意； C、k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意； D、令x＝0，则y＝﹣3，图象与y轴交于点（0，﹣3），原说法错误，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，熟悉一次函数的图象与性质是关键． 5．（2024秋•双流区期末）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由80kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了（　　） A．15mL B．20mL C．25mL D．30mL 【分析】根据待定系数法求出反比例函数解析式，分别求出p＝80kPa和100kPa时求得V的值，于是得到结论． 【解答】解：设ρ ∵有图像给出的信息可得：k＝pV＝120ml×50kpa＝6000， ∴ρ， 当p＝80kPa时，V75， 当p＝100kPa时，V60， ∴75﹣60＝15（mL）， ∴气体体积压缩了15mL， 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键． 6．（2024秋•昆都仑区校级期中）若以二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线上，则常数b＝（　　） A． B．2 C．﹣1 D．1 【分析】将二元一次方程变形与直线解析式对比，即可求解． 【解答】解：∵x+2y﹣b＝0， ∴； ∵以二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线上， ∴， ∴b＝2， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数与二元一次方程问题，熟练掌握该知识点是关键． 7．（2023秋•广陵区期末）朱自清中学举行学生运动会，小汪和小勇参加了800米跑．路程S（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．小勇的平均速度为160米/分 B．到终点前2分钟，小汪的速度比小勇的速度快80米/分 C．小勇和小汪同时达到终点 D．小汪和小勇的平均速度相等 【分析】根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象可得， A．小勇的平均速度为：800÷5＝160（米/分），故本选项不合题意； B．到终点前2分钟，小汪的速度为：（800﹣300）÷（5﹣3）＝250（米/分），250﹣160＝90（米/分）， 所以到终点前2分钟，小汪的速度比小勇的速度快90米/分，故本选项符合题意； C．小勇和小汪同时达到终点，故本选项不合题意； D．小勇和小汪的平均速度相等，故本选项不合题意； 故选：B． 【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．（2024秋•济南期中）已知一次函数y＝ax+b和y＝bx+a（a，b为常数且a≠b），那么它们的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数图象与系数的关系逐项分析判断即可． 【解答】解：A、当y＝ax+b过第一、二、三象限时，则a＞0，b＞0，明显函数y＝bx+a图象不符合a值范围，故不符合题意； B、当y＝ax+b过第一、三、四象限时，则a＞0，b＜0，明显函数y＝bx+a图象符合a、b值范围，故符合题意； C、当y＝ax+b过第一、二、三象限时，则a＞0，b＞0，明显函数y＝bx+a图象不符合a值范围，故不符合题意； D、当y＝ax+b过第一、二、四象限时，则a＜0，b＞0，明显函数y＝bx+a图象不符合b值范围，故不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的性质、一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是关键． 9．（2023秋•晋中期末）学习了《植物生长》后，实践小组观察记录了一段时间娃娃菜幼苗的成长，将娃娃菜幼苗的高度y（cm）与观察时间x（天）的函数关系用如图表示，那么娃娃菜幼苗的高度最高是（　　） A．6cm B．12cm C．16cm D．19cm 【分析】由题意知，A（0，6）、B（30，12），待定系数法求线段AC的解析式为y＝0.2x+6，将x＝50代入，计算求解即可． 【解答】解：由题意知，A（0，6）、B（30，12）， 设线段AC的解析式为y＝kx+b， 将A（0，6）、B（30，12）代入得，， 解得，， ∴线段AC的解析式为y＝0.2x+6， 将x＝50代入y＝0.2×50+6＝16， ∴C（50，16）， ∴娃娃菜幼苗的高度最高为16cm， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数应用，一次函数解析式．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 10．（2024秋•平遥县期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且点C坐标为（m，2），点D为线段OB的中点，点P为OA上一动点，当△PCD的周长最小时，点P的坐标为（　　） A．（﹣3，0） B． C． D． 【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y＝0即可求出x的值，从而得出点P的坐标． 【解答】解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图． 令yx+4中x＝0，则y＝4 ∴点B的坐标为（0，4）； 令yx+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣6， ∴点A的坐标为（﹣6，0）． ∵点C、D分别为线段AB、OB的中点， ∴点C（﹣3，2），点D（0，2）． ∵点D′和点D关于x轴对称， ∴点D′的坐标为（0，﹣2）． 设直线CD′的解析式为y＝kx+b， ∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2）， ，解得：， ∴直线CD′的解析式为yx﹣2． 令y＝0，则0x﹣2，解得：x， ∴点P的坐标为（，0）． 故选：B． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线CD′的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2024秋•城关区校级期中）函数是一次函数，则常数m的值是　 ． 【分析】形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，由此得出m2﹣3＝1，3﹣m≠0，即可求得m的值． 【解答】解：∵函数是一次函数， ∴m2﹣3＝1，3﹣m≠0， 解得m＝±2， 故答案为：±2． 【点评】本题考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键． 12．（2024秋•莲池区校级月考）直线y＝kx﹣b经过第二、三、四象限，则直线y＝bx+k的图象不经过的象限是 　 　． 【分析】根据一次函数图象与系数的关系解答即可． 【解答】解；∵直线y＝kx﹣b的图象经过第二、四象限， ∴k＜0． ∵直线y＝kx﹣b经过第三象限， ∴﹣b＜0， ∴b＞0， ∴直线y＝bx+k的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：第二象限． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数y＝kx+b，当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、三象限，当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第一、三、四象限，当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、四象限，当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第二、三、四象限是解题的关键， 13．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣3x上，则y1，y2，y3的值的大小关系是　 　．（用“＜”表示）． 【分析】先根据直线y＝﹣3x判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可． 【解答】解：∵直线y＝﹣3x，k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵﹣2＜﹣1＜1， ∴y3＜y2＜y1． 故答案为：y3＜y2＜y1．． 【点评】本题考查的是正比例函数的增减性，即正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小． 14．（2024秋•锦江区校级期中）如图，一条直线经过原点O，且与反比例函数相交于点A，B，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，连接BC．若△ABC的面积为6，则k＝　 　． 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于3，然后由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于|k|，从而求出k的值． 【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点， ∴A、B两点关于原点对称， ∴OA＝OB， ∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝6÷2＝3， 又∵A是反比例函数图象上的点，且AC⊥y轴于点C， ∴△AOC的面积|k|， ∴|k|＝3， ∵k＞0， ∴k＝6． 故答案为6． 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S|k|． 15．（2023秋•瓯海区校级期末）若y﹣1与x+1成正比例，且当x＝2时，y＝5，则y与x之间的函数表达式为 　 　． 【分析】由题意可设y﹣1＝k（x+1），把x＝2时，y＝5代入即可求出k，进而得到y与x之间的函数表达式． 【解答】解：∵y﹣1与x+1成正比例， ∴设y﹣1＝k（x+1）， ∵当x＝2时，y＝5， ∴5﹣1＝k（2+1）， 解得， ∴， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求函数表达式，理解成正比例的含义是解题的关键． 16．如图1，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y＝x﹣5沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为 　 　． 【分析】先根据△AEF为等腰直角三角形，可得直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，再根据BD的长即可得到b的值． 【解答】解：直线y＝x﹣5中，令y＝0，得x＝5；令x＝0，得y＝﹣5， 即直线y＝x﹣5与坐标轴围成的△AEF为等腰直角三角形， ∴直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点， 由图2可得，t＝3时，直线l经过点A， ∴AO＝5﹣3×1＝2， ∴A（2，0）， 由图2可得，t＝15时，直线l经过点C， ∴当t3＝9时，直线l经过B，D两点， ∴AD＝（9﹣3）×1＝6， ∴等腰Rt△ABD中，BD＝6， 即当a＝9时，b＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．解决问题的关键是掌握正方形的性质以及平移的性质． 三、解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（8分）已知一次函数y＝（4+2m）x+m﹣4，求： （1）m为何值时，y随x的增大而减小？ （2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？ （3）m为何值时，图象经过第一、三、四象限？ （4）图象能否过第一、二、三象限？ 【分析】（1）当y随x的增大而减少时，4+2m＜0，解得即可得出结论； （2）函数图象与y轴的交点在x轴下方时，m﹣4＜0，4+2m≠0，解得即可得出结论； （3）图象经过第一、三、四象限时，，解得即可得出结论； （4）图象经过第一、二、三象限时，，解得即可得出结论． 【解答】解：（1）依题意得：4+2m＜0， 解得m＜﹣2； （2）依题意得：m﹣4＜0，4+2m≠0， 解得m＜4且m≠﹣2； （3）依题意得：， 解得﹣2＜m＜4． （4）若图象过第一、二、三象限，则， 解得m＞4， 故当m＞4时，图象能过第一、二、三象限． 【点评】考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数y＝kx+b的性质．当k＞0，y随x的增大而增大，图象一定过第一、三象限；当k＜0，y随x的增大而减小，图象一定过第二、四象限；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴上方；当b＝0，图象过原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴下方． 18．（8分）（2024春•应城市期末）小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买圆规，于是又折回到刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校．如图是他本次上学过程中离家距离与所用时间的关系图，根据图象回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是 　 　米； （2）小明在文具店停留了 　 　分钟； （3）本次上学途中，小明一共行驶了 　 米； （4）交通安全不容忽视，我们认为骑自行车的速度超过15千米/时就超过了安全限度．通过计算说明：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间； （2）根据函数图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间； （3）根据函数图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程； （4）根据题意和函数图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）由图象可得，小明家到学校的路程是1800米， 故答案为：1800； （2）小明在书店停留了12﹣9＝3（分钟）， 故答案为：3； （3）本次上学途中，小明一共行驶了： 1200+（1200﹣600）+（1800﹣600）＝1200+600+1200＝3000（米）， 故答案为：3000； （4）当时间在0～6分钟内时，速度为：1200÷6＝200（米/分）， 当时间在6～9分钟内时，速度为：（1200﹣600）÷（9﹣6）＝200（米/分）， 当时间在12～15分钟内时，速度为：（1800﹣600）÷（15﹣12）＝400（米/分）， 15千米/时＝250米/分， ∵400＞250， ∴在12～15分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内． 【点评】本题考查从函数的图象中获取信息，解题的关键是利用数形结合的思想解答． 19．（8分）（2024春•承德县期末）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣6，0）的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B（m，4），与y轴交于点M． （1）求直线l1的表达式． （2）求△BOM的面积． （3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线l1和l2交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题． （2）把x＝0代入解析式，求出M坐标，利用三角形面积公式解答即可； （3）由图象可知直线l1在直线l2上方即可，由此即可写出n的范围． 【解答】解：（1）∵点B（m，4）直线l2：y＝2x上， ∴4＝2m， ∴m＝2， ∴点B（2，4）， 设直线l1的表达式为y＝kx+b， 将A（﹣6，0），B（2，4）代入得：， 解得， ∴直线l1的表达式为yx+3； （2）将x＝0代入yx+3，得：y＝3， ∴M（0，3）， ∴OM＝3， ∴△BOM的面积OM•|xB|3×2＝3； （3）当点C位于点D上方时，即是直线l1在直线l2上方，如图： 由图象可知n＜2． 【点评】本题考查两条直线平行、相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象，根据条件确定自变量取值范围． 20．（8分）（2024秋•綦江区期末）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若在水温为20℃时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． （1）将水从20℃加热到100℃需要 　 　min； （2）在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？ 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升25℃，则水温从20℃加热到100℃所需时间用温度差÷每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点（3.2，100）在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于40℃的时间﹣加热过程中水温低于40℃的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【解答】解：（1）∵开机加热时每分钟上升25℃， ∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）设水温下降过程中函数关系式为，代入点（3.2，100）坐标得： ∴， 解得：k＝320， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是； （3）在加热过程中，水温为40℃时，25x+20＝40， 解得：x＝0.8， 在降温过程中，水温为40℃时，， 解得：x＝8， ∵8﹣0.8＝7.2， ∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7.2min． 【点评】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 21．（9分）（2024春•海港区期末）如图，已知一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线l的解析式为y＝mx﹣3m+3． （1）求点A和点B的坐标； （2）当直线l经过原点时，求直线l与直线AB的交点坐标，并直接写出方程mx﹣3m+3＝﹣2x+4的解； （3）若直线l与线段AB有交点时，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据题意当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2，即可求解； （2）当直线l经过原点时，确定m＝1，直线l的解析式为y＝x，联立两个一次函数即可得出交点坐标，确定方程的解； （3）根据题意得出直线l恒过点（3，3），再分当直线l经过A（2，0）时，当直线l经过B（0，4）时，结合图象求解即可． 【解答】解：（1）y＝﹣2x+4， 当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2， ∴A（2，0），B（0，4）； （2）当直线l经过原点时， 将点（0，0）代入得：0＝0﹣3m+3， 解得：m＝1， 直线l的解析式为y＝x， 联立两个一次函数：，解得， ∴交点坐标为， ∴方程mx﹣3m+3＝﹣2x+4的解为； （3）直线l的解析式为y＝mx﹣3m+3＝m（x﹣3）+3， ∴直线l恒过点（3，3）， A（2，0），B（0，4）， 当直线l经过A（2，0）时，0＝2m﹣3m+3，解得m＝3； 当直线l经过B（0，4）时，4＝﹣3m+3，解得； ∴且m≠0． 【点评】题目主要考查一次函数与一元一次方程，一次函数图象与系数的关系，理解题意，结合图象，熟练掌握运用一次函数的性质是解题关键． 22．（9分）（2024秋•新城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点． （1）求直线AB的解析式； （2）根据图象，当时，x的取值范围为 　 　； （3）如图，y轴正半轴上有一点P，当四边形OPAB的面积为5时，求点P的坐标． 【分析】（1）依据反比例函数的图象过A（1，m）、B（n，1）两点，即可得到A（1，3）、B（3，1），代入一次函数y1＝kx+b，可得直线AB的解析式； （2）当1＜x＜3时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，即可得到当y1﹣y2＞0时，x的取值范围是1＜x＜3； （3）过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F，设P点坐标为（0，a），根据四边形OPAB的面积为5，利用割补法列出面积表达式，再解方程即可． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点．把点A，点B的坐标分别代入反比例函数得： 解得：m＝3，n＝3， ∴A（1，3）、B（3，1）， 把点A，点B的坐标代入一次函数y1＝kx+b，得： ， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4； （2）观察函数图象，发现： 当1＜x＜3时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，即， ∴当y1﹣y2＞0时，x的取值范围是1＜x＜3， 故答案为：1＜x＜3； （3）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F， 设P点坐标为（0，a），则OP＝a， ∵A（1，3）、B（3，1）， ∴OF＝3，OE＝1，AF＝1，BE＝3， ∴EF＝OF﹣OE＝2，PF＝OF﹣OP＝3﹣a， ∵四边形OPAB的面积为5， ∴四边形OPAB的面积＝S梯形AFEB﹣S△AFP+S△OEB＝5， ∴， 即， 解得：a＝2， ∴点P的坐标为（0，2）． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 23．（10分）（2024秋•高州市期末）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货7吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货8吨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）某物流公司现有20吨货物要运输，计划同时租用A型车和B型车若干辆，一次运完，且恰好每辆车都满载货物，则物流公司有哪几种租车方案？请计算说理． （3）在（2）的条件下，若A型车每辆租金100元/次，B型车每辆租金120元/次．请你帮该物流公司设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【分析】（1）分别设1辆A型车、1辆B型车载满货物一次运货量为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设租用A型车m辆，租用B型车n辆，根据题意列关于m和n的二元一次方程并求其正整数解即可； （3）写出租车费用关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的可能取值，确定当m取何值时租车费用最少，求出其最小值即可． 【解答】解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货a吨，1辆B型车载满货物一次可运货b吨． 根据题意，得， 解得． 答：1辆A型车载满货物一次可运货2吨，1辆B型车载满货物一次可运货3吨． （2）有3种租车方案，分别是：租用A型车1辆，租用B型车6辆；租用A型车4辆，租用B型车4辆；租用A型车7辆，租用B型车2辆．理由如下： 设租用A型车m辆，租用B型车n辆． ∵2m+3n＝20， ∴n， ∵m和n均为正整数， ∴或或， ∴有3种租车方案，分别是： 租用A型车1辆，租用B型车6辆； 租用A型车4辆，租用B型车4辆； 租用A型车7辆，租用B型车2辆． （3）设租车费为W元，则W＝100m+120n＝100m+12020m+800， ∵20＞0， ∴W随m的减小而减小， ∵m＝1或4或7， ∴当m＝1时，W值最小，W最小＝20×1+800＝820． 答：租用A型车1辆，租用B型车6辆最省钱，最少租车费为820元． 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程和方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 24．（12分）（2024秋•句容市期末）如图，已知直线l1：y＝﹣3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠ABC＝90°，直线l2经过A，C两点． （1）则A点的坐标为 　 　，B点的坐标为 　 　； （2）求直线l2的函数表达式； （3）点P是线段AC上的一点（不与A、C重合），试探究△BPC能否成为以BP为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由． 【分析】（1）对直线l1关系式y＝﹣3x+6，令x＝0或y＝0，即可求出A、B两点的坐标． （2）通过构造△CBE≌△BAO全等，求出点C的坐标，再由A、C两点坐标根据待定系数法求得直线l2的函数表达式． （3）设点P的坐标为（m，2m﹣4），过点C作x轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的平行线交y轴于点M，交CD于点N，同（2）理可证得△BMP≌△PNC，从而BM＝PN，MP＝CN，然后根据PM＝CN列方程求解即可． 【解答】解：（1）在l1：y＝﹣3x+6中， 令x＝0，则y＝6，所以点B坐标为（0，6）； 令y＝0，则x＝2，所以点A坐标为（2，0）． 所以点A、B坐标分别是（2，0）和（0，6）； 故答案为：（2，0）；（0，6）； （2）如图，过点C向y轴作垂线，E为垂足． 由条件可知AB＝BC． ∵∠CBE+∠ABO＝180°﹣90°＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠CBE＝∠BAO． 在△CBE和△BAO中，∠CBE＝∠BAO，∠BEC＝∠AOB，BC＝AB． ∴△CBE≌△BAO（AAS）． ∴EC＝BO＝yB＝6，BE＝OA＝xA＝2． ∴OE＝6+2＝8． 故点C坐标为（6，8）． 设l2函数表达式为y＝kx+b，把A、C两点坐标代入得： ，解得． ∴直线l2的函数表达式为y＝2x﹣4； （3）设点P的坐标为（m，2m﹣4），假设以BP为直角边的△BPC是等腰直角三角形， 如图．过点C作x轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的平行线交y轴于点M，交CD于点N， 在△BMP和△PNC中， ， ∴△BMP≌△PNC（AAS）， ∴BM＝PN，MP＝CN， ∵BM＝6﹣（2m﹣4）＝10﹣2m， PN＝6﹣m，MP＝m，CN＝8﹣（2m﹣4）＝12﹣2m． ∴由PM＝CN，m＝12﹣2m，m＝4， 此时BM＝PN＝2，m适合题意． 此时P（4，4）． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，涉及到三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，通过“一线三直角”模型构造全等三角形是解答本题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章：《函数及其图象》章末综合检测卷 （试卷满分：120分，考试用时：120分钟） 姓名___________ 班级 考号______________ 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1．（2024秋•荣成市期中）函数中自变量x的取值范围是（　　） A．且x≠﹣1 B． C．且x≠﹣1 D．x≠﹣1 2．（2024秋•临泽县校级期中）已知函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 3．（2024秋•化州市期末）已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜2 4．（2024秋•宜兴市月考）关于一次函数y＝﹣2x﹣3，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第一、二、四象限 B．当x＞0时，y＜﹣3 C．函数值y随自变量x的增大而增大 D．图象与y轴交于点 5．（2024秋•双流区期末）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由80kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了（　　） A．15mL B．20mL C．25mL D．30mL 6．（2024秋•昆都仑区校级期中）若以二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线上，则常数b＝（　　） A． B．2 C．﹣1 D．1 7．（2023秋•广陵区期末）朱自清中学举行学生运动会，小汪和小勇参加了800米跑．路程S（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．小勇的平均速度为160米/分 B．到终点前2分钟，小汪的速度比小勇的速度快80米/分 C．小勇和小汪同时达到终点 D．小汪和小勇的平均速度相等 8．（2024秋•济南期中）已知一次函数y＝ax+b和y＝bx+a（a，b为常数且a≠b），那么它们的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．（2023秋•晋中期末）学习了《植物生长》后，实践小组观察记录了一段时间娃娃菜幼苗的成长，将娃娃菜幼苗的高度y（cm）与观察时间x（天）的函数关系用如图表示，那么娃娃菜幼苗的高度最高是（　　） A．6cm B．12cm C．16cm D．19cm 10．（2024秋•平遥县期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且点C坐标为（m，2），点D为线段OB的中点，点P为OA上一动点，当△PCD的周长最小时，点P的坐标为（　　） A．（﹣3，0） B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2024秋•城关区校级期中）函数是一次函数，则常数m的值是　 ． 12．（2024秋•莲池区校级月考）直线y＝kx﹣b经过第二、三、四象限，则直线y＝bx+k的图象不经过的象限是 　 　． 13．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣3x上，则y1，y2，y3的值的大小关系是　 　．（用“＜”表示）． 14．（2024秋•锦江区校级期中）如图，一条直线经过原点O，且与反比例函数相交于点A，B，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，连接BC．若△ABC的面积为6，则k＝　 　． 15．（2023秋•瓯海区校级期末）若y﹣1与x+1成正比例，且当x＝2时，y＝5，则y与x之间的函数表达式为 　 　． 16．如图1，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y＝x﹣5沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为 　 　． 三、解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（8分）已知一次函数y＝（4+2m）x+m﹣4，求： （1）m为何值时，y随x的增大而减小？ （2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？ （3）m为何值时，图象经过第一、三、四象限？ （4）图象能否过第一、二、三象限？ 18．（8分）（2024春•应城市期末）小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买圆规，于是又折回到刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校．如图是他本次上学过程中离家距离与所用时间的关系图，根据图象回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是 　 　米； （2）小明在文具店停留了 　 　分钟； （3）本次上学途中，小明一共行驶了 　 米； （4）交通安全不容忽视，我们认为骑自行车的速度超过15千米/时就超过了安全限度．通过计算说明：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 19．（8分）（2024春•承德县期末）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣6，0）的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B（m，4），与y轴交于点M． （1）求直线l1的表达式． （2）求△BOM的面积． （3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线l1和l2交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围． 20．（8分）（2024秋•綦江区期末）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升25℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数．若在水温为20℃时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． （1）将水从20℃加热到100℃需要 　 　min； （2）在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？ 21．（9分）（2024春•海港区期末）如图，已知一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线l的解析式为y＝mx﹣3m+3． （1）求点A和点B的坐标； （2）当直线l经过原点时，求直线l与直线AB的交点坐标，并直接写出方程mx﹣3m+3＝﹣2x+4的解； （3）若直线l与线段AB有交点时，直接写出m的取值范围． 22．（9分）（2024秋•新城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数y1＝kx+b与反比例函数的图象交于A（1，m）、B（n，1）两点． （1）求直线AB的解析式； （2）根据图象，当时，x的取值范围为 　 　； （3）如图，y轴正半轴上有一点P，当四边形OPAB的面积为5时，求点P的坐标． 23．（10分）（2024秋•高州市期末）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货7吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货8吨．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）某物流公司现有20吨货物要运输，计划同时租用A型车和B型车若干辆，一次运完，且恰好每辆车都满载货物，则物流公司有哪几种租车方案？请计算说理． （3）在（2）的条件下，若A型车每辆租金100元/次，B型车每辆租金120元/次．请你帮该物流公司设计最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 24．（12分）（2024秋•句容市期末）如图，已知直线l1：y＝﹣3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠ABC＝90°，直线l2经过A，C两点． （1）则A点的坐标为 　 　，B点的坐标为 　 　； （2）求直线l2的函数表达式； （3）点P是线段AC上的一点（不与A、C重合），试探究△BPC能否成为以BP为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$