压轴专题06 导数性质压轴小题（12大题型）-2025年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）

压轴题06 导数性质压轴小题 总论 一、导数与函数的不等式求解问题是高考的热点题型．常见题型： (1)判断、证明或讨论函数性质求解不等式； (2)已知不等式恒成立或者有解求参数范围； (3)构造函数，利用导数研究函数性质求参数范围． 二、比大小常见思维： 1.指数函数比大小易错点： （1）.利用指数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待． （2）.指数函数在第一象限图像，具有“底大图高”的性质 （3）.指数函数图像性质：一点一线。恒过定点（0，1），x轴是它的水平渐近线 （4）.进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 2.有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 压轴题型一：解不等式：构造幂的积、商 型 √满分技法 幂函数积形式构造： 1.， 2. 幂函数商形式构造： 1.， 2. 1.（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2.（ 吉黑两省八校联合体2023-2024学年高三数学）定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式中，一定成立的是 A． B． C． D． 4.（安徽省皖中地区2019届高三入学摸底考试数学）已知可导函数的定义域为，其导函数满足,则不等式的解集为 A． B． C． D． 5.（2022甘肃武威·高三武威第六中学阶段练习）已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f '(x满足且，其中为自然对数的底数,则不等式的解集是 A．(0,e) B．(0, ) C．( ,e) D．(e,+∞) 压轴题型二：解不等式：构造指数的积、商 型 √满分技法 指数型构造，主要以e的指数型为核心 ex函数积形式构造： 1.， 2. 1.（黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年第三次检测考试数学）设函数f(x)的导函数为，f(0)=1，且,则的解集是 A． B． C． D． 2.（广东省阳春市第一中学高三第九次月考数学）已知函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 3.（重庆市巴蜀中学2020届高三上学期月考（三）数学）已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 4.（湖南省长沙市湖南师大附中2019-2020学年第二次大练习数学）已知函数在上可导，其导函数为，若函数满足：，，则下列判断一定正确的是 A． B． C． D． 5.（广西钦州市2018-2019学年教学质量监测数学）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 压轴题型三：解不等式：构造复杂型指数 √满分技法 指数复杂型构造，体现在两方面： 1. 底数不是e的形式，注意取导后函数的特征：会有lna 这个形式 2. 复杂型还体现在 指数与幂函数等函数结合形式的构造 1.（黑龙江省大庆实验中学数学）函数的导函数为，对任意的，都有成立，则 A． B． C． D．与大小关系不确定 2.（2023春·湖南邵阳·高二统考期末）已知函数是上的奇函数，对任意的均有成立.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3.（2019届非凡联盟高三毕业班调研考试文数试题）已知定义在上的函数的导函数为、的图象关于点对称，且对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3.（2022·浙江·模拟预测）已知是定义在上的可导函数，且对于，，则（    ） A． B． C． D． 4.（江西省上饶中学2019-2020第二次月考数学试题）已知函数是定义在上的可导函数，，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 5.（2023春·陕西汉中·高二校联考期末）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 压轴题型四：解不等式：构造三角函数的积、商 型 √满分技法 三角函数形式构造： 1.， 2. 3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型 三角函数形式构造： 1.， 2. 3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型 1.（2020·天津·高三南开中学校考周测）已知函数是定义在上的奇函数.当时，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（2023·全国·高二专题练习）已知关于变量的非常值函数在上成立，且；在上的图像关于对称，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3.（2021·重庆·统考模拟预测）若函数的导函数为，对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D． 4.（2020·全国·高三专题练习）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5..（2023春·四川成都·高二期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 压轴题型五：解不等式：复杂混合型构造 √满分技法 混合型构造，属于构造函数求导解不等式的超难题型。为了寻找原函数的构造配凑方向，可以从以下几方面入手： 1. 常见函数与f（x）的和差积商型，如幂指对以及对勾等等 2. 复合型甚至多重复合型函数与f（x）的和差积商型 3. 求导结果的逆向思考，如见到常数b，则有可能是bx形式。 1.（2023·全国·高三专题练习）若函数满足：，，其中为的导函数，则函数在区间的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（安徽省固镇县第一中学2023月数学）定义在R上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为　　 A． B． C． D． 3.（2020届四川省资阳高三三诊数学试题）已知是定义在上的偶函数，其导函数为．当时，，则不等式的解集是_________． 4.（百校联盟2020届普通高中教育教学质量监测6月数学）已知函数，为的导函数，则下列结论正确的个数是（ ） ①当时，；②函数在上只有一个零点； ③函数在上存在极小值点；④在上无实根． A．1 B．2 C．3 D．4 5.（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）函数与其导函数为，满足，其中；若，，其中，则下列不等式一定成立的有（    ）个 ① ②③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 压轴题型六：恒成立求参：最值型 √满分技法 一般地，已知函数， 不等关系 (1)若，，总有成立，故； (2)若，，有成立，故； (3)若，，有成立，故； (4) 若，，有成立，故． 1．（24-25高三上·宁夏银川·期末）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西·模拟预测）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A．－ B．1 C．0 D．－1 3．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知函数，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 4．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）设函数，若对于任意的都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 压轴题型七：恒成立求参：同构型 √满分技法 同构法针： 对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解. 1.已知不等式对恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试文科数学试卷 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知对于都有，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（2024高二上·全国·专题练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）函数在定义域内是增函数，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 压轴题型八：多参：两次最值型 √满分技法 多参型：1.两个（较多）或者两个以上（较少）参数； 2.参数看作常数，求最值---恒成立； 3.求完最值，转化为构造所求的参数式子，转化为“存在”型 简单理解：2与3的最值是相反的 1.（2024·四川成都·模拟预测）已知函数没有极值点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2.（2021·四川成都·模拟预测）设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3.（22-23高二下·云南昆明·期末）已知关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.（19-20高二下·四川南充·期中）已知函数，若时，恒有，则的最大值为 A． B． C． D． 5.（2023·江苏·模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（    ） A． B．－1 C． D．－2 压轴题型九：多参：换元型 √满分技法 压轴题型十一： √满分技法 导数换元型：比值型换元构造新函数 不等式中，可以借助对数均值不等式解决，完整的对数均值不等式为：，可用两边同除， 令整体换元的思想来构造函数，证明不等式成立求解参数 1.已知函数有两个零点、，，则下面说法不正确的是（ ） A． B． C． D．有极小值点，且 2.对任意的正数，都存在两个不同的正数，使成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 3.已知函数，，若，，且，则的最大值为______． 4.（2020·江苏镇江·三模）设正实数x，则的值域为_____． 压轴题型十：比大小：构造函数型 1.（2023春·重庆渝北·高二重庆市渝北中学校校考阶段练习）设，，，则下列大小关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 2.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 广东省河源市河源中学2023届高三上学期10月教学质量检测数学试题 3.（2022上·四川巴中·高三南江中学校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4.（2022下·四川凉山·高二统考期末）已知，，，则（    ）． A． B． C． D． 5.（2022上·吉林·高三双辽市第一中学校联考期末）若，则（    ） A． B． C． D． 压轴题型十一：比大小：三角函数型 √满分技法 三角函数与三角函数值比较大小： 1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小 2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当(0，)时， 3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小。 1.（2022上·辽宁丹东·高三统考期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 2.（2022·江西·校联考模拟预测）函数.若，，，则有（    ） A． B． C． D． 3.（2017下·浙江湖州·高二统考期末）若，且，则必有（    ） A． B． C． D． 4.（2021下·四川内江·高二威远中学校校考阶段练习）若asina﹣bsinb＜b2﹣a2，则（　　） A．|a|＜|b| B．a＜b C．|a|＞|b| D．a＞b 5.（2022上·浙江嘉兴·高二统考期末）设（其中是自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 压轴题型十二：比大小：泰勒展开型 √满分技法 泰勒展开式 ； ； 截取片段： ，当且仅当时,等号成立； 进而：当且仅当时,等号成立 1.（21-22高三上·山东日照·期末）十八世纪，数学家泰勒发现了公式…，其中，若，下列选项中与的值最接近的是（ ） A． B． C． D． 2.（20-21高三上·湖南衡阳·期中）1715年英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）在他的著作中陈述了泰勒公式，如果满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值构建一个多项式来近似表达这个函数．泰勒公式将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具，例如：，其中．试用上述公式估计的近似值为（精确到0.001）（    ） A．1.647 B．1.648 C．1.649 D．1.650 3.（19-20高三上·山东青岛·期中）英国数学家泰勒发现了如下公式：.则下列数值更接近的是（    ） A．0.91 B．0.92 C．0.93 D．0.94 4.（22-23高三上·湖南衡阳·期中）十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式，（其中，，，），现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ） A． B． C． D． 压轴题型十三：范围最值：韦达定理型 1.（24-25高三上·山西大同·开学考试）已知是函数的两个极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二下·四川成都·期中）若函数存在两个极值点，，（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（21-22高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数存在两个极值点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（19-20高二下·安徽六安·期末）已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5.（19-20高三上·河南平顶山·阶段练习）若函数存在两个极值点和，则取值范围为 A．(-∞，] B．(-∞，) C．(，+∞) D．[，+∞) 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题06 导数性质压轴小题 总论 一、导数与函数的不等式求解问题是高考的热点题型．常见题型： (1)判断、证明或讨论函数性质求解不等式； (2)已知不等式恒成立或者有解求参数范围； (3)构造函数，利用导数研究函数性质求参数范围． 二、比大小常见思维： 1.指数函数比大小易错点： （1）.利用指数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待． （2）.指数函数在第一象限图像，具有“底大图高”的性质 （3）.指数函数图像性质：一点一线。恒过定点（0，1），x轴是它的水平渐近线 （4）.进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 2.有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 压轴题型一：解不等式：构造幂的积、商 型 √满分技法 幂函数积形式构造： 1.， 2. 幂函数商形式构造： 1.， 2. 1.（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目特征构造函数，先根据的对称性得到的图象关于对称且，根据的单调性解不等式得到解集，再根据 【详解】根据题意，设，则，则有，，即有，故函数的图象关于对称，则有， 当时，，，又由当时，，即当时，，即函数在区间为增函数，由可得，即，， 函数的图象关于对称，函数在区间为增函数，且在上恒成立，由可得，即，此时不存在. 综上：不等式解集为. 故选：A 2.（ 吉黑两省八校联合体2023-2024学年高三数学）定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式中，一定成立的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设，则，故函数在上递减，所以，所以 ，即 ，故选择A. 3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可. 【详解】由，可得， 即，令，则. 令，，所以在上是单调递减函数. 不等式，等价于，即，， 所求不等式即，由于在上是单调递减函数， 所以，解得，且，即， 故不等式的解集为.故选：D 4.（安徽省皖中地区2019届高三入学摸底考试数学）已知可导函数的定义域为，其导函数满足,则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 构造函数 ，将不等式转化为 ，再根据定义域以及单调性化简求解. 【详解】令 因为，所以 因为在单调递减，所以，选B. 5.（2022甘肃武威·高三武威第六中学阶段练习）已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f '(x满足且，其中为自然对数的底数,则不等式的解集是 A．(0,e) B．(0, ) C．( ,e) D．(e,+∞) 【答案】A 【详解】令，则有， , ,又 ,得 ，,再令,则 ,故函数在上递减, 不等式 等价于,所以 ,故选A 压轴题型二：解不等式：构造指数的积、商 型 √满分技法 指数型构造，主要以e的指数型为核心 ex函数积形式构造： 1.， 2. 1.（黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年第三次检测考试数学）设函数f(x)的导函数为，f(0)=1，且,则的解集是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 构造函数，计算，，故为常函数，，代入不等式得到答案. 【详解】构造函数，，故. ，故为常函数. 故，，， ，即，解得.故选：. 2.（广东省阳春市第一中学高三第九次月考数学）已知函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 分析：构造函数，由可判定在上递增， 原不等式等价于，从而可得结果. 详解：令，则，在上递增， ，，化为，即，， 即不等式的解集为，故选B. 3.（重庆市巴蜀中学2020届高三上学期月考（三）数学）已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题意构造，在上单调递增，且，从而可以推断出在上单调递增，即可化抽象不等式为具体不等式，得到结果. 【详解】 令，在上单调递增，且，从而可以推断出 则（当时，满足）， 从而在上单调递增，所以当时，，从而当时，； 当时，（当时取等号），又当时，，即， 所以在上单调递增，由于是定义在上的奇函数，从而在上单调递增； 不等式. 令，则原问题等价于有解，从而， ∵，∴在上单减，在上单增， ∴，所以的最小值为，故选A. 4.（湖南省长沙市湖南师大附中2019-2020学年第二次大练习数学）已知函数在上可导，其导函数为，若函数满足：，，则下列判断一定正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先设函数，求导可得函数在为增函数，在为减函数，再由，得，即函数的图像关于直线对称，再结合函数的性质逐一判断即可. 【详解】 解：令 ，则因为，所以当时，， 当时，，即函数在为增函数，在为减函数， 又，所以，则 ，即函数的图像关于直线对称， 则，即即A错误；，即即B错误；，即，即，即C正确；，即，即D错误. 故选C. 5.（广西钦州市2018-2019学年教学质量监测数学）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 构造函数，利用导数判断出函数的单调性，将不等式变形为，结合函数的单调性可解出该不等式. 【详解】 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 由，可得，即，解得， 因此， 不等式的解集为，故选C. 压轴题型三：解不等式：构造复杂型指数 √满分技法 指数复杂型构造，体现在两方面： 1. 底数不是e的形式，注意取导后函数的特征：会有lna 这个形式 2. 复杂型还体现在 指数与幂函数等函数结合形式的构造 1.（黑龙江省大庆实验中学数学）函数的导函数为，对任意的，都有成立，则 A． B． C． D．与大小关系不确定 【答案】B 【分析】 通过构造函数,由导函数,结合,可知函数是上的增函数，得到,即可得到答案. 【详解】 构造函数，则，故函数是上的增函数，所以，即，则. 故选B. 2.（2023春·湖南邵阳·高二统考期末）已知函数是上的奇函数，对任意的均有成立.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得，所以构造函数，求导后可得，可得在上单调递增，然后对变形得，再利用其单调性可求得结果. 【详解】由，得，设，则. 在上单调递增.又为奇函数，. .故选：B. 3.（2019届非凡联盟高三毕业班调研考试文数试题）已知定义在上的函数的导函数为、的图象关于点对称，且对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由的图象关于点对称,可知为奇函数,,构造新函数,求导可知在上单调递减, 可转化为,即为,利用已知可求出进而可求的解集. 【详解】 的图象关于点对称, 为奇函数,则有,令,则,则在上单调递减,由,得,所以.所以,所以.故选:. 3.（2022·浙江·模拟预测）已知是定义在上的可导函数，且对于，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导，判断函数单调性，即可求出结果. 【详解】解：由题意是定义在上的可导函数。设。在中， ∵对于，，∴当时，当时 ∴在上单调递减，在上单调递增 ∴，解得： 故选：D. 4.（江西省上饶中学2019-2020第二次月考数学试题）已知函数是定义在上的可导函数，，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题设条件构造函数，根据已知不等式分析的单调性，再根据特殊值判断需满足的不等式，即可求出解集. 【详解】 由可得， 设，则， ，在上为减函数，又由，可得，. 故选A. 5.（2023春·陕西汉中·高二校联考期末）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，将不等式转化为，利用其单调性求解. 【详解】解：令，则，因为， 所以，则在R上递减，又不等式，即为， 又，则即，所以，故选：A 压轴题型四：解不等式：构造三角函数的积、商 型 √满分技法 三角函数形式构造： 1.， 2. 3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型 三角函数形式构造： 1.， 2. 3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型 1.（2020·天津·高三南开中学校考周测）已知函数是定义在上的奇函数.当时，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，当时，根据，可得函数单调递增．根据是定义在，上的奇函数，可得是定义在，上的偶函数．进而得出，解出即可． 【详解】解：令，， 当，时，，，即函数单调递增． 又，时，，是定义在，上的奇函数，是定义在，上的偶函数．不等式，即，即， ，①，又，故②，由①②得不等式的解集是．故选：． 2.（2023·全国·高二专题练习）已知关于变量的非常值函数在上成立，且；在上的图像关于对称，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据式子结构构造函数，利用导数判断出函数在上单调递减，在上单调递减. 对于A：利用单调性比较出，即可判断；对于B：利用单调性比较出，即可判断；对于C：利用单调性比较出，即可判断；对于D：先得到.由，转化得到. 【详解】因为，所以，即.因为，所以，所以. 令，则，所以函数在上单调递减. 任取，且.因为在上的图像关于对称，所以 因为的图像关于对称，所以所以，即. 所以的图像关于对称.所以在上单调递减.对于A：因为在上单调递减. 所以，即，即.故A错误； 对于B：因为在上单调递减.所以，即，即，解得：.故B错误； 对于C：因为在上单调递减.所以，即，即，解得：,即.故C错误； 对于D：因为在上的图像关于对称，所以. 因为在上单调递减.所以，即，即，解得：,所以. 故D正确。故选：D 3.（2021·重庆·统考模拟预测）若函数的导函数为，对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，构造函数，求出导函数判断单调性，利用单调性比较函数值的大小即可求解. 【详解】解：因为任意恒成立，即任意恒成立， 又时，，所以，所以在上单调递减， 因为，所以，即， 所以，故选：C. 4.（2020·全国·高三专题练习）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，设，利用导数求得在上单调递减，且为偶函数，再把不等式，转化为，结合单调性，即可求解. 【详解】由题意，设，则， 当时，因为，则有，所以在上单调递减， 又因为在上是偶函数，可得， 所以是偶函数， 由，可得，即，即 又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有， 解得或，即不等式的解集为，故选：B.5. 5..（2023春·四川成都·高二期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，所以构造函数，求导后可判断出在上单调递增，然后利用函数的单调性逐个分析判断即可. 【详解】由，得，因为，所以 所以，所以， 令，，则， 所以在上单调递增，对于A，因为，所以， 所以，，所以，所以A错误， 对于C，因为，所以，所以，， 所以，因为为奇函数，所以， 所以， 所以C错误 对于BD，因为，所以， 所以，，所以， 因为为奇函数，所以，所以B正确，D错误， 所以D错误，故选：B 压轴题型五：解不等式：复杂混合型构造 √满分技法 混合型构造，属于构造函数求导解不等式的超难题型。为了寻找原函数的构造配凑方向，可以从以下几方面入手： 1. 常见函数与f（x）的和差积商型，如幂指对以及对勾等等 2. 复合型甚至多重复合型函数与f（x）的和差积商型 3. 求导结果的逆向思考，如见到常数b，则有可能是bx形式。 1.（2023·全国·高三专题练习）若函数满足：，，其中为的导函数，则函数在区间的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变换得到，代入数据计算得到，求导得到函数单调性，计算最值得到答案. 【详解】由有， 可得：，故有：，得（为常数），得，由，解得：. 故，∴， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 则当时，，，， 由， 故所求取值范围为：.故选：D. 2.（安徽省固镇县第一中学2023月数学）定义在R上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由，令，可证明因此先减后增，，原不等式转化为 ，利用一次函数的性质可得结果. 由，令，， 而是上的增函数，， 因此在上递减，在上递增，， 原不等式转化为，可得， 构造函数或，故选D. 3.（2020届四川省资阳高三三诊数学试题）已知是定义在上的偶函数，其导函数为．当时，，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】 令，则是上的偶函数，由，知在上递减，于是在上递增，由，得出，进而列出不等式求解即可. 解：令，则是上的偶函数，由，知在上递减，于是在上递增．由得，即，于是有， 解得．故答案为：. 4.（百校联盟2020届普通高中教育教学质量监测6月数学）已知函数，为的导函数，则下列结论正确的个数是（ ） ①当时，；②函数在上只有一个零点； ③函数在上存在极小值点；④在上无实根． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 根据，，可判定①正确；利用导数求得函数的单调性，结合零点的存在定理，可判定②正确；根据导数和极值的概念，可判定③错误；构造，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定④正确． 【详解】 ①中，当时，∵，，∴，故①正确； ②中，由函数，则， 所以，所以在上单调递减， 因为，， 根据零点存在性定理，所以，使得， 所以在上只有一个零点，故②正确； ③中，因为在上只有一个零点， 当时，；时，， 即的单调递增区间为；单调递减区间为， 所以为在上的唯一个极大值点，故③错误； ④中，设，则，， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 又，所以，所以在上单调递增， 此时，不存在零点， 又，所以，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 所以在上恒成立，此时不存在零点， 故在上无实根，故④正确． 故选：C. 5.（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）函数与其导函数为，满足，其中；若，，其中，则下列不等式一定成立的有（    ）个 ① ②③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据导数法则及题中条件构造函数，利用导数研究单调性，再根据三角函数知识比较m、n与1的大小，从而得到，对式子变形，结合三角恒等变换即可判断. 【详解】设，则， 所以在上单调递减，因为，所以， ，因为，所以， 所以，即，所以， 由得，虽说，但、的符号不确定，则①不正确； 由得， 又，所以，所以， 又，所以，所以②不正确； 由得，所以， 即，所以，所以③正确； 由得，即，所以， 所以， 所以， 所以，即，所以④不正确. 故选：A 压轴题型六：恒成立求参：最值型 √满分技法 一般地，已知函数， 不等关系 (1)若，，总有成立，故； (2)若，，有成立，故； (3)若，，有成立，故； (4) 若，，有成立，故． 1．（24-25高三上·宁夏银川·期末）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先转化变元，由得，利用导数得当时，可得，进而可得. 【详解】由，， 得， 得， 设，则， 故在上单调递增，故， 故当时，， 故， 因为，所以，， 故， 故选：D 2．（2024·江西·模拟预测）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A．－ B．1 C．0 D．－1 【答案】B 【分析】由条件转化为求函数，的最小值，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最小值. 【详解】由条件不等式可知，， 设，， 则，令，得或， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以或，， 所以函数的最小值为，则，即， 所以的最小值为1. 故选：B 3．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知函数，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式求出，分离参数可求答案. 【详解】由，得，求导得， 因为，所以恒成立. 令， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，所以，即最小值为1. 故选：C. 4．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）设函数，若对于任意的都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由定义域可知，可进行参变分离，转化为函数求最值问题解决，结合函数特征，使得的图像始终在的下方，通过求切线的斜率可以求得. 【详解】若对于任意的都成立，即，即. 令，所以， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以； 若对于任意的都成立，由函数及的图象易知， 若使对于恒成立，只需处在图象上方， 的最小值在处，两个图象相切处取得， 函数的导数为，时，，即. 综上，的取值范围为. 故选：B. 压轴题型七：恒成立求参：同构型 √满分技法 同构法针： 对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解. 1.已知不等式对恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试文科数学试卷 【答案】C 【详解】不等式对恒成立可变形为, 即对恒成立设则 当时,,即在时单调递增 当时,,即在时单调递减 因而在上恒成立即可当时, 而当时(因四个选项都小于0,所以只需讨论的情况)因为在时单调递减,若只需不等式两边同取自然底数的对数,可得当时, 化简不等式可得只需令,则,令 解得 当时, ,则在内单调递增 当时, ,则在内单调递减 所以在处取得最大值, 故所以实数的最小值为故选:C 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知对于都有，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将题意的不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性得到不等式组，再次构造函数，结合导数的应用求出函数的最小值即可. 【详解】由，得，即，得. 设，则，所以函数在上单调递增，又， 所以，即.设，则，令， 所以在上单调递增，在上单调递减，得，所以， 即实数的最小值为.故选：C 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题意的不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性得到不等式组，再次构造函数，结合导数的应用求出函数的最小值即可. 2．（2024高二上·全国·专题练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为，令，由，利用函数的单调性求解. 【详解】解：原不等式等价于， 设，则. 又，所以在上单调递增， 则，即. 设，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，所以. 故选：A. 4．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）函数在定义域内是增函数，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，分析可得在定义域上恒成立，同构结合单调性可得，构建，利用导数求最值即可得结果. 【详解】由题意可知：的定义域为，， 且， 若在定义域内是增函数，则在定义域上恒成立， 可得， 构建，则， 因为在定义域上单调递增， 可知在定义域上单调递增，可得，即， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 可得，所以实数a的最大值为. 故选：B. 5．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】化简可得，构造函数，然后利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】不等式等价于，即. 令，由可知， 在上为增函数， ，，则， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以结合题意可知，即实数的最小值为1. 故选：B 压轴题型八：多参：两次最值型 √满分技法 多参型：1.两个（较多）或者两个以上（较少）参数； 2.参数看作常数，求最值---恒成立； 3.求完最值，转化为构造所求的参数式子，转化为“存在”型 简单理解：2与3的最值是相反的 1.（2024·四川成都·模拟预测）已知函数没有极值点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，从而得到，故，换元后，构造函数，求导得到其单调性和最值，求出答案. 【详解】函数没有极值点，，或恒成立， 由指数爆炸的增长性，不可能恒小于等于0， 恒成立． 令，则，当时，恒成立，为上的增函数， 因为是增函数，也是增函数，所以，此时，不合题意； ②当时，为增函数，由得，令在上单调递减，在上单调递增，当时，依题意有， 即，，，令，， 则，令，令，解得， 所以当时，取最大值故当，，即，时，取得最大值 综上，若函数没有极值点，则的最大值为故选：B. 【点睛】关键点睛：将函数没有极值点的问题转化为导函数恒大于等于0，通过构造函数，借助导数研究函数的最小值，从而得解. 2.（2021·四川成都·模拟预测）设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，用导数法求得最大值，转化为 ，再令，得到，求其最大值即可. 【详解】因为不等式在上恒成立，所以不等式在上恒成立， 令，则 在上恒成立，令， 所以，若，则 ， 在递增，当时， ，不等式不成立， 故，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，所以，所以， 所以，令，则，所以， 当时，当时，，所以当时，取得最小值， 所以的最小值是故选：D 【点睛】本题主要考查导数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于难题. 3.（22-23高二下·云南昆明·期末）已知关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 令，则将问题转化为，求出函数的导数，根据函数的单调性可求出的最大值，问题转化为，时，，从而可求出其最小值. 【详解】关于的不等式恒成立，即， 令，则，， 当时，，则在上递增，所以无最大值，当时，令，解得，令，解得，所以在上递增，在上递减，所以，所以，得， 所以，即，所以当时，，令， 所以此时取最小值为，当时，，综上，的最小值为， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为恒成立，构造函数，则只要，利用导数求函数的最大值，考查数学转化思想，属于难题. 4.（19-20高二下·四川南充·期中）已知函数，若时，恒有，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导并带入已知不等式中，将不等式恒成立问题由构造新函数并借助导数利用分类讨论求最小值即可求出ab的不等式关系，进而表示，再令并构造，利用导数求得最大值即可. 【详解】因为函数，则， 由题可知，对，恒有成立， 令，则， 当时，函数在R上单调递增，且时，，不符合题意； 当时，， 当时，令，所以函数在上单调递增，且在上单调递减； 所以， 故， 令，则，且， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以，故， 综上所述，的最大值为.故选：C 5.（2023·江苏·模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（    ） A． B．－1 C． D．－2 【答案】C 【分析】等价于对于，恒成立，设，求出函数最大值，得到，设，求出函数的最小值即得解. 【详解】因为对于，恒成立，所以对于，恒成立， 设，所以.当时，，函数单调递增， 所以函数没有最大值，所以这种情况不满足已知； 当时，当时，，函数单调递增. 当时，，函数单调递减.所以. 所以.所以.设，所以， 当时，，函数单调递减.当时，，函数单调递增. 所以.所以的最小值为.故选：C 【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题的求解，常用的方法有：（1）分离参数求最值；（2）直接法；（3）端点优先法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 压轴题型九：多参：换元型 √满分技法 压轴题型十一： √满分技法 导数换元型：比值型换元构造新函数 不等式中，可以借助对数均值不等式解决，完整的对数均值不等式为：，可用两边同除， 令整体换元的思想来构造函数，证明不等式成立求解参数 1.已知函数有两个零点、，，则下面说法不正确的是（ ） A． B． C． D．有极小值点，且 辽宁省六校协作体2019-2020学年高三上学期期中数学（文）试题 【答案】C 【分析】 先证明出对数平均不等式，由题意得出，将两式作差结合对数平均不等式可判断出A、B选项的正误，利用导数分析函数的单调性，结合该函数的极值以及该函数有两个零点可判断出选项的正误，求出极值点，将中两等式相加可判断D选项的正误. 【详解】 先证明对数平均不等式. 先考虑不等式，设， 即证，即证，令，即证不等式. 构造函数，则， 所以，函数在上单调递增，则， 当，且时，； 接下来考虑不等式，设， 即证，即证，设，即证不等式. 构造函数，则， 所以，函数在上单调递增，则， 当，且时，有. 即当，且时，. 对于C选项，，. ①当时，对于任意恒成立，此时函数在上单调递增，该函数最多有一个零点； ②当时，令，得. 当时，，当时，. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增. 所以，函数在处取得极小值， 由于该函数有两个零点，则， 即，解得，C选项错误； 对于A、B选项，由于函数有两个零点、，且， 由于，则，，且有， 则，两个等式两边取自然对数得， 两式相减得，， 由对数平均不等式得，即， ，，A、B选项都正确； 对于D选项，由C选项可知，， 将中两个等式相加得， ，即，D选项正确. 故选：C. 2.对任意的正数，都存在两个不同的正数，使成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【全国校级联考】山西省临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学2016-2017学校高二4月联考数学（理）试题 【答案】A 【详解】 由得，设，则，设，，所以在上单调递增，在上单调递减，且，，故当时，存在两个不同的实数，使成立，即对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立． 故选A 点睛：，可以理解为任意取定一个x值，y=a与都有两个不同的交点，因为左右平移不影响交点个数，即考虑y=a与的交点个数即可. 3.已知函数，，若，，且，则的最大值为______． 黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题 【答案】 【分析】通过已知条件可以将转化为，即，所以，令，通过对求导讨论其单调性即可求出的最大值. 【详解】因为，所以，又，所以，所以．因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以，又，，所以，所以，．令，，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以的最大值为． 故答案为：. 4.（2020·江苏镇江·三模）设正实数x，则的值域为_____． 【答案】[0，]． 【分析】利用换元法，原函数的值域即为函数的值域，根据导数和函数的最值的关系即可求出． 【详解】令lnx＝t，则x＝et，∴g（t），令t2＝m，m≥0， ∴，∴h′（m），令h′（m）＝0，解的m＝1， 当0≤m＜1时，h′（m）＞0，函数h（m）单调递增， 当m≥1时，h′（m）＜0，函数h（m）单调递减， ∴h（m）max＝h（1），∵f（0）＝0，当m→+∞时，h（m）→0， ∴的值域为[0，]，故答案为：[0，]． 压轴题型十：比大小：构造函数型 1.（2023春·重庆渝北·高二重庆市渝北中学校校考阶段练习）设，，，则下列大小关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别构造函数，，根据函数单调性和特殊值的思路比较大小即可. 【详解】令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以，即，； 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以， ，，，所以，即， 所以.故选：A. 2.设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 广东省河源市河源中学2023届高三上学期10月教学质量检测数学试题 【答案】C 【分析】易得，构造函数，求导，根据函数的单调性即可比较的大小，构造函数，求导，根据函数的单调性即可比较的大小，从而可得出答案. 【详解】解：，， 令，则，令，则， 当时，，所以函数在上递增，所以，即， 所以函数在上递增，所以，即， 所以，令，则， 令，则，当时，，所以函数在上递增， ，因为， 所以，所以， 所以当时，，即，所以函数在上递减，所以, 即，所以，综上所述.故选：C. 3.（2022上·四川巴中·高三南江中学校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数研究单调性可比较a、b，利用对数单调性可比较a、c，然后可得. 【详解】因为，所以； 构造函数，则， 记，则由，得，在递增， 由，得，在递减， 所以，所以在R上递增，有，所以，所以. 故选：D． 4.（2022下·四川凉山·高二统考期末）已知，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，由导数确定单调性，进而即得． 【详解】设，则，在时恒成立， 所以在上是增函数，所以，即，， ∴，又，∴，即，所以．故选：C． 5.（2022上·吉林·高三双辽市第一中学校联考期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将a、b分离到等号两边，构造函数，将问题转化为判断函数f(x)在(0，﹢∞)上的单调性. 【详解】因为，所以， 即．令，则， 所以，即．因为，令， ，所以在上单调递增，所以，所以，即， 所以在上单调递增．又，所以． 故选：B． 压轴题型十一：比大小：三角函数型 √满分技法 三角函数与三角函数值比较大小： 1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小 2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当(0，)时， 3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小。 1.（2022上·辽宁丹东·高三统考期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，结合导数可得，即可比较大小，再构造函数，根据单调性，可得大小，即可得的大小. 【详解】解：设，则， 所以，所以，即， 由，令，则 所以在上单调递减，所以，则，则， 综上，.故选：A 2.（2022·江西·校联考模拟预测）函数.若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用导数判断函数在上的单调性，再利用对数指数运算和对数函数的性质判定a，b，c的大小关系，进而得到答案. 【详解】因为函数，所以，当时，， 所以在上递增，因为， 所以，所以，故选： 3.（2017下·浙江湖州·高二统考期末）若，且，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，构造函数，，进而利用导数研究函数的单调性，奇偶性，结合函数性质求解即可. 【详解】解：因为，且，所以，， 令，，由于，所以，为偶函数， 因为，当时，，所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以.故选：B 4.（2021下·四川内江·高二威远中学校校考阶段练习）若asina﹣bsinb＜b2﹣a2，则（　　） A．|a|＜|b| B．a＜b C．|a|＞|b| D．a＞b 【答案】A 【分析】根据，得，再构造函数，再研究其单调性及奇偶性，从而可得答案. 【详解】由，得，令，而， 所以是上的偶函数，又，当时，，所以； 当时，，所以. 所以，，所以在上单调递增. 又因为是上的偶函数，所以在上单调递减. 所以，即，所以.故选：A 5.（2022上·浙江嘉兴·高二统考期末）设（其中是自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件构造函数()可比较a，b，作出a与c的差，再构造函数判定正负即可作答. 【详解】令，，则，即函数在上单调递增， 则有，即，于是得， ，令，，则当时，，即函数在上单调递增， 因此，，即， 令，则当时，， 即在上单调递减，则，即，于是有，即成立， 所以.故选：D 压轴题型十二：比大小：泰勒展开型 √满分技法 泰勒展开式 ； ； 截取片段： ，当且仅当时,等号成立； 进而：当且仅当时,等号成立 1.（21-22高三上·山东日照·期末）十八世纪，数学家泰勒发现了公式…，其中，若，下列选项中与的值最接近的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知式两边同时求导，然后令代入，并结合角的变换，诱导公式变形可得． 【详解】因为…， 所以， 令得， 即．故选：A． 2.（20-21高三上·湖南衡阳·期中）1715年英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）在他的著作中陈述了泰勒公式，如果满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值构建一个多项式来近似表达这个函数．泰勒公式将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具，例如：，其中．试用上述公式估计的近似值为（精确到0.001）（    ） A．1.647 B．1.648 C．1.649 D．1.650 【答案】B 【解析】根据泰勒公式，令，代入即可求解. 【详解】由题意可知，结果只需精确到0.001即可， 令，取前项可得： 所以 的近似值为， 故选：B. 3.（19-20高三上·山东青岛·期中）英国数学家泰勒发现了如下公式：.则下列数值更接近的是（    ） A．0.91 B．0.92 C．0.93 D．0.94 【答案】B 【分析】根据表达式特点可写出通式，再分为奇数和偶数分类讨论即可 【详解】由题知 题设要求精确到0.01即可， 当为奇数时，由于，， 所以； 当为偶数时，由于， ， 综上所述， 故选：B 4.（22-23高三上·湖南衡阳·期中）十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式，（其中，，，），现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的泰勒公式，进行求导数，可得，令，结合诱导公式，进行近似计算，可得答案. 【详解】因为, 则, 当时，则有, 又 , 则 , 故选∶C． 压轴题型十三：范围最值：韦达定理型 1.（24-25高三上·山西大同·开学考试）已知是函数的两个极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导得极值点满足的等量关系，回代入式子化简减元，将恒成立问题转化为一元函数值域问题求解可得. 【详解】，，则， 令得，，由题意知是方程的两正根， 则，解得，且.由 ， 令，则，由，故在单调递减，故， 要使恒成立，即恒成立，则，则实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：多变量不等式的恒成立问题，处理关键是代数变形与消元处理.通过代换将所证的双变量不等式转化或直接消元转化为单变量的函数不等式，如：(含对数式时常用)或（含指数式时常用)或，等等，然后再通过构造函数求导分析，利用函数单调性进行后续研究 2．（20-21高二下·四川成都·期中）若函数存在两个极值点，，（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导，可得，是有两解，根据，所以，带入可得，由即可得解. 【详解】根据题意，是有两解， 所以，所以， ，， 由可得， ， 由可得，，则， 故选：D. 3.（21-22高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数存在两个极值点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件可得，则所以，即，，故，设，求出的单调性，得出其范围，得到答案. 【详解】由，则因为函数存在两个极值点， 所以，即 设，则 当时，，则在上单调递减.所以 所以的取值范围是故选：B 4.（19-20高二下·安徽六安·期末）已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的两个极值点是的两个根，根据韦达定理，确定的关系，用表示出，用表示出，求该函数的最小值即可. 【详解】解：的定义域，，令，则必有两根， ，所以，， ， ，当时，，递减， 所以的最小值为故选：A. 【点睛】求二元函数的最小值通过二元之间的关系，转化为求一元函数的最小值，同时考查运算求解能力和转化化归的思想方法，中档题. 5.（19-20高三上·河南平顶山·阶段练习）若函数存在两个极值点和，则取值范围为 A．(-∞，] B．(-∞，) C．(，+∞) D．[，+∞) 【答案】B 【分析】和是的两个极值点，则和是的两根，即，则，此时能得到一个关于参数的不等式,且由韦达定理有，，∴，将这些值带入到的表达式中，从而得到一个关于的函数，求新的函数的值域问题. 【详解】，由函数存在两个极值点和，得，∴. 且，，∴， ， 令，，∵，，所以在(2，+∞)上递减，，即，故选B. 【点睛】由函数极值点问题，可以得到则和是的两根，二次函数存在两个不等实根，此时存在一个范围，同时由韦达定理，能得到，，的相关值，代入到所求的中，重新得到一个关于的函数，求新函数的值域. 24 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