6.3二元一次方程组的应用（6大题型提分练）（题型专练）数学新教材冀教版七年级下册

6.3二元一次方程组的应用 题型一 二元一次方程组的同解问题 1．关于的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】这道题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组解的概念，解题的关键是通过重新联立方程组求出两个方程组的公共解．将两个方程组中的方程与重新联立方程组成方程组，求出相同解，然后将这个解代入到方程和方程中，得到关于和的方程组，最后解这个方程组，得到和的值，然后计算即可． 【详解】解：解方程组，解得， 将代入方程组，得， 解这个方程组得，， ， 故选：C． 2．已知方程组与有相同的解，则，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出a，b的值即可． 【详解】解：由题意，得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ，， ∴； 故选：D． 3．已知关于x、y的方程组与有相同的解，则a和b的值为 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是同解方程组，熟练的利用同解方程组是含义建立新的方程组是解本题的关键． 由条件方程组的含义可得，可得，再代入建立方程组，即可得到答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴， 得：，解得：， 把代入②得：， ∴， ∴， 解得，． 故答案为：，． 4．已知方程组与方程组的解相同，求a、b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据已知的两个方程组的解相同得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组求出a、b的值，代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与方程组的解相同， ∴这两个方程组的解也是方程组的解， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为， 把别代入和， 得方程组， 解这个方程组得， ． 5．已知关于，的方程组和的解相同，试求的值． 【答案】25 【分析】方程组的解满足方程组中每一个方程，则两个方程组中的四个方程是同解方程，则将其中两个不含字母、的方程组成一个新的方程组；利用加减消元法对方程组进行求解，即可得到、的值；根据两个方程组同解，则可将、的值代入含有参数的方程组中，即可得到关于、的方程组，据此通过加减消元法的知识即可求出、的值，然后求出的值．本题主要考查方程组同解的问题，解决本题的关键是明确方程组的解的定义． 【详解】解：∵关于，的方程组和的解相同， ∴， 解得， 则是方程组的解， 故可得， 解得， ∴． 题型二 二元一次方程组的错解复原问题 1．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：由题意，得把，代入②，得， 解得， 把，代入①，得， 解得， 所以，． 故选C． 2．在解方程组时，一同学把c看错而得到，正确的解应是，那么a，b，c的值是（    ） A．不能确定 B． C．a，b不能确定， D． 【答案】B 【分析】本题考查方程组错解复原问题，看错，得到的解满足方程，正解满足两个方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：和都能使成立， ∴，解得：， 能使方程成立， ∴， ∴； 故选B． 3．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的a，b的值 (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把代入①，能求出，把代入②，求出即可； （2）运用加减消元法求出原方程组的解，即可作答． 本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解和求代数式的值等知识点，能得出关于、的方程是解此题的关键． 【详解】（1）解：依题意，把代入①，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （2）解：由（1）得， ∴原方程组为， ，得， 把代入③，得， ∴， 解得原方程组的正确解为：， 题型三 根据二元一次方程组的解求参数 1．若关于的二元一次方程的两个解分别是或，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握其运算方法是解题的关键． 分别把两组解代入二元一次方程组，再根据加减消元法解二元一次方程组的方法即可求解． 【详解】解：根据题意，把方程的两组解代入得， ①②得，， 把的值代入②得，， 故选：． 2．关于，的二元一次方程组的解适合，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将方程组中上式减去下式可得，结合，可求出，的值，再代入方程组中即可求出的值． 【详解】解：关于，的二元一次方程组，上式减去下式得， ∴，解方程组得，，代入方程得，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的值求参数，掌握解二元一次方程组的方法（代入法，加减法）是解题的关键． 3．解答下列各题 (1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值． (2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组； （1）依题意，，由①可得，代入②得，，即可求解． （2）依题意，③，代入②得，，，将代入①得，，即可求解． 【详解】（1）解： 依题意， 由①可得， 解得： ∴，代入②得， 解得： （2）解： 依题意，③ 将③代入②得，， 解得： ∴ 将代入①得， 解得： 题型四 构造二元一次方程组求解 1．若和是同类项，那么的值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可先列出关于x和y的二元一次方程组，再解方程组求出它们的值． 【详解】解：由同类项的定义，得 7x=2-4y，y+7=2x， 解得：x=2，y=-3， ∴x+y=-1， 故选A． 【点睛】本题考查同类项的定义、方程思想．同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次方程组求字母的值． 2．定义一种新的运算“※”，规定：※，其中、为常数，已知2※，3※，则※(      )． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】由2※3＝−1、3※2＝8可得，解之得出m、n的值，再根据公式求解可得． 【详解】根据题意，得：， 解得：， 则x※y＝4x−y2， ∴4※（−1）＝4×4−（−1）2＝15， 故选C． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意列出关于m、n的方程组，并利用加减消元法求得m、n的值是解题的关键． 3．已知与的和是单项式，则m、n的值分别是（   ） A．m=2，n=1 B．m=1，n=1 C．m=1，n=2 D．m=1，n=3 【答案】C 【分析】根据题意可知与是同类项，然后根据同类项的定义：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，即可求出结论． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴ 解得： 故选C． 【点睛】此题考查的是根据同类项求指数中的参数，掌握同类项的定义是解决此题的关键． 4．，求的值． 【答案】14 【分析】根据非负数的性质得到关于x与y的二元一次方程组，解方程组求得x与y的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 把代入得， ＝2－3×（﹣4）＝14． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质、二元一次方程组的解法等知识，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 5．对于任意有理数， ， ， ，我们规定， 已知，同时，，求，的值． 【答案】， 【分析】已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解即可得到与的值． 【详解】解：∵，同时满足，， ∴， ①×3－②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴，． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，以及有理数的混合运算．熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型五 根据实际问题列出二元一次方程组 1．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时， 根据题意，得， 故选：A． 2．将7个全等的小长方形按如图方式摆放拼成一个大长方形，且．设小长方形的长为，宽为，依题意列二元一次方程组正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合图形，数形结合即可列出方程组． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由题意，结合图形可得， 故选：D． 【点睛】本题考查列方程组解决实际问题，读懂题意，数形结合表示大长方形的长与宽是解决问题的关键． 3．近年来，河南省舞钢市按照《森林河南生态建设规划（2018-2027年） 》要求，累计造林近两万亩，义务植树200万株以上，成功创建省级森林城市． 现有一块面积为180亩的荒地需要绿化，计划甲队先绿化，然后乙队接替甲队绿化，两队共用20天完成．已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，设原计划甲工程队需绿化x天，乙工程队需绿化y天，则可列方程组为： ． 【答案】 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，根据每天绿化面积及时间相乘得到两队的绿化面积，将甲乙两队绿化面积相加等于180，共用20天，即可得到方程组． 【详解】甲工程队每天绿化8亩，绿化x天，共绿化面积为亩， 乙工程队每天绿化12亩，绿化y天，共绿化面积为亩， 总绿化面积为180亩，则，共用20天，则， 故答案为：． 4．大刚和小亮到同一家超市购买水果，大刚买苹果和梨，共花了26元；小亮买苹果和梨，共花了11元．设苹果的售价为，梨的售价，则可列二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，读懂情意，找出数量关系是解答关键． 设苹果的售价为，梨的售价，根据 【详解】解：设苹果的售价为，梨的售价，根据大刚买苹果和梨，共花了26元；小亮买苹果和梨，共花了11元列出方程求解． 则． 故答案为：． 题型六 利用二元一次方程组解决实际问题 1．端午节前夕，某食品加工厂准备把生产的粽子装入两种不同型号的包装盒中，种包装盒每盒可装个粽子，种包装盒每盒可装个粽子，若将生产的个粽子全部装入这两种包装盒中（两种包装盒都使用且装满），最少需要两种包装盒共（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据题意，设种包装盒每盒有个，种包装盒每盒有个，列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，设种包装盒每盒有个，种包装盒每盒有个，均为正整数， ∴， ∴解得，，，， ∴共有四种方法，最少需要两种包装盒共， 故选：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目数量关系，掌握二元一次方程组的求根方法是解题的关键． 2．明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么绳索长 尺，竿长 尺．（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺） 【答案】 20 15 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设绳索长x尺，竿长y尺，由题意：绳索长=竿长+5尺，竿长=绳索长的一半+5尺，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设绳索长x尺，竿长y尺， 由题意得：， 解得：， 即绳索长20尺，竿长15尺， 故答案为：20，15． 3．某校计划购买一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元．求每个篮球和每个足球的售价？ 【答案】每个篮球的售价为元和每个足球的售价为元 【分析】设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，根据题意，列出方程组，解出方程，即可． 【详解】设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元， ∴， 解得：， 答：每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元． 【点睛】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组的实际运用． 4．一个两位数，个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18，则原两位数是多少？ 【答案】原两位数是53． 【分析】设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据“个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入10y＋x即可得出结论． 【详解】解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为y， 根据题意得： 解得： ∴10y+x＝53． 答：原两位数是53． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 【答案】9千米 【分析】设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意得：， 解得：， 则（千米）， 答：从出发点到景区的路程是9千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 6．《九章算术》中有这样一道题：今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得粟七斗，问故米几何？（粟米之法：粟率五十，粝米三十．）大意为：今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少；再向桶加满粟，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？（出米率为）请解答上面问题． 【答案】原来有米2.5斗． 【分析】设原来有米斗，再向桶加粟斗，由出米率为，可知增加米斗，根据“米共7斗；米和后增加的粟共10斗”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】设原来有米斗，再向桶加粟斗， 由题意得：， 解得：， 答：原来有米2.5斗． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示，如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积． 【答案】135cm3 【详解】设这种药品包装盒的宽为xcm，高为ycm，则长为（x＋4）cm，根据题意可得   解得 ∴长为9cm．宽为5cm，高为3 cm． 则体积V＝9×5×3＝135（cm3）． 答：这种药品包装盒的体积为135cm3 8．《希腊文选》中有这样一题：“驴和骡驮着货物并排走在路上，驴子不停地埋怨驮的货物太重，压得受不了.骡子对它说：‘你发什么牢骚啊！我驮的比你驮的更重．倘若你的货物给我一袋，我驮的货比你驮的货重l倍；而我若给你一口袋，咱俩才刚好一样多，’驴和骡各驮几口袋货物？”（请用方程组解答） 【答案】驴驮5口袋货物，骡子驮7口袋货物 【分析】本题中的等量关系是：2×（驴子驮的-1袋）=骡子驮的+1袋；驴子驮的+1袋=骡子驮的-1袋，据此可列方程组求解． 【详解】解：设驴驮x口袋货物，骡子驮y口袋货物 根据题意列方程组：                               解得                                     答：驴驮5口袋货物，骡子驮7口袋货物. 故答案为驴驮5口袋货物，骡子驮7口袋货物． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 9．太原市积极开展“举全市之力，创建文明城市”活动，为年进入全国文明城市行列奠定基础．某小区物业对面积为平方米的区域进行了绿化，整项工程由甲、乙两个林队先后接力完成，甲园林队每天绿化平方米，乙园林队每天绿化平方米，两队共用天．求甲乙两个园林队在这项绿化工程中分别工作了多少天． 【答案】甲园林队工作了天，乙园林队工作了天． 【分析】设甲园林队工作了天，乙园林队工作了天，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】设甲园林队工作了天，乙园林队工作了天， 根据题意得 解，得， 答：甲园林队工作了天，乙园林队工作了天． 【点睛】此题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程． 10．某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． （1）求大、小两种垃圾桶的单价； （2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？ 【答案】（1）大垃圾桶单价为180元，小垃圾桶的单价为60元；（2）2880． 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可． （2）根据第（1）问求得的大小垃圾桶的单价计算即可． 【详解】（1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元， 由题意列方程得， 解得， 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元． （2）． 答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2880元． 【点睛】此题考查了二元一次方程组应用题，解题的关键是分析出题目中的等量关系． 11．某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买A、B两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买A种6件、B种1件，共需100元；若购买A种5件、B种2件，共需88元． (1)A、B两种奖品每件各多少元? (2)学校决定现要购买A种奖品8件、B种奖品15件，那么总费用是多少元？ 【答案】(1)A种奖品16元/件，B种奖品4元/件 (2)188元 【分析】（1）由题意可知两条等量关系分别为：6×A奖品价格+1×B奖品价格=100，5×A奖品价格+2×B奖品价格=88，根据等量关系列出二元一次方程组求解即可； （2）根据：总价=单价×数量，分别求出A，B两种奖品的总价，相加即可． 【详解】（1）解：设A种奖品x元/件，B种奖品y元/件， 由题意可列方程： ， 由①得：， 将③代入②中得：， 解得：， 答：A种奖品16元/件，B种奖品4元/件． （2）由题意得：（元）， 答：总费用为188元． 【点睛】本题考查用二元一次方程组解决实际问题，能够根据题意列出等量关系是解题的关键． 12．今年“五一”期间，桐柏水帘洞火爆桐柏，打卡次数之多，位居桐柏首位，实现了416万左右的收入．某游客购买了三种桐柏特色商品，因不小心污染了相关信息，导致部分信息无法识别，根据下表解决问题： 商品名称 单价（元） 数量（袋/件） 金额（元） 桐柏山板栗 15 桐柏豆筋 40 乐神康 a 2 90 合计 5 185 (1)某游客购桐柏山板栗，桐柏豆筋各几袋？ (2)某游客再次购买3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱乐神康共多少钱？ 【答案】(1)购买桐柏山板栗1袋，购买桐柏豆筋2袋 (2)游客再次购买3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱乐神康共340元 【分析】（1）设购买桐柏山板栗袋，购买桐柏豆筋袋，根据题意联立二元一次方程组并解方程组即可求解． （2）利用，即可求解． 【详解】（1）解：设购买桐柏山板栗袋，购买桐柏豆筋袋， 由题意得：， 解得：， 答：购买桐柏山板栗1袋，购买桐柏豆筋2袋． （2）（元）， 答：游客再次购买3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱乐神康共340元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理清题意，根据等量关系列出二元一次方程组是解题的关键． 1．两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a， b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 2．若是二元一次方程，那么a，b的值分别是（   ） A．1，0 B．0， C．2，1 D．1， 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，以及解二元一次方程组，即只含有两个未知数，并且所含未知项的次数都为1次的整式方程就叫做二元一次方程；根据二元一次方程的定义，即未知数的项的最高次数是1，得到关于a、b的方程组，从而解出a、b． 【详解】解：是二元一次方程， ， 解得； 故选：C． 3．若关于，的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程，解二元一次方程组得出，结合题意可得，求解即可． 【详解】解：， 由可得：， ∴， ∵关于，的方程组的解满足， ∴， 解得：， 故选：A    ． 4．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为．类似地，图2所示的算筹图我们用方程组可表述为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组；根据图1和方程组得关系即可确定图2的方程组． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 5．小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小成看见了，说：“我也来试一试．”结果小成七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个面积为的小正方形缺口，则每个小长方形的周长为 ．    【答案】 【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据小明和小红拼的图形，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． 答：每个小长方形的周长为， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6．年级花费元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则购买方案有 种. 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设购买件甲种奖品，件乙种奖品，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可求解． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或， 共有种购买方案． 故答案为：． 7．程大位是珠算发明家，他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统家》．该书中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人总共饮下了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？（列二元一次方程组解答） 【答案】醇酒饮了10瓶，薄酒饮了9瓶 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶，根据33位客人总共饮下了19瓶酒，醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶． 根据题意，得 解得； 答：他们醇酒饮了10瓶，薄酒饮了9瓶． 8．某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划6月份生产安装600辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人．使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成6月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)工厂可以招聘2名、4名、6名或8名新工人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键． （1）每名熟练工每日可以安装辆自行车，每名新工人每日可以安装辆自行车，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设抽调熟练工名，根据题意可得，则，再根据为正整数，且求解即可得． 【详解】（1）解：每名熟练工每日可以安装辆自行车，每名新工人每日可以安装辆自行车， 由题意得：，解得， 答：每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车． （2）解：设抽调熟练工名， 由题意得：， 所以， ∵为正整数，且， ∴或或或， 答：工厂可以招聘2名、4名、6名或8名新工人． 9．7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得                         解得                                       答：现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决． 10．小贵、小港两人从相距的两地相向而行． (1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ (2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 【答案】(1)小贵每小时走，小港每小时走 (2)后两人相距 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设小贵每小时走，小港每小时走，根据“若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据后两人间的距离两人的速度之和运动时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设小贵每小时走，小港每小时走， 依题意，得：， 解得：； 答：小贵每小时走，小港每小时走． （2）解：， 答：后两人相距． 11．风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做3天，再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7200元．若先请甲施工队单独做9天，再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7600元． (1)甲、乙两施工队工作1天，风味美饭店老板应各付多少工钱？ (2)若甲、乙两施工队合作，则需要同时做几天才能完成施工任务？ 【答案】(1)甲施工队工作1天，老板应付400元，乙施工队工作1天，老板应付250元 (2)天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系是解题的关键． （1）设甲施工队工作1天，老板付元，乙施工队工作1天，老板付元，根据题意列方程组，求解即可． （2）设甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为，根据题意列方程组，求出甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为，继而可求出甲、乙两施工队同时做需要的天数． 【详解】（1）解：设甲施工队工作1天，老板付元，乙施工队工作1天，老板付元， 根据题意，得， 解得， ∴甲施工队工作1天，老板应付400元，乙施工队工作1天，老板应付250元． （2）设甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为， 根据题意，得， 解得， ∴甲，乙两施工队同时做需（天）能完成施工任务． 12．“争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价元． (1)小长方形的长和宽各是多少米？ (2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 【答案】(1)小长方形的长为米，宽为米； (2)要完成这块绿化工程，预计花费元． 【分析】（）设小长方形的长为米，宽为米，根据题意可列方程组，然后求解即可； （）利用“平方米造价总面积”即可； 本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，根据图形，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解是解题的关键． 【详解】（1）解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意可列方程组， 整理得： 解得：， 答：小长方形的长为米，宽为米； （2）解：（元）， 答：要完成这块绿化工程，预计花费元． 13．我国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“设如砚七方比笔三支价多四百八十文，又砚三方比笔九支价少一百八十文，问笔砚价各若干？”其大意为假设七方砚台的价格比三支笔的价格多出四百八十文钱，而三方砚台的价格则比九支笔的价格少了一百八十文钱，请问笔和砚台的单价分别是多少？ (1)求笔和砚台的单价． (2)为落实立德树人的根本任务，某校开设了书法课程，需购买砚台和笔若干，已知笔的数量是砚台数量的2倍，学校共花费3420元．问该校可以购买砚台和笔各多少？（1文约等于1.2元） 【答案】(1)笔的单价为50文，砚台的单价为90文 (2)砚台15方，笔30支 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用． （1）设笔的单价为x文，砚台的单价为y文，根据等量关系列方程组求解即可； （2）设该校购买砚台的数量为m，则笔的数量为．根据学校共花费3420元列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设笔的单价为x文，砚台的单价为y文， 由题意可列方程， 解得 答：笔的单价为50文，砚台的单价为90文． （2）解：设该校购买砚台的数量为m，则笔的数量为． ， 解得． 答：该校可以购买砚台15方，笔30支． 14．我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满． (1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题） (2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案． (3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案． 【答案】(1)租用两座车共25辆，租用五座车共10辆 (2)租车方案有3种：方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆．方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆．方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆． (3)方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用、有理数混合运算等知识点，正确列出方程组和二元一次方程成为解题的关键． （1）设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人，根据共100名学生参与了活动，一共花去车费1300元列方程组求解即可； （2）设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车辆，再根据共100名学生参与了活动，据此列二元一次方程求解即可； （3）分别求出三种方案的费用，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人， 根据题意；， 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 则（辆），（辆）． 答：租用两座车共25辆，租用五座车共10辆． （2）解：设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车辆， 根据题意：，即， 为非负整数，且，解得：或或， 则大巴车租用的数量依次为：， 则租车方案有3种： 方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆． 方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆． 方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆． （3）解：方案一：租金为（元）； 方案二：租金为（元）； 方案三：租金为（元）； ， 方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3二元一次方程组的应用 题型一 二元一次方程组的同解问题 1．关于的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 2．已知方程组与有相同的解，则，的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知关于x、y的方程组与有相同的解，则a和b的值为 ． 4．已知方程组与方程组的解相同，求a、b的值． 5． 已知关于，的方程组和的解相同，试求的值． 题型二 二元一次方程组的错解复原问题 1．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．在解方程组时，一同学把c看错而得到，正确的解应是，那么a，b，c的值是（    ） A．不能确定 B． C．a，b不能确定， D． 3．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的a，b的值 (2)求出原方程组的正确解． 题型三 根据二元一次方程组的解求参数 1．若关于的二元一次方程的两个解分别是或，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．关于，的二元一次方程组的解适合，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．解答下列各题 (1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值． (2) 已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 题型四 构造二元一次方程组求解 1．若和是同类项，那么的值是（    ） A． B．1 C． D．2 2．定义一种新的运算“※”，规定：※，其中、为常数，已知2※，3※，则※(      )． A．13 B．14 C．15 D．16 3．已知与的和是单项式，则m、n的值分别是（   ） A．m=2，n=1 B．m=1，n=1 C．m=1，n=2 D．m=1，n=3 4．，求的值． 6． 对于任意有理数， ， ， ，我们规定， 已知，同时，，求，的值． 题型五 根据实际问题列出二元一次方程组 1．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．将7个全等的小长方形按如图方式摆放拼成一个大长方形，且．设小长方形的长为，宽为，依题意列二元一次方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 3．近年来，河南省舞钢市按照《森林河南生态建设规划（2018-2027年） 》要求，累计造林近两万亩，义务植树200万株以上，成功创建省级森林城市． 现有一块面积为180亩的荒地需要绿化，计划甲队先绿化，然后乙队接替甲队绿化，两队共用20天完成．已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，设原计划甲工程队需绿化x天，乙工程队需绿化y天，则可列方程组为： ． 4．大刚和小亮到同一家超市购买水果，大刚买苹果和梨，共花了26元；小亮买苹果和梨，共花了11元．设苹果的售价为，梨的售价，则可列二元一次方程组为 ． 题型六 利用二元一次方程组解决实际问题 1．端午节前夕，某食品加工厂准备把生产的粽子装入两种不同型号的包装盒中，种包装盒每盒可装个粽子，种包装盒每盒可装个粽子，若将生产的个粽子全部装入这两种包装盒中（两种包装盒都使用且装满），最少需要两种包装盒共（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么绳索长 尺，竿长 尺．（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺） 3．某校计划购买一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需元，购买个篮球和个足球共需元．求每个篮球和每个足球的售价？ 4． 一个两位数，个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18，则原两位数是多少？ 5． 小明骑自行车去某景区，出发时，他先以的速度走平路，而后又以的速度上坡到达景区，共用了；返回时，他先以的速度下坡，而后以的速度走过平路，回到原出发点，共用了，求从出发点到景区的路程． 6．《九章算术》中有这样一道题：今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得粟七斗，问故米几何？（粟米之法：粟率五十，粝米三十．）大意为：今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少；再向桶加满粟，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？（出米率为）请解答上面问题． 7．某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示，如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积． 8．《希腊文选》中有这样一题：“驴和骡驮着货物并排走在路上，驴子不停地埋怨驮的货物太重，压得受不了.骡子对它说：‘你发什么牢骚啊！我驮的比你驮的更重．倘若你的货物给我一袋，我驮的货比你驮的货重l倍；而我若给你一口袋，咱俩才刚好一样多，’驴和骡各驮几口袋货物？”（请用方程组解答） 9．太原市积极开展“举全市之力，创建文明城市”活动，为年进入全国文明城市行列奠定基础．某小区物业对面积为平方米的区域进行了绿化，整项工程由甲、乙两个林队先后接力完成，甲园林队每天绿化平方米，乙园林队每天绿化平方米，两队共用天．求甲乙两个园林队在这项绿化工程中分别工作了多少天． 10．某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． （1）求大、小两种垃圾桶的单价； （2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？ 11．某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买A、B两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买A种6件、B种1件，共需100元；若购买A种5件、B种2件，共需88元． (1)A、B两种奖品每件各多少元? (2)学校决定现要购买A种奖品8件、B种奖品15件，那么总费用是多少元？ 12．今年“五一”期间，桐柏水帘洞火爆桐柏，打卡次数之多，位居桐柏首位，实现了416万左右的收入．某游客购买了三种桐柏特色商品，因不小心污染了相关信息，导致部分信息无法识别，根据下表解决问题： 商品名称 单价（元） 数量（袋/件） 金额（元） 桐柏山板栗 15 桐柏豆筋 40 乐神康 a 2 90 合计 5 185 (1)某游客购桐柏山板栗，桐柏豆筋各几袋？ (2)某游客再次购买3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱乐神康共多少钱？ 1．两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 2．若是二元一次方程，那么a，b的值分别是（   ） A．1，0 B．0， C．2，1 D．1， 3．若关于，的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C．0 D． 4．《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为．类似地，图2所示的算筹图我们用方程组可表述为 ． 5．小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小成看见了，说：“我也来试一试．”结果小成七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个面积为的小正方形缺口，则每个小长方形的周长为 ． 6．年级花费元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则购买方案有 种. 7．程大位是珠算发明家，他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统家》．该书中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人总共饮下了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？（列二元一次方程组解答） 8．某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划6月份生产安装600辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人．使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成6月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ 9．7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 10．小贵、小港两人从相距的两地相向而行． (1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ (2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 11．风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做3天，再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7200元．若先请甲施工队单独做9天，再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7600元． (1)甲、乙两施工队工作1天，风味美饭店老板应各付多少工钱？ (2)若甲、乙两施工队合作，则需要同时做几天才能完成施工任务？ 12．“争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价元． (1)小长方形的长和宽各是多少米？ (2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 13．我国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“设如砚七方比笔三支价多四百八十文，又砚三方比笔九支价少一百八十文，问笔砚价各若干？”其大意为假设七方砚台的价格比三支笔的价格多出四百八十文钱，而三方砚台的价格则比九支笔的价格少了一百八十文钱，请问笔和砚台的单价分别是多少？ (1)求笔和砚台的单价． (2)为落实立德树人的根本任务，某校开设了书法课程，需购买砚台和笔若干，已知笔的数量是砚台数量的2倍，学校共花费3420元．问该校可以购买砚台和笔各多少？（1文约等于1.2元） 14．我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满． (1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题） (2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案． (3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$