专题06 四边形和圆（7类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（广东专用）

专题06 四边形和圆 课标要求 考点 考向 1.掌握菱形的定义。理解菱形的四条边相等、对角线垂直平分等性质。了解菱形在几何图形中的应用。 2.掌握菱形的判定方法，如一组邻边相等的平行四边形是菱形等。理解菱形与平行四边形的关系。 3.理解点与圆的位置关系，包括点在圆外、圆上、圆内三种情况。掌握点与圆的距离计算方法。 4.掌握圆周角定理及其推论。了解圆周角与弧所对弦之间的垂直关系。 5.理解三角形的内切圆及其与三角形的三边关系。掌握内心、内切圆半径的计算方法。 6.掌握扇形面积的计算公式。了解扇形与其他几何图形的关联，如与圆、三角形等的关系。 7.掌握圆锥的定义、表面积、体积等计算方法。理解圆锥与三角形的关系，如圆锥的底面与侧面三角形等。 8.掌握圆锥在实际问题中的应用。 考点一四边形 考向一 菱形的性质 考向二 菱形的判定 考点二圆 考向一 点与圆的位置关系 考向二 圆周角定理 考向三 三角形的内切圆与内心 考向四 扇形面积的计算 考向五 圆锥的计算 考点一四边形 ►考向一 菱形的性质 1.（2024•广东）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 　 　． 2.（2024·广东深圳·模拟预测）如图，O是坐标原点，菱形的顶点C在x轴的负半轴上，，函数的图象经过顶点B，则k的值为 ． 易错易混点：易将菱形与矩形性质混淆，如把菱形对角线相等当作性质。菱形对角线互相垂直平分且平分每组对角，但不一定相等。 解题技巧：已知菱形对角线长度，可利用对角线互相垂直平分，通过勾股定理求边长；利用菱形四条边相等，若已知一边长，其余三边也可确定。 ►考向二 菱形的判定 1.（2023•深圳）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（2024·广东·模拟预测）如图，在矩形中，，，、交于点O， 分别过点 C、 D作、 的平行线相交于点E，点P是的中点，点G是四边形边上的动点，则的最小值是 ． 易错易混点：仅根据四边形两条对角线互相垂直就判定为菱形是错误的，还需满足互相平分这一条件。 解题技巧：证明一个四边形是菱形，若已知一组邻边相等，可证它是平行四边形；若已知对角线关系，可证对角线互相垂直且平分。 考点二 圆 ►考向一 点与圆的位置关系 1.（2024•广州）如图，⊙O中，弦AB的长为4，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 2.（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 易错易混点：计算点到圆心距离判断位置关系时，易算错距离；对于点在圆上、圆内、圆外的边界情况易模糊。 解题技巧：准确计算点到圆心的距离d，与圆半径r比较。d>r点在圆外；d = r点在圆上；d<r点在圆内。 ►考向二 圆周角定理 1.（2023•广东）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 2.（2023•深圳）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝　35　°． 易错易混点：易忽略“同弧或等弧”这一前提条件，错误认为任意圆周角和圆心角都有定理中的倍数关系。 解题技巧：遇到圆周角和圆心角问题，先找它们所对的弧是否为同弧或等弧；利用圆周角定理进行角度计算时，要明确已知角与所求角的关系。 ►考向三 三角形的内切圆与内心 1.（2023•广州）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（　　） A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0， 2.（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 易错易混点：易将内心与外心概念混淆，内心是三角形三条角平分线交点，外心是三边垂直平分线交点。 解题技巧：已知三角形内切圆半径r和三角形周长C，可利用S=\frac{1}{2}Cr求三角形面积；根据内心是角平分线交点，可利用角平分线性质解题。 ►考向四 扇形面积的计算 1.（2024•深圳）如图，小明在矩形ABCD中裁剪出扇形EOF，，O为BC中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为 　 　． 2.（2024·广东·模拟预测）杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留 π）． ►考向五 圆锥的计算 1.（2024•广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（　　） A．π B．π C．2π D．π 2.（2024·广东肇庆·一模）若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是 ．（结果保留π） 易错易混提醒：圆锥侧面展开图扇形的弧长与底面圆周长的关系易弄错；圆锥母线长、底面半径和高的关系运用时易出错。 1.（2024•广东）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为10cm的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 （1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． （2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π） 一、单选题 1．（2024·广东佛山·三模）如图，在中，，是两条对角线，如果添如一个条件，可推出是矩形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·浙江杭州·一模）如图（1）是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东深圳·二模）下列命题正确的是（　　） A．同圆或等圆中，若，则 B．有一组角相等及两组边成比例的两个三角形相似 C．关于x的方程有增根，那么 D．二次函数图象与坐标轴有两个交点 4．（2024·广东广州·二模）下列说法中错误的是（  ）． A．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 B．角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上 C．顺次连接四边形各边中点所得图形是平行四边形 D．在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍 5．（2024·广东·模拟预测）如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东·模拟预测）正方形与的位置如图所示，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东·模拟预测）将一副三角尺在平行四边形按如图所示的方式摆放，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2024·广东珠海·一模）如图，已知一圆在扇形的外部，沿扇形的，从点A滚动一周，恰好到达点B．如果，，圆的半径为 ． 9．（2024·广东深圳·三模）如图，是某十字路口机动车转弯时的示意图，设计转弯半径，转弯角度，大型机动车实际转弯时，转弯半径，转弯角度，则大型机动车转弯实际行驶路程（的长）与设计转弯行驶路程（的长）的差为 （结果保留）． 10．（2024·广东潮州·一模）图（1）是一张六角発，其俯视图为正六边形[图（2）]，则该六边形的每个内角为 ．    11．（2024·广东深圳·模拟预测）如图是一片平坦的盐滩上布满了大小相近的六边形，人们惊叹于大自然的鬼斧神工，同时也尝试解开盐滩图案之谜，人们发现正六边形能够最大限度的利用空间，已知图中的正六边形与正方形的周长都等于12，则它们的面积之差为 ． 三、解答题 12．（2024·广东深圳·二模）（1）如图1，在正方形中，E是对角线上的一点，连接，过点E作交于F．求证：． （2）如图2，在矩形中，，E是对角线上的一点，连接，过点E作交于点F．若，求的值． （3）在菱形中，如图3，，点E是的三等分点，过点E作交直线于点F．请直接写出线段的长_________． 13．（2024·广东汕头·一模）【阅读材料】我们把一组对边平行，另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形． 【问题解决】已知在等腰梯形中，，，对角线相交于点T． (1)如题图1，若，以点T为圆心，长为半径作圆，求证：直线是的切线； (2)如题图2，若点F，G分别为线段的中点，求证：； (3)如题图3，若点M是的中点，交AC于点P，若，直接写出的长 ．（用含字母a的代数式表示） 14．（2024·广东佛山·一模）如图，矩形中，是边上一动点，连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段．    (1)当点与点重合时，______度． (2)在点从点向点运动的过程中，猜想点所走过的路程与的长有什么关系？请说明理由． (3)在点从点向点运动的过程中，当取得最小值时停止，求点所走过的路程长． 15．（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 16．（2024·广东汕头·二模）如图，为直径作，弦与垂直，垂足为E，、的延长线交于点F．若 ，请你解决下列问题； (1)求证：； (2)若，求的长． 17．（2024·广东清远·模拟预测）综合与实践 主题：制作无底圆锥 素材：一张直径为的圆形纸板，如图1． 步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆； 步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥． 猜想与计算： (1)直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系； (2)如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 四边形和圆 课标要求 考点 考向 1.掌握菱形的定义。理解菱形的四条边相等、对角线垂直平分等性质。了解菱形在几何图形中的应用。 2.掌握菱形的判定方法，如一组邻边相等的平行四边形是菱形等。理解菱形与平行四边形的关系。 3.理解点与圆的位置关系，包括点在圆外、圆上、圆内三种情况。掌握点与圆的距离计算方法。 4.掌握圆周角定理及其推论。了解圆周角与弧所对弦之间的垂直关系。 5.理解三角形的内切圆及其与三角形的三边关系。掌握内心、内切圆半径的计算方法。 6.掌握扇形面积的计算公式。了解扇形与其他几何图形的关联，如与圆、三角形等的关系。 7.掌握圆锥的定义、表面积、体积等计算方法。理解圆锥与三角形的关系，如圆锥的底面与侧面三角形等。 8.掌握圆锥在实际问题中的应用。 考点一四边形 考向一 菱形的性质 考向二 菱形的判定 考点二圆 考向一 点与圆的位置关系 考向二 圆周角定理 考向三 三角形的内切圆与内心 考向四 扇形面积的计算 考向五 圆锥的计算 考点一四边形 ►考向一 菱形的性质 1.（2024•广东）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【分析】连接BD，因为E是AB的中点，所以S△AED＝S△ABD＝S菱形ABCD＝6，S△BEC＝S△AED＝6，根据S△BEF＝4，可得FC＝BC，故S△DFC＝S△BCD＝4，故S阴影＝S菱形ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DFC＝24﹣6﹣4﹣4＝10． 【解答】解：连接BD， ∵E是AB的中点， ∴S△AED＝S△ABD＝S菱形ABCD＝6， 连接EC， 同理可得S△BEC＝S△AED＝6， ∵S△BEF＝4， ∴S△BEF＝S△BEC， ∴FC＝BC， ∴S△DFC＝S△BCD＝S菱形ABCD＝4， ∴S阴影＝S菱形ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DFC＝24﹣6﹣4﹣4＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查菱形的性质及三角形的面积计算，根据同高三角形的底之比等于面积之比计算出空白部分三角形面积是解题的关键． 2.（2024·广东深圳·模拟预测）如图，O是坐标原点，菱形的顶点C在x轴的负半轴上，，函数的图象经过顶点B，则k的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接相交于点E，过点B作轴与点D，利用勾股定理求出的长，判定出，求出，的长，利用待定系数法求出结果即可． 【详解】解：如图，连接相交于点E，过点B作轴与点D， 四边形为菱形， ，，， ， ，， ， 即， 解得：， ， ， 函数的图象经过顶点B， ， 故答案为：． 易错易混点：易将菱形与矩形性质混淆，如把菱形对角线相等当作性质。菱形对角线互相垂直平分且平分每组对角，但不一定相等。 解题技巧：已知菱形对角线长度，可利用对角线互相垂直平分，通过勾股定理求边长；利用菱形四条边相等，若已知一边长，其余三边也可确定。 ►考向二 菱形的判定 1.（2023•深圳）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】证得四边形ECDF为平行四边形，当CD＝CD＝4时，▱ECDF为菱形，此时a＝BE＝BC﹣CE＝6﹣4＝2． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4， ∵将线段AB水平向右平得到线段EF， ∴AB∥EF∥CD， ∴四边形ECDF为平行四边形， 当CD＝CE＝4时，▱ECDF为菱形， 此时a＝BE＝BC﹣CE＝6﹣4＝2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，平移的性质，证得证得四边形ECDF为平行四边形，熟练掌握菱形的判定方法是解决问题的关键． 2.（2024·广东·模拟预测）如图，在矩形中，，，、交于点O， 分别过点 C、 D作、 的平行线相交于点E，点P是的中点，点G是四边形边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，由勾股定理可求的长，根据平行四边形的性质和菱形的判定定理可得出四边形是菱形，再垂线段最短，可得当时，有最小值，由锐角三角函数可求解． 【详解】四边形是矩形， ，， ， 点P是的中点， ∵，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 点P到各边的距离相等， 点G是四边形边上的动点， 当时，有最小值， ∵， ， ， ， ， 故答案为：． 易错易混点：仅根据四边形两条对角线互相垂直就判定为菱形是错误的，还需满足互相平分这一条件。 解题技巧：证明一个四边形是菱形，若已知一组邻边相等，可证它是平行四边形；若已知对角线关系，可证对角线互相垂直且平分。 考点二 圆 ►考向一 点与圆的位置关系 1.（2024•广州）如图，⊙O中，弦AB的长为4，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【分析】先根据垂径定理得出AD＝BD＝AB，再由∠ABC＝30°得出∠AOD＝2∠B＝60°，故∠A＝30°，可知OA＝2OD，设OD＝x，则OA＝2x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出OA的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：设AB与OC交于点D， ∵弦AB的长为4，OC⊥AB， ∴AD＝BD＝AB＝2， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOD＝2∠B＝60°， ∴∠A＝90°﹣60°＝30°， ∴OA＝2OD， 设OD＝x，则OA＝2x， 在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，即x2+（2）2＝（2x）2， 解得x＝±2（负值舍去）， ∴OA＝2x＝4， ∵OP＝5， ∴OP＞OA， ∴点P在圆外． 故选：C． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，垂径定理及勾股定理，圆周角定理，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r是解题的关键． 2.（2024·广东江门·一模）在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是 ． 【答案】3或8 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴， ∴， ∴半径为8； 当点在外，如图2， ∴， ∴， ∴半径为3； 综上所述，的半径是3或8； 故答案为：3或8． 易错易混点：计算点到圆心距离判断位置关系时，易算错距离；对于点在圆上、圆内、圆外的边界情况易模糊。 解题技巧：准确计算点到圆心的距离d，与圆半径r比较。d>r点在圆外；d = r点在圆上；d<r点在圆内。 ►考向二 圆周角定理 1.（2023•广东）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 【分析】由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而∠BAC＝50°，即得∠ABC＝40°，故∠D＝∠ABC＝40°， 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∵∠BAC＝50°， ∴∠ABC＝40°， ∵＝， ∴∠D＝∠ABC＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等． 2.（2023•深圳）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的角平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝　35　°． 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用圆周角定理可得∠ADC＝∠ABC＝20°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC＝70°，从而利用角平分线的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ADC＝20°， ∴∠ADC＝∠ABC＝20°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠BAC＝35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 易错易混点：易忽略“同弧或等弧”这一前提条件，错误认为任意圆周角和圆心角都有定理中的倍数关系。 解题技巧：遇到圆周角和圆心角问题，先找它们所对的弧是否为同弧或等弧；利用圆周角定理进行角度计算时，要明确已知角与所求角的关系。 ►考向三 三角形的内切圆与内心 1.（2023•广州）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（　　） A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0， 【分析】如图，连接IF，IE．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可． 【解答】解：如图，连接IF，IE． ∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC， ∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°， ∴∠EIF＝180°﹣α， ∴∠EDF＝∠EIF＝90°﹣α． 故选：D． 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 2.（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 【答案】2 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质．连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，，过点分别作，，于点，，， 在中， ，，， ， 是的内心， ， ， ， ， 点到边的距离为2； 故答案为：2． 易错易混点：易将内心与外心概念混淆，内心是三角形三条角平分线交点，外心是三边垂直平分线交点。 解题技巧：已知三角形内切圆半径r和三角形周长C，可利用S=\frac{1}{2}Cr求三角形面积；根据内心是角平分线交点，可利用角平分线性质解题。 ►考向四 扇形面积的计算 1.（2024•深圳）如图，小明在矩形ABCD中裁剪出扇形EOF，，O为BC中点，OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为 　 　． 【分析】根据已知条件求出BC，从而求出OB，根据三角函数求出∠BOE，同理求出∠COF，进而求出∠EOF，再利用扇形的面积公式求出扇形EOF的面积即可． 【解答】解：∵OE＝AB＝4， ∴BC＝AB＝4， ∵O为BC中点， ∴OB＝OC＝BC＝2， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠OBE＝90°， ∴cos∠BOE＝＝， ∴∠BOE＝45°， 同理，∠COF＝45°， ∴∠EOF＝180°﹣∠BOE﹣∠COF＝90°， ∴S扇形EOF＝×π•OE2＝4π． 故答案为：4π． 【点评】本题考查扇形面积的计算等，掌握矩形的性质、三角函数和扇形的面积公式是解题的关键． 2.（2024·广东·模拟预测）杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留 π）． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积，先根据小扇形的半径为，弧长为，求出D的度数，根据列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：设 ∵小扇形的半径为，弧长为 ∴ 则 则 ∵大扇形的半径为，扇面的宽度为， ∴ 则 故答案为： ►考向五 圆锥的计算 1.（2024•广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（　　） A．π B．π C．2π D．π 【分析】根据扇形的弧长公式可得圆锥的底面周长，进而得出底面半径，再根据勾股定理求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式计算即可． 【解答】解：由题意得，圆锥的底面圆周长为＝2π， 故圆锥的底面圆的半径为＝1， 所以圆锥的高为：＝， 该圆锥的体积是：＝π． 故选：D． 【点评】本题考查了几何体的展开图，关键是掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 2.（2024·广东肇庆·一模）若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查求圆锥的侧面展开图的弧长，根据圆锥的展开图的弧长等于底面圆的周长，先由勾股定理求出底面半径即求解． 【详解】解：圆锥底面半径； 这个圆锥的侧面展开图的弧长是 故答案为：． 易错易混提醒：圆锥侧面展开图扇形的弧长与底面圆周长的关系易弄错；圆锥母线长、底面半径和高的关系运用时易出错。 1.（2024•广东）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为10cm的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 （1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． （2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π） 【分析】（1）证△CDE∽△CAB即可得证； （2）利用圆锥体积公式计算即可． 【解答】解：（1）滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下， 方法一：如图作出示意图，由题意知，AB＝AC＝BC＝7cm， 折叠后CD＝CE＝×10＝5（cm）， ∵底面周长＝×10π＝5π（cm）， ∴DE•π＝5πcm， ∴DE＝5cm， ∴， ∴△CDE∽△CAB， ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁． 方法二：由2πr＝得，＝ 图3中，n1＝90°×2＝180°， 图4中，＝＝， ∴n2＝180°， ∵n1＝n2， ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁． （2）由（1）知CD＝DE＝CE＝5cm， ∴∠CDE＝60°， 过C作CF⊥DE于点F，则DF＝DE＝cm， 在Rt△CDF中，CF2＝＝cm， ∴V＝π•（）2××＝π（cm3）． 答：圆锥形的体积是π（cm3）． 【点评】本题主要考查了圆锥的计算、相似三角形判定、勾股定理等知识，正确读懂题意和掌握圆锥体积公式是解题关键． 一、单选题 1．（2024·广东佛山·三模）如图，在中，，是两条对角线，如果添如一个条件，可推出是矩形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形”解答即可． 【详解】解；四边形是平行四边形， 添加， 是矩形， 故选：B． 2．（2022·浙江杭州·一模）如图（1）是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分面积为扇形AOD的面积与扇形BOC的面积之差． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题考查与扇形相关的阴影部分面积计算，正确识别阴影部分面积为两个扇形面积之差，以及正确运用扇形面积公式进行计算是解题的关键． 3．（2024·广东深圳·二模）下列命题正确的是（　　） A．同圆或等圆中，若，则 B．有一组角相等及两组边成比例的两个三角形相似 C．关于x的方程有增根，那么 D．二次函数图象与坐标轴有两个交点 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据圆心角、弧、弦的关系定理、相似三角形的判定定理、分式方程的增根，二次函数图象与坐标轴的交点情况逐项判断即可． 【详解】解：A、同圆或等圆中，当时，，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、两组边成比例、夹角相等的两个三角形相似，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、关于x的方程可化为， 由题意可知：方程的增根是，则，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、二次函数的图象与x轴有一个交点，与y轴有一个交点， 二次函数图象与坐标轴有两个交点，故本选项命题正确； 故选：D． 4．（2024·广东广州·二模）下列说法中错误的是（  ）． A．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 B．角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上 C．顺次连接四边形各边中点所得图形是平行四边形 D．在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定、角平分线的判定、中点四边形，圆周角定理等知识；熟练掌握矩形的判定、角平分线的判定、中点四边形，圆周角定理是解题的关键， 由矩形的判定、角平分线的判定、中点四边形，圆周角定理分别对各个选项进行判断即可； 【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法错误，故选项A符合题意； B、角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，原说法正确，故选项B不符合题意； C、顺次连接四边形各边中点所得图形是平行四边形，原说法正确，故选项C不符合题意； D、在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，原说法正确，故选项D不符合题意； 故选：A． 5．（2024·广东·模拟预测）如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】选项A，B中的条件都只能证得，不能判定四边形是平行四边形．选项C中的条件，不能判定四边形是平行四边形．对于选项D提供两组对边分别平行，能判定四边形为平行四边形，本题考查了平行四边形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ 选项A不能判定四边形是平行四边形． ∵ ∴ 选项B不能判定四边形是平行四边形． ∵， ∴不能判定四边形ABCD是平行四边形． 选项C不能判定四边形是平行四边形． ∵， ∴． 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 故选：D 6．（2024·广东·模拟预测）正方形与的位置如图所示，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由四边形是正方形，是直角三角形得到，则，化简即可． 【详解】四边形是正方形，是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ， ． 故选：C． 7．（2024·广东·模拟预测）将一副三角尺在平行四边形按如图所示的方式摆放，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键．如图所示，过点G作，由平行线的性质得到，，然后求出的度数即可求出∠2的度数． 【详解】解：如图所示，过点G作， 由题意得，，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 8．（2024·广东珠海·一模）如图，已知一圆在扇形的外部，沿扇形的，从点A滚动一周，恰好到达点B．如果，，圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长，由扇形弧长公式得，再由圆的周长公式即可求解；理解扇形的弧长与圆的周长之间的关系，掌握扇形弧长公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， 解得：； 故答案：． 9．（2024·广东深圳·三模）如图，是某十字路口机动车转弯时的示意图，设计转弯半径，转弯角度，大型机动车实际转弯时，转弯半径，转弯角度，则大型机动车转弯实际行驶路程（的长）与设计转弯行驶路程（的长）的差为 （结果保留）． 【答案】 【分析】此题考查了弧长的计算，熟记弧长计算公式是解题的关键，根据弧长计算公式求解即可． 【详解】解：，转弯角度，，转弯角度， 的长，的长， ， 大型机动车转弯实际行驶路程比设计转弯行驶路程多， 故答案为：． 10．（2024·广东潮州·一模）图（1）是一张六角発，其俯视图为正六边形[图（2）]，则该六边形的每个内角为 ．    【答案】120 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，先求出正六边形的内角和，然后求出每个内角的度数即可． 【详解】解：该六边形的每个内角为： ． 故答案为：120． 11．（2024·广东深圳·模拟预测）如图是一片平坦的盐滩上布满了大小相近的六边形，人们惊叹于大自然的鬼斧神工，同时也尝试解开盐滩图案之谜，人们发现正六边形能够最大限度的利用空间，已知图中的正六边形与正方形的周长都等于12，则它们的面积之差为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正多边形的性质等知识点，连接正六边形的三条对角线，将正六边形分成如图的六个等边三角形，求出等边三角形面积后，再求出正六边形的面积，再求出正方形面积，即可解答，准确掌握正多边形的相关性质是解题关键． 【详解】连接正六边形的三条对角线，将正六边形分成如图的六个等边三角形， ∵周长为12， ∴边长为2， ∴每个等边三角形的面积为：， ∴正六边形的面积为， ∵正方形的周长为12时，边长为3， ∴正方形的面积为：， ∴它们的面积之差为， 故答案为：． 三、解答题 12．（2024·广东深圳·二模）（1）如图1，在正方形中，E是对角线上的一点，连接，过点E作交于F．求证：． （2）如图2，在矩形中，，E是对角线上的一点，连接，过点E作交于点F．若，求的值． （3）在菱形中，如图3，，点E是的三等分点，过点E作交直线于点F．请直接写出线段的长_________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识： （1）作于点M，于点N，证明，即可； （2）过点B作于点G，根据，可得，从而得到，，即可求解； （3）分两种情况：当点E靠近点A时，过点B作于点M，于点N；当点E靠近点C时，即可求解． 【详解】（1）证明：作于点M，于点N， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点B作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当点E靠近点A时，过点B作于点M，于点N， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵点E是的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点E靠近点C时，同理可得， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或． 故答案为：或． 13．（2024·广东汕头·一模）【阅读材料】我们把一组对边平行，另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形． 【问题解决】已知在等腰梯形中，，，对角线相交于点T． (1)如题图1，若，以点T为圆心，长为半径作圆，求证：直线是的切线； (2)如题图2，若点F，G分别为线段的中点，求证：； (3)如题图3，若点M是的中点，交AC于点P，若，直接写出的长 ．（用含字母a的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点T作于点，证明是的平分线，利用角平分线的性质证得，据此可证明直线是的切线； （2）连接并延长交于点，证明，推出，，得到是的中位线，利用三角形中位线定理即可证明； （3）利用等腰梯形的性质结合，，求得，，设，则，，证明，利用相似三角形的性质构造一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点T作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线，又，， ∴， ∴直线是的切线； （2）证明：连接并延长交于点， ∵， ∴，， ∵点F为线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵点G为线段的中点， ∴是的中位线，∴； （3）解：连接，， 设， ∵在等腰梯形，，，， ∴，，， ∴， ∵点M是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， 解得， ∴，， 设，则，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形中位线定理，线段垂直平分线的判定和性质，第3问求得，是解题的关键． 14．（2024·广东佛山·一模）如图，矩形中，是边上一动点，连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段．    (1)当点与点重合时，______度． (2)在点从点向点运动的过程中，猜想点所走过的路程与的长有什么关系？请说明理由． (3)在点从点向点运动的过程中，当取得最小值时停止，求点所走过的路程长． 【答案】(1) (2)点所走过的路程与的长相等，理由见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质和矩形的性质即可解题； （2）以为边长在的右侧作等边三角形，则利用证明即可得到结论； （3）由（2）得点F在与垂直的射线上移动，即当时，最小，设与交于点H，然后利用三角函数解题即可． 【详解】（1）解：如图，当点与点重合时， ∵是等边三角形， ∴， 又∵是矩形， ∴， ∴， 故答案为：；    （2）解：点所走过的路程与的长相等，理由为： 以为边长在的右侧作等边三角形， 又∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点所走过的路程与的长相等；    （3）解：∵， ∴， ∴点F在与垂直的射线上移动， 即当时，最小，设与交于点H， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴    15．（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 16．（2024·广东汕头·二模）如图，为直径作，弦与垂直，垂足为E，、的延长线交于点F．若 ，请你解决下列问题； (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查弧长的计算、圆周角定理、垂径定理及解直角三角形，熟知弧长的计算公式、圆周角定理及垂径定理是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等及等角对等边即可解决问题； （2）连接，求出所对的圆心角，再求出圆的半径，最后根据弧长公式即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵弦与垂直， ∴垂直平分， ∴． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 过点作的垂线，垂足为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴的长为：． 17．（2024·广东清远·模拟预测）综合与实践 主题：制作无底圆锥 素材：一张直径为的圆形纸板，如图1． 步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆； 步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥． 猜想与计算： (1)直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系； (2)如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数． 【答案】(1)（或） (2) 【分析】本题主要考查圆锥的展开图，解直角三角形，掌握相关定义是解题的关键． （1）根据圆锥的展开图即可得到答案； （2）根据得到的长，在直角中，利用正弦定义得到，进而得到． 【详解】（1）解：由题可知，半圆的弧长等于圆锥的底面周长， 或． （2）解：， ， ， 解得：， 在直角中，， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$