专题04 函数（7类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（广东专用）

专题04 函数 课标要求 考点 考向 理解一次函数与一元一次不等式的关系。能根据一次函数的图象求解一元一次不等式，通过函数图象直观地理解不等式的解集，体会数形结合的思想。 能用一次函数解决简单的实际问题。包括根据实际问题中的条件建立一次函数模型，分析函数的性质（如单调性、最值等情况）来对实际问题进行预测、决策，体会函数是描述现实世界变化规律的重要数学模型 一次函数 考向一 一次函数与一元一次不等式 考向二 一次函数的应用 理解二次函数图象上的点的坐标满足其函数解析式。会用代入法求出给定横坐标（或纵坐标）的点的纵坐标（或横坐标），并且能够根据点的坐标特征研究二次函数图象的性质，如对称轴、顶点坐标等相关内容。 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，通过建立二次函数模型解决诸如利润最大、面积最值等实际问题。能从实际问题情境中抽象出二次函数模型，并且利用二次函数的性质对问题进行求解，解释结果的实际意义。 二次函数 考向一 二次函数图象上点的坐标特征 考向二 二次函数的应用 理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图象和性质。如反比例函数的对称性（中心对称和轴对称）、当自变量变化时函数值的变化规律（在不同象限内的增减性），能根据反比例函数的性质解决简单的问题。 知道反比例函数图象上的点的坐标满足函数表达式，能根据已知点的坐标求反比例函数的表达式，也能根据反比例函数表达式求图象上点的坐标，理解点的坐标与函数表达式之间的相互转换关系。 能用反比例函数解决某些实际问题，例如在路程一定时，速度与时间的关系等实际情境中，识别反比例关系，建立反比例函数模型，解决相关的实际问题，体会反比例函数在实际生活中的广泛应用。 反比例函数 考向一 反比例函数的性质 考向二 反比例函数图象上点的坐标特征 考向三 反比例函数的应用 考点一 一次函数 ►考向一 一次函数与一元一次不等式 1.（2024•广东）已知不等式kx+b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． ►考向二 一次函数的应用 2.（2023•广州）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用y1（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用y2（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为y2＝10x（x≥0）． （1）求y1与x之间的函数解析式； （2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 考点二 二次函数 ►考向一 二次函数图象上点的坐标特征 1.（2024•广东）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2的图象上，则（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2 2.（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4 3.（2023•广州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，则y1　＜　y2.（填“＜”或“＞”或“＝”） ►考向二 二次函数的应用 1.（2024•广东）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 考点三 反比例函数 ►考向一 反比例函数的性质 1.（2024•广州）函数y1＝ax2+bx+c与y2＝的图象如图所示，当（　　）时，y1，y2均随着x的增大而减小． A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．x＞1 2.（2023•广州）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ►考向二 反比例函数图象上点的坐标特征 1.（2024•深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，sin∠AOC＝，且点A落在反比例函数y＝（x＞0）上，点B落在反比例函数y＝（x＞0）上，则k＝　8　． 2.（2023•深圳）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝，反比例函数y＝（k≠0）恰好经过点C，则k＝　4　． ►考向三 反比例函数的应用 1.（2023•广东）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为．当R＝12Ω时，I的值为 　 　A． 1.（2024•广州）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表： 脚长x（cm） … 23 24 25 26 27 28 … 身高y（cm） … 156 163 170 177 184 191 … （1）在图1中描出表中数据对应的点（x，y）； （2）根据表中数据，从y＝ax+b（a≠0）和y＝（k≠0）中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． . 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）如图，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是（   ）    A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·三模）如图1，是简易伽利略温度计的结构示意图，图2反映了其工作原理，在，，三个时刻，观察到液面分别处于管壁的A，B，C三处．测得，且已知，两个时刻的温差是，则时刻的温度比时刻的温度（    ） A．高 B．低 C．高 D．低 3．（2024·广东深圳·二模）平面直角坐标系中，点A在x轴上，以为边向x 轴下方作，，，将抛物线向上平移个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在内部(不包括边界)，点 A 的坐标为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，，于点，点、、分别是边、、的中点，连接、，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点方向运动（点运动到的中点时停止）；过点作直线与线段交于点，以为斜边作，点在上，设运动的时间为，与矩形重叠部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·广东佛山·一模）据科学计算，运载“神十八”的“长征二号”火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，第二秒时共通过了的路程，第三秒时共通过了的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是（    ）．    A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 6．（2024·广东清远·模拟预测）如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 7．（2024·广东深圳·模拟预测）寒冷的冬天，在大风的加持下，人们会感觉格外冷，这种因风引起，使体感温度较实际气温低的现象被称作风寒效应．风寒指数是对风寒效应的度量，当温度为-10℃时，风寒指数w与风速v的关系如图所示，若风速v大于10，则风寒指数w的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，点A的坐标为，点、C是直线上第一象限内的两点，且得到线段．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2023·江苏南通·中考真题）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为 ．    10．（2023·山西长治·模拟预测）学校科技兴趣小组为探索如图所示的电路中电压、电流、电阻三者之间的关系，测得数据如下，根据数据猜想得到三者之间为：．由此可得，当电阻时，电流 A．    11．（2024·广东深圳·模拟预测）中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律．十二律的音高由低到高排列依次是：黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、中吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟．律管越长，音高越低，古人采用“隔八相生法”、“三分损益法”确定每根律管长度：黄钟律管长九寸，减去三分之一，得到隔八音的林钟律管长六寸；林钟律管长减去三分之一，得到隔八音的清太簇律管长四寸，将长度翻倍，得到降八度对应的太簇律管长八寸，其余以此类推，可以得出每根律管长．这也对应了五音“宫生微、微生商、商生羽、羽生角”的相生关系．律管频率与律管长成反比关系，若黄钟律管频率为，则姑洗律管频率为 ． 12．（2024·广东肇庆·一模）某共享电动车蓄电池电压为，在充电过程中，当电流为时，那么电阻应为 ． 13．（2024·广东肇庆·一模）小明在研究某反比例函数的图象时，先选取了8个x的值，再分别计算出对应的y的值，列表如下： x 1 2 3 4 2 1 经同桌小强检查，发现有一个y的值计算出现了错误，那么小明所研究的反比例函数中， ． 14．（2024·广东汕头·一模）如图，点B，，，……在x轴上，点A在y轴上，轴，轴，交点为点C，直线经过原点O和点C；点是的中点，，轴，轴，直线经过点O和点；点是的中点，轴，轴，直线经过点O和点……以此类推，若点，则直线的解析式为 ． 15．（2024·广东深圳·二模）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 16．（2024·广东深圳·二模）如图，在直角坐标系中，为第二象限内一点，连接，在线段上取点，使得，过点所作轴的平行线与过点所作轴的平行线交于点．若反比例函数的图象经过点，已知，则的值为 ． 17．（2024·广东东莞·三模）直线上有点，过点作轴交图象于点，且则点的坐标为 ． 18．（2024·广东惠州·模拟预测）如图在函数图象上，的横坐标为1，垂直轴于，垂直函数图象，交轴与，过作轴的垂线与函数图象于点，垂直于函数图象交轴与．以此类推的坐标为 ． 三、解答题 19．（2024·广东广州·一模）已知关于x的函数图象经过点． (1)用含m的代数式表示n； (2)当时，若反比例函数的图象也经过点A，求k的值． 20．（2024·广东广州·一模）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表： t（小时） 2 1.5 1.2 1 v（千米/小时） 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式； (2)安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由； (3)据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量． 21．（2024·广东广州·模拟预测）已知点，，． (1)请自行建立平面直角坐标系并作； (2)尺规作图：作的角平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)请你在水平方向平移使得点、、中恰有两点在反比例函数的图像上． 22．（2024·广东河源·二模）综合与实践 中式建筑中的窗户将对称美发挥得淋漓尽致．小明在旅游中看到了如图所示的八边形窗户，发现它既是轴对称图形又是中心对称图形，这个八边形窗户各个角都相等．图是从图中抽象出来的几何图，其中，，．八边形的周长为．设 ，．               (1)八边形的一个内角的度数为 ． (2)求关于的函数解析式． (3)当等于多少时，这个八边形窗户外框透过的光线最多？ 23．（2024·广东揭阳·模拟预测）如图是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机，是其弹射出口，能将羽毛球以固定的方向和速度大小弹出羽毛球在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状如图所示设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为（米）与地面的高度为（米），与的部分对应数据如表所示． （米） （米） (1)求关于的函数表达式，并求出羽毛球的落地点到发球机点的水平距离． (2)为了训练学员的后场应对能力，需要改变球的落地点，可以通过调整弹射出口的高度来实现此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米，则发球机的弹射口高度应调整为多少米？ 24．（2024·广东梅州·模拟预测）五华，这片士地孕育了深厚的足球文化．从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展．五华某校致力于发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶．在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元． (1)求每个足球和足球锥形桶的单价； (2)根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 25．（2024·广东江门·模拟预测）（1）解不等式组：． （2）已知与点关于原点对称的点在一个反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式． 26．（2024·广东广州·模拟预测）已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与轴、轴相交于点、点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点为直线AB上的动点，过作轴垂线，交双曲线于点，交轴于点，请选择下面其中一题完成解答： ①连接DE，若，求的值； ②点在点上方时，判断关于的方程的解的个数． 27．（2024·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线． (1)若抛物线与直线只有一个交点． ①求a与b之间的关系式； ②将直线向上平移t个单位，与抛物线两个交点横坐标分别为、，当时，随x的增大而减小，求t的最小整数值； (2)若抛物线与直线有二个交点，，且满足，此时设抛物线对称轴为直线，求m的取值范围． 28．（2024·广东深圳·模拟预测）根据背景素材，探索解决实际问题 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1所示，乒乓球台规格是矩形，长为米，宽为米，球网高度为米某品牌．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O处的正上方米处P．       素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上，且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变，在与P水平距离为1m的Q点正上方达到最高点，此时与桌面的高度为．并且乒乓球落在桌面的点M处，以O为原点，桌面中线所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 　         素材三 如图3所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与O点的水平距离为3米的位置达到最高点，设球达到最高时距离桌面的高度为h米． 问题解决 任务一 研究乒乓球飞行轨迹及落点 （1）求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动的抛物线关系式，并求出点M与O的水平距离． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想把球沿直线擦网击打到O点，他能不能实现，若能实现，请求出击球点位置的高度，若不能实现，请说明理由． 任务三 运动员移动的距离 （3）当时，运动员小亮的球拍A离点O的水平距离为，位于桌面上方，离桌面，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打路线近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为，如图3所示．当球飞行的高度在至时，小亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成功击中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前平移的距离为n，则n的取值范围为 ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数 课标要求 考点 考向 理解一次函数与一元一次不等式的关系。能根据一次函数的图象求解一元一次不等式，通过函数图象直观地理解不等式的解集，体会数形结合的思想。 能用一次函数解决简单的实际问题。包括根据实际问题中的条件建立一次函数模型，分析函数的性质（如单调性、最值等情况）来对实际问题进行预测、决策，体会函数是描述现实世界变化规律的重要数学模型 一次函数 考向一 一次函数与一元一次不等式 考向二 一次函数的应用 理解二次函数图象上的点的坐标满足其函数解析式。会用代入法求出给定横坐标（或纵坐标）的点的纵坐标（或横坐标），并且能够根据点的坐标特征研究二次函数图象的性质，如对称轴、顶点坐标等相关内容。 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，通过建立二次函数模型解决诸如利润最大、面积最值等实际问题。能从实际问题情境中抽象出二次函数模型，并且利用二次函数的性质对问题进行求解，解释结果的实际意义。 二次函数 考向一 二次函数图象上点的坐标特征 考向二 二次函数的应用 理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图象和性质。如反比例函数的对称性（中心对称和轴对称）、当自变量变化时函数值的变化规律（在不同象限内的增减性），能根据反比例函数的性质解决简单的问题。 知道反比例函数图象上的点的坐标满足函数表达式，能根据已知点的坐标求反比例函数的表达式，也能根据反比例函数表达式求图象上点的坐标，理解点的坐标与函数表达式之间的相互转换关系。 能用反比例函数解决某些实际问题，例如在路程一定时，速度与时间的关系等实际情境中，识别反比例关系，建立反比例函数模型，解决相关的实际问题，体会反比例函数在实际生活中的广泛应用。 反比例函数 考向一 反比例函数的性质 考向二 反比例函数图象上点的坐标特征 考向三 反比例函数的应用 考点一 一次函数 ►考向一 一次函数与一元一次不等式 1.（2024•广东）已知不等式kx+b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】数形结合求不等式的解集，逐一判断四个选项即可． 【解答】解：A．不等式kx+b＜0的解集是x＞﹣2，故本选项不符合题意； B．不等式kx+b＜0的解集是x＜2，故本选项符合题意； C．不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣2，故本选项不符合题意； D．不等式kx+b＜0的解集是x＞2，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，数形结合思想是解题的关键． ►考向二 一次函数的应用 2.（2023•广州）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用y1（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用y2（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为y2＝10x（x≥0）． （1）求y1与x之间的函数解析式； （2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 【分析】（1）用待定系数法，分段求出函数解析式即可； （2）把y＝600分别代入y1，y2解析式，解方程即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤5时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝kx（k≠0）， 把（5，75）代入解析式得：5k＝75， 解得k＝15， ∴y1＝15x； 当x＞5时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝mx+n（m≠0）， 把（5，75）和（10，120）代入解析式得， 解得， ∴y1＝9x+30， 综上所述，y1与x之间的函数解析式为y1＝； （2）在甲商店购买：9x+30＝600， 解得x＝63， ∴在甲商店600元可以购买63千克水果； 在乙商店购买：10x＝600， 解得x＝60， ∴在乙商店600元可以购买60千克， ∵63＞60， ∴在甲商店购买更多一些． 【点评】本题考查一次函数和一元一次方程的应用，关键是根据等量关系列出方程． 考点二 二次函数 ►考向一 二次函数图象上点的坐标特征 1.（2024•广东）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2的图象上，则（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2 【分析】先求得抛物线开口方向和对称轴．再根据二次函数的增减性即可判断． 【解答】解：∵二次函数y＝x2， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y轴． ∴当x≥0时，y随x的增大而增大， ∵0＜1＜2， ∴y1＜y2＜y3， 故选：A． 【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性． 2.（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4 【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论． 【解答】解：过A作AH⊥x轴于H， ∵四边形ABCO是正方形， ∴∠AOB＝45°， ∴∠AOH＝45°， ∴AH＝OH， 设A（m，m），则B（0，2m）， ∴， 解得am＝﹣1，m＝， ∴ac的值为﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键． 3.（2023•广州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，则y1　＜　y2.（填“＜”或“＞”或“＝”） 【分析】依据题意，求出抛物线y＝x2﹣3的对称轴x＝0，从而由二次函数的性质，根据抛物线开口向下，故当x＞0时y随x的增大而减小，进而判断得解． 【解答】解：由题意得抛物线y＝x2﹣3的对称轴x＝0， 又a＝1＞0， ∴抛物线y＝x2﹣3开口向上． ∴当x＞0时y随x的增大而增大． ∴对于A、B当0＜x1＜x2时，y1＜y2． 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键． ►考向二 二次函数的应用 1.（2024•广东）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 【分析】设该果商定价x万元时每天的“利润”为w万元，根据题意列出w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的单调性即可得出答案． 【解答】解：设该果商定价x万元时每天的“利润”为w万元，每天的“销售收入”为y万元， w＝（x﹣2）[100+50（5﹣x）] ＝﹣50（x﹣4.5）2+312.5， ∵﹣50＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝4.5时，w有最大值，最大值为312.5万元， y＝x[100+50（5﹣x）] ＝﹣50（x﹣3.5）2+612.5， ∵﹣50＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝3.5时，y有最大值，最大值为612.5万元， 答：该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”最大，其最大值为312.5万元， 该果商定价为3.5万元时才能使每天的“销售收入”最大，其最大值为612.5万元． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，找到等量关系是解题的关键． 考点三 反比例函数 ►考向一 反比例函数的性质 1.（2024•广州）函数y1＝ax2+bx+c与y2＝的图象如图所示，当（　　）时，y1，y2均随着x的增大而减小． A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．x＞1 【分析】根据二次函数和反比例函数图象解答即可． 【解答】解：根据二次函数图象当x＞1时，y1随着x的增大而减小，同样当x＞1时，反比例函数y2随着x的增大而减小． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键． 2.（2023•广州）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据正比例函数的性质可以判断a的正负，根据反比例函数的性质可以判断b的正负，然后即可得到一次函数y＝ax+b的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【解答】解：∵正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），点（1，﹣1）位于第四象限， ∴正比例函数y1＝ax的图象经过第二、四象限， ∴a＜0； ∵反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限， ∴b＞0； ∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出a、b的正负情况． ►考向二 反比例函数图象上点的坐标特征 1.（2024•深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，sin∠AOC＝，且点A落在反比例函数y＝（x＞0）上，点B落在反比例函数y＝（x＞0）上，则k＝　8　． 【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，由，可设AD＝4x，则OD＝3x，根据点A落在反比例函数y＝（x＞0）上得出x的值，根据菱形的性质可得出B点坐标，进而得出结论． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E， ∵， ∴设AD＝4x，则OA＝5x， ∴OD＝＝3x， ∵点A落在反比例函数y＝上（x＞0）， ∴4x•3x＝3， 解得x＝（负值舍去）， ∴4x＝2，3x＝， ∴A（，2）， ∴OA＝5x＝， ∵四边形AOCB为菱形， ∴AB＝OA， ∴B（，2），即（4，2）， ∵点B落在反比例函数y＝（x＞0）上， ∴k＝4×2＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质及解直角三角形，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 2.（2023•深圳）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝，反比例函数y＝（k≠0）恰好经过点C，则k＝　4　． 【分析】解含30°角的直角三角形，依次求出OB，OC的长，再求出∠COx的度数，求出点C的坐标，即可求得k的值． 【解答】解：过点C作CE⊥x轴，垂足为E， ∵∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，AB＝， ∴OB＝2AB＝2，∠COE＝90°﹣30°﹣30°＝30°， 在Rt△OBC中＝，即＝， ∴OC＝4， 在Rt△OCE中＝，即＝，CE＝2， ＝，即＝， ∴OE＝2， ∴点C（2，2）， ∴k＝2×2＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标和解直角三角形，解题的关键是掌握解含有30°角的直角三角形，求函数图象上点的坐标． ►考向三 反比例函数的应用 1.（2023•广东）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为．当R＝12Ω时，I的值为 　 　A． 【分析】直接将R＝12代入I＝中可得I的值． 【解答】解：当R＝12Ω时，I＝＝4（A）． 故答案为：4． 【点评】此题考查的是反比例函数的应用，掌握反比例函数的点的坐标是解决此题的关键． 1.（2024•广州）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表： 脚长x（cm） … 23 24 25 26 27 28 … 身高y（cm） … 156 163 170 177 184 191 … （1）在图1中描出表中数据对应的点（x，y）； （2）根据表中数据，从y＝ax+b（a≠0）和y＝（k≠0）中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【分析】（1）根据表格数据在直角坐标系中描点即可； （2）先排除反比例函数，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）将x＝25.8代入一次函数解析式求出y值即可． 【解答】解：（1）描点如图示： （2）∵y＝（k≠0）转化为k＝xy＝23×156≠24×163≠25×170≠•••， ∴y与x的函数不可能是y＝， 故选一次函数y＝ax+b（a≠0），将点（23，156）、（24，163）代入解析式得： ，解得， ∴一次函数解析式为y＝7x﹣5． （3）当x＝25.8时，y＝7×25.8﹣5＝175.6（cm）． 答：脚长约为25.8cm，估计这个人的身高为175.6cm． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． . 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）如图，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，待定系数法求二次函数的解析式．利用位似图形的性质求得点，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵将放大为原来的2倍，得到，点， ∴点，即点， ∵点是抛物线的顶点， ∴， 将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式是， 故选：C． 2．（2024·广东深圳·三模）如图1，是简易伽利略温度计的结构示意图，图2反映了其工作原理，在，，三个时刻，观察到液面分别处于管壁的A，B，C三处．测得，且已知，两个时刻的温差是，则时刻的温度比时刻的温度（    ） A．高 B．低 C．高 D．低 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数的实际应用，令容器内的空气体积为，温度为，细管液面高度为，由图2可得：，，可得，再利用函数的性质可得答案． 【详解】解：令容器内的空气体积为，温度为，细管液面高度为， 由图2可得：，， ∴， 而， ∴随的增大而减小， ∴点处的温度低于点处的温度， ∵，且已知，两个时刻的温差是， ∴时候比时候的温度低； 故选D 3．（2024·广东深圳·二模）平面直角坐标系中，点A在x轴上，以为边向x 轴下方作，，，将抛物线向上平移个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在内部(不包括边界)，点 A 的坐标为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移，含角的直角三角形，锐角三角函数，熟练掌握基本知识点是解决本题的关键． 先配方出顶点，则，解求出，即可求解． 【详解】解： ， ∴设顶点为D，则 ， 过点D作x轴垂线交于点E，交x轴于点F， 即，，则， ∴在中，由得， ∴， 要使平移后得到的抛物线顶点落在内部(不包括边界)， 则D在线段之间（不包括端点）， ∴， 故选：B． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，，于点，点、、分别是边、、的中点，连接、，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点方向运动（点运动到的中点时停止）；过点作直线与线段交于点，以为斜边作，点在上，设运动的时间为，与矩形重叠部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键．根据题意先分段，分为，，三段，分别列出三段的函数解析式便可解决，本题也可只列出，两段，用排除法解决． 【详解】分析平移过程， ①从开始出发至与点重合，由题意可知，如图， 则， 过点作于点， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴与的函数关系是正比例函数； ②当，即从与重合至点与点重合，如图， 由①可得，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 此函数图象是开口向下的二次函数； ③当，即从点与点重合至点到达终点，如图， 由①可得，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的函数关系是一次函数， 综上，只有选项A的图象符合， 故选：A． 5．（2024·广东佛山·一模）据科学计算，运载“神十八”的“长征二号”火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，第二秒时共通过了的路程，第三秒时共通过了的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是（    ）．    A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟 【答案】C 【分析】本题考查求二次函数的函数解析式，先根据题意利用待定系数法求出函数解析式，然后令求出x的值即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 由题可得二次函数图象过，，， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得（舍去）， ∴这一过程需要的时间大约是15秒钟， 故选C． 6．（2024·广东清远·模拟预测）如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键．根据点在抛物线上求出m的值，求出的长，再根据正方形的性质求出正方形的面积． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴正方形面积为∶ ． 故选C． 7．（2024·广东深圳·模拟预测）寒冷的冬天，在大风的加持下，人们会感觉格外冷，这种因风引起，使体感温度较实际气温低的现象被称作风寒效应．风寒指数是对风寒效应的度量，当温度为-10℃时，风寒指数w与风速v的关系如图所示，若风速v大于10，则风寒指数w的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握函数图像是解题的关键． 取图像上两个确定的点求函数表达式，再令风速v等于10时，求出风寒指数w，最后结合图像风速v大于10时，判断风寒指数w的取值范围． 【详解】解：由函数图像得图像为一次函数，过，； 设，将，代入得： 解得： 所以一次函数解析式为： 令得： 解得： 根据函数图像易得，风速v变大的同时，风寒指数w在减小， 所以当风速时，风寒指数． 故选C． 8．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，点A的坐标为，点、C是直线上第一象限内的两点，且得到线段．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质等，正确作出辅助线构造相似三角形，进而利用相似三角形的性质求解是解题的关键．过点C作交x轴于点D，先证明，可得，设，得，再代入得，再求解即可． 【详解】过点C作交x轴于点D， C是直线上第一象限内的点， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， 点A的坐标为， ， ， ∵， ∴， ， 得， ， 故选A 二、填空题 9．（2023·江苏南通·中考真题）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为 ．    【答案】2500 【分析】根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将代入求的值． 【详解】解：设功率为，由题可知，即，将，代入解得， 即反比例函数为：， 将代入， 得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键． 10．（2023·山西长治·模拟预测）学校科技兴趣小组为探索如图所示的电路中电压、电流、电阻三者之间的关系，测得数据如下，根据数据猜想得到三者之间为：．由此可得，当电阻时，电流 A．    【答案】 【分析】根据题意和表格中的数据，可以得到的值是一个定值，然后将代入函数解析式，求出的值即可． 【详解】解：由题意可得， ，由表格可知：当时，， ， 解得， ， 当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出U的值． 11．（2024·广东深圳·模拟预测）中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律．十二律的音高由低到高排列依次是：黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、中吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟．律管越长，音高越低，古人采用“隔八相生法”、“三分损益法”确定每根律管长度：黄钟律管长九寸，减去三分之一，得到隔八音的林钟律管长六寸；林钟律管长减去三分之一，得到隔八音的清太簇律管长四寸，将长度翻倍，得到降八度对应的太簇律管长八寸，其余以此类推，可以得出每根律管长．这也对应了五音“宫生微、微生商、商生羽、羽生角”的相生关系．律管频率与律管长成反比关系，若黄钟律管频率为，则姑洗律管频率为 ． 【答案】324 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．根据题意先求出姑洗律管的长度，设律管频率为y，律管长为x，根据律管频率与律管长成反比关系，可设，即可求解． 【详解】解：∵太簇律管的长度是八寸， ∴南吕律管的长度是：（寸）． ∴清姑洗律管的长度是：（寸）． ∴姑洗律管的长度是：（寸）． 设律管频率为y，律管长为x， ∵律管频率与律管长成反比关系， ∴可设． ∵黄钟律管频率为，律管长为9寸， ∴． ∴． 当时，． 故答案为：324． 12．（2024·广东肇庆·一模）某共享电动车蓄电池电压为，在充电过程中，当电流为时，那么电阻应为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，根据，代入相关数值计算即可． 【详解】解：设电流为，电阻为，电压为，则由题意知：， 当时，得， ∴ 故答案为： 13．（2024·广东肇庆·一模）小明在研究某反比例函数的图象时，先选取了8个x的值，再分别计算出对应的y的值，列表如下： x 1 2 3 4 2 1 经同桌小强检查，发现有一个y的值计算出现了错误，那么小明所研究的反比例函数中， ． 【答案】2 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，根据表格中的数据一一算出，可得到k的值，正确计算是解题的关键． 【详解】解：根据表格的第一列可得：，解得：， 根据表格的第二列可得：，解得：， 根据表格的第三列可得：，解得：， 根据表格的第四列可得：，解得：， 根据表格的第五列可得：，解得：， 根据表格的第六列可得：，解得：， 根据表格的第七列可得：，解得：， 根据表格的第八列可得：，解得：， 由此可得第一列的y值计算错误， ∴， 故答案为：2． 14．（2024·广东汕头·一模）如图，点B，，，……在x轴上，点A在y轴上，轴，轴，交点为点C，直线经过原点O和点C；点是的中点，，轴，轴，直线经过点O和点；点是的中点，轴，轴，直线经过点O和点……以此类推，若点，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式．先利用待定系数法求得直线的解析式为；直线的解析式为；直线的解析式为；得到规律，依规律求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的解析式为； 由题意得，同理直线的解析式为； ，同理直线的解析式为； ∴直线的解析式为； 故答案为：． 15．（2024·广东深圳·二模）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 16．（2024·广东深圳·二模）如图，在直角坐标系中，为第二象限内一点，连接，在线段上取点，使得，过点所作轴的平行线与过点所作轴的平行线交于点．若反比例函数的图象经过点，已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查求反比例函数解析式，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点D，设点A的坐标为，得到，，然后根据得到，，然后利用得到关于m的方程解题即可． 【详解】解：过点作轴于点D，设点A的坐标为， ∴，， ∵轴，点所作轴的平行线与过点所作轴的平行线交于点 ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， 故答案为：． 17．（2024·广东东莞·三模）直线上有点，过点作轴交图象于点，且则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，根据题意，作图分析，设，则，由此可得，由此即可求解，掌握反比例函数，一次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 设，则， ∴， 当时，，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，（不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，点的坐标为， 故答案为：或 ． 18．（2024·广东惠州·模拟预测）如图在函数图象上，的横坐标为1，垂直轴于，垂直函数图象，交轴与，过作轴的垂线与函数图象于点，垂直于函数图象交轴与．以此类推的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，一次函数的性质，点的坐标规律的探究．利用特殊角的三角函数值求得，再利用直角三角形的性质结合一次函数的性质，求得，，，找到规律求得，据此求解即可． 【详解】解：∵的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴与的横坐标都为4， ∴， ∴， 同理，，， ∴与的横坐标都为16， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．（2024·广东广州·一模）已知关于x的函数图象经过点． (1)用含m的代数式表示n； (2)当时，若反比例函数的图象也经过点A，求k的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）把点的坐标代入解析式，化简计算即可； （2）当时，点，代入解析式，计算即可． 本题本题考查了反比例函数与点的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：当时，此时点， 故． 20．（2024·广东广州·一模）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表： t（小时） 2 1.5 1.2 1 v（千米/小时） 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式； (2)安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由； (3)据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量． 【答案】(1) (2)李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由见解析 (3)千克 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． （1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论； （3）根据得到从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，根据汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表中数据可知，， ， 李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式为； （2）李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由： 从上午8：30到上午9：10，李老师用时40分钟，即小时， 当时，（千米/时）， 骑行速度一般不超过30千米/小时， 李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫； （3）∵， ∴从东涌骑行到天后宫的距离为24千米， ∴李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量为（千克）． 21．（2024·广东广州·模拟预测）已知点，，． (1)请自行建立平面直角坐标系并作； (2)尺规作图：作的角平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)请你在水平方向平移使得点、、中恰有两点在反比例函数的图像上． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）建立直角坐标系，画出即可； （2）利用尺规作角平分线的方法作图即可； （3）分向左和向右平移两种情况，进行讨论即可． 【详解】（1）解：建立直角坐标系，画出，如图所示； （2）如图，即为所求； （3）当向右平移个单位时，则：， ∴当在反比例函数图象上时：， 解得：（舍去）； 当在反比例函数图象上时：， 解得：（舍去）； 当向左平移个单位时，则：， ∴当在反比例函数图象上时：， 解得：； 当在反比例函数图象上时：， 解得：； ∴平移后的如图： 【点睛】本题考查坐标与图形，坐标与平移，反比例函数图象上的点，尺规作图—作角平分线，熟练掌握相关知识点，正确的作图，是解题的关键． 22．（2024·广东河源·二模）综合与实践 中式建筑中的窗户将对称美发挥得淋漓尽致．小明在旅游中看到了如图所示的八边形窗户，发现它既是轴对称图形又是中心对称图形，这个八边形窗户各个角都相等．图是从图中抽象出来的几何图，其中，，．八边形的周长为．设 ，．               (1)八边形的一个内角的度数为 ． (2)求关于的函数解析式． (3)当等于多少时，这个八边形窗户外框透过的光线最多？ 【答案】(1) (2) (3)当时，这个八边形窗户外框透过的光线最多 【分析】本题主要考查了多边形的内角以及内角和、一次函数的应用、二次函数的应用及性质、等腰直角三角形的判定与性质，理解题意、数形结合是解题的关键． （1）根据“这个八边形窗户各个角都相等”，结合多边形的内角和公式，计算出八边形的一个内角的度数即可； （2）根据题意得出，，，根据“八边形的周长为”，得出，整理得出关于的函数解析式即可； （3）分别延长、、、，交于点，设这个八边形的面积为，证明构造的四个角落的小三角形是全等的等腰直角三角形，列出关于的二次函数关系式，根据二次函数性质，求出出取得最大值时，的值即可． 【详解】（1）解：∵该多边形是八边形， ∴它的内角和， 又∵这个八边形窗户各个角都相等， ∴八边形的一个内角的度数， 故答案为：； （2）解：∵，，，八边形的周长为，，， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：如图，分别延长、、、，交于点，设这个八边形的面积为， ∵八边形的一个内角的度数为， ∴每个外角， 又∵， ∴构造的四个角落的小三角形是全等的等腰直角三角形，斜边为，则直角边为， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴当时，这个八边形窗户外框透过的光线最多． 23．（2024·广东揭阳·模拟预测）如图是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机，是其弹射出口，能将羽毛球以固定的方向和速度大小弹出羽毛球在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状如图所示设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为（米）与地面的高度为（米），与的部分对应数据如表所示． （米） （米） (1)求关于的函数表达式，并求出羽毛球的落地点到发球机点的水平距离． (2)为了训练学员的后场应对能力，需要改变球的落地点，可以通过调整弹射出口的高度来实现此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米，则发球机的弹射口高度应调整为多少米？ 【答案】(1)，米 (2)米 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）由表格信息可知，抛物线的顶点为，可设抛物线的解析式为：，将点代入可求出关于的函数表达式，令抛物线解析式的，即可求出羽毛球的落地点到发球机点的水平距离； （2）根据题意可设抛物线的解析式为：，根据题意可知该抛物线过点，进而求出抛物线解析式，将代入解析式计算，即可求解． 【详解】（1）解：由表格信息可知，抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为：， 其图像过点， ， 解得：， 关于的函数表达式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 故羽毛球的落地点到发球机点的水平距离为米； （2）抛物线的形状和对称轴位置都不变， 可设抛物线的解析式为：， 要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米， 当时，， ， 解得：， ， 当时，， 发球机的弹射口高度应调整为米． 24．（2024·广东梅州·模拟预测）五华，这片士地孕育了深厚的足球文化．从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展．五华某校致力于发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶．在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元． (1)求每个足球和足球锥形桶的单价； (2)根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元 (2)当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一次函数的应用等知识． （1）设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是y元，根据“买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元”列出方程组，解方程组即可求解； （2）设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元，根据题意列出函数关系式，根据题意得到，根据一次函数性质即可得到当时，，问题得解． 【详解】（1）解：设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是y元． 依题意，得， 解得：， 答：每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元； （2）解：设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元， 则， 由题意得：， ∴， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，， （个）． 答：当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元． 25．（2024·广东江门·模拟预测）（1）解不等式组：． （2）已知与点关于原点对称的点在一个反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查解二元一次不等式组以及求反比例函数解析式： （1）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集； （2）先求出点的坐标，再代入，求出的值即可 【详解】解：（1） 解不等式①，得； 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． （2）设该反比例函数的解析式为． 点， 点关于原点对称的点为． 点在反比例函数的图象上， 该反比例函数的解析式为． 26．（2024·广东广州·模拟预测）已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与轴、轴相交于点、点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点为直线AB上的动点，过作轴垂线，交双曲线于点，交轴于点，请选择下面其中一题完成解答： ①连接DE，若，求的值； ②点在点上方时，判断关于的方程的解的个数． 【答案】(1)， (2)①；②见解析 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，一元二次方程根的判别式等知识． （1）把代入得，知反比例函数的解析式为；把代入得一次函数的解析式为； （2）①求出，，可知，，，，故，解出，的值，可得，，的坐标，从而求出，得到答案； ②观察图象可知，点在点上方时，或；①当时，方程为一元一次方程，只有一个实数根；②当时，方程为一元二次方程；△，再分类讨论即可． 【详解】（1）把代入得：， ， 反比例函数的解析式为； 把代入得， ； 把，代入得： ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）①与轴、轴相交于点、点，求得，， ， ， ， ， 连接， ． ， ，． ，点在线段EF外，如图， ． ②由图象可知，点在点上方时， 或， 当时，方程为一元一次方程， 方程有一个实数根． 当时，方程为一元二次方程， ． 当时，，方程有2个实数解， 当，且时，，即，方程有2个实数解， 当时，，即，方程无实数解， 当时，，方程有两个相等实数解， 当时，方程有一个实数解． 27．（2024·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线． (1)若抛物线与直线只有一个交点． ①求a与b之间的关系式； ②将直线向上平移t个单位，与抛物线两个交点横坐标分别为、，当时，随x的增大而减小，求t的最小整数值； (2)若抛物线与直线有二个交点，，且满足，此时设抛物线对称轴为直线，求m的取值范围． 【答案】(1)①② (2) 【分析】（1）①由根的判别式得，即可求解； ②由平移得，可得方程 ，由根的判别式得，由求根公式得，由二次函数的增减性得 ，即可求解； （2）由，得当时，，当时，，由此可得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线与直线只有一个交点， ∴方程有相等实数根， ∴， ∴， 整理，得； ②将直线向上平移t个单位， ， ， 整理得：， ， 由①得：， ， ， ， ， ①， 当时，随x的增大而减小， ， ， ， 整理得：， ②， 由①②得：， t取最小整数， ； （2）解：抛物线与直线有两个交点， 此方程有两个实根、， 且满足，， 当时，， 当时，， ∴， ， ， ①， ②， ①②得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与直线交点问题，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求根公式，二次函数的性质等；理解利用二次函数图象解一元二次方程的解法，掌握二次函数的性质，一元二次方程根的个数与判别式的关系是解题的关键． 28．（2024·广东深圳·模拟预测）根据背景素材，探索解决实际问题 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1所示，乒乓球台规格是矩形，长为米，宽为米，球网高度为米某品牌．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O处的正上方米处P．       素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上，且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变，在与P水平距离为1m的Q点正上方达到最高点，此时与桌面的高度为．并且乒乓球落在桌面的点M处，以O为原点，桌面中线所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 　         素材三 如图3所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与O点的水平距离为3米的位置达到最高点，设球达到最高时距离桌面的高度为h米． 问题解决 任务一 研究乒乓球飞行轨迹及落点 （1）求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动的抛物线关系式，并求出点M与O的水平距离． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想把球沿直线擦网击打到O点，他能不能实现，若能实现，请求出击球点位置的高度，若不能实现，请说明理由． 任务三 运动员移动的距离 （3）当时，运动员小亮的球拍A离点O的水平距离为，位于桌面上方，离桌面，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打路线近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为，如图3所示．当球飞行的高度在至时，小亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成功击中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前平移的距离为n，则n的取值范围为 ； 【答案】任务一：，点M与O的水平距离为；任务二：不能实现；任务三：． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质以及运用待定系数法求得函数解析式成为解题的关键． 任务1：由题意可知：抛物线的顶点坐标为：，再运用待定系数法求得抛物线的解析式为，再令进行求解即可； 任务二：先运用待定系数法求得球弹起的抛物线轨迹为，的解析式为，然后联立得到一元二次方程，再根据根的判别式判断方程是否有根即可解答； 任务三，先求出反弹抛物线的解析式为；再求出当时的自变量的取值，即击球点的横坐标的取值范围为：；再结合图形即可解答． 【详解】解：任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为： 设抛物线的解析式为， 将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，，解得：（舍弃负值）， 所以，点M与O的水平距离为； 任务二：不能实现，理由如下： 设球弹起的抛物线轨迹为， 将代入可得：，解得：， 所以， 由题意可得：球网上方点的坐标为， 设的解析式为，则，解得：， 所以的解析式为， 由，整理得：， 所以，即方程无解， 所以不能实现； 任务三，如图：依题意可得，，第二个抛物线的顶点坐标为， 设反弹的抛物线的解析式为：， ∴，解得：， ∴， 令，解得：或； 故击球点的横坐标的取值范围为：， ∴，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$