专项05 上海中考新题型—图形实践探究题（大题专练）（上海专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项05 中考新题型——图形实践探究题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 上海中考数学第 22 题是解答题中档压轴题，2024、2025 年彻底告别传统应用题，转向几何综合实践探究题，连续两年聚焦图形分割、拼接、几何变换，是上海中考命题改革的风向标，下面分题型特点、命题趋势两部分详细分析。 一、2024 年第 22 题（三角板拼图）题型特点 原题核心： 以45° 等腰直角三角板、30° 直角三角板拼接平行四边形为背景，分为两小问：①用斜边上的高h表示线段，求中间小平行四边形面积；②设计不同于原图的拼接方案，画出图形。 题型特点： 知识融合性强：综合解直角三角形、特殊角三角函数、平行四边形性质、图形拼接，考查代数表示 + 几何计算，基础计算与推理结合。 情境贴近教材：素材源自初中课本三角板、赵爽弦图，属于课内知识的拓展应用，不超纲但灵活。 半开放结构：第①问封闭计算、答案唯一；第②问开放作图，答案不唯一，侧重空间想象、动手操作、方案设计能力。 难度梯度清晰：第一问基础中档，第二问区分度强，反套路，学生易因不会拼接失分。 素养导向：从 “解题” 转向 “做数学”，考查观察、思考、操作、画图的综合实践能力。 二、2025 年第 22 题（梯形分割拼接等腰三角形）题型特点 原题核心： 以直角梯形、等腰梯形分割拼接等腰三角形为探究主题：①直角梯形中，中点旋转后利用等腰三角形三线合一求边长；②设计分割方案，将等腰梯形通过旋转 / 平移拼成等腰三角形，规范表述方案。 题型特点： 几何变换深度考查：核心聚焦旋转180°、平移、全等三角形、等腰梯形性质、中位线，是 2024 年图形拼接题型的延续升级。 开放程度更高：第②问要求写出分割线位置、拼接后等腰三角形的腰，不仅要画图，还要规范文字表述，逻辑严谨性要求更高。 课本本源命题：素材源自梯形中位线定理、图形旋转的课本拓展内容，回归教材本质。 区分度显著提升：第一问基础送分，第二问全市仅约 15% 学生完整作答，对空间想象、几何构造、语言表达综合能力要求更高。 任务化探究：以 “小明探究活动” 为情境，是典型的项目式、任务式数学实践题。 三、两年共性题型特点 题型定位固定：从传统一次函数、统计应用题全面转型为几何综合实践探究题，占据中档压轴位置，承接基础题、铺垫压轴题。 两小问梯度统一：第 1 问封闭计算 / 推理，侧重基础；第 2 问开放作图 + 方案设计，侧重综合能力，分层选拔。 核心考点一致：均围绕图形拼接、分割、平移、旋转、特殊四边形、特殊三角形，不考复杂函数、复杂相似。 素养考查统一：重点考查几何直观、空间想象、动手操作、数学表达、创新设计，弱化套路刷题。 反套路命题：素材新颖、设问灵活，不依赖固定模型，考查真实数学能力。 四、命题趋势（结合 2024—2025 年演变，预判未来走向） 持续锁定 “图形实践探究”，远离传统应用题，彻底告别行程、利润、统计、一次函数应用题，第 22 题固定为几何分割、拼接、变换、无刻度作图类实践题，成为上海中考固定特色题型。 开放程度逐年提升，重视数学表达从 2024 年仅画图，升级为 2025 年画图 + 文字规范表述，未来会强化方案说明、逻辑推理、语言严谨性，评分从 “结果唯一” 转向 “逻辑自洽”。 素材回归课本，拓展课内基础素材均来自三角板、梯形、中位线、图形旋转、赵爽弦图等课本内容，命题方向依标据本，不考偏难怪，重知识迁移。 几何变换为绝对核心持续考查旋转、平移、轴对称三大变换，结合特殊四边形、特殊三角形，侧重图形运动中不变量、等量关系，弱化复杂计算，强化几何直观。 初高中衔接，重思维轻套路弱化机械刷题、模型套路，侧重空间想象、构造设计、探究推理，贴合高中几何思维要求，提升学生核心素养。 难度稳定可控，区分度适中整体中档难度，第一问基础，第二问有区分度，不会过度拔高，适配中考整体难度梯度。 真题·欣赏 1.（2024·上海·中考真题22）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． （1）直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； （2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边。 析典例·探本质 溯本求源 探求本质 【分析】第（1）小问，本质就是已知直角三角形斜边上的高为h ，解直角三角形即可求解； 【详解】（1）解：①如图，为等腰直角三角板，， 则； 如图，为含的直角三角形板，，，， 则，； 综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和； 由题意可知， ∴四边形是矩形， 由图可得，，， ∴， 故小平行四边形的底为，高为，面积为； 研考点·通技法 实践操作 推理探究 【分析】（2）第2问区分度强，反套路，考查了学生观察、思考、操作、画图的综合实践能力。学生易因不会拼接而失分。 【详解】（2）解：如图，即为所作图形。 真题·欣赏 2.（2025·上海·中考真题22）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究。 （1）如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； （2）如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形。请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置。（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）。 析典例·探本质 溯本求源 探求本质 【分析】（1），过点D作于H，则BE是△FDH的中位线，DH是等腰三角形△DFC底边上的高线、中线。 【详解】（1）解：如图，过点D作于H， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 由旋转知， ∴， ∴， ∴； 研考点·通技法 实践操作 推理探究 【【分析】（2）：连接，把通过平移变换，再轴对称变换得到，则为满足条件的等腰三角形。 【详解】解：如图（2），连接，把沿平移使M与P对应，得到；再把沿对折，得到，H与N是对应点，则是等腰三角形，其中两腰分别为，分割线为NQ，点N、Q分别是梯形的顶点。 【点睛】第②问要求写出分割线位置、拼接后等腰三角形的腰，不仅要画图，还要规范文字表述，逻辑严谨性要求更高。这就要求教学要培养学生从 “会解题” 向 “用数学”转变，培养观察、思考、操作、画图的综合实践能力。 破类题·提能力 1．（24-25九年级上·黑龙江·期末）平面内有一等腰直角三角板，直线过点．过点作于点，过点作于点．当点与点重合时（如图①），易证：． (1)当三角板绕点顺时针旋转至图②的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (2)当三角板绕点顺时针旋转至图③的位置时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要说明理由． 【答案】(1)成立，见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过B作于点H，可证，通过线段的等量代换可得结论； （2）过点B作，交的延长线于点G，，通过线段的等量代换可得答案． 【详解】（1）解：仍成立， 证明：如图，过B作于点H， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， 又∵在中，， ∴， 又∵，， ∴． ∴，，， ∴； （2）解：不成立，线段、、之间的数量关系为：， 证明：如图，过点B作，交的延长线于点G， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， 又∵在中，， ∴， 又∵，， ∴． ∴，， ∴． 2．（2023·宁夏银川·三模）综合与实践 问题情景：在中，，，直角三角板中，，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，． 猜想证明： （1）如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； （3）如图，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出线段的长为______ ． 【答案】（1）四边形是矩形； （2）； （3） 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，可证，即可求解； （2）由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由锐角三角函数可求解； （3）由，推导出，用（2）的方法解答即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形，理由如下： 点是的中点，点是的中点， ， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2）如图，过点作于， ，，， ， 点是的中点， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）如图，过点作于， ，，， ， 点是的中点， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在网格中有一个四边形图案． (1)请你分别画出绕点顺时针旋转得到的、关于点成中心对称的以及绕点逆时针旋转得到的，并将它们涂黑； (2)若网格中每个小正方形的边长均为1，旋转后点的对应点依次为，，，求四边形的面积； (3)这个美丽的图案能够说明一个著名的结论的正确性，请写出这个结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 【分析】（1）根据图形旋转的性质画出旋转后的三角形即可； （2）观察画出的图形，可发现依次代入求值； （3）这个图案就是我们几何中的著名的勾股定理． 【详解】（1）解：如答图所示． （2）如答图，． （3）设，所对的边分别为， 由图可知：， 整理得：， 即：， 这个图案说明勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 4．（24-25九年级下·四川广安·开学考试）小明探究：“用刀剪一个三角形分成块，再把它拼成一个长方形（无重叠，无缝隙）”时，遇到了困难．经提示他想到了从特殊到一般的数学思想，于是他先剪一个直角三角形纸片，然后沿其一条中位线剪一刀，分成块（如图），很快就拼成了一个与原三角形面积相等的长方形． (1)请你在图中用类似的方法把三角形纸片剪一刀分成块，使拼成的图形为平行四边形； (2)请你在图中把三角形纸片剪两刀分成块，使拼成的图形为长方形； (3)请你在图和图中，把正方形纸片剪两刀分成块，然后拼成一个与原正方形面积相等的三角形，要求所拼成的三角形既不是等腰三角形，也不是直角三角形．（请给出两种不同的方案） 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了图形的剪拼，中位线定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意把三角形纸片剪一刀分成块，然后拼成平行四边形即可； （）根据题意把三角形纸片剪两刀分成块，拼成长方形即可 （）根据题意把正方形纸片剪两刀分成块，拼成一个与原正方形面积相等的三角形即可． 【详解】（1）解：如图，根据提示图形，作出三角形的中位线，再按照图示方法即可拼成平行四边形， （2）解：如图，根据提示图形，先作出三角形的中位线，然后过顶点作中位线的垂线，再按照图示方法即可拼成矩形， （3）解：如图，， 5．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）【实践与探究】如图1，已知三角形纸片和重合在一起，，，．数学实验课上，王老师让同学们用这两张纸片进行如下操作： (1)【探究1】保持不动，将通过一次全等变换（平移、旋转或翻折）后和拼成以为一条对角线的菱形，请用语言描述你的全等变换过程____________．（提醒：描述过程要完整）； (2)【探究2】保持不动，将绕点D旋转，如图2所示，点A与点D重合．保持不动，连接，再将沿射线方向平移．设平移距离为p． ①当时，连接，判断四边形的形状并说明理由； ②若，，在平移的过程中，四边形能否成为正方形？若能，请求出p的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①矩形，理由见解析；②2或14 【分析】本题考查图形的翻折，旋转，矩形的判定，菱形的判定，正方形的性质，勾股定理： （1）将沿翻折或将绕中点旋转即可； （2）①可证明四边形的对角线相等且互相平分，据此可得答案；②由勾股定理求出平移前，根据时，四边形是正方形，进行求解即可． 【详解】（1）解：将沿翻折或将绕中点旋转后，即可得到以为一条对角线的菱形； （2）解：①四边形是矩形，理由如下：       ∵． ∴， ∴， ∴四边形是矩形． ②能，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴在平移前， ∴在平移前，由勾股定理得， ∴当时，四边形是正方形， ∴当点在上方时，， 当点在下方时：． 6．（2025·上海徐汇·二模）“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点是矩形内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于、、、，并且两条对角线互相垂直． 小组成员小杰提出了如下的作法：1．过点作并截取；2．分别连接、．那么四边形就是所求作的四边形． (1)请判断小杰的作法是否正确，并说明理由； (2)如图2，点是菱形内一点，请根据上述信息提出一个类似问题，并予以解决（只需写出作法或画出图形、结论，不必说明理由）． 【答案】(1)小杰的作法正确，理由见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据矩形的性质证明四边形和四边形都是平行四边形，即可得到答案； （2）先根据（1）提出类似问题，再过点作分别交、于点、，并截取；2．分别连接、．利用平行四边形的判定和性质，即可证明四边形就是所求作的四边形． 【详解】（1）解：小杰的作法正确，理由如下： 四边形是矩形， ，，， ， ，， ，，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， 四边形就是所求作的四边形． （2）解：如图2，点是菱形内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于、、、，并且两条对角线的夹角度数等于菱形的一个内角度数． 作法：1．过点作分别交、于点、，并截取；2．分别连接、．那么四边形就是所求作的四边形． 理由如下：四边形是菱形， ，， ， ，， ，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，，，， ， ， ， 四边形就是所求作的四边形． 7．（2026·上海黄浦·二模）学校新建了一个录播教室，为了适应不同教学场景的需要，学校定制了一批新的课桌，要求这批课桌的桌面是等腰梯形的．这天数学老师带领八年级同学到录播教室开展数学探究活动，探究内容就是如何验证这批课桌的桌面是不是等腰梯形的．老师给同学们的探究工具是带刻度的直尺（可以精确量出给定两点的距离）和记号笔． (1)雏鹰小组给出了他们的验证方案，如下：先依次标记四边形桌面的顶点为A、B、C、D，接着测量与的长，如果，那么桌面不是等腰梯形；如果，再继续测量、、与的长，如果，或者，，那么桌面是等腰梯形，不然，桌面就不是等腰梯形． 其他小组讨论了雏鹰小组给出的验证方案，一致认为这个方案是可行的．如果按雏鹰小组的验证方案，他们小组验证的结果为桌面确实是等腰梯形，就请你来说明一下理由（结合图示，写出已知、求证，并加以证明）； (2)请再设计一个验证方案，并说明验证的步骤． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）设交于点O，证明，，得到，；进一步可证明，得到，据此可证明四边形是等腰梯形； （2）在上取，连接，测量的长，若，则可证明四边形是平行四边形，得到，则可证明四边形是等腰梯形． 【详解】（1）解：已知：， 求证：四边形是等腰梯形． 证明如下：如图所示，设交于点O， 在和中， ， ∴， ∴； 同理可证明， ∴； ∵， ， ∴， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴四边形是等腰梯形； （2）解：如图所示，测量出的长，在上取，连接，测量的长，若，那么四边形是等腰梯形，若不满足，则四边形不是等腰梯形． 8．（2026·上海青浦·二模）被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： (1)设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； (2)尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）根据图形可知剪去的长方形的长为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积； （2）根据底面积相同，可解方程得底边长宽分别为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积，即可验证方案． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， ∴ 则剪去的长方形的长为： 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积； （2）解：∵ ，底面积等于， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，方案1包装盒的表面积为：， ∵两种方案体积相同，底面积相同，底面更接近正方形， ∴得图 当， 时，满足条件， ∴， 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积 方案2包装盒的表面积为：， 则对方案2“表面积最小”的评价准确． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项05 中考新题型——图形实践探究题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 上海中考数学第 22 题是解答题中档压轴题，2024、2025 年彻底告别传统应用题，转向几何综合实践探究题，连续两年聚焦图形分割、拼接、几何变换，是上海中考命题改革的风向标，下面分题型特点、命题趋势两部分详细分析。 一、2024 年第 22 题（三角板拼图）题型特点 原题核心： 以45° 等腰直角三角板、30° 直角三角板拼接平行四边形为背景，分为两小问：①用斜边上的高h表示线段，求中间小平行四边形面积；②设计不同于原图的拼接方案，画出图形。 题型特点： 知识融合性强：综合解直角三角形、特殊角三角函数、平行四边形性质、图形拼接，考查代数表示 + 几何计算，基础计算与推理结合。 情境贴近教材：素材源自初中课本三角板、赵爽弦图，属于课内知识的拓展应用，不超纲但灵活。 半开放结构：第①问封闭计算、答案唯一；第②问开放作图，答案不唯一，侧重空间想象、动手操作、方案设计能力。 难度梯度清晰：第一问基础中档，第二问区分度强，反套路，学生易因不会拼接失分。 素养导向：从 “解题” 转向 “做数学”，考查观察、思考、操作、画图的综合实践能力。 二、2025 年第 22 题（梯形分割拼接等腰三角形）题型特点 原题核心： 以直角梯形、等腰梯形分割拼接等腰三角形为探究主题：①直角梯形中，中点旋转后利用等腰三角形三线合一求边长；②设计分割方案，将等腰梯形通过旋转 / 平移拼成等腰三角形，规范表述方案。 题型特点： 几何变换深度考查：核心聚焦旋转180°、平移、全等三角形、等腰梯形性质、中位线，是 2024 年图形拼接题型的延续升级。 开放程度更高：第②问要求写出分割线位置、拼接后等腰三角形的腰，不仅要画图，还要规范文字表述，逻辑严谨性要求更高。 课本本源命题：素材源自梯形中位线定理、图形旋转的课本拓展内容，回归教材本质。 区分度显著提升：第一问基础送分，第二问全市仅约 15% 学生完整作答，对空间想象、几何构造、语言表达综合能力要求更高。 任务化探究：以 “小明探究活动” 为情境，是典型的项目式、任务式数学实践题。 三、两年共性题型特点 题型定位固定：从传统一次函数、统计应用题全面转型为几何综合实践探究题，占据中档压轴位置，承接基础题、铺垫压轴题。 两小问梯度统一：第 1 问封闭计算 / 推理，侧重基础；第 2 问开放作图 + 方案设计，侧重综合能力，分层选拔。 核心考点一致：均围绕图形拼接、分割、平移、旋转、特殊四边形、特殊三角形，不考复杂函数、复杂相似。 素养考查统一：重点考查几何直观、空间想象、动手操作、数学表达、创新设计，弱化套路刷题。 反套路命题：素材新颖、设问灵活，不依赖固定模型，考查真实数学能力。 四、命题趋势（结合 2024—2025 年演变，预判未来走向） 持续锁定 “图形实践探究”，远离传统应用题，彻底告别行程、利润、统计、一次函数应用题，第 22 题固定为几何分割、拼接、变换、无刻度作图类实践题，成为上海中考固定特色题型。 开放程度逐年提升，重视数学表达从 2024 年仅画图，升级为 2025 年画图 + 文字规范表述，未来会强化方案说明、逻辑推理、语言严谨性，评分从 “结果唯一” 转向 “逻辑自洽”。 素材回归课本，拓展课内基础素材均来自三角板、梯形、中位线、图形旋转、赵爽弦图等课本内容，命题方向依标据本，不考偏难怪，重知识迁移。 几何变换为绝对核心持续考查旋转、平移、轴对称三大变换，结合特殊四边形、特殊三角形，侧重图形运动中不变量、等量关系，弱化复杂计算，强化几何直观。 初高中衔接，重思维轻套路弱化机械刷题、模型套路，侧重空间想象、构造设计、探究推理，贴合高中几何思维要求，提升学生核心素养。 难度稳定可控，区分度适中整体中档难度，第一问基础，第二问有区分度，不会过度拔高，适配中考整体难度梯度。 真题·欣赏 1.（2024·上海·中考真题22）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． （1）直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； （2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边。 析典例·探本质 溯本求源 探求本质 【分析】第（1）小问，本质就是已知直角三角形斜边上的高为h ，解直角三角形即可求解； 【详解】（1）解：①如图，为等腰直角三角板，， 则； 如图，为含的直角三角形板，，，， 则，； 综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和； 由题意可知， ∴四边形是矩形， 由图可得，，， ∴， 故小平行四边形的底为，高为，面积为； 研考点·通技法 实践操作 推理探究 【分析】（2）第2问区分度强，反套路，考查了学生观察、思考、操作、画图的综合实践能力。学生易因不会拼接而失分。 【详解】（2）解：如图，即为所作图形。 真题·欣赏 2.（2025·上海·中考真题22）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究。 （1）如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； （2）如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形。请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置。（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）。 析典例·探本质 溯本求源 探求本质 【分析】（1），过点D作于H，则BE是△FDH的中位线，DH是等腰三角形△DFC底边上的高线、中线。 【详解】（1）解：如图，过点D作于H， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 由旋转知， ∴， ∴， ∴； 研考点·通技法 实践操作 推理探究 【【分析】（2）：连接，把通过平移变换，再轴对称变换得到，则为满足条件的等腰三角形。 【详解】解：如图（2），连接，把沿平移使M与P对应，得到；再把沿对折，得到，H与N是对应点，则是等腰三角形，其中两腰分别为，分割线为NQ，点N、Q分别是梯形的顶点。 【点睛】第②问要求写出分割线位置、拼接后等腰三角形的腰，不仅要画图，还要规范文字表述，逻辑严谨性要求更高。这就要求教学要培养学生从 “会解题” 向 “用数学”转变，培养观察、思考、操作、画图的综合实践能力。 破类题·提能力 1．（24-25九年级上·黑龙江·期末）平面内有一等腰直角三角板，直线过点．过点作于点，过点作于点．当点与点重合时（如图①），易证：． (1)当三角板绕点顺时针旋转至图②的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (2)当三角板绕点顺时针旋转至图③的位置时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要说明理由． 2．（2023·宁夏银川·三模）综合与实践 问题情景：在中，，，直角三角板中，，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，． 猜想证明： （1）如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； （3）如图，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出线段的长为______ ． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在网格中有一个四边形图案． (1)请你分别画出绕点顺时针旋转得到的、关于点成中心对称的以及绕点逆时针旋转得到的，并将它们涂黑； (2)若网格中每个小正方形的边长均为1，旋转后点的对应点依次为，，，求四边形的面积； (3)这个美丽的图案能够说明一个著名的结论的正确性，请写出这个结论． 4．（24-25九年级下·四川广安·开学考试）小明探究：“用刀剪一个三角形分成块，再把它拼成一个长方形（无重叠，无缝隙）”时，遇到了困难．经提示他想到了从特殊到一般的数学思想，于是他先剪一个直角三角形纸片，然后沿其一条中位线剪一刀，分成块（如图），很快就拼成了一个与原三角形面积相等的长方形． (1)请你在图中用类似的方法把三角形纸片剪一刀分成块，使拼成的图形为平行四边形； (2)请你在图中把三角形纸片剪两刀分成块，使拼成的图形为长方形； (3)请你在图和图中，把正方形纸片剪两刀分成块，然后拼成一个与原正方形面积相等的三角形，要求所拼成的三角形既不是等腰三角形，也不是直角三角形．（请给出两种不同的方案） 5．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）【实践与探究】如图1，已知三角形纸片和重合在一起，，，．数学实验课上，王老师让同学们用这两张纸片进行如下操作： (1)【探究1】保持不动，将通过一次全等变换（平移、旋转或翻折）后和拼成以为一条对角线的菱形，请用语言描述你的全等变换过程____________．（提醒：描述过程要完整）； (2)【探究2】保持不动，将绕点D旋转，如图2所示，点A与点D重合．保持不动，连接，再将沿射线方向平移．设平移距离为p． ①当时，连接，判断四边形的形状并说明理由； ②若，，在平移的过程中，四边形能否成为正方形？若能，请求出p的值；若不能，请说明理由． 6．（2025·上海徐汇·二模）“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点是矩形内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于、、、，并且两条对角线互相垂直． 小组成员小杰提出了如下的作法：1．过点作并截取；2．分别连接、．那么四边形就是所求作的四边形． (1)请判断小杰的作法是否正确，并说明理由； (2)如图2，点是菱形内一点，请根据上述信息提出一个类似问题，并予以解决（只需写出作法或画出图形、结论，不必说明理由）． 7．（2026·上海黄浦·二模）学校新建了一个录播教室，为了适应不同教学场景的需要，学校定制了一批新的课桌，要求这批课桌的桌面是等腰梯形的．这天数学老师带领八年级同学到录播教室开展数学探究活动，探究内容就是如何验证这批课桌的桌面是不是等腰梯形的．老师给同学们的探究工具是带刻度的直尺（可以精确量出给定两点的距离）和记号笔． (1)雏鹰小组给出了他们的验证方案，如下：先依次标记四边形桌面的顶点为A、B、C、D，接着测量与的长，如果，那么桌面不是等腰梯形；如果，再继续测量、、与的长，如果，或者，，那么桌面是等腰梯形，不然，桌面就不是等腰梯形． 其他小组讨论了雏鹰小组给出的验证方案，一致认为这个方案是可行的．如果按雏鹰小组的验证方案，他们小组验证的结果为桌面确实是等腰梯形，就请你来说明一下理由（结合图示，写出已知、求证，并加以证明）； (2)请再设计一个验证方案，并说明验证的步骤． 8．（2026·上海青浦·二模）被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： (1)设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； (2)尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $