专题01 二次根式（考点串讲，6常考点+10重难点+9方法+4易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（人教版）

八年级数学下学期·期中复习大串讲 串讲课件 二次根式(6考点10题型) 人教版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点梳理 押题预测 六大常考点：考点梳理+针对训练 十大重难点题型+九大方法+四大思想 四大易错易混经典例题 精选4道期中真题对应考点练 分母 能开得尽方 知识结构 3 考点1．二次根式的概念 一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解： ①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a≥0. [易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义. 考点梳理 针对训练 1.[2024· 重庆秀山区期末] 下列各式一定为二次根式的是( ) A. B. C. D. B 2.若在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是______. 考点2：最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含_______； (2)被开方数中不含能___________的因数或因式． 开得尽方 分母 考点梳理 针对训练 3.下列二次根式是最简二次根式的是( ) B A. B. C. D. 4.若与最简二次根式可以合并，则 ___. 2 考点3：二次根式的性质 (1)＝|a|； (2)()2＝a(a ≥ 0)； (3)＝ · (a ≥ 0，b ≥ 0)； (4)＝(a ≥ 0，b>0). 考点梳理 5.若，则 的立方根是( ) A A.2 B. C.0 D.1 针对训练 6.[2024· 北京丰台区月考] 已知 ，化简 的结果为( ) C A. B. C.5 D.3 6 7.若，且为偶数，则 的值为___. 8.若实数满足，则 _______. 7 9.已知，，满足 . （1）求，， 的值. 解：根据题意，得，， ， ，， ， 解得，， . （2）以，， 为边长能否构成三角形？请说明理由.若能构成三角形， 求出三角形的周长. 解：以，， 为边长能构成三角形. 因为 ，所以能构成三角形. 该三角形的周长为 . 8 1．二次根式的乘除法则： 乘法： ＝______(a≥0，b≥0)； 除法： ＝____(a≥0，b>0)． 可以先将二次根式化成_____________，再将________________的 二次根式进行合并． 被开方数相同 最简二次根式 2．二次根式的加减： 类似合并同类项 逆用也适用. 考点4：二次根式的运算 考点梳理 9 注意平方差公式与完全平方公式的运用！ 3．二次根式的混合运算 有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的. 10.[2024· 济宁] 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. B 针对训练 11.[2024· 重庆江北区期中] 估计 的值应在( ) C A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 12.[2024· 南京玄武区二模] 下列各数中，与 的积为有理数的是 ( ) C A. B. C. D. 11 13.如图，大正方形中有两个相邻的白色小正方形，其面 积分别为8和18，则图中阴影部分的面积为( ) A A.24 B.50 C. D.26 [解析] 点拨：根据题意得白色小正方形的边长分别为 ， ， 大正方形的边长为 ， 最大的正方形的面积为 ， 阴影部分的面积为 . 12 14.已知，，则 的值为 ( ) A A. B. C. D. [解析] 点拨：， ， ， ， . 13 15.已知，则 ( ) A A. B. C. D. [解析] 点拨： ， . 14 16.[2024· 衡水一模] 设，其中， ， 则 的值为( ) B A.2 B. C.1 D. [解析] 点拨： . 15 17.从，， 中任意选择两个数，分别填在算 式里面的“”与“ ”中，计算该算式的结果是 _ _________________________.（只需写出一种结果） （答案不唯一） 16 18.计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 17 （3） . 解：原式 . 18 19.已知， ，求下列式子的值： （1） ； 解： ， ， ， 原式 . （2） . 解： ， ， ， 原式 . 19 考点6 ：二次根式的实际应用 20.[2024· 蚌埠期中] 高空物体下落的时间（单位：）和高度 （单位：）近似满足公式：为重力加速度，取 . 若一物体从 的高空下落，则落到地面的时间大约为( ) B A. B. C. D. 针对训练 20 21.在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加 ，宽增加 ，就成为了一个面积为 的正方形，则原长方形纸片的 面积为________. [解析] 点拨：一个面积为的正方形纸片的边长为 , 原长方形的长为,宽为 ， 原长方形纸片的面积为 . 21 22.（1）如图①，在边长为 的正方形的一角剪去一个边长 为 的小正方形，求图中阴影部分的面积； 解：由题意得 . 22 （2）小明是一名爱动脑筋的学生，他发现沿图①中的虚线将阴影部分 剪开，可拼成如图②所示的长方形，请你根据小明的思路求图①中阴影 部分的面积. 解：由题意得，题图②中长方形的长为 ，题图②中长方形的宽为 ， . 23 题型1 巧用二次根式有意义的条件求值 1.若,则 ____. 题型剖析 2.已知,求 的值. 【解】由题可得解得， . . 24 题型2 巧用二次根式的非负性求值 3.若实数,,满足 . （1）求,, 的值； 【解】由题意可得,，解得 , , . 25 （2）若, 为等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长. 当是腰长， 是底边长时，这个等腰三角形的腰长之和为 ,不能组成三角形，故不符合题意； 当是腰长， 是底边长时，这个等腰三角形的周长为 . 综上，这个等腰三角形的周长为 . 26 题型3 巧用 化简求值 4.如图，在数轴上的两个点表示的数为实数， ，化简： . 【解】 . 由数轴可知,，，, . 原式 . 27 5.化简： . 【解】由题意可知，则， 原式 . 28 题型4 巧用乘法公式化简求值 6.已知：, . （1）____， ____； 14 25 （2）求 的值； 【解】， ， . 29 （3）若为的整数部分，为的小数部分，求 的值. ， ， ， ， . 为的整数部分，为 的小数部分， , ， . 返回 30 题型5 巧用整体代入求值 7.已知， ，试求代数式 的值. 【解】原式 . 当，时，， ， 原式 . 返回 31 题型6 二次根式概念解读型 32 33 题型7 二次根式性质应用型 34 请你仿照上面的方法，化简下列各式： 35 题型8 二次根式运算规则型 36 请你根据小明的解题过程，解决下面的问题： 37 ①求3a2－6a＋1的值； 38 ②直接写出下列代数式的值． 0 2 39 4．小乐是一个善于思考的学生，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现有多种方法可以求三角形的面积，以下是他的数学笔记，请认真阅读并完成任务. 题型9 二次根式拓展延伸型 40 41 (1)请根据思路1的秦九韶公式，求△ABC的面积； 42 (2)请结合思路2，在如图所示的网格(正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点)中，完成下列任务． ①画出△ABC，要求三个顶点都在格 点上； 【解】(画法不唯一)如图所示， △ABC即为所求． 43 ②结合图形，求出△ABC的面积，以及AC边上的高． 44 8.已知，，试求 的值. 【解】，，, ， 原式 . 返回 45 摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，要珍惜当下， 抓住每一秒，努力前行.某学习兴趣小组通过查阅资 料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个 周期.它的计算公式是：，其中表示周期 (单位：)， 表示摆长(单位：)，， 是圆周率. 题型10 综合与实践 46 【思考填空】 (1)通过上面的计算公式我们可以知道：摆球摆动的 快慢只与摆长有关，摆长越大，周期越____ (填“长”或“短”)，摆得越____(填“快”或“慢”)； 长 慢 47 【实践与计算】 (2)若一个摆钟的摆长为 ，它每摆动一个周期 发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆 钟 发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟 发出“滴答”声的次数，再对照是否一致.请你 也计算该摆钟 发出多少次“滴答”声 (从听见“嘀答”声开始计时)? 48 解：将,， 代入 ，得 ， (次). 答：该摆钟 大约发出43次“滴答”声. 49 (3)对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了 它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准 确的摆钟的摆球的摆动周期为 ，它每摆动一个周 期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间 为，求该摆钟的摆长 取 ，摆长精确到 ，参考数据：， 50 令 , 所以 ． 答：该摆钟的摆长约为 ． 51 方法1 直接应用二次根式性质法则化简 1.把下列二次根式化成最简二次根式： （1） ； 【解】 . （2） ； . （3） ； . （4） . . 52 方法2 根据字母的取值应用法则化简 2.化简： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 53 方法3 根据隐含条件化简含有字母的二次根式 3.若，满足 ，化简： . 【解】， ， . ， . . 返回 54 方法4 分类讨论化简含有字母的二次根式 4.化简： . 【解】 . 当时，原式 ； 当时，原式 ； 当时，原式 . 综上可知，原式 55 方法5 阅读类比法化简复合二次根式 5.先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数， ，使 ,，使得， ， 那么便有： . 56 例如：化简 . 首先把化为，这里， .由于 ，，即 ， ， . （1）填空：_________， _______ 【点拨】 ， . 58 （2）计算： . 【解】 . 返回 59 方法6 平方法比较大小 1.比较与 的大小. 解：因为,,而 , 所以 . 60 2.比较与 的大小. 解： ， .因为 , 所以 . 又因为, , 所以 . 61 方法7 作差法比较大小 3.比较与 的大小. 解：因为 ， 且，所以 . 62 4.比较与 的大小. 解：因为，且 ， 所以，所以 . 方法8 倒数法比较大小 5.比较与 的大小. 解： ， ，因为 ， 所以 . 因为， ， 所以 . 64 6.比较与 的大小. 解： ， 65 ， 因为 ， 所以 . 因为, , 所以 . 方法9 作商法比较大小 7.比较与 的大小. 解：.由题易知 ， 所以,所以 ,所以 . 67 8.比较与 的大小. 解：.由题易知 ,所 以,所以 , 所以 . 68 思想1 分类讨论思想 1.已知实数,满足，求以, 的值为两边长 的等腰三角形的周长. 解：根据题意得,，解得, . ①当是腰长时，三角形的三边长分别为，， ，满足三 角形的三边关系，所以周长为 . ②当是腰长时，三角形的三边长分别为，， ，满足三 角形的三边关系，所以周长为 . 所以三角形的周长为或 . 69 2.[2024· 德阳] 将一组数,2, , ,,, , ,…按以下方式 进行排列： 则第八行左起第1个数是( ) C A. B. C. D. [解析] 点拨：由题图可知第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行 共有3个数， 归纳类推得前七行共有 （个）数， 则第八行左起第1个数是 . 思想2 从特殊到一般思想 70 3.先来看一个有趣的现象： ，这里根号里的因数2（整数部分）经过适当 的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具 有这一性质的数还有许多，如：， 等. （1）①请你写一个具有“穿墙”性质的数； [答案] （答案不唯一）. ②按此规律，若（，为正整数），则 的值为____. 71 （2）你能只用一个正整数 来表示含有上述规律的等式吗？证 明你找到的规律. 解：能.用含正整数的式子表示为 . 证明： . 72 4.已知xy＝6，x＋y＝－5，求x＋y的值. 思路引导： 思想3 整体思想 解：由题意可知x<0，y<0. ∴ x＋y＝x·＋y·＝＋ ＝－(＋)＝－·. 将xy＝6，x＋y＝－5代入，则原式＝－. 5.[中考·淄博]如图16－2，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为 (　　) A． B．2 C．2 D．6 思想4 数形结合思想 解题秘方：由题意得到大正方形的边长和小正方形的边长，再求阴影部分的面积. 答案：B 解：由题意可得，大正方形的边长为＝2，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为×(2－)＝2. 易混易错 返回 D 押题预测 81 返回 D 82 返回 x≥0且x≠3 83 84 返回 (2)求a2－3ab＋b2的值. 85 eq \r(a) eq \r(\f(a,b)) eq \r(ab) 1. 已知a为实数，化简：－a. 阅读下面的解答过程，请判断是否正确，若不正确，请写出正确的解答过程． 解：－a＝a－a··＝(a－1). 【解】不正确．正确的解答过程如下： 因为－a3≥0，－＞0，所以a＜0. 所以－a＝－a＋＝(1－a). 2. 阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m，n，使m2＋n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2＋n2± 2mn＝(m±n)2，开方，从而使得化简． 例如：化简. 解：∵3＋2＝1＋2＋2＝12＋()2＋2×1×＝(1＋)2，∴＝＝1＋. (1)；　　　 (2). 【解】∵5＋2＝3＋2＋2＝()2＋()2＋2××＝(＋)2，∴＝＝＋. ∵7－4＝4＋3－4＝22＋()2－2×2×＝(2－)2，∴＝＝2－. 3. 小明在解决问题：已知a＝，求2a2－8a＋1的值． 解：∵a＝＝＝2－， ∴a－2＝－.∴(a－2)2＝3.∴a2－4a＋4＝3. ∴a2－4a＝－1.∴2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1. (1)化简：＋＋＋…＋； 【解】原式＝＋＋＋…＋＝×(－1＋－＋－＋…＋－)＝×(－1＋11)＝5. (2)若a＝. 【解】∵a＝＝＝＋1， ∴a－1＝.∴a2－2a＋1＝2. ∴a2－2a＝1.∴3a2－6a＝3.∴3a2－6a＋1＝4. a3－3a2＋a＋1＝________；2a2－5a＋＋2＝________． 题目：已知在△ABC中，AC＝，BC＝4，AB＝，求△ABC的面积． 思路1：可以利用八年级下册课本第16页“阅读与思考”中的海伦－秦九韶公式求△ABC的面积． 海伦公式：S＝，其中p＝(a＋b＋c)． 秦九韶公式：S＝. 思路2：可以利用勾股定理在正方形网格中构造三角形求△ABC的面积. 【解】由题意，得S△ABC＝ ＝ ＝4. 【解】如图，过B作BE⊥AC于点E，取格点D，连接AD，由格点图得AD＝2，AD⊥BC. ∴S△ABC＝BC·AD＝×4×2＝4. 又∵AC＝， ∴×·BE＝4.∴AC边上的高为BE＝. 3. [2024毕节期中]已知＝，则a的值是(　　) A．1 B．－1 C．4 D．－4 【点拨】∵有意义，∴1－a≥0.∴a≤1. ∵＝，∴|a|＝4.∴a＝－4. 6. [2024天津南开中学期中]下列运算正确的是(　　) A．＋＝3 B．4－＝4 C．÷＝4 D．×＝ 2.[2024成都外国语学校期中]如果式子有意义，那么x的取值范围是____________. 14.[2024成都期中]已知a＝，b＝. (1)求a＋b的值； 【解】a＝＝＝＋， b＝＝＝－. (1)a＋b＝＋＋－＝2. 【解】∵ab＝(＋)(－)＝3－2＝1， ∴a2－3ab＋b2＝(a＋b)2－5ab＝(2)2－5＝7. $$