专题01 二次根式（考题猜想，5种易错重难点54题专项训练）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（人教版）

专题01 二次根式 （考题猜想，5种易错重难点54题专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一：利用二次根式的性质化简（易错） 1．（24-25八年级上·重庆万州·期中）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如： ． 请利用上述运算法则化简： ． 3．（23-24八年级下·北京·期中）我们规定用表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（，），将与称为数对的一对“对称数对”．若数对的一个“对称数对”是，则的值是 ． 4．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简； 【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式； 【问题迁移】（3）若，解方程． 5．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 所以的算术平方根是． 你看明白了吗?请根据上面的方法化简： (1)； (2)． 6．（24-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 7．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）【阅读材料】小聪在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 （1）请你仿照小聪的方法将化成另一个式子的平方； （2）请你运用小聪的方法化简； 【类比归纳】 （3）若，且均为正整数，，求的值． 8．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读材料： 海伦公式出现在古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）的《测地术》一书中，海伦用文字在《经纬仪》和《度量》两本书中都叙述了这一公式的证明．虽然现已公认此公式是阿基米德（，约公元前287—前212）发现的，但习惯成自然，我们仍称之为海伦秦九韶公式： 如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积为 ． 下面我们对海伦公式进行证明． 分析：从三角形最基本的计算公式入手，运用勾股定理推导出海伦公式． 证明：如图，设，，，，，，，． 根据勾股定理，得 解方程组得 ， ① ② 于是 (1)阅读材料中的解方程组得①______． (2)[理解证明]利用问题（1）中公式与模仿阅读材料从②开始再次证明海伦秦九韶公式． (3)[尝试应用]如图，在中，，，，请你用海伦秦九韶公式求的面积． 9．（23-24八年级下·广西河池·期中）【阅读与思考】 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题， (1)按照下面的解法，试化简：． 化简： 解：隐含条件 解得 ∴ ∴原式 (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简；    10．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）阅读材料： 小明的数学兴趣小组在深度学习过程中，对“完全平方数（式）”有了更深刻的全面了解．他们先回顾“有理数”，知道1，4，，0．25，…，等这样的数，可以写成，，，，…他们称它们为完全平方数；然后回顾“整式的乘法与因式分解”这个章节，掌握了，等这样的整式，可以写成，，，…，他们称它们为完全平方式，他们发现这些数式的变形有时能给问题解决提供方便．现在，小明团队学习了“二次根式”后，能熟练把任意一个非负数改写成一个非负数的平方形式，如，，，，…，等，小明他们类比称这些非负数（式）为二次根式中的完全平方数（式）． 下面，请跟随他们探究、解答下列问题： (1)请分解因式：________________． (2)． 反之，，． (3)仿上例，化简：． (4)继续进行以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有： ． ∴，． 这样就找到了一种把类似的式子化为完全平方式的方法． 方法迁移：当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：__________，__________； 利用上述探索的结论，找一组正整数a、b、m、n， 使得：________，________，_________，_________； (5)若，且a、m、n均为正整数，求a的值． 11．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 双层二次根式的化简 二次根式中有一类带双层根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：化简，先思考（根据1） ． 通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有．∴，_____． 这样，我就找到了一种把部分化简的方法． 任务： (1)文中的“根据1”是________，_______； (2)根据上面的思路，化简：； (3)已知，其中a，x均为正整数，求a和x的值． 12．（23-24八年级下·重庆南川·期中）阅读下列材料并解决问题． 当时，比如，则，此时a的绝对值是它本身； 当时，，此时a的绝对值是零； 当时，比如，则，此时a的绝对值是它的相反数．由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即： ， 在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想． 问题解决： (1)请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能； (2)猜想：与的大小关系； (3)当x满足什么条件时，． 13．（23-24八年级下·广西梧州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简： 解：隐含条件，解得： ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：x______． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长． 化简：． 14．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）爱动脑筋的南南在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：来进一步化简．比如：，∴当，即时，原式＝；当，即时，原式＝．通过进一步思考，南南发现，像这样的二次根式，可以通过变形成这样的形式后，通过构造成完全平方式的结构即可化简为，就可以进行后续计算． (1)仿照上面的例子，请你尝试化简． (2)化简：=__________；=__________． (3)解方程：． 15．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）阅读材料： 我国南宋数学家秦九韶（约1202—1261）在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S=．①（其中为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长）．而古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在《度量》中也有求三角形面积的“海伦公式”：②（其中S为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长，为半周长，即）． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”． 解答问题： (1)若在中，已知，试分别运用公式①和公式②计算的面积； (2)请你写出由公式①推导出公式②的过程； (3)计算（1）中的BC边上的高． 16．（23-24八年级下·北京·期中）（1）观察，计算，判断：（只填写符号：，， ①当，时，__________； ②当，时，__________； ③当，时，__________； … （2）根据第（1）问，当，时，判断与的数量关系并证明，（提示：） 17．（23-24八年级下·广西玉林·期中）（1）已知，为实数，且，求，的值． （2）已知实数满足，求的值． 18．（23-24八年级下·山东济宁·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)代数式中x的取值范围是______； (2)已知：，求： ①_____； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：． 19．（23-24八年级下·山东淄博·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）； (3)先化简，再求值：，其中． 题型二：二次根式的计算与最值（易错） 20．（23-24八年级下·重庆长寿·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号，例如：当时，求的最小值．解∵，∴，又∵，∴，即时取等号．∴的最小值为4．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，当且仅当______时，有最小值______． (2)已知，当m取何值时，有最小值？最小值为多少？ 21．（23-24八年级下·河北·期中）数学活动课上，同学们根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当，时，与的大小关系”． 下面是探究过程． ①具体运算，发现规律： 当，时， 特例1：若，则； 特例2：若，则； 特例3：若，则； ②观察、归纳，得出猜想： 当，时，． ③证明猜想： 当，时， ， ， 当且仅当时，． 请你利用发现的规律，解答以下问题． (1)当时，的最小值为 ． (2)当时，的最小值为 ． (3)当时，的最大值为 ． 22．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号． 例如：已知，求式子 的最小值． 解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当，式子 的最小值为 ； (2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？    (3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．    题型三：二次根式与规律探究（难点） 23．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）设，则S最接近的数是（   ） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 24．（23-24八年级上·广东深圳·期中）观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 25．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）如图，它是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ． 26．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【思考尝试】 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； 【实践探究】 （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）； 【拓展延伸】 （3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算． 27．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 28．（23-24八年级下·广东惠州·期中）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式： …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式： ； (2)计算： ； (3)利用这一规律计算：． 29．（23-24八年级下·山东泰安·期中）探究下面二次根式的运算规律，根据要求进行解答． 特例1：；特例2：；特例3：；……． (1)写出一个符合上述运算特征的等式； (2)如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律，并写出推导过程． 30．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ， ． 善于思考的小明进行了探索，找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 (1)按照上述两个根式化简过程的基本思想，填空______ (2)按照上述两个根式化简过程的基本思想，将化简 (3)针对上述各式反映的规律，写出中m、n与a、b之间的关系． 31．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）一列二次根式：①；②；③是按一定规律排列的． (1)请直接写出这三个二次根式的整数部分； (2)用已学过的数学知识，求第个符合规律的二次根式的整数部分； (3)写出第个符合规律的二次根式，猜想它的整数部分，并说明理由． 32．（24-25八年级上·山西晋城·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 33．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______； (2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 34．（22-23八年级下·北京西城·期中）同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：，根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这一性质的数还有许多，如、等等． (1)猜想：______； (2)请再写出1个具有“穿墙”性质的数______； (3)请用只含有一个正整数的等式表示上述规律：______． 35．（24-25八年级上·山东济南·期中）观察下列等式： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：_________________； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 题型四：分母有理化（重点） 36．（23-24八年级下·山东济南·期中）对于，同学们都会化简，如果分母是的形式，该怎么办呢？我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以，从而化去分母中的根号，如． 根据以上介绍，请你解答下面的问题： (1)直接写出化简结果①______，②______； (2)化简：． 37．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： (1)的有理化因式是____________，____________． (2)化简． (3)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为  所以． 所以，所以，所以，所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 38．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）先阅读，后解答： ，； 像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是______；的有理化因式是______； (2)将下列式子进行分母有理化：①______；②______； (3)类比（2）中②的计算结果，计算： 39．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读理解，再解答问题． 因为，所以； 因为， 所以； 因为，所以． 依次类推． (1)你会发现什么规律？用字母n（正整数）来表示． (2)请用你发现的规律计算式子的值． 40．（24-25八年级上·河南郑州·期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1） （2） 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照（1）式化简______； (2)参照（2）式化简______； (3)化简：． 41．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 题型五：二次根式的应用（重难点） 42．（23-24八年级下·广东佛山·期中）阅读材料：若都是非负实数，则，当且仅当时，“”成立． 证明：，． ，当且仅当时，“”成立． (1)已知，求的最小值； (2)如图，灯湖中学计划在一楼建造一个长方形活动区域，由长方形的休闲区（即图中阴影部分）和环休闲区运动跑道（四周空白部分）组成．已知休闲区的面积为4000平方米，运动跑道的宽分别为2米和5米．因为用地限制，要使整个活动区域所占面积最小，则休闲区的长和宽该如何设计？ 43．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形A，B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小． 44．（24-25八年级上·山西晋中·期中）发生交通事故后，交道警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车的车速大约是多少？（，结果精确到） 45．（24-25八年级上·河北保定·期中）石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 46．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 47．（23-24八年级下·广西贺州·期中）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上裁出面积分别为、和的三块正方形木板．    (1)截出的三块正方形木板的边长分别为 ， 和 ； (2)求长方形木板的面积；（结果保留根号） (3)如果木工师傅想从剩余的A木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的长方形木块，最多能截出多少块这样的木块？（ ，） 48．（23-24八年级下·广西百色·期中）【综合与实践】 摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆线长(单位：m)，，π是圆周率．(π取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到0.01s，参考数据：，) 【思考填空】 （1）通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越______(填“长”或“短”)，摆得越______；(填“快”或“慢”) 【实践与计算】 （2）若一个摆钟的摆线长为，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声； （3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间1s，求该摆钟的摆线长． 49．（23-24八年级下·河南安阳·期中）已知刹车距离的计算公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车距离（单位：），表示摩擦系数．现有一辆货车（中型以上）在立有图标识的高速公路行驶，若刹车距离是，摩擦系数是． (1)实际上该货车已超速，请通过计算说明； (2)请根据下面的分值表判断该货车会被记几分． 超速违法行为记分分值表 违法行为 道路类型 中型以上客货汽车、校车、危险品车 其他机动车 超速 以上 高速公路、城市快速路 记分 记分 高速公路、城市快速路以外道路 记分 记分 以上以下 高速公路、城市快速路 记分 记分 高速公路、城市快速路以外道路 记分 记分 以上以下 高速公路、城市快速路 记分 不扣分 高速公路、城市快速路以外道路 记分 不扣分 以下 高速公路、城市快速路 记分 不扣分 高速公路、城市快速路以外道路 不扣分 不扣分 50．（23-24八年级下·北京西城·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数，， 称为，这两个数的算术平均数， 称为，这两个数的几何平均数， 称为，这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则______，______，______； (2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形； ②借助图形可知当，都是正数时，，，的大小关系是：______（把，，从小到大排列，并用“”或“”号连接）． ③当时，的最大值是______． 51．（23-24八年级下·河北保定·期中）【阅读下列材料】 我们知道：， 即， （当且仅当时，）． 进一步得到当时， ，即， （当且仅当时，） 【例】若，求的最小值． 解：， 的最小值为4． 【解决问题】 (1)当时，当且仅当__________时，有最小值__________． (2)用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长），面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少？ 52．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示． (1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长； (2)求图（2）正方形与正方形的面积． 53．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求： (1)长方体盒子的底面积； (2)长方体盒子的体积． 54．（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建两个形状、大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为 米，宽为 米． (1)求长方形的周长（结果化为最简二次根式）． (2)除去修建花坛的地方，其他位置全部修建为通道，通道上要铺上造价为26 元/平方米的地砖．要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少钱? $$专题01 二次根式 （考题猜想，5种易错重难点54题专项训练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一：利用二次根式的性质化简（易错） 1．（24-25八年级上·重庆万州·期中）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，整式的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键．令，把原式化简为，再利用二次根式的性质化简，最后再代入求值即可． 【详解】解：令， 则原式化为： ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如： ． 请利用上述运算法则化简： ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由题意知，，则，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·北京·期中）我们规定用表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（，），将与称为数对的一对“对称数对”．若数对的一个“对称数对”是，则的值是 ． 【答案】6或/或6 【知识点】利用二次根式的性质化简、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义和解方程，理解和应用新定义是解题的关键．根据新定义，列方程，解答即可． 【详解】解：数对的一个“对称数对”是， 可能是或， 若是， 则，解得，，解得， ； 若是， 则，解得，，解得， ； 故答案为：6或． 4．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简； 【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式； 【问题迁移】（3）若，解方程． 【答案】；； 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键． （1）根据题目所给方法对变形即可得解； （2）根据题意结合所给方法对变形，再利用二次根式的性质化简即可得解； （3）根据题目所给方法，得到，再利用二次根式性质化简，得到，再解方程即可； 【详解】（1）， 故答案为：； （2） ， （3）， 又， ∴， 上式， ， 故方程为， 5．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 所以的算术平方根是． 你看明白了吗?请根据上面的方法化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查了二次根式的化简． （1）根据题意得到，即可到答案； （2）把化为，即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： 6．（24-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． （1）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （2）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （3）由得出，根据，都是整数可得，即可求出值，代入求出值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： = ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，都是整数， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 7．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）【阅读材料】小聪在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 （1）请你仿照小聪的方法将化成另一个式子的平方； （2）请你运用小聪的方法化简； 【类比归纳】 （3）若，且均为正整数，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或8 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用： （1）将转化为，进行求解即可； （2）将转化为完全平方的形式，再化简即可； （3）根据，得到，结合均为正整数，，求出正整数解即可． 【详解】解：（1） （2） （3） 均为正整数， 或 或8． 8．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读材料： 海伦公式出现在古希腊的几何学家海伦（，约公元50年）的《测地术》一书中，海伦用文字在《经纬仪》和《度量》两本书中都叙述了这一公式的证明．虽然现已公认此公式是阿基米德（，约公元前287—前212）发现的，但习惯成自然，我们仍称之为海伦秦九韶公式： 如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积为 ． 下面我们对海伦公式进行证明． 分析：从三角形最基本的计算公式入手，运用勾股定理推导出海伦公式． 证明：如图，设，，，，，，，． 根据勾股定理，得 解方程组得 ， ① ② 于是 (1)阅读材料中的解方程组得①______． (2)[理解证明]利用问题（1）中公式与模仿阅读材料从②开始再次证明海伦秦九韶公式． (3)[尝试应用]如图，在中，，，，请你用海伦秦九韶公式求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、异分母分式加减法 【分析】本题题型属于阅读理解型分式的加减运算，利用二次根式的性质化简，解题的关键是通过阅读理解材料中所给的定义以及概念，再运用材料中的知识点解决对应的问题即可． （1）将代入求解即可； （2）仿照②的运算方法求解即可； （3）根据海伦秦九韶公式求解即可． 【详解】（1）将代入得， ； （2） 于是 ； （3）∵，，， ∴ ∴的面积． 9．（23-24八年级下·广西河池·期中）【阅读与思考】 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题， (1)按照下面的解法，试化简：． 化简： 解：隐含条件 解得 ∴ ∴原式 (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简；    【答案】(1)1 (2) 【知识点】实数与数轴、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质与化简等知识点，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． （1）根据二次根式有意义条件得出，求出，再根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据数轴得出，，再根据二次根式的性质和绝对值进行计算即可． 【详解】（1） 隐含条件， 解得：， 所以 ； （2）从数轴可知：，， 所以 ． 10．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）阅读材料： 小明的数学兴趣小组在深度学习过程中，对“完全平方数（式）”有了更深刻的全面了解．他们先回顾“有理数”，知道1，4，，0．25，…，等这样的数，可以写成，，，，…他们称它们为完全平方数；然后回顾“整式的乘法与因式分解”这个章节，掌握了，等这样的整式，可以写成，，，…，他们称它们为完全平方式，他们发现这些数式的变形有时能给问题解决提供方便．现在，小明团队学习了“二次根式”后，能熟练把任意一个非负数改写成一个非负数的平方形式，如，，，，…，等，小明他们类比称这些非负数（式）为二次根式中的完全平方数（式）． 下面，请跟随他们探究、解答下列问题： (1)请分解因式：________________． (2)． 反之，，． (3)仿上例，化简：． (4)继续进行以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有： ． ∴，． 这样就找到了一种把类似的式子化为完全平方式的方法． 方法迁移：当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：__________，__________； 利用上述探索的结论，找一组正整数a、b、m、n， 使得：________，________，_________，_________； (5)若，且a、m、n均为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4)，；答案不唯一，13，4，1，2 (5)14或46 【知识点】利用二次根式的性质化简、因式分解的应用 【分析】（1）根据解答即可． （2）根据公式的可逆性解答即可． （3）根据，化简即可． （4）根据，得：，； 答案不唯一，，，， （5）根据，得，整理，得，得或，计算a的值即可． 本题考查了完全平方公式的应用，分解因式，化简，计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）∵, 故答案为：． （2）∵． ， ∴，, 故答案为：；． （3）∵， ∴． （4）∵， ∴，； 故答案为：，； 答案不唯一，，，， 故答案为：13，4，1，2． （5）∵， ∴， ∴， ∵a、m、n均为正整数， ∴或， ∴或， 故a的值为14或46． 11．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 双层二次根式的化简 二次根式中有一类带双层根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：化简，先思考（根据1） ． 通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有．∴，_____． 这样，我就找到了一种把部分化简的方法． 任务： (1)文中的“根据1”是________，_______； (2)根据上面的思路，化简：； (3)已知，其中a，x均为正整数，求a和x的值． 【答案】(1)完全平方公式； (2) (3)， 【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简， （1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，问题得解． 【详解】（1）解：的根据是完全平方公式； ∵， ∴，． 故答案为：完全平方公式；． （2）解： ． （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，a为正整数， ∴， ． 12．（23-24八年级下·重庆南川·期中）阅读下列材料并解决问题． 当时，比如，则，此时a的绝对值是它本身； 当时，，此时a的绝对值是零； 当时，比如，则，此时a的绝对值是它的相反数．由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即： ， 在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想． 问题解决： (1)请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能； (2)猜想：与的大小关系； (3)当x满足什么条件时，． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活运用二次根式的性质是解决问题的关键． （1）讨论：当时，直接利用二次根式的性质得到；当时，利用零的算术平方根的定义得到，当时，先把变形为，再根据二次根式性质化简； （2）由题中结论和（1）中的结论可得； （3）先根据二次根式有意义的条件得，所以，则，所以只要满足即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 当时，， 即； （2）解：由题意及（1）得， ； （3）解：有意义， ， ， ， 即， 解得， 即当满足时，． 13．（23-24八年级下·广西梧州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简： 解：隐含条件，解得： ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：x______． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为的三边长． 化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的意义： （1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围； （2）根据（1）所求结合二次根式的性质化简可得答案； （3）由三角形三边间的关系得出、、，再利用二次根式的性质化简可得答案． 【详解】解：（1）∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0， ∴隐含条件， 解得：， （2）∵， ， ∴ ； （2）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，， ∴，，， ∴ ． 14．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）爱动脑筋的南南在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：来进一步化简．比如：，∴当，即时，原式＝；当，即时，原式＝．通过进一步思考，南南发现，像这样的二次根式，可以通过变形成这样的形式后，通过构造成完全平方式的结构即可化简为，就可以进行后续计算． (1)仿照上面的例子，请你尝试化简． (2)化简：=__________；=__________． (3)解方程：． 【答案】(1) (2)； (3)或 【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算、化简绝对值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分类讨论和判断被开方式子的符号是关键． （1）仿照上面的例子，即可化简； （2）仿照上面的例子，即可判断出答案； （3）先化简，再化简可得，分为当时，当时，当时，即可化简求值． 【详解】（1）解：， ∵，∴原式． （2）解： ； ． （3）解： ； 可化为， 即， 当时，可化为，解得：； 当时，可化为，无解； 当时，可化为，解得：； 综上，的解为或． 15．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）阅读材料： 我国南宋数学家秦九韶（约1202—1261）在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S=．①（其中为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长）．而古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在《度量》中也有求三角形面积的“海伦公式”：②（其中S为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长，为半周长，即）． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”． 解答问题： (1)若在中，已知，试分别运用公式①和公式②计算的面积； (2)请你写出由公式①推导出公式②的过程； (3)计算（1）中的BC边上的高． 【答案】(1)的面积为； (2)见解析； (3)的边上的高为． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，三角形面积的海伦公式的用法，培养了学生的推理和计算能力． （1）代入计算即可； （2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算； （3）设的边上的高为，得到，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，即， ∴公式①： ， 公式②：， ． （2）证明： ， ∵， ∴原式 ， ∴． （3）解：设的边上的高为， ∴， ∵， ∴， ∴的边上的高为． 16．（23-24八年级下·北京·期中）（1）观察，计算，判断：（只填写符号：，， ①当，时，__________； ②当，时，__________； ③当，时，__________； … （2）根据第（1）问，当，时，判断与的数量关系并证明，（提示：） 【答案】（1），，；（2） 【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式， （1）把各组、的值分别代入和中计算可判断它们的大小公式； （2）由于，然后利用完全平方公式展开，变形后可得到； 灵活运用二次根式的性质是关键． 【详解】解：（1）当，时，，，则； ②当，时，，，则； ③当，时，，，则； 故答案为：，，； （2）；理由如下： ， ， ， ； 故答案为：； 17．（23-24八年级下·广西玉林·期中）（1）已知，为实数，且，求，的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1），；（2）2024 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是正确解答的关键． （1）根据二次根式有意义的条件可得出的值，再根据非负数的和为0得出的值即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得的取值范围，再根据绝对值的定义将原式化为，两边平方即可． 【详解】解：（1）和均有意义， 且， 即且， ， 当时，， 可得 ∴，即， ，； （2）有意义， ， ， 因此，可变为， 即， ， 即， 的值是2024． 18．（23-24八年级下·山东济宁·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)代数式中x的取值范围是______； (2)已知：，求： ①_____； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：． 【答案】(1)； (2)①2；②． 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可； （2）①运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可；②根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：，解得：， ∴x的取值范围为． 故答案为：． （2）解：①∵， ∴． 故答案为：2． ②由题意可得：，则，解得：， 经检验，是方程的根． ∴方程的解为． 19．（23-24八年级下·山东淄博·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)（或） (3)；2030 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行判断即可； （2）根据二次根式的性质进行回答即可； （3）由m的值可知，根据二次根式的性质得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解：根据二次根式的性质可知，小亮的解答过程是错误的； 故答案为：小亮 （2）小亮错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质，二次根式的性质：（或）， 故答案为：（或） （3）原式， ， ， 原式            ． 题型二：二次根式的计算与最值（易错） 20．（23-24八年级下·重庆长寿·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号，例如：当时，求的最小值．解∵，∴，又∵，∴，即时取等号．∴的最小值为4．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，当且仅当______时，有最小值______． (2)已知，当m取何值时，有最小值？最小值为多少？ 【答案】(1)1，2； (2)，最小值为． 【知识点】利用二次根式的性质化简、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了配方法，完全平方公式的应用，二次根式混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答． （1）根据阅读中的公式计算即可； （2）先配方，化简，运用公式计算即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， 即时，的最小值为2， 故答案为：1，2； （2）解：， ∵， ∴， 又∵， ∴，， 即，， ∴当时，的最小值为． 21．（23-24八年级下·河北·期中）数学活动课上，同学们根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当，时，与的大小关系”． 下面是探究过程． ①具体运算，发现规律： 当，时， 特例1：若，则； 特例2：若，则； 特例3：若，则； ②观察、归纳，得出猜想： 当，时，． ③证明猜想： 当，时， ， ， 当且仅当时，． 请你利用发现的规律，解答以下问题． (1)当时，的最小值为 ． (2)当时，的最小值为 ． (3)当时，的最大值为 ． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】不等式的性质、利用二次根式的性质化简、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握二次根式的性质，完全平方公式的特点，能够准确地将所求的式子变形是解题的关键． （1）根据阅读材料直接可得； （2）根据的取值范围，将所求的式子变形为，再结合阅读材料求解即可； （3）先变量分离已知式子，再由的取值范围，将所求式子变形为，结合（2）求解即可． 【详解】（1）解：， ， 的最小值为2， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）解：， ， ∴ ， 的最大值为． 22．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号． 例如：已知，求式子 的最小值． 解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当，式子 的最小值为 ； (2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？    (3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．    【答案】(1)6 (2)20米 (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用、二次根式的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目． （1）根据材料提供的信息解答即可． （2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可． （3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是6和12，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【详解】（1）解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6． （2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为20， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米． （3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为， 又∵、的面积分别是6和12， ∴，， ∴， ∴ ∵． ∴当且仅当时，取等号，即的最小值为， ∴四边形面积的最小值为． 题型三：二次根式与规律探究（难点） 23．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）设，则S最接近的数是（   ） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】此题是数字规律题，主要考查了二次根式的性质，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 由可化为，由原式可以看出，被开方数都是1加连续两个自然数平方倒数和的形式；中间的算式都是1加第一个自然数的倒数，再减去第二个自然数的倒数；右边的结果为1加两个自然数乘积的倒数，进而求解即可． 【详解】设n为任意正整数， ∴ ∴ ， 因此与s最接近的整数是2009． 故选B． 24．（23-24八年级上·广东深圳·期中）观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 由此可知：， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键． 25．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）如图，它是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示） ． 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据规律表示出代数式即可，观察发现“数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即”的规律是解题的关键． 【详解】解：∵观察数阵发现，数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数是， 故答案为：． 26．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【思考尝试】 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； 【实践探究】 （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）； 【拓展延伸】 （3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算． 【答案】（1），验证见解析；（2）；（3） 【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）利用根据前面等式的规律求解； （3）先代入得，根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：猜想：； 验证：， ∴猜想正确． （2）解：第n个式子为：； （3）解： ． 解得：． 27．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】与实数运算相关的规律题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索： （1）仿照①化简求解即可； （2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可； （3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……．， 以此类推，可知； （3）证明： ． 28．（23-24八年级下·广东惠州·期中）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式： …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式： ； (2)计算： ； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究： （1）根据已有等式，写出第4个等式即可； （2）根据二次根式的性质结合已知，进行求解即可； （3）根据二次根式的性质，结合相关规律，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，第个等式为：； 故答案为：； （2）； 故答案为： （3）由题意，可知第个式子为：， ∴ ． 29．（23-24八年级下·山东泰安·期中）探究下面二次根式的运算规律，根据要求进行解答． 特例1：；特例2：；特例3：；……． (1)写出一个符合上述运算特征的等式； (2)如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律，并写出推导过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)，见详解 【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】本题考查二次根式的化简、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目中给出的式子可以发现，根号内的第二个分数的分母是第一个分数的分母的平方，结果的分母和等号左边根号内的第一个分数的分母相同，而分子是比分母小1的算术平方根，从而可以写出一个符合要求的等式； （2）根据（1）中的发现，先写出关于n的等式，然后写出推导过程即可． 【详解】（1）解：如：（答案不唯一）； （2）解：如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：； ∵n是正整数， ∴． 30．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ， ． 善于思考的小明进行了探索，找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 (1)按照上述两个根式化简过程的基本思想，填空______ (2)按照上述两个根式化简过程的基本思想，将化简 (3)针对上述各式反映的规律，写出中m、n与a、b之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查了二次根式的化简，读懂题意正确化简是解题的关键． （1）按照题意把被开放式变形后化简即可； （2）按照题意把被开放式变形后化简即可； （3）等式两边平方后，即可得到答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：把两边平方可得： ∴，． 31．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）一列二次根式：①；②；③是按一定规律排列的． (1)请直接写出这三个二次根式的整数部分； (2)用已学过的数学知识，求第个符合规律的二次根式的整数部分； (3)写出第个符合规律的二次根式，猜想它的整数部分，并说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)，理由见详解 【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查二次格式的化简，估算，二次根式的规律计算，掌握二次根式的性质，二次根式的估算是解题的关键． （1）根据材料提示，运用二次根式的性质化简，估算即可求解； （2）结合（1）中的运算方法即可求解； （3）根据材料提示猜想第个二次根式的整数部分为，结合即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴的整数部分是； ， ∵，即， ∴的整数部分为； ， ∵，即， ∴的整数部分为； （2）解：根据材料提示， 第个二次根式为， ∵， ∴的整数部分为， ∴第个二次根式的整数部分为； 第个二次根式为， ∵，即， ∴的整数部分为， ∴第个二次根式的整数部分为； （3）解：根据上述猜想，第个二次根式为，整数部分为，理由如下， 已知， ∵ ，且为正整数， ∴， ∴，即， ∵ ∴ ∴的最大整数为， ∴第个二次根式的整数部分为． 32．（24-25八年级上·山西晋城·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1)当时， (2)①；② (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法与性质， （1）根据阅读材料中的例题，即可解答； （2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 熟练掌握二次根式的乘法法则和性质是关键． 【详解】（1）根据阅读材料中的例题得，当时，； （2）①， ②； （3）由题意，得长方形的面积． 33．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______； (2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 【答案】(1)①（答案不唯一）；② (2)，见解析 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键． （1）①根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可； ②通过发现规律确定a，b的值，从而代入求值； （2）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可． 【详解】（1）解：①根据已知等式的规律可写出：，…（答案不唯一，符合规律即可）． ②∵（a，b为正整数）， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：第一个等式为，即； 第二个等式为，即； 第三个等式为，即． ∴用含正整数的式子表示为：， 验证如下： ． 34．（22-23八年级下·北京西城·期中）同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：，根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这一性质的数还有许多，如、等等． (1)猜想：______； (2)请再写出1个具有“穿墙”性质的数______； (3)请用只含有一个正整数的等式表示上述规律：______． 【答案】(1) (2)（答案不唯一，符合规律即可） (3) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的乘法 【分析】（1）根据已知等式的规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可； （2）根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可； （3）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可． 【详解】（1）解：，验证如下： ． 故答案为． （2）解：根据已知等式的规律可写出：，…． 故答案为（答案不唯一，符合规律即可）． （3）解：第一个等式为，即； 第二个等式为，即； 第三个等式为，即． ∴用含正整数的式子表示为：． 【点睛】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键． 35．（24-25八年级上·山东济南·期中）观察下列等式： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：_________________； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算， （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式； （2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算； （3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果； 解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【详解】（1）解：， 故答案为：；；； （2） ； （3） ． 题型四：分母有理化（重点） 36．（23-24八年级下·山东济南·期中）对于，同学们都会化简，如果分母是的形式，该怎么办呢？我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以，从而化去分母中的根号，如． 根据以上介绍，请你解答下面的问题： (1)直接写出化简结果①______，②______； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，解题的关键是确定分子和分母乘以什么数． （1）将的分子和分母都乘以，的分子和分母都乘以，计算即可； （2）将的分子和分母都乘以，计算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，． （2）． 37．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： (1)的有理化因式是____________，____________． (2)化简． (3)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为  所以． 所以，所以，所以，所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)7 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可； （2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （3）根据题干给出的解题方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是， ， 故答案为：，； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 38．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）先阅读，后解答： ，； 像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． (1)的有理化因式是______；的有理化因式是______； (2)将下列式子进行分母有理化：①______；②______； (3)类比（2）中②的计算结果，计算： 【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据分母有理化的定义即可得到答案； （2）按照分母有理化的方法进行计算即可； （3）把每个式子分别进行有理化，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是，的有理化因式是， 故答案为：，； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解：原式 ． 39．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读理解，再解答问题． 因为，所以； 因为， 所以； 因为，所以． 依次类推． (1)你会发现什么规律？用字母n（正整数）来表示． (2)请用你发现的规律计算式子的值． 【答案】(1) (2)9 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】根据分母有理化，可得实数的减法，根据实数的减法运算，可得答案． 本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键． 【详解】（1）解：当n是正整数时， ； （2）解： ． 40．（24-25八年级上·河南郑州·期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （1） （2） 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照（1）式化简______； (2)参照（2）式化简______； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化： （1）根据分母有理化的方法计算即可； （2）根据分母有理化的方法进行计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3） ． 41．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)1 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，平方差公式； （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将括号内里的分母有理化，然后合并，再乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ 故答案为：． （3）解： ； （4）∵ 又∵ ∴ 题型五：二次根式的应用（重难点） 42．（23-24八年级下·广东佛山·期中）阅读材料：若都是非负实数，则，当且仅当时，“”成立． 证明：，． ，当且仅当时，“”成立． (1)已知，求的最小值； (2)如图，灯湖中学计划在一楼建造一个长方形活动区域，由长方形的休闲区（即图中阴影部分）和环休闲区运动跑道（四周空白部分）组成．已知休闲区的面积为4000平方米，运动跑道的宽分别为2米和5米．因为用地限制，要使整个活动区域所占面积最小，则休闲区的长和宽该如何设计？ 【答案】(1)最小值为 (2)休闲区的长为, 宽为 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了完全平方公式的理解，解分式方程， 求最小值等，解题的关键是弄清题意，求出最小值. （1）根据，可得答案； （2）设休闲区的长为，进而表示出宽，再表示出面积，然后根据材料提示可得答案. 【详解】（1）解：根据题意得， 当时，解得负值舍去， ∴当时，原式的最小值为； （2）设休闲区的长为，则宽为 根据题意，得： 公园的面积 当 时, 解得负值舍去， 所以当时，面积最小为 则 ， 所以休闲区的长为, 宽为，整个活动区域所占面积最小． 43．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形A，B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小． 【答案】矩形甲的面积小于矩形乙的面积． 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的应用、比较二次根式的大小 【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到，然后由进而求解即可． 【详解】∵正方形A，B的面积分别为和， ∴正方形A，B的边长分别为和， 根据题意得，矩形甲的面积为：； 矩形乙的面积为：； ∴ ∵ ∴ ∴ ∴矩形甲的面积小于矩形乙的面积． 44．（24-25八年级上·山西晋中·期中）发生交通事故后，交道警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车的车速大约是多少？（，结果精确到） 【答案】肇事汽车的车速大约是 【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，化简二次根式等知识点，将，代入即可求出肇事汽车的车速大约是多少，熟练掌握运用二次根式的性质化简求值是解决此题的关键． 【详解】解：∵，代入， ∴， ∵， ∴， 答：肇事汽车的车速大约是． 45．（24-25八年级上·河北保定·期中）石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 【答案】(1)米 (2)1400元 【知识点】二次根式的应用、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解： （米）， ∴长方形的周长为米． （2）解：通道的面积为：（平方米）， 购买地砖的花费为：（元）， ∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费1400元． 46．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】 运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】回顾旧知，类比求解：，5，5；学会转化，解决问题：（1）；（2） 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． 回顾旧知，类比求解：根据题意可直接进行求解； 学会转化，解决问题： （1）先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； （2）先移项，然后两边同时平方得到新的一个方程，进而问题可求解． 【详解】回顾旧知，类比求解： 解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． 学会转化，解决问题： 解：（1） ， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2） 解得：， 经检验，是原方程的解． 47．（23-24八年级下·广西贺州·期中）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上裁出面积分别为、和的三块正方形木板．    (1)截出的三块正方形木板的边长分别为 ， 和 ； (2)求长方形木板的面积；（结果保留根号） (3)如果木工师傅想从剩余的A木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的长方形木块，最多能截出多少块这样的木块？（ ，） 【答案】(1)；； (2)阴影部分的面积 (3)能截出1.5×1这样的木块共2块 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）由正方形的面积可得边长； （2）先计算出长方形的边长，再根据长方形的面积公式列式计算即可； （3）求剩余的木料的长和宽，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：；； （2）解：根据题意得：长方形的边长为dm，dm； ∴长方形木板的面积 （3）解：根据题意得：剩余的A木料的长为，宽为， ∵，， 且，， ∴能截出1.5×1这样的木块共2块． 48．（23-24八年级下·广西百色·期中）【综合与实践】 摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆线长(单位：m)，，π是圆周率．(π取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到0.01s，参考数据：，) 【思考填空】 （1）通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越______(填“长”或“短”)，摆得越______；(填“快”或“慢”) 【实践与计算】 （2）若一个摆钟的摆线长为，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声； （3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间1s，求该摆钟的摆线长． 【答案】（1）长，慢；（2）该摆钟1分钟发出43次“滴答”声；（3）该摆钟的摆长为0.25米 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的化简和利用二次根式的性质求解，审清题意并根据题意正确列式和方程是解题的关键． （1）根据即可判断； （2）将代入计算求出T，即可得解； （3）令求出l即可． 【详解】解：（1）令， ∵g>0， ∴， ∴， ∴， 即， ∴摆线越长，周期越长，摆得越慢， 故答案为：长，慢； （2）将代入得：， ∴该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数约为：(次)， 答：该摆钟1分钟发出43次“滴答”声； （3）令，即， 解得：． 答：该摆钟的摆长为0.25米． 49．（23-24八年级下·河南安阳·期中）已知刹车距离的计算公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车距离（单位：），表示摩擦系数．现有一辆货车（中型以上）在立有图标识的高速公路行驶，若刹车距离是，摩擦系数是． (1)实际上该货车已超速，请通过计算说明； (2)请根据下面的分值表判断该货车会被记几分． 超速违法行为记分分值表 违法行为 道路类型 中型以上客货汽车、校车、危险品车 其他机动车 超速 以上 高速公路、城市快速路 记分 记分 高速公路、城市快速路以外道路 记分 记分 以上以下 高速公路、城市快速路 记分 记分 高速公路、城市快速路以外道路 记分 记分 以上以下 高速公路、城市快速路 记分 不扣分 高速公路、城市快速路以外道路 记分 不扣分 以下 高速公路、城市快速路 记分 不扣分 高速公路、城市快速路以外道路 不扣分 不扣分 【答案】(1)见解析； (2)记分． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、二次根式的应用、二次根式的乘法 【分析】（）把，代入计算，求出，再跟限速比较即可判断求解； （）求出超速的百分比，对照分值表即可求解； 本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，将，代入得， ， ∴故该货车超速； （2）解：， ∵该中型以上货车在高速公路行驶， ∴记分． 50．（23-24八年级下·北京西城·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数，， 称为，这两个数的算术平均数， 称为，这两个数的几何平均数， 称为，这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则______，______，______； (2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形； ②借助图形可知当，都是正数时，，，的大小关系是：______（把，，从小到大排列，并用“”或“”号连接）． ③当时，的最大值是______． 【答案】(1) (2)①见详解；②；③ 【知识点】二次根式的应用、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质，较难的是题（2）③，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． （1）将分别代入求值即可得； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得； ②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论，③根据可得即结合完全平方公式可求得即可求解． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ， 故答案为∶； （2）①， 用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ， 用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ②根据（2）①中的所画的图形可得，当且仅当时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ， 故答案为：； ③， 当时，N取得最大值， 此时即， 整理可得：， ， ， ， N的最大值为：． 51．（23-24八年级下·河北保定·期中）【阅读下列材料】 我们知道：， 即， （当且仅当时，）． 进一步得到当时， ，即， （当且仅当时，） 【例】若，求的最小值． 解：， 的最小值为4． 【解决问题】 (1)当时，当且仅当__________时，有最小值__________． (2)用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长），面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少？ 【答案】(1)，； (2)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，理解题意是关键． （1）直接利用（当且仅当时，），再计算即可； （2）设垂直于墙的一边为xm，利用长方形的面积公式得到菜园的面积关于x的关系式，再利用求解即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， 当时，则， 解得：（舍去）， 即当时，， 故答案为：， （2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， 此时， ∴或（舍去）． ∴， ∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； 52．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示． (1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长； (2)求图（2）正方形与正方形的面积． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据相邻两边长之比和矩形纸片的面积求得矩形相邻两边的长是本题的关键． （1）设矩形纸片相邻两边长分别为，，根据题意可得，解得的值，可得矩形纸片相邻的两边长； （2）如图，正方形的边长为，正方形边长，可得正方形与正方形的面积． 【详解】（1）解：设矩形纸片相邻两边长分别为，， 依题意得： ∵， ， ， 矩形纸片相邻两边长分别为，； （2）由（1）可得： 正方形边长， ， 正方形边长， ． 53．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求： (1)长方体盒子的底面积； (2)长方体盒子的体积． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形和根据二次根式的乘法法则求解． （1）结合题意可知长方体盒子的底面是边长为的正方形，即可得答案； （2）根据长方体盒子的体积等于底面积×高，即可得到答案． 【详解】（1）解∶ 长方体盒子的底面积   ； （2）解∶长方体盒子的体积 ． 54．（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建两个形状、大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为 米，宽为 米． (1)求长方形的周长（结果化为最简二次根式）． (2)除去修建花坛的地方，其他位置全部修建为通道，通道上要铺上造价为26 元/平方米的地砖．要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少钱? 【答案】(1)长方形的周长为米 (2)要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元 【知识点】二次根式的应用 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解：（米）， ∴长方形的周长为米． （2） （平方米）， 则（元）， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元． $$