专题03 平行四边形（考点串讲，5常考点+14重难点+2思想+3易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（人教版）

八年级数学下学期·期中复习大串讲 串讲课件 平行四边形（5考点&16题型） 人教版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理+针对训练 十四大重难点+二大思想技巧点拨 三大易错易混经典例题 精选4道期中真题对应考点练 互相平分 平行 且相等 互相平分 一 一半 相等 相等 互相垂直 菱形 矩形 知识结构 3 一、几种特殊四边形的性质 项目 四边形 边 角 对角线 对称性 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行 且四边相等 对边平行 且四边相等 对角相等 四个角 都是直角 对角相等 四个角 都是直角 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 知识梳理 四边形 条件 平行 四边形 矩形 菱形 正方形 二、几种特殊四边形的常用判定方法： 1.定义：两组对边分别平行 2.两组对边分别相等 3.两组对角分别相等 4.对角线互相平分 5.一组对边平行且相等 1.定义：有一个角是直角的平行四边形 2.对角线相等的平行四边形 3.有三个角是直角的四边形 1.定义：一组邻边相等的平行四边形 ;2.对角线互相垂直的平行四边形,3.四条边都相等的四边形 1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形 5种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 6 四、其他重要概念及性质 1.两条平行线之间的距离： 2.三角形的中位线定理： 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离. 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 考点1 平行四边形的性质与判定 1.[2024·邯郸期末] 如图，在中， 是边 延长线上一点，若 ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 针对训练 8 2.如图，在中，与相交于，若， ， ,则 的长为( ) A A. B. C. D. 9 3.[2024·辽宁] 如图，的对角线，相交于点， ， ，若，，则四边形 的周长为( ) C A.4 B.6 C.8 D.16 10 4.（教材母题）如图，在中，点， 分别在边，上， . （1）求证： ； 证明： 四边形 是平行四边形， ，， . ，，即 ， 在与中， . （2）连接，请添加一个与线段相关的条件，使四边形 是平行 四边形.（不需要说明理由） 解：添加 .（答案不唯一） 11 考点2 三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线 5.如图，在中，是 的中点， ，，则 的长是( ) A A.3 B.6 C. D. 12 6.[2024·济南市中区期末] 如图，的对角线， 相交于点 ，的平分线与边相交于点，是的中点，若 ， ，则 的长为( ) D A.3 B.2 C.1 D.1.5 13 [解析] 点拨：四边形 是平行四边形， ，， ， . 平分， ， ， ， . 是的中点，是 的中点， 是的中位线， . 14 7.如图，在中，,点 是斜边 的中点，以为边作正方形 .若 ，则 ( ) B A. B. C.12 D.16 15 考点3 矩形的性质与判定 8.如图，在矩形中，点的坐标是 ，则 ， 两点之间的距离是( ) B A. B. C. D.6 16 9.如图，在矩形中，， ，对 角线，相交于点，过点作 ，交 于点，则 的长是( ) A A.3 B.2 C.2.4 D.2.5 [解析] 点拨：连接 . 四边形是矩形，, ， ，，， . ，垂直平分, . 设，则 . 在中，由勾股定理得 ， ，解得， . 17 10.[2024·贵州] 如图，四边形的对角线与相交于点 ， ， ，有下列条件：， . （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形 是矩形； 解：选择①. 证明：， ， 四边形 是平行四边形. 又 ， 四边形 是矩形. 选择②. 证明：， ， 四边形 是平行四边形. 又 ， 四边形 是矩形.（二者选一即可） 18 （2）在（1）的条件下，若，，求四边形 的面积. 解： ， ， 矩形的面积为 . 19 考点4 菱形的性质与判定 11.[2024·重庆沙坪坝区期末] 如图，菱形 的 对角线，相交于点，，分别是， 边的中点，连接，若， ，则菱 形 的周长为( ) B A. B. C.16 D. 20 12.[2024·上海] 在矩形中，过，作对角线的垂线段，过 ， 作对角线 的垂线段.如果四条垂线段能够拼成一个四边形，那么这 个四边形为( ) A A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形 [解析] 点拨：如图. 四边形 为矩形， ， . 过A，C作对角线的垂线段，过B，D作对角线 的垂线段， ， ， 如果四条垂线段能够拼成一个四边形，那么这个四边形为菱形. 21 13.（教材母题）把一个矩形纸片按如甲、乙两图所示的方式对折两 次，然后剪下图丙中的①部分，为了得到其中一个内角为 的菱形， 剪口与折痕所成的角 的度数应为___________. 或 22 14.[2024·连云港] 如图，与相交于点，， . （1）求证： ； 证明：，， . 在和中， . 23 （2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点在 上， 点在 上.（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 解：如图，菱形 即为所求. 24 考点5 正方形的性质与判定 15.下列说法中，正确的是( ) D A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B.对角线互相平分的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D.对角线相等的平行四边形是矩形 25 16.如图，在正方形中，对角线， 相交于 点，分别为，上一点，且 ，连接 ，，.若 ，则 的度数为 ( ) C A. B. C. D. 26 17.[2024·河南] 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在 轴上，点的坐标为，点在边上.将沿折叠，点 落 在点处.若点的坐标为，则点 的坐标为________. 27 [解析] 点拨：设正方形的边长为，与轴相交于 ，则易得四 边形 是矩形， ，， . 由折叠的性质得， ， 点的坐标为，点的坐标为 ， ，，， . 在中， ， ，解得 ， ， ， 在中， ， ，解得 ， ， 点的坐标为 . 28 题型一 一般四边形的中点四边形是平行四边形 1.如图，在四边形中，,,,分别是, , , 的中点. （1）求证：四边形 是平行四边形； 证明：,,,分别是，,, 的中点， ,,, ， ,, 四边形 是平行四边形. （2）若,则 ___. 4 题型剖析 29 题型二 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形 2.[2024· 温州鹿城区月考] 如图，在四边形中，对角线， 互相垂直，点，，，分别是边,,, 的中点，依次连接这 四个中点得到四边形 . 30 （1）求证：四边形 是矩形； 证明：设,交于点，,交于点 ， 点，分别是边， 的中点， , ， 同理:,，, , 四边形 是平行四边形. ， ， 易得 ， 四边形 是矩形. （2）若,，则四边形 的周长为____. 16 31 题型三 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 3.[2024· 荆州期末] 顺次连接下列四边形各边中点所构成的四边形中， 为菱形的是( ) B ①平行四边形；②矩形；③菱形；④对角线相等的四边形；⑤对角线互 相垂直的四边形. A.①④ B.②④ C.②⑤ D.③⑤ 32 题型四 对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形 4.[2024· 秦皇岛期末] 阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图①，我们把一个四边形 的四边中点，，，依次连接起来得到的四边形 是平 行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接 . 33 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图①中四边形的形状（如图②），则四边形 还是平行四边形吗？请说明理由. 参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： 34 解：四边形 还是平行四边形. 理由：连接 . ，分别是边， 的中点， ， . 同理得， ， ，， 四边形 是平行四边形. 35 （2）如图②，在（1）的条件下，若连接，，当与 满足什 么关系时，四边形 是正方形？直接写出结论. 解：结论：当且时，四边形 是正方形. 36 题型五 十字架模型 【模型分析】 模型图 _________________________________________________________________________________ 模型归纳 在正方形中，图①： ；图②： ；图③： 37 5.如图①，在正方形中，点为边上一点，连接，点 在边 上运动. （1）如图②，当点和点重合时，过点作的垂线，垂足为点 ， 交直线于点.请直接写出与 的数量关系：__________； 38 （2）如图③，过点作的垂线，垂足为点，交直线于点 ，试 证明（1）中的结论仍成立. 证明：如图，过点作于点，交于点 . ， . 四边形是正方形， . 四边形是平行四边形. . 四边形 是正方形， ， . . 39 ， ，， . 在和中， . .又， . 题型六 中心直角模型 【模型分析】 模型图 ______________________________________________________________________________ 模型归纳 在正方形中，对角线,交于点，若 为直 角，则，， 是等腰 直角三角形， 41 6.如图，已知四边形是正方形，对角线，相交于，设 ， 分别是，上的点，若 ，，求四边形 的面积. 42 解： 四边形是正方形，，是对角线， ， ， ， ， . 又 ， 易得 . 在和中， ， . . 43 题型七 外角平分线模型 【模型分析】 模型图 ___________________________________________________________________________________________________ 模型归纳 方法：在上截取 . 点在正方形的边上运动，若 ， 平 分，则，， 44 7.如图①，四边形是正方形，点是边的中点， ， 且交正方形外角的平分线于点.求证：.（提示：取 的 中点，连接 .） （1）请思考，提示中添加辅助线的意图是得到条件：_________； 45 （2）如图②，若点是边上任意一点（不与， 重合），其他条件 不变.求证： . 证明：在边上截取，连接 . 四边形 是正方形， ， . ，， 是等腰直角三角形， ， . 平分正方形的一个外角， , , . ， . ， ， ， . 46 题型八 半角模型 【模型分析】 模型图 ________________________________________________________________________ 模型归纳 方法：旋转到 的位置. 在正方形中，若 ，则 ， 平分，平分 ， ，， 47 8.如图，在正方形中，点，分别在， 上， 连接，，， .若 ，则 等于( ) A A. B. C. D. 48 9.如图，在边长为6的正方形 内作 ，交于点，交于点 ， 连接，将绕点顺时针旋转 得到 .若，求 的长. 解：由题意得 , ,, . 四边形是正方形， , 又 , , , . 在和中， , . 49 设，则, . . ,, . ，,解得,即 . 题型九 矩形的折叠 （第1题） 10.如图，在矩形中，点在边 上，将矩 形沿直线折叠，点恰好落在边 上的 点处.若,,则 的长是( ) C A.7 B.8 C.9 D.10 51 11.[2024· 青岛一模] 如图，在矩形纸片 中，，，将纸片折叠，使点 与点 重合，折痕为，点的对应点为点 ，连接 ，则图中阴影部分的面积是( ) D A.5 B.3 C. D. 52 12.[2024· 石家庄长安区一模] 如图，在矩形 中，点，，分别在边，， 上，将矩形分别沿，， 折叠，使点 ，恰好都落在点处，点落在点 处.有以 下结论： Ⅰ：若点落在上，则 ； Ⅱ：若点与点重合，则 . 下列判断正确的是( ) C A.Ⅰ，Ⅱ都正确 B.Ⅰ，Ⅱ都不正确 C.只有Ⅰ正确 D.只有Ⅱ正确 53 13.[2024· 威海] 将一张矩形纸片（四边形 ）按如图所示的方式对 折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处， 交 于点.若，，，则 __. 54 [解析] 点拨：四边形 是矩形， . . 在中， . 由折叠得， ， ， , ， . 又， ， 55 ， . 易知， ， ， ， 设，则 ， 在中， ， 即，解得，即 . 14.[2024· 湖州南浔区二模] 数学兴趣小组在对一张矩形纸片进行折叠的 时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的一系列问题 进行研究探索.已知矩形纸片的边长， ，折 痕始终经过点 . 折法一 折法二 ___________________________ _____________________________ 如图①，点在 上运动，将矩 形沿着 向上折叠，使得 点恰好落在对角线上的点 处 如图②，当点运动到点 处时，将 矩形沿着对角线 向上折 叠，使得点落在点处，交 于点 57 （2）请根据折法二完成下列任务： ①任务一：求证： 是等腰三角形； ②任务二：计算 的长度. [答案] ①证明： 四边形 是矩形， ， . 由折叠得， ， ， 是等腰三角形. 请根据以上信息，完成下列问题： （1）折法一中 的长为______. 58 ②解： 四边形 是矩形， ， . 由折叠得， . 又， . 设，则 ， 在中， ， 即，解得， . 59 题型十 菱形的折叠 15.如图，把菱形沿折叠，使 点落在 上的点处，若 ，则 的大小 为( ) A A. B. C. D. 60 16.如图，有一张菱形纸片， ，折叠 该纸片，使得点,均与点重合，折痕分别为 ， .设两条折痕的延长线交于点 .求证：四边形 是菱形. 证明: 四边形 是菱形， ,，, . 由折叠可知, , , . . 又 , ， , , , 61 四边形 是平行四边形. , . 又 , ， ， , 四边形 是菱形. 题型十一 正方形的折叠 17.甲、乙两人各用一张正方形的纸片（如图①）折出一个 的 角，两人做法如下： 甲：如图②，将纸片沿对角线折叠，使点落在点处，则 . 乙：如图③，将纸片沿，折叠，分别使点，落在对角线 上 的点处，则 . 对于两人的做法，下列判断正确的是( ) A A.甲、乙都对 B.甲对，乙错 C.甲错，乙对 D.甲、乙都错 63 18.[2024· 无锡期中] 如图，在正方形中，，点在 上， 且，将沿折叠，得到，延长交于点 ， 连接，则 ___. 6 64 [解析] 点拨：在正方形中， ， ， 由折叠可知，， ， ， . 又 ， ， . ，,， . 设，则， . ， ， ，即 . 65 19.如图①，将正方形纸片 对折， 使得边与 重合，展开铺平，折痕 为.然后将正方形纸片沿着过点 的直 线折叠，此时点恰好落在折痕 上的 点处，展开铺平，折痕为,设 与 交于点，连接 ，如图②. （1）若正方形的边长为6，求 的长； 解:由折叠可知， . ， . 66 （2）求证：四边形 是菱形. 证明:由折叠可得, , . . . 又 , 四边形 是平行四边形. 又, 四边形 是菱形. 67 题型十二 矩形中的动态问题 20.如图，在矩形中，，，， 是对角线上的两个动点，分别从， 同时出发 相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为 秒，其中 . （1）若，分别是， 的中点，则四边形 四边形一定是平行四边形 一定是怎样的四边形（， 相遇时除外）？ 答：_____________________________； 68 （2）在（1）的条件下，若四边形为矩形，求 的值. 解：连接，由题意易得， ， 四边形是平行四边形. . ， . 69 ①如图①，当四边形 是矩形 时， ， ， ， ； ②如图②，当四边形 是矩形 时， ， ， ， . 综上，当四边形为矩形时，或 . 70 题型十三 菱形中的动态问题 21.如图，在菱形中， ，，点，分别为 ， 上的动点， ，点从点向点 运动的过程中， 的长度( ) D A.逐渐增加 B.先减小再增加 C.恒等于9 D.恒等于6 71 [解析] 点拨：连接 ， 四边形 是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， . ， ， ， 又, ， ， . ， . 72 题型十四 正方形中的动态问题 22.如图，在边长为3的正方形 中，是线段 上的一个动点，连 接，以为边作正方形 （点在边 所在直线的上方）， 连接 . （1）如图①，当点与点重合时， 的长为_____； 73 （2）如图②，当点与点重合时，嘉嘉说：“此时 .”淇淇说： “此时正方形的面积与正方形的面积的比为 .”请选 择其中一人的说法进行证明. 解：选择嘉嘉的说法.证明： 四边形， 都是正方形， , , , ， . ， ， ， 即 . 选择淇淇的说法.证明：易得, , ， . （选择一种进行证明即可） 74 思想1 从特殊到一般思想 1.是正方形的对角线，点为线段上一个动点（点 不与点 ，重合），连接，点在射线上，且 . 【提出问题】当点运动时，的度数、线段， 之间的数量关 系是否发生变化？ 【探究问题】 （1）首先考察点的一个特殊位置：若 ，如图①，则 _____，， 之间的数量关系为____________. 75 ① [解析] 点拨：如图①，过点作 ，交 的延长线于点，则 . 是正方形 的对角线， . ， . ， . 是 的外角， , , . 76 ， ， ， . ， , . .由勾股定理得 . （2）考察点的一般位置：若 ，依题意补全图②. [答案] 补全图形如图②. ② 78 ①___（用含 的式子表示）； [解析] 点拨：如图②，是正方形 的对角线， . ， . ， . 是 的外角， ， . 79 ②判断并证明线段， 之间的数量关系. [答案] . 证明：如图②，过点作，交的延长线于点 ，则 . ， ， ， . ， , . 由勾股定理得 . 80 思想2 分类讨论思想 2.如图，在矩形中， ， ，点在边上以 的速度从 点向点运动，点在边上，以 的速 度从点出发，在 之间往返运动，两个动点同 时出发，点在到达点时停止，同时点 也停止 运动，设运动时间为 . （1）用含的式子表示线段的长度：_________ . （2）若，当运动时间为___时，以,,, 为顶点的四边形 是矩形. 2 81 （3）当时，以,,, 为顶点的四边形有没有可能是平行四 边形？若有，请求出 的值；若没有，请说明理由. 解：以，，， 为顶点的四边形有可能是平行四边形. ， 当时，四边形 是平行四边形. 当时，点从点向点 运动， 由，得，解得 ； 当时，点从点向点 运动， 由，得，解得 . 综上所述，的值为 或8. 易错易混 1.(情境题生活应用）杭州纸伞馆有制 作精美的纸伞，如图，四条长度相 等的伞骨围成菱形 ，伞骨连 接点固定在伞柄顶端，伞圈 能沿着伞柄 滑动.小聪通过测量发 现：当伞完全张开时，伞柄 的中 C A. B. C. D. 点到伞骨连接点，的距离都等于的一半，若 ， 则 的度数是( ) 押题预测 89 [解析] 点拨：四边形 是菱形， ， . ， . 由题意得 ， . ， ， . 90 2.[2024·郴州月考] 在中，，平分交直线 于 点，，则 的周长为________. 14或26 [解析] 点拨：四边形 是平行四边形， ， . 平分， ， ， . 91 如图①，当点在线段 上时， ， ， 的周长为 ； 如图②，当点在 的延长线上时， ， ， 的周长为 . 综上所述， 的周长为14或26. 92 3．[2024温州期中]如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法正确的是________． ①l1与l2之间的距离是线段FG的长度； ②CE＝FG； ③线段CD的长度就是l1与l2之间的距离； ④AC＝BD． ①②④ 93 4.如图，在中， ， 延长到点，使.连接 . （1）求证：四边形 是菱形； 证明：,, . 四边形是平行四边形， . 四边形 是平行四边形. 又， 四边形 是菱形. 94 （2）连接交于点，若,，则 的长为___. 5 [解析] 点拨：四边形是菱形， . 四边形是平行四边形，， , .,, . 在中，由勾股定理可得 . , . 4.如图，在中， ， 延长到点，使.连接 . 95 $$