1.2 向量的加法（教学课件）数学湘教版必修第二册

湘教版选择性必修第二册 1.2 向量的加法 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 第1章平面向量及其应用 湘教版 必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 1.向量加法的运算法则及其几何意义； 2.向量加法的三角形法则及平行四边形法则、向量加法的交换律与结合律. 难点 3 1.对向量加法运算法则的理解； 2.向量加法的三角形法则及平行四边形法则的拓展应用. 掌握平面向量加法运算法则，利用加法法则解决问题 新课导入 几何和代数是数学的两个重要组成部分.几何研究图形，直观形象易懂，但不易于计算.代数研究数的运算，有现成规则可以遵循，但容易陷入数的海洋而不易理解算式的实际意义.向量既可以画作几何图形，又可以进行代数运算，还可以通过坐标转化为数的运算，兼具几何与代数的优点.向量的出现将发挥沟通几何与代数的桥梁作用. 本章我们将从物理、几何、代数三个角度来学习平面向量及其运算的几何意义和代数意义，并尝试运用向量来刻画和解决现实生活、数学和物理中的一些问题. 温故知新 由线段围成的多边形是基本的几何图形.我们已经会用向量来表示多边形各边的方向和长度，还需要用向量的运算来刻画各边之间的关系. 一、三角形法则 新课讲授 新课讲授 一、三角形法则 新课讲授 新课讲授 一、三角形法则 新课讲授 新课讲授 求向量和的运算称为向量的加法 将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则叫作向量加法的三角形法则 一、三角形法则 新课讲授 新课讲授 如果两个向量a，b的方向相同或相反，对于这种特殊情况，我们用图1.2-3来表示它们的和. 二、平行四边形法则 新课讲授 新课讲授 二、平行四边形法则 新课讲授 新课讲授 三 、加法运算律 新课讲授 新课讲授 数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算。类似地，向量的加法又有哪些运算律呢？ 三 、加法运算律 新课讲授 新课讲授 三 、加法运算律 新课讲授 新课讲授 四、零向量的加法性质 新课讲授 新课讲授 四、零向量的加法性质 新课讲授 典例分析 四、零向量的加法性质 新课讲授 典例分析 四、零向量的加法性质 新课讲授 典例分析 五、向量的减法 新课讲授 新课讲授 五、向量的减法 新课讲授 新课讲授 五、向量的减法 新课讲授 新课讲授 五、向量的减法 新课讲授 新课讲授 五、向量的减法 新课讲授 新课讲授 五、向量的减法 新课讲授 新课讲授 学后总结 知识点一　向量的加法 (1)向量加法的定义 ______________________，叫做向量的加法． 求两个向量和的运算 学后总结 a＋b 学后总结 ≤ 零向量 相同 学以致用 例1　如图，已知向量a，b. (1)用三角形法则作出向量a＋b； (2)用平行四边形法则作出向量a＋b. 学以致用 学以致用 【感悟提升】　 (1)应用向量加法的三角形法则求两个向量和的基本步骤 29 学以致用 (2)应用向量加法的平行四边形法则求两个向量和的基本步骤 30 学以致用 31 学以致用 【感悟提升】　应用向量解决问题的基本步骤 32 课堂小结 课堂小结 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 感谢聆听 如图1.2-1，一艘船从码头 出发先往东行驶 到达位置 ， 再往北行驶 到达位置 ，总的位移是多少？ 这艘船先从 到 ，再从 到 ，总的效果是从 到 ，因而其总位移是 。 如图1.2-1，OB是 的斜边。由勾股定理得 总位移 是两段航程的位移 ， 的总效果， 很自然地把它定义为两次位移之和： 从位移求和，我们引出下述向量的加法法则。 从位移求和，我们引出下述向量的加法法则。 如图1.2-2，已知两个非零向量 ， ，在平面上任取一点 ， 分别作 ， ，则定义从 到 的向量 为 ， 的和，记作 。 即 。 如图1.2-4，若作用于同一点 的两个力 ， 可用由 出发的有向线段 ， 来表示， 则两个力的合力 可用 表示。 从 出发作 ，则由三角形法则可得 。 因为AC与OB平行且相等，所以四边形OACB是平行四边形。 因此，以上作出的OC是以OA，OB为一组邻边的 的对角线。 对于方向既不相同也不相反的非零向量 ， ，还有一种求和的作图方法： 平行四边形法则：如图1.2-5，从同一点 出发作有向线段 ， ，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 则对角线 就是 与 的和，即 。 如图1.2-6，设 ， 。 以AB，AD为邻边作 ，则 ， 。 因为 ， ， 所以 。 如图1.2-7，设 ， ， 。 因为 ， ， 所以 。 由上可知，向量的加法满足交换律和结合律： (1)加法交换律： 对任意两个向量 ， 成立。 (2)加法结合律： 对任意三个向量 ， ， 成立。 例2（1）已知任意向量 ，求 与 ； （2）若两个向量 ， 满足 ，试探究 ， 之间的关系。 解：作 。 （1）由 得 。由 得 。 再作 ，则 ，即 。 又 ，则 ，于是点 与点 重合。 因此 ，与 长度相等，方向相反，即 与 互为相反向量。 于是，对任意向量 有 。 例3：三个力 ， ， 大小相等，作用于同一点 。 要使它们的合力为零，应满足什么条件？ 解：（三角形法则）如图1.2-9，作 ， ， ，则 。 以 为起点，作 ，则 。要使 ， 。 又 ，所以 与 互为相反向量。 又 ，因此 是等边三角形。 又 ，于是 。 因此，使三个大小相等、作用于同一点的力的合力为零的条件是，这三个力两两之间的夹角为 。 例3：三个力 ， ， 大小相等，作用于同一点 。 要使它们的合力为零，应满足什么条件？ 解：（平行四边形法则）如图1.2-9，作 ， ， 。 以OA，OB'为邻边作平行四边形OABB'，则 ， 所以 ， ， 共线且 。 由于 ， ，且 ， 因此 是等边三角形，与它全等的 也是等边三角形， 于是 ， 。 因此，这三个力两两之间的夹角等于 。 例4：设 是等边三角形ABC的中心，求 。 解：设 。 如图1.2-10，将等边三角形绕点 逆时针旋转 ， 使顶点 ， ， 分别转到点 ， ， 的位置，则 跟着旋转 ，变成了 。 由向量加法的交换律可知，向量 旋转 后仍是其自身。 由于只有零向量在旋转 后仍是其自身，于是 。 与数的减法一样，向量的减法同样作为向量加法的逆运算引入。 已知两个向量 ， ，求 满足 ， 这样的运算叫作向量的减法， 记为 ， 称为 与 之差。 如图1.2 - 11， ， ， 是 的三边，则 。 因此， 。 也可以由 ， 经过加法得到 ： 于是，我们有：减去一个向量 ， 等于加上它的相反向量 ，即 。 如图1.2 - 11，任取一定点 ， 从 分别观测 ， 两点的方向和距离， 则点 ， 的位置由点 分别到 ， 的两个向量 ， 唯一表示。 ， 分别称为点 ， 的位置向量， 也即分别代表了 ， 两点的位置， 因而等式 。 例5:如图1.2 - 12，已知 ， 用 ， 分别表示向量 ， 。 解:由向量求和的平行四边形法则， 有 。 由减法定义有 。 例6:如图1.2 - 13，已知向量 ， ，求作 。 解:如图1.2 - 14，在平面内任取一点 ， 从同一点 出发作 ， 。 作 ，则 。 例7：如图1.2 - 15，已知点 是平行四边形ABCD两条对角线的交点， 若 ， ， ，求证： 。 证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以 。 因为点 是平行四边形ABCD对角线的交点， 所以 ， ， 所以 ， 因此 。 (2)向量加法的运算法则 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作eq \o(AB,\s\up17(→))＝a，eq \o(BC,\s\up17(→))＝b，则向量______叫做a与b的和，记作______，即a＋b＝eq \o(AB,\s\up17(→))＋eq \o(BC,\s\up17(→))＝______. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则 平行四边形 法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则________________________就是向量a与b的和. 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 eq \o(AC,\s\up17(→)) eq \o(AC,\s\up17(→)) 以O为起点的向量eq \o(OC,\s\up17(→)) 知识点二　|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|_______|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是_______或a，b是方向_______的非零向量时等号成立． [提示]　若|a＋b|＝||a|－|b||，则a，b中有一个是零向量或a，b是方向相反的非零向量． 知识点三　向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 解　(1)如图①，在平面内任取一点O′，作eq \o(O′D,\s\up17(→))＝a，eq \o(DE,\s\up17(→))＝b，连接O′E，则eq \o(O′E,\s\up17(→))＝a＋b. ① ② (2)如图②，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up17(→))＝a，eq \o(OB,\s\up17(→))＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则eq \o(OC,\s\up17(→))＝eq \o(OA,\s\up17(→))＋eq \o(OB,\s\up17(→))＝a＋b. 练习2在水流速度为向东10 km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10eq \r(3) km/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向． 解　如图所示，eq \o(OA,\s\up17(→))表示水速，eq \o(OB,\s\up17(→))表示船实际航行的速度，eq \o(OC,\s\up17(→))表示船速，由eq \o(OB,\s\up17(→))＝eq \o(OC,\s\up17(→))＋eq \o(OA,\s\up17(→))，易知|eq \o(BC,\s\up17(→))|＝|eq \o(OA,\s\up17(→))|＝10，又∠OBC＝90°，|eq \o(OB,\s\up17(→))|＝10eq \r(3)，所以|eq \o(OC,\s\up17(→))|＝20， 所以∠BOC＝30°， 所以∠AOC＝120°，即船行驶的速度的大小为20 km/h，方向与水流方向的夹角为120°. 1.向量加法的定义 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. (2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. 2.向量求和的法则 (1)向量加法的三角形法则．向量加法的三角形法则要“首尾相接”. (2)向量加法的平行四边形法则．应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”. 3.向量三角不等式． |a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. 4.向量加法的运算律． (加法交换律)a＋b＝b＋a； (加法结合律)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 5．常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点． 6.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则.使用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾顺次相接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0. 7.(1)要注意向量的几何表示，画出图形进行化简或计算. (2)要灵活运用向量加法的运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序. 　 $$