精品解析：河南省信阳市2024-2025学年高三第二次教学质量检测数学试题

★2025年1月20日 2024-2025学年普通高中高三第二次教学质量检测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. 0.14 B. 0.62 C. 0.72 D. 0.86 6. 函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ） A B. C. D. 二、选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（ ） A. 众数为12 B. 平均数为14 C. 中位数为14.5 D. 第85百分位数为16 10. 已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，设直线l的斜率为k，则下列选项正确的有（ ） A B. 若以线段AB为直径的圆过点F，则 C. 若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则 D. 若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切 11. 已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（ ） A. B. 关于点对称 C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为______________. 13. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________. 14. 某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87%.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月份的基础上提高4%，产品合格率比去年12月份增加0.4%，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格产品个数达到最大是两年内的第________月. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角所对的边分别为，且的面积. （1）求角A； （2）若，求的取值范围. 16. 设是等差数列，是等比数列.已知，，. （1）求和的通项公式； （2）数列和项从小到大依次排列（相等项计两项）得到新数列，求的前50项的和. 17. 2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园､26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车､骑自行车和步行三种方式游园. （1）若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为，求的分布列及数学期望； （2）为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表： 游园方式 游园结果 观光车 自行车 步行 参观完所有展园 80 80 40 未参观完所有展园 20 120 160 用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率. 18. 已知函数. （1）若是函数的一个极值点，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）证明：（为自然对数的底数）. 19. 已知动点与定点距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ★2025年1月20日 2024-2025学年普通高中高三第二次教学质量检测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由对数函数的性质，求出对数不等式的解集，再求即可. 【详解】由对数函数的性质可得： 不等式成立，需要满足， 解得，即，且， 则， 故选：C. 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果. 【详解】因为，所以， . 故选：B. 3. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】在向量上的投影向量为. . 故选：A 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数同角关系结合诱导公式求得，然后结合二倍角余弦公式，利用1的代换化弦为切代入计算即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：D 5. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. 0.14 B. 0.62 C. 0.72 D. 0.86 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的性质进行计算即可. 【详解】随机变量服从正态分布， 且, 所以， ， 所以， 故选:D. 6. 函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】化简原函数解析式并求出平移后的函数解析式，由条件等式结合正弦函数性质求出的范围，由此可得结论. 【详解】函数图象向左平移个单位长度后， 得的图象， 由已知得， 所以， 所以， 所以，， 所以，， 因为，所以的最小值为3， 故选：C. 7. 已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数有最小值可得出函数的单调性，然后对函数在区间上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由于函数有最小值，则函数在区间上不为增函数，可得. 当时，，，此时函数无最小值； 当时，即当时，函数在区间上为减函数， ①若函数在上为增函数，则， 且有，即，解得，此时； ②若函数在上为减函数，则， 且，所以，，即，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用分段函数的最值求参数，解题时要根据题意分析出两支函数在各自定义域上的单调性，并分析出间断点处函数值的大小关系，本题易错的地方在于忽略函数在区间上单调递减，忽略这一条件的分析，进而导致求解出错. 8. 已知O为坐标原点，双曲线C:左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程， 再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和. 【详解】 设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，， 所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点. 根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点， 所以MO是的中位线，所以， 又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为. 所以，，双曲线C渐近线方程为， 设，T到两渐近线的距离之和为S，则， 由，即， 又T在上，则，即，解得，， 由，故，即距离之和为. 故选：A. 【点睛】由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程. 二、选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（ ） A. 众数为12 B. 平均数为14 C. 中位数为14.5 D. 第85百分位数为16 【答案】BC 【解析】 【分析】由众数，中位数，平均数，第百分位数的定义求出即可. 【详解】成绩从小到大排列为：. A：出现次数最多的数为，故A错误； B：平均数，故B正确； C：中位数为：，故C正确； D：第85百分位数第，即第位，为，故D错误； 故选：BC. 10. 已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，设直线l的斜率为k，则下列选项正确的有（ ） A. B. 若以线段AB为直径的圆过点F，则 C. 若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则 D. 若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切 【答案】ABC 【解析】 【分析】联立直线l与抛物线消去x得y2﹣4my+4＝0，由可判断A；利用韦达定理和FA⊥FB列式可解得m2＝2，再用弦长公式可得弦长可判断B；若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则解出，再用弦长公式可得弦长可判断C；由，可得无解可判断D. 【详解】设，直线的方程为，，的中点为， 由消去并整理得：，得， 由题意，，所以，即， 所以，则，故A正确； 以线段为直径的圆过点，所以，所以， 又， 所以， ，解得满足题意. 由，得，所以B正确； 若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则， 又，所以， 解得：，所以，故C正确； 若以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，则，即， 又，所以无解，所以D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（ ） A. B. 关于点对称 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】用特殊值法，假设，可判断选项A；对进行变形处理，即可判断其对称性，从而判断选项B；对两边求导，可得，根据可判断的周期性和对称性，再根据特殊值关系，即可判断选项C；由特殊值关系得到，，化简，即可判断选项D. 【详解】假设，则，则，与都为偶函数， 则所设函数符合题意，此时，故A错误； 因为为偶函数，所以，即， 令，则，所以关于点对称，故B正确； 因为为偶函数，所以， 所以函数的图象关于直线对称，即，即， 因为，所以，所以， 则，故， 所以，所以，又，， 所以，所以无法确定的值，所以C错误； 又，，所以， 由，得，则，所以， 由知函数周期为4，则的周期也为4，则 ，所以 D正确. 故选：BD. 【点睛】结论点睛： 对称性有关结论： 若，则关于直线对称； 若，则关于直线对称； 若，则关于点中心对称； 若，则关于点中心对称； 周期性结论： 若，则函数的周期为. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理分别得到与的展开通项公式即可得解. 【详解】因为的展开通项公式为， 的展开通项公式为， 所以取，得的系数为. 故答案为：. 13. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，切点为，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】设，则， 设切点为，则， 则切线方程为，整理可得， 所以，解得， 所以，所以， 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设出切点，根据直线为曲线的一条切线，求出的关系，是解决本题的关键. 14. 某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87%.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月份的基础上提高4%，产品合格率比去年12月份增加0.4%，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格产品个数达到最大是两年内的第________月. 【答案】7 【解析】 【分析】根据给定条件，将每月产量及合格率依次排列分别构成等比数列和等差数列，再求出不合格品数，并借助单调性求解最大问题. 【详解】设从今年1月份起，每月的产量和产品的合格率都按题中的标准增长， 该工厂每月的产量、不合格率分别用、表示，月份用表示， 则，，， 则从今年1月份起，各月不合格产品数量为（万个）， ， 当时，，即，此时数列单调递增， 当且时，，即，此时数列单调递减， 即， 则当时，最大，所以该工厂的月不合格产品个数达到最大是今年的7月份. 故答案为：7 【点睛】关键点点睛：求出各月的不合格品数构成数列的通项是求解问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角所对的边分别为，且的面积. （1）求角A； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量数量积求得的值，再依据角A的范围即可求得角A的值； （2）先利用正弦定理和三角函数诱导公式将转化为关于角B的三角函数式，再利用正弦函数的图像性质即可求得的取值范围. 【小问1详解】 ∵，∴. ∵，∴，又∵，∴. 【小问2详解】 ∵， ∴ . ∵，∴，∴， ∴，∴， 即的取值范围为. 16. 设是等差数列，是等比数列.已知，，. （1）求和的通项公式； （2）数列和的项从小到大依次排列（相等项计两项）得到新数列，求的前50项的和. 【答案】（1） （2）3266 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据等差数列、等比数列的通项公式建立方程组，解之即可求解； （2）推出数列的前50项中含有数列的前6项且含有数列的前44项，结合分组求和法计算即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 则，即，解得， 所以. 【小问2详解】 当数列的前50项中含有数列的前5项时， 令，得，则第26项为64， 当数列的前50项中含有数列的前6项时， 令，得，则第48项为128； 所以数列的前50项中含有数列的前6项且含有数列的前44项， 故数列的前50项和为 . 17. 2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园､26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车､骑自行车和步行三种方式游园. （1）若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为，求的分布列及数学期望； （2）为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表： 游园方式 游园结果 观光车 自行车 步行 参观完所有展园 80 80 40 未参观完所有展园 20 120 160 用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2）0.4 【解析】 【分析】（1）根据题意结合超几何分布求分布列和期望； （2）根据题意结合全概率公式运算求解. 【小问1详解】 由题意知：所有可能取值为，则有： ，，， 可知的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：. 【小问2详解】 记事件A为“游客乙乘坐观光车游园”，事件为“游客乙骑自行车游园”，事件为“游客乙步行游园”，事件为“游园结束时，乙能参观完所有展园”， 由题意可知：，， 由全概率公式可得， 所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为0.4. 18. 已知函数. （1）若是函数的一个极值点，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）证明：（为自然对数的底数）. 【答案】（1） （2） （3）证明详见解析 【解析】 【分析】（1）由求得，验证后确定的值. （2）对进行分类讨论，根据在区间上的最小值不小于求得的取值范围. （3）将要证明的不等式转化为证明，结合（2）的结论来证得不等式成立. 【小问1详解】 ，定义域为， ，因为是的一个极值点， 所以. 此时，所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增，所以是的极小值点，符合题意， 所以. 【小问2详解】 因为在上恒成立，所以. 当时，在上恒成立， 在上单调递增，所以成立，符合题意. 当时，令，得， 令，得， 所以上单调递减，在上单调递增， 当时，，这与矛盾. 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 要证明，即证明，即证明， 由（2）得时，在上单调递增， 所以， 从而原不等式成立. 【点睛】求解函数在区间上的最值的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间来求得最值. 19. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2）① 证明见解析；②存在； 【解析】 【分析】（1）设，由题意可得，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解； （2）设点，其中且. （ⅰ）由可知三点共且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，进而表示出，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由得，，进而表示出，化简计算即可；（ii）由（ⅰ）可知三点共线，且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，计算化简可得，结合由内切圆性质计算即可求解. 【小问1详解】 设点，由题意可知， 即， 经化简，得的方程为， 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线． 【小问2详解】 设点，其中且， （ⅰ）由（1）可知的方程为， 因为，所以， 因此，三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程，得， 则， 由（1）可知， 所以 ， 所以为定值1； （法二）设，则有，解得， 同理由，解得， 所以， 所以定值1； 由椭圆定义，得， ， 解得，同理可得， 所以 ． 因为，所以的周长为定值． （ⅱ）当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线， 根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且， （法一）设直线的方程为，联立的方程， 得， ，（*） 因为， 所以 ， 将（*）代入上式，化简得， （法二）设，依条件有，解得， 同理由，解得， 所以． 由双曲线的定义，得， 根据，解得， 同理根据，解得， 所以 ， 由内切圆性质可知，， 当时，（常数）． 因此，存在常数使得恒成立，且． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$