8.4 乘法公式（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版2024）

8.4 乘法公式（2） 第2课时　平方差公式 学习目标 1. 能推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算； 2. 通过几何图形面积的计算，了解平方差公式的几何意义，感悟数形结合的思想. 2 知识回顾 说一说完全平方公式的内容和特点. 知识回顾 完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2. 左边：两个数的和（或差）的平方； 右边：这两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍. 4 问题情境 计算：(1) (a＋b)(a－b)； (2) (mn＋3)(mn－3). 解：(1) (a＋b)(a－b) ＝a2－ab＋ba－b2 ＝a2－b2； (2) (mn＋3)(mn－3) ＝m2n2－3mn＋3mn－9 ＝m2n2－9. 从上面的计算中，你有什么发现？ 你能运用符号表示上述多项式乘多项式的共同特征吗？ 5 数学活动 1. 如图(1)，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b (b＜a) 的小正方形，计算剩余部分的面积. (1) a2－b2 6 数学活动 2. 如图(2)，将剩余部分剪开拼成一个长方形. 计算这个长方形的面积. (2) (a＋b)(a－b) 7 数学活动 3. 由上述操作，你能得到怎样的等式？ (2) (1) a2－b2 (a＋b)(a－b) 8 数学活动 4. 你还有其他方法计算剩余部分的面积吗？ (1) b a－b 两个相同的梯形的面积和: (a＋b)(a－b) 你有什么发现？ 9 归纳与总结 平方差公式： (a＋b) (a－b)＝a2－b2. 相同项 相反项 这两数的平方差 平方差公式有什么特点？ 左边：两个数的和与这两个数的差的积； 右边：这两个数的平方差. 记忆口诀： 一同一反， 平方相减. 完全平方公式、平方差公式通常叫做乘法公式. 10 例题讲解 (1) (5x＋y)(5x－y)； 例1 用平方差公式计算： 解：(1)原式＝(5x)2－y2 ＝25x2－y2； (a＋b) ( a－b)＝a2－b2 (2) (m＋2n)(2n－m)； 相同项 相反项 解：(2)原式＝(2n＋m)(2n－m) ＝(2n)2－m2 ＝4n2－m2； 11 例题讲解 (3) (3y－x)(－x－3y). 例1 用平方差公式计算： 相同项 相反项 解：(3)原式＝(－x＋3y)(－x－3y) ＝(－x)2－(3y)2 ＝x2－9y2. 在运用平方差公式时，要分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，不要混淆. 公式中的字母a、b既可以表示单项式又可以表示多项式. 12 新知巩固 1. 下面的计算是否正确？如有错误，请改正. (1) (x＋2)(x－2)＝x2－2； (2) (x＋y)(y－x)＝x2－y2； × × x2－22 y2－x2 (3) (x－1)(x＋1)＝x2－1. × － 13 新知巩固 2. 用平方差公式计算： (1) (1＋x)(1－x)； (2) (a＋4b)(a－4b)； a2－16b2 1－x2 (3) (3＋a)(3－a)； (4) . 9－a2 ＝4y2－x2 14 新知巩固 3. 填空： (1) (x＋_____)(x－_____)＝x2－25； 5 (2) (m＋_____)(m－_____)＝m2－36n2； (3) (a＋2b)(_________)＝4b2－a2； (4) (_________)(1－x2)＝x4－1. 52 5 (6n)2 6n 6n － 2b－a － －x2＋1 －x2－1 15 例题讲解 例2 用平方差公式计算： (1) 301×299； 解：(1) 301×299 ＝(300＋1)×(300－1) ＝3002－12 ＝89 999； (2) 20×1. (2) 20×1 ＝(20＋)(20－) ＝202－2 ＝400－ ＝399 16 新知巩固 用平方差公式的简便运算 ： (1) 1 004×996； 解：(1) 1 004×996 ＝(1 000＋4)×(1 000－4) ＝1 0002－42 ＝999 984；　　　 (2) 29×30 . (2) 29×30 ＝× ＝302－ ＝899. 17 拓展与提高 例3 两个连续偶数的平方差一定是4的倍数吗？为什么？ 公式逆用： a2－b2＝(a＋b) (a－b) 解：设两个连续偶数为2n、2n＋2(n是整数)，则有　 (2n＋2)2－(2n)2 ＝(2n＋2＋2n)×(2n＋2－2n) ＝(4n＋2)×2 ＝4(2n＋1)， 因为n是整数，所以2n＋1为奇数，所以4(2n＋1)是4的倍数， 所以两个连续偶数的平方差一定是4的倍数. 18 平方差公式的特点 平方差公式的几何意义 课堂总结 平方差公式的运用 当堂检测 基础过关 (3) (－5x－y)(5x－y )＝( )2－( )2＝__________； 1. 填空: (1) (y＋5x)(y－5x)＝( )2－( )2＝__________； (2) (y－5x)(5x＋y)＝( )2－( )2＝__________； y 5x y2－25x2 5x y y2－25x2 5x －y y2－25x2 (4) (－5－xy)(5－xy )＝( )2－( )2＝__________. －xy 5 x2y2－25 20 当堂检测 基础过关 2. 用平方差公式计算： (1) (2m－3n)(2m＋3n)； (2) (2a－5b)(5b＋2a)； 4a2－25b2 4m2－9n2 (3) (－2＋3x)(－2－3x)； (4) . 4－9x2 y2－x2 21 当堂检测 能力提升 1．乘积等于a2－b2的式子是(　　) A．(a＋b)(－a＋b) B．(－a－b)(a－b) C．(－a＋b)(－a－b) D．以上都不对 C 2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是(　　) A．(x－2y)(2y＋x)   B．(x－2y)(－2y＋x) C．(x＋y)(y－x)   D．(2x－3y)(3y＋2x) B 22 当堂检测 能力提升 4．已知a＋b＝2，a－b＝3，则a2－b2的值为 　6　⁠.  6 3．若(－5a＋M)(4b＋N)＝16b2－25a2，则M，N分别为 　6 ⁠.  4b，5a 5．若4x2－9y2＝10，4x＋6y＝4，则2x－3y的值为 　6　⁠. 5 23 当堂检测 能力提升 6．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再沿图中虚线剪开，拼成右边的平行四边形，这一过程可验证的等式为_____________________． a2－b2＝(a＋b)(a－b) 24 当堂检测 能力提升 7．先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x(2－x)，其中x＝. 解：(x＋1)(x－1)＋x(2－x) ＝x2－1＋2x－x2 ＝2x－1. 当x＝时，原式＝2×－1＝0. 25 当堂检测 能力提升 8．探究应用 (1)计算：① (a－2)(a2＋2a＋4)；② (2x－y)(4x2＋2xy＋y2)． 解：① (a－2)(a2＋2a＋4) ＝a3＋2a2＋4a－2a2－4a－8 ＝a3－8； ② (2x－y)(4x2＋2xy＋y2) ＝8x3＋4x2y＋2xy2－4x2y－2xy2－y3 ＝8x3－y3. 26 当堂检测 能力提升 (2)上面的整式乘法计算结果很简洁，通过观察写出一个新的乘法公式：_______________________________(请用含a，b的等式表示)． (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3 (3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是(　　) A．(a－3)(a2－3a＋9) B．(2m－n)(2m2＋2mn＋n2) C．(4－x)(16＋4x＋x2) D．(m－n)(m2＋2mn＋n2) C 27 当堂检测 能力提升 (4)直接用公式计算下列各式： ①(3x－2y)(9x2＋6xy＋4y2)；②(2m－3)(4m2＋6m＋9)． 解：① (3x－2y)(9x2＋6xy＋4y2)＝(3x)3－(2y)3＝27x3－8y3； ② (2m－3)(4m2＋6m＋9)＝(2m)3－33＝8m3－27. 28 2021 Blues 4800.0 $$