精品解析：广东省深圳市建文教育集团两学部2024-2025学年高三下学期2月第一次模拟数学试题

广东省建文教育集团两学部2月第一次模拟 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，2B用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解法化简集合，根据交集运算即可. 【详解】因为合， 所以， 故选：B 2. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦的倍角公式，代入即可求解. 【详解】根据余弦的倍角公式，可得. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了余弦的倍角公式的应用，其中解答中熟记余弦的倍角公式是解答的关键，属于基础题. 3. 点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对称关系求得，再由点到线距离公式求解； 【详解】设关于直线的对称点为， 由对称关系可得， 解得． 则点到直线：的距离为． 故选：C． 4. 已知函数是奇函数，则曲线在处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性求出，然后求解函数的导数，得到切线的斜率，然后求解切点坐标，得到切线方程． 【详解】由函数的定义域为，且是奇函数， 则，即，解得， 于是，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线的方程为：，即. 故选：B 5. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算法则化简计算即得. 【详解】由，可得. 故选：A. 6. 在平行六面体中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理可得答案． 【详解】. 故选：B. 7. 设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆标准方程可得，，，根据题意得或，结合图形，利用椭圆的定义求出的三边长，即可求得其面积 【详解】由椭圆：可得，， ， 因为上一点且在第一象限，则 由为等腰三角形，则可得或， 当时，， 此时的面积为：； 当时，，不合题意，舍去. 综上，可得的面积为. 故选：C． 8. 在正六棱柱中，，为棱的中点，以为球心，为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，设分别为的中点，连接，由题意可知球不与侧面及侧面相交，球与侧面交于点，与侧面交于点，然后分别判断与其余4个面的交线，求出球面与正六棱柱各个面所交的弧线的长度之和即可 【详解】因为球的半径为6，，所以球不与侧面及侧面相交， 设分别为的中点，连接， 则由题意可得， 所以， 所以球与侧面交于点，与侧面交于点， 在正六边形中，因为，所以， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以平面，且， 所以， 所以球与侧面的交线是以为直径的半圆， 同理可得球与侧面的交线是以为直径的半圆， 因为，所以球与上下底面的交线均为个半径为的圆， 所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查球与棱柱表面的交线问题，解题的关键是画出图形，根据题意找出球与各个面的交线，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点，，点在圆：上运动，则（ ） A. 直线与圆相离 B. 的面积的最小值为 C. 的最大值为 D. 当最小时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知，圆心为，半径为，直线的方程为即，利用点到直线的距离公式可判断；根据三角形的面积公式，结合圆的性质即可判断；利用圆的性质可判断；根据直线与圆相切和勾股定理可判断． 【详解】 对于A，已知点，，点在圆：上运动， 则圆心为，半径为，直线的方程为即， 则圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故A正确； 对于B，因为，点到直线的距离的最小值为，则面积的最小值为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，当最小时，直线与圆相切，此时，故D正确． 故选：ACD． 10. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线，则下列说法成立的是（ ） A. 圆上有两个点到直线的距离为 B. 圆上有三个点到直线的距离为 C. 圆上有三个点到直线的距离为 D. 圆上有四个点到直线的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】依题意可得圆心，半径为，圆心到直线的距离为，结合选项逐一判断即可． 【详解】圆的圆心，半径为， 圆心到直线的距离为； 又圆的半径为，得圆上有两个点到直线的距离为， 圆上有个点到直线的距离为，所以AD成立 故选：AD． 11. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. 椭圆上存在点，使得 C. 是椭圆上一点，若，则 D. 若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据题意直接得到和，进而得到，即可得到椭圆方程；对于B，判断与椭圆是否有公共点，即可判断是否存在满足题意的点；对于C，设，根据余弦定理得到，进而得到，结合三角形面积公式即可求解面积；对于D，设直线，将直线与椭圆方程联立，由韦达定理结合条件求解直线的斜率即可. 【详解】对于A，因为椭圆的长轴长为，所以，又因为椭圆的离心率， 所以，所以，所以椭圆，故A正确； 对于B，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上， 又因为方程组无解，故B错误； 对于C，设，则， 在中，由余弦定理可得 ，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，显然直线斜率不为0，设直线， 由，整理得：恒成立， 所以，依题意有， 得，所以，即， 同理可得，因为，所以，又因为，所以， 因为，所以，解得， 代入到，得，解得：， 所以直线的斜率为：，故D错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查几何与代数，涉及椭圆的标准方程､定义､性质､焦点三角形等，在处理焦点三角形问题时，往往结合椭圆的定义以及余弦定理来进行解决. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________；若，则________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】第一空，利用的解析式直接求解即可；第二空，分类讨论的取值范围，结合的解析式即可得解. 【详解】因为，所以； 因为， 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得. 综上：或； 故答案为：；或. 13. 已知集合，，若，且中恰有个整数元素，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用解不含参的一元二次不等式得，再利用函数方程根的分布，结合含参数的交集运算得，最后计算得结论． 【详解】集合或， 设，则函数的图象开口向上，而由知：对称轴． 因为中恰有个整数元素，所以方程有实数根， 令、是方程的两根，则， 所以（取），所以中恰有个整数元素为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为： 14. 一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现点数的和大于，则算过关. 则某人在这项游戏中最多能过_________关；他连过前三关的概率是___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】每关得到的最大点数为，令，利用作差法可求得数列单调性，由此可确定当时，，从而得到结论；分别计算该人通过第一、第二和第三关的概率，根据独立事件概率乘法公式可求得结果. 【详解】若每次抛掷一颗骰子都能得到最大点数点，则第关抛掷的点数和为， 令，则， 则当时，数列单调递增；当时，数列单调递减； 又，，， 当时，，则某人在这项游戏中最多能过关； 该人第一关所有可能的结果为，则通过第一关的概率； 该人第二关所有可能的结果有种，则不能过关的基本事件个数为的正整数解的个数，则有种， 通过第二关的概率； 该人第三关所有可能的结果有种，则不能过关的基本事件个数为的正整数解得个数，则有种， 通过第三关的概率； 连过前三关的概率. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. （1）求正三棱柱的表面积； （2）求证：平面平面； （3）求证：直线平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据多面体表面积求法求解. （2）证明出线面垂直，从而证明面面垂直； （3）证明出，从而证明出线面平行. 【小问1详解】 正三棱柱的侧面积为：，底面积为. 所以正三棱柱的表面积为：. 【小问2详解】 如图： 因为为等边三角形，为的中点，故， 又三棱柱为直三棱柱，故平面平面， 因为平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问3详解】 连接，交与点，连接. 因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以，又平面,平面， 所以平面. 16. 某单位组织名职工利用周末和节假日参加社会公益活动，活动内容是：到各社区宣传慰问，倡导文明新风；到指定的社区、车站、码头做义工，帮助哪些需要帮助的人，各位职工根据各自的实际情况，选择了不同的活动项目，相关系数据如下表所示： 宣传慰问 义工救助 总计 至岁 大于岁 总  计 （1）用分层抽样的方法在做义工救助的职工中随机抽取名，求在年龄大于岁的职工中，应该抽取几名？ （2）在（1）中抽取的名职工中，任取名，求选到的职工的年龄大于岁的数学期望． 【答案】（1）名； （2） 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样，样本中各层所占的比例等于总体中各层所占的比例，结合表中参加义工救助的人数，易求出答案． （2）由（1）的结论，求得概率得到随机变量的分布列，代入数学期望公式，即可得到答案． 【小问1详解】 因为参加义工救助的共有人，其中岁以上的共人，抽样比为， 故在做义工救助的职工中随机抽取名，在年龄大于岁的职工中，应该抽取名； 【小问2详解】 由（1）可得有三种可能，， 则, , 则随机变量的分布列为：             则  17. 已知的展开式中共有9项. （1）求的值； （2）求展开式中的系数； （3）求二项式系数最大的项. 【答案】（1） （2）112 （3） 【解析】 【分析】（1）利用二项式展开式中共有项可求得的值； （2）求出二项展开式的通项，令的指数为4，求出参数的值，代入通项即可得出结果； （3）根据二项式系数的性质可得二项式系数最大的项的项数，再由二项式定理得结论. 【小问1详解】 由题意得，解得. 【小问2详解】 由（1）可知展开式的通项为. 令，解得，则. 故展开式中的系数为112. 【小问3详解】 根据题意可得二项式系数最大的项为. 18. 设的内角所对边的长分别是，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角形中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式. 试题解析：因为，所以， 由余弦定理得， 所以由正弦定理可得. 因为，，所以，即. （2）解：由余弦定理得 因为，所以. 故 . 考点：正弦定理和余弦定理的应用． 19 已知，其中. （1）若是函数的极值点，求的值； （2）求的单调区间； （3）若在上的最大值是0，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）首先求得导函数，然后根据求得的值，再检验是极值点即可； （2）首先求得的零点值，然后分、、讨论函数的单调区间； （3）首先由（2）求得函数的最大值，再结合在上的最大值是0求得的取值范围即可． 【详解】（1）由题意得，因为是函数的极值点，所以， 即，当时，单调递减，当时，单调递增， 所以是函数极值点，即； （2）令， ①当时，与的变化情况如下表： 0 0 0 减 增 减 ∴的单调递增区间是，的单调递减区间是， ②当时，的单调递减区间是； ③当时，，与的变化情况如下表： 0 0 0 减 增 减 的单调递增区间是，的单调递减区间是， 综上，当时，的单调递增区间是，的单调递减区间是； 当时，单调递减区间是； 当，的单调递增区间是，的单调递减区间是； （3）由（2）可知当时，在的最大值是，但，所以不合题意， 当时，在上单调递减，可得在上的最大值为，符合题意， ∴在上的最大值为0时，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省建文教育集团两学部2月第一次模拟 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，2B用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是奇函数，则曲线在处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，若，则（ ） A. B. C D. 7. 设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在正六棱柱中，，为棱的中点，以为球心，为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点，，点在圆：上运动，则（ ） A. 直线与圆相离 B. 的面积的最小值为 C. 的最大值为 D. 当最小时， 10. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线，则下列说法成立的是（ ） A. 圆上有两个点到直线的距离为 B. 圆上有三个点到直线的距离为 C. 圆上有三个点到直线的距离为 D. 圆上有四个点到直线的距离为 11. 已知椭圆长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. 椭圆上存点，使得 C. 是椭圆上一点，若，则 D. 若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________；若，则________． 13. 已知集合，，若，且中恰有个整数元素，则实数的取值范围为__________． 14. 一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关. 则某人在这项游戏中最多能过_________关；他连过前三关的概率是___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点. （1）求正三棱柱的表面积； （2）求证：平面平面； （3）求证：直线平面. 16. 某单位组织名职工利用周末和节假日参加社会公益活动，活动内容是：到各社区宣传慰问，倡导文明新风；到指定的社区、车站、码头做义工，帮助哪些需要帮助的人，各位职工根据各自的实际情况，选择了不同的活动项目，相关系数据如下表所示： 宣传慰问 义工救助 总计 至岁 大于岁 总  计 （1）用分层抽样的方法在做义工救助的职工中随机抽取名，求在年龄大于岁的职工中，应该抽取几名？ （2）在（1）中抽取名职工中，任取名，求选到的职工的年龄大于岁的数学期望． 17. 已知的展开式中共有9项. （1）求的值； （2）求展开式中的系数； （3）求二项式系数最大的项. 18. 设的内角所对边的长分别是，且. （1）求的值； （2）求的值. 19. 已知，其中. （1）若是函数的极值点，求的值； （2）求的单调区间； （3）若在上的最大值是0，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$