湖南省长沙市第一中学2025届高三月考（六）数学试卷

长沙市一中2025届高三月考试卷（六） 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. S C. T D. R 2. 若复数满足，则可以为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，．若，则实数的值是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 4. 权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治，经济，文化方面的大量信息．“环权”类似于砝码（如下图），用于测量物体质量．已知九枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则的前8项和为（ ） A. 194 B. 193 C. 192 D. 191 5. 若函数有零点，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（ ） A. 20 B. 10 C. D. 7. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增 9. 如图，双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交双曲线的右支于、两点，且，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 与面积之比为 C. 与周长之比为 D. 与内切圆半径之比为 10. 如图，点是以为顶点的正方形边上的动点，角以为始边，为终边，定义，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 11. 二项式的展开式中，项的系数与项的系数之比为____________. 12. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______． 13. 已知正项等比数列的公比不为1，若在的前20项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等比数列的概率为____________.（用最简分数作答） 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 已知的面积为S，且． 求的值； 若，，求的面积S． 15. 如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，． （1）记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求； （2）设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值． 16. 已知为抛物线上的动点，为圆上的动点，若的最小值为． （1）求的值 （2）若动点在轴上方，过作圆的两条切线分别交抛物线于另外两点，，且满足，求直线的方程． 17. 已知函数. （1）若与直线相切，求的值； （2）若存在，使得. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 18. 在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中.而在 维空间中，单位立方体的顶点坐标可表示为 维坐标，其中.在 维空间中，设点，定义 维向量 ，数量积，为坐标原点，即. （1）在3维空间单位立方体中任取两个不同顶点，求的概率； （2）在维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量. （i）当时，若最大，求 的值； （ii）求的分布列及期望值. 长沙市一中2025届高三月考试卷（六） 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 【8题答案】 【答案】BCD 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BCD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【14题答案】 【答案】(1) (2)3 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）2 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii）分布列： 0 1 … … … … 数学期望为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $