精品解析：山东省菏泽市定陶区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

八年级数学期末样题 注意事项：本试卷满分120分．考试时间120分钟．请将答案填写在答题卡相应位置． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称． 故选：B． 2. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用SSS证得三角形全等得出答案即可． 【详解】解：∵、分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 3. 在某次射击训练过程中，小明打靶10次的成绩（环）如表所示：则小明射击成绩的众数和方差分别为（　　） 靶次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 成绩（环） 8 9 9 10 10 7 8 9 10 10 A. 10和0.1 B. 9和0.1 C. 10和1 D. 9和1 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据众数的定义以及方差的公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，10环出现的次数最多，为4次，故众数为10； 这10次的成绩的平均数为：， 故方差为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了众数和方差．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式的值为0，则x的值为 D. 分式是最简分式 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的性质，分式值为0的条件以及最简分式， 根据各自的定义以及条件和性质一一判断即可． 【详解】解：．是整式不是分式，故该选项不符合题意； ．中x，y都扩大3倍，变成，分式的值扩大了3倍，故该选项不符合题意； ．分式的值为0，则且，解得，故该选项符合题意； ． ，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 能够说明命题“设a，b为任何非零实数，若，则”是假命题的一组整数的a，b值依次为（ ） A. 2，1 B. ， C. ， D. 1， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据绝对值定义、有理数的大小比较法则以及假命题的概念逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，，∴不能说明若，则”是假命题，故不符合题意； B．∵，∴不能说明若，则”是假命题，故不符合题意； C．∵，，∴能说明若，则”是假命题，故符合题意； D．∵，∴不能说明若，则”是假命题，故不符合题意； 故选C． 6. 已知点关于x轴的对称点和点关于y轴的对称点相同，则（ ） A. 8 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标是． 先求出关于x轴的对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标是，再根据点关于 x 轴的对称点和点关于 y 轴的对称点相同，列出关于a，b的方程，从而得到a，b的值，即可求出． 【详解】解：∵关于x轴的对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标是， 又∵点关于 x 轴的对称点和点关于 y 轴的对称点相同， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 7. 如图，BE、CF都是的角平分线，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可． 【详解】∵BE、CF都是△ABC的角平分线， ∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）， =180°-2（∠DBC+∠BCD） ∵∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）， ∴∠A=180°-2（180°-∠BDC） ∴∠BDC=90°+∠A， ∴∠A=2（130°-90°）=80°， 故选：D． 【点睛】此题考查三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键． 8. 《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据单价总价数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设用6210文能买x株椽， 由题意得：， 故选：C． 9. 如图，已知锐角∠AOB，根据以下要求作图． （1）在射线OA上取点C和点E，以点O为圆心，OC，OE的长为半径画弧，分别交射线OB于点D，F； （2）连接CF，DE交于点P． 则下列结论错误的是（ ） A. CE＝DF B. 点P在∠AOB的平分线上 C. PE＝PF D. 若∠AOB＝60°，则∠CPD＝120° 【答案】D 【解析】 【分析】利用作法得OE＝OF，OC＝OD，所以CE＝DF，于是可对A选项进行判断；证明△ODE≌△OCF得到∠OED＝∠OFC，再证明△PCE≌△PDF；连接OP，证明△OCP≌△OPD得到∠COP＝∠DOP，则可对B选项进行判断；根据△PCE≌△PDF则可对C选项进行判断；若∠AOB＝60°，利用△OCP≌△OPD得到∠OCP＝∠ODP，所以当DE⊥OD，CF⊥OE时，∠CPD＝120°，则可对D选项进行判断． 【详解】解：A、由作法得OE＝OF，OC＝OD， ∴OE﹣OC＝OF﹣OD， 即CE＝DF， 所以A选项的结论正确； B、连接OP，如图， 在△ODE和△OCF中， ， ∴△ODE≌△OCF（SAS）， ∴∠OED＝∠OFC， 在△PCE和△PDF中， ， ∴△PCE≌△PDF（AAS）， ∴PC＝PD， 在△OCP和△OPD中， ， ∴△OCP≌△OPD（SSS）， ∴∠COP＝∠DOP， 所以B选项的结论正确； C、由△PCE≌△PDF（AAS）， ∴PE＝PF， 所以C选项的结论正确； D、若∠AOB＝60°， ∵△OCP≌△OPD， ∴∠OCP＝∠ODP， ∴当DE⊥OD，CF⊥OE时，∠CPD＝120°， 所以D选项的结论错误． 故选：D． 点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质． 10. 如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点．∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q，若∠A=48°，则∠BQC的度数为（　　） A. 138° B. 114° C. 102° D. 100° 【答案】C 【解析】 【分析】设∠ABC＝a°，根据外角定理可知，∠ACD＝∠A＋∠ABC＝48°＋a°，∵CM平分∠ACD，∴∠ACM＝∠ACD＝24°＋°，而根据三角形内角和等于180°可知，∠ACB＝180°－∠A－∠ABC＝132°－a°，故∠BCM＝∠ACB＋∠ACM＝156°－°，∵△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，BM平分∠ABC，∴∠BCM＝∠BCN＝156°－°，∠CBN＝∠CBM＝∠ABC＝°，∵∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC＝∠NBC＝°，∠QCB＝∠NCB＝78°－°，故根据根据三角形内角和等于180°，∠BQC＝180°－∠QCB－∠QBC，未知数抵消，求出∠BQC的值. 【详解】设∠ABC＝a°，根据外角定理可知，∠ACD＝∠A＋∠ABC＝48°＋a°，∵CM平分∠ACD，∴∠ACM＝∠ACD＝24°＋°，而根据三角形内角和等于180°可知，∠ACB＝180°－∠A－∠ABC＝132°－a°，故∠BCM＝∠ACB＋∠ACM＝156°－°，∵△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，BM平分∠ABC，∴∠BCM＝∠BCN＝156°－°，∠CBN＝∠CBM＝∠ABC＝°，∵∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC＝∠NBC＝°，∠QCB＝∠NCB＝78°－°，故根据根据三角形内角和等于180°，∠BQC＝180°－∠QCB－∠QBC＝180°－78°＋°－°＝102°，故答案选C. 【点睛】本题主要考查了角平分线的基本性质、对称轴图形的基本性质以及三角形的基本性质，解本题的要点在于角的转化，利用已知角来求出未知角. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知一组数据，x，3，，6的中位数是1，则这组数据的平均数为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的定义，求一组数据的平均数， 根据中位数的定义得出，再根据平均数的计算方法计算即可． 【详解】解：∵一组数据，x，3，，6的中位数是1， ∴， 则这组数据为：，，1，3，6， ∴这组数据的平均数为：， 故答案为：1． 12. 若，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握转化思想成为解题的关键． 设，则，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：设，则， 所以． 故答案为：10． 13. 若分式方程有增根，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程中增根的运用，熟练掌握相关方法是解题关键．首先将分式方程去掉分母转化为整式方程，根据分式方程有增根进一步得出整式方程的解，由此代入整式方程求出a的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程有增根 ∴， ∴， 解得：， 故答案为：2． 14. 如图，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．若的面积等于面积的一半，则______s． 【答案】5.5或9.5 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键．根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答． 【详解】解：如图，当P在上， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴； 当P在上时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当t为5.5或9.5时，的面积等于面积的一半． 故答案为：5.5或9.5． 15. 如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质；连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值． 故答案为：． 16. 观察下列一组数：2，，，……，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键．由题意得： ， ， ，根据题，可得，，由此可得，即可求解． 【详解】解：由题意，得，，， 因为， 所以， 所以， 所以 因为， 所以， …， 所以， 所以． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）原分式方程无解． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程． （1）方程两边同乘最简公分母，化成一元一次方程求解，最后检验即可得出答案． （2）方程两边同乘最简公分母，化成一元一次方程求解，最后检验即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 解得 ， 经检验，当时，， 是原分式方程的根； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 解得， 经检验，当时，， 是原分式方程的增根， 原分式方程无解． 18. 先化简再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 19. 通过学习第5章《几何证明初步》知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下： 已知：∠A，∠B，∠C是的三个内角． 求证：． 证明：延长BC，过点C作． ∴，． ∵， ∴． （1）小明的证明过程依据有哪些？（写两条即可） （2）请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】（1）两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角的定义 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）过点C作，利用平行线的性质，可得出，，结合平角等于，即可证出； （2）过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出． 【小问1详解】 证明：延长BC，过点C作． ∴(两直线平行，内错角相等)， (两直线平行，同位角相等)． ∵(平角的定义)， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示， 过点A作直线， ∴，∠4=∠C(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，牢记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 20. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 【答案】（1）30天 （2）225000元 【解析】 【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意列出方程，求解即可； （2）先计算出甲乙两队合作的天数，再计算费用即可． 【小问1详解】 解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得： ， 解得：x＝30． 经检验，x＝30是原分式方程的解． 答：这项工程的规定时间是30天． 【小问2详解】 该工程由甲、乙队合做完成，所需时间：1÷（天）， 则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）． 答：该工程的费用为225000元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答． 21. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，过作于点，，交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，．由角平分线的性质可知，由垂直平分线的性质可知，利用证明，即可证得． 【详解】证明：如图，连接，． 平分，，， ． 垂直平分， ， ， ． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂直平分线的性质定理及全等三角形的判定及性质，掌握相关性质及定理是解决问题的关键． 22. 如图，为等边三角形，D为边延长线上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）求证：． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，，，即可证明； （2）证明，即可得到； （3）延长到F，证明，，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵，为等边三角形， ，，. ∴， ∴. ； 【小问2详解】 ．理由如下： ∵， ∴. 又， ∴， ∴. 【小问3详解】 延长到F， ∵ ∴， ∵， ∴. 又∵. ∴． 23. 某年级为了解甲、乙两班同学对防火知识的掌握情况，对他们进行了知识测试．现随机抽取甲、乙两班各10名学生的测试成绩（百分制）进行整理描述和分析，成绩得分用x表示，共分成四组：A组（）；B组（）；C组（）；D组（）． 下面给出了部分信息：甲班10名学生的成绩为90，81，90，86，99，95，96，100，89，84． 乙班10名学生的成绩在C组中的数据为90，94，94． 甲、乙两班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 甲班 乙班 平均数 91 91 中位数 90 m 众数 n 100 方差 52 50.4 乙班抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中______；______；______； （2）甲、乙两班各50人参加了此次知识测试，请估计参加竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？ （3）分别运用表中的四个统计量，综合分析四方面因素，判断甲、乙两班中哪个班级的学生掌握的相关知识较好． 【答案】（1）40，94，90； （2）65人； （3）乙班学生成绩掌握相关知识较好，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数和方差的定义，利用样本估计总体，掌握相关知识点是解题关键． （1）先求出乙班C组所占百分比，求出，再根据中位数和众数的定义，求出、的值即可； （2）用甲、乙两班人数乘以抽取学生中成绩优秀人数的占比，即可得到答案； （3）根据平均数、中位数、众数和方差的意义分析即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，乙班10名学生的成绩在C组中的有3人， C组所占百分比为， ，即； 乙班10名学生的成绩的中位数为5、6名成绩的平均数，且、两组有3人，C组有3人， 乙班中位数； 甲班10名学生的成绩中分出现两次，次数最多， 甲班众数, 故答案为：40，94，90； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计参加竞赛活动成绩优秀（）学生人数是人； 小问3详解】 解：乙班学生成绩掌握相关知识较好， 理由：由表中的四个统计量可知，甲、乙两班的平均数相同，但乙班的中位数和众数均高于甲班，且乙班的方差更小，成绩更稳定，所以乙班学生成绩掌握相关知识较好． 24. 定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． （1）若两个三角形全等，它们__________（填是或否）友谊三角形； （2）如图1，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系； （3）如图2，在四边形中，，，求证：与是友谊三角形． 【答案】（1）是 （2），证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）在上取一点，使得，利用全等三角形的判定和性质即可解决问题． （3）如图2中，根据三角形的内角和可得，如图：延长到点G，连接，使，易证可得，再结合为公共边以及友谊三角形的定义即可证明结论． 【小问1详解】 解：全等三角形的对应边相等，对应角相等， 两个三角形全等，必有有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等， 若两个三角形全等，它们是友谊三角形， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：平分， ， ，，与是友谊三角形， ， 如图所示，在上取一点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 证明：如图，设与交于点， ，， ； 如图所示，延长到G，，连接 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵为公共边， ∴与是友谊三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学期末样题 注意事项：本试卷满分120分．考试时间120分钟．请将答案填写在答题卡相应位置． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（ ） A. B. C. D. 2. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 3. 在某次射击训练过程中，小明打靶10次的成绩（环）如表所示：则小明射击成绩的众数和方差分别为（　　） 靶次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 成绩（环） 8 9 9 10 10 7 8 9 10 10 A. 10和0.1 B. 9和0.1 C. 10和1 D. 9和1 4. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中x，y都扩大3倍，分式值不变 C. 分式的值为0，则x的值为 D. 分式是最简分式 5. 能够说明命题“设a，b为任何非零实数，若，则”是假命题的一组整数的a，b值依次为（ ） A. 2，1 B. ， C. ， D. 1， 6. 已知点关于x轴的对称点和点关于y轴的对称点相同，则（ ） A. 8 B. 2 C. D. 7. 如图，BE、CF都是的角平分线，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知锐角∠AOB，根据以下要求作图． （1）在射线OA上取点C和点E，以点O为圆心，OC，OE的长为半径画弧，分别交射线OB于点D，F； （2）连接CF，DE交于点P． 则下列结论错误的是（ ） A. CE＝DF B. 点P在∠AOB的平分线上 C. PE＝PF D. 若∠AOB＝60°，则∠CPD＝120° 10. 如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点．∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q，若∠A=48°，则∠BQC的度数为（　　） A. 138° B. 114° C. 102° D. 100° 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知一组数据，x，3，，6的中位数是1，则这组数据的平均数为______． 12. 若，则______． 13. 若分式方程有增根，则______． 14. 如图，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．若的面积等于面积的一半，则______s． 15. 如图，等腰三角形底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为_____． 16. 观察下列一组数：2，，，……，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足，则______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列分式方程： （1）； （2）． 18. 先化简再求值：，其中． 19. 通过学习第5章《几何证明初步》知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下： 已知：∠A，∠B，∠C是的三个内角． 求证：． 证明：延长BC，过点C作． ∴，． ∵， ∴． （1）小明的证明过程依据有哪些？（写两条即可） （2）请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 20. 某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 21. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，过作于点，，交的延长线于点．求证：． 22. 如图，等边三角形，D为边延长线上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）求证：． 23. 某年级为了解甲、乙两班同学对防火知识的掌握情况，对他们进行了知识测试．现随机抽取甲、乙两班各10名学生的测试成绩（百分制）进行整理描述和分析，成绩得分用x表示，共分成四组：A组（）；B组（）；C组（）；D组（）． 下面给出了部分信息：甲班10名学生的成绩为90，81，90，86，99，95，96，100，89，84． 乙班10名学生的成绩在C组中的数据为90，94，94． 甲、乙两班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 甲班 乙班 平均数 91 91 中位数 90 m 众数 n 100 方差 52 504 乙班抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中______；______；______； （2）甲、乙两班各50人参加了此次知识测试，请估计参加竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？ （3）分别运用表中的四个统计量，综合分析四方面因素，判断甲、乙两班中哪个班级的学生掌握的相关知识较好． 24. 定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． （1）若两个三角形全等，它们__________（填是或否）友谊三角形； （2）如图1，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系； （3）如图2，在四边形中，，，求证：与友谊三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$