精品解析： 安徽省安庆市潜山市北片学校联考2024-2025学年上学期九年级第二次质量调研(二模)数学试题

2024-2025学年度第一学期九年级第二次质量调研 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象关于y轴对称，则m的值（ ） A. B. C. D. 或3 3. 反比例函数上有，，三点，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 不确定 4. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点O为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … －1 0 1 3 … y … 1 3 4 3 … 下列关于该二次函数的说法，错误的是( ) A. 当x＝4时，y＝1 B. 当x＜1时，y随x的增大而增大 C. 当x＝1时，y有最大值4 D. 当0＜x＜3时，y＞3 7. 如图，在正方形网格中，的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为24，则的长度为（ ） A. 3.5 B. C. 2 D. 3 10. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程无实数根．其中正确结论的是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，则的值应取_________． 12. 如图，已知点A是反比例函数在第四象限内图象上的点，AB⊥x轴，垂足为点B，若S△AOB=1，则k的值为__________． 13. 如图，在纸板中，AC=8，BC=4，AB=10，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是___． 14. 关于x的二次函数的图象经过点． （1）______ （2）若关于x的二次函数的图象在内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是______ 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 已知线段a、b、c满足，且．求a、b、c的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在平面直角坐标系中，抛物线，若，为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为． （1）当时，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 18. 如图，是的高，，，，E是边上一点，且，连接，求． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是射线BC上的一个动点（点P不与点B重合），连接AP，DP，E是线段AP上的一点，且，连接BE． （1）求证：． （2）求证：BE⊥AP． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形． （2）以原点O为位似中心，位似比为2∶1，在y轴的左侧画出将放大后的，并求出的面积． 六、（本题满分12分） 21. 如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）过点B作轴且，连接，求的面积． 七、（本题满分12分） 22. 2022 年亚运会即将在杭州召开， 某网络经销商购进了一批以亚运会为主题的文化衫进行销售， 文化衫进价为 40元/件． 当售价为50元/件时， 销售量为500件． 在销售过程中发现： 售价每上涨1元销售量就减少10件． 设销售单价为元/件， 销售量为件． （1） 写出与的函数表达式 （不要求写出自变量的取值范围）． （2） 当销售单价为多少元时， 销售总利润为8000元? （3） 若每件文化衫的利润不超过， 要想获得总利润最大， 每件文化衫售价为多少元? 并求出最大利润． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接． （1）观察、猜想 观察图1，猜想 ， （2）探究、说理 把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 （3）拓展、思考 在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期九年级第二次质量调研 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：A． 2. 二次函数的图象关于y轴对称，则m的值（ ） A. B. C. D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由题意可得，，求解即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象关于y轴对称， ∴，， ∴， 故选：B． 3. 反比例函数上有，，三点，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数解析式可得反比例函数图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小，再结合题意分析即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数上有，，三点， ∴反比例函数图象在第一、三象限，且每个象限内，随着的增大而减小， 当，，在同一象限时，由可得， 当，，不在同一象限时，，，之间的大小关系不能确定， 故选：D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以点O为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据关于原点位似的关系，将点横纵坐标都乘以即可，熟练掌握位似变换的规律是解此题的关键． 【详解】解：∵以点O为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，， ∴点C坐标为，即， 故选：C． 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质与一次函数的图象与性质逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，，互相矛盾，故不符合题意； B、由一次函数的图象可得，，互相矛盾，故不符合题意； C、由一次函数的图象可得，，由反比例函数图象可得，故符合题意； D、由一次函数的图象可得，，由反比例函数图象可得，互相矛盾，故不符合题意； 故选：C． 6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … －1 0 1 3 … y … 1 3 4 3 … 下列关于该二次函数的说法，错误的是( ) A. 当x＝4时，y＝1 B. 当x＜1时，y随x的增大而增大 C. 当x＝1时，y有最大值4 D. 当0＜x＜3时，y＞3 【答案】C 【解析】 【分析】由表格图可知，拋物线的对称轴为直线x=，可判断A、C选项，由表格图特点可判断选项B、D． 【详解】解：A、由表格图可知，拋物线的对称轴为直线x==，所以当x＝4时，y＝1，故此选项正确，不符合题意； B、由表格图可知，当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项正确，不符合题意； C、因为拋物线的对称轴为直线x=，所以当x＝1时，y不是最大值，故此选项错误，符合题意； D、由表格图可知，当0＜x＜3时，y＞3，故此选项正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是仔细观察表格数据确定出对称轴． 7. 如图，在正方形网格中，的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、求角的正切值，取格点，连接，设每个小正方形的边长为1，由勾股定理结合勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，再由正切的定义计算即可得解． 【详解】解：如图：取格点，连接， ， 设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， 故选：B． 8. 如图，，的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质：所得的对应线段成比例，熟练掌握相关知识是解题的关键.过点D作交于F，证明，由得到，则，则，由得到，则， 然后计算的值． 【详解】解：如图，过点D作交于F， ∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴=， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 故选：C． 9. 如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为24，则的长度为（ ） A. 3.5 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，由矩形的性质可得，，，求出，再由勾股定理结合折叠的性质可得，，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵在长方形中，， ∴，，， ∵的面积为24， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， 故选：B． 10. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程无实数根．其中正确结论的是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根． 【详解】解：①抛物线图象开口向上， ， 对称轴在直线轴左侧， ，同号，， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故①正确． ②， 当时，由图象可得当时，，即， 当时，，由图象可得时，，即， ，即，故②正确． ③，， ∵， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，故③错误． ④抛物线的顶点坐标为， ， ， 无实数根．故④正确， 综上所述，①②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，则的值应取_________． 【答案】10 【解析】 【分析】据题意可知此函数的对称轴为x=1，把x=1代入对称轴公式x=，得，解方程可求k． 【详解】解：∵当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小， ∴函数的对称轴为x=1， 根据对称轴公式x=，即， 解得k=10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数的图象的增减性是解题的关键． 12. 如图，已知点A是反比例函数在第四象限内图象上的点，AB⊥x轴，垂足为点B，若S△AOB=1，则k的值为__________． 【答案】﹣4 【解析】 【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|． 【详解】解：∵点A是反比例函数在第四象限内图象上的点，AB⊥x轴，垂足为点B， ∴， ∴ 又∵函数图象位于二、四象限， ∴，即 ∴k=﹣4 故答案为﹣4． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 13. 如图，在纸板中，AC=8，BC=4，AB=10，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】分四种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP长的取值范围． 【详解】如图所示，过P作PD//AB交BC于点D或作PE//BC交AB于点E， 则有△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB， 此时0<AP<8； 如图所示，过点P作∠APF=∠B交AB于点F，则△APF∽△ABC， 此时0<AP≤8； 如图所示，过点P作∠CPG=∠CBA交AB于G，则△CPG∽△CBA， ∴， 当点G与点B重合时，CG=CB， ∴CB2=CP•CA， 即42=8CP， ∴CP=2， ∴AP=8-2=6， 此时6≤AP<8， 综上，6≤AP<8， 故答案为：6≤AP<8． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确进行分类讨论，准确画出相应图形，灵活掌握相似三角形的性质是解题的关键． 14. 关于x的二次函数的图象经过点． （1）______ （2）若关于x的二次函数的图象在内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是______ 【答案】 ①. 1 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）找到抛物线与直线只有一个交点时，m的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得； 故答案为：1； （2）∵， ∴， ∴当时，抛物线与直线只有一个交点， 当时，， 当时，， ∴当时，抛物线与直线只有一个交点， 综上，当或时，抛物线与直线只有一个交点， 故答案为：或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂，根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 16. 已知线段a、b、c满足，且．求a、b、c的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，，，结合求出的值即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在平面直角坐标系中，抛物线，若，为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为． （1）当时，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的对称轴，解一元一次方程，二次函数的性质，利用抛物线增减性结合对称轴列不等式，掌握抛物线的性质和对称轴公式是解题关键． （1）由题意可得抛物线的对称轴为，再利用抛物线的对称轴公式可得的值； （2）对于任意的，随的增大而减小，分类讨论和时的取值范围，当时不能满足，都有，当时可以满足对于，都有的条件，使得对称轴，从而可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为，且， 对称轴为：， 即， 解得． 【小问2详解】 解：由题意可得，对于任意的，随的增大而减小， ①当时，抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴的左侧满足题意，而在对称轴的右侧都有，故不符合题意； ②当时，对于任意的，随的增大而减小， 从而， 解得：． 18. 如图，是的高，，，，E是边上一点，且，连接，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、勾股定理逆定理，作于，解直角三角形得出，由勾股定理可得，，证明为直角三角形，且，结合题意可得，，再由勾股定理可得，解直角三角形得出，，从而可得，最后由余弦的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图：作于， ， ∵是的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，且， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是射线BC上的一个动点（点P不与点B重合），连接AP，DP，E是线段AP上的一点，且，连接BE． （1）求证：． （2）求证：BE⊥AP． 【答案】（1） 证明：∵，， ， ∴， 即． （2） 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∴． ∴． ∵， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，可得，即可解决问题； （2）证明，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是寻找相似三角形解决问题． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的图形． （2）以原点O为位似中心，位似比为2∶1，在y轴的左侧画出将放大后的，并求出的面积． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求；面积为． 【解析】 【分析】（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）先作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可得出放大后的，利用割补法求出三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 【点睛】本题主要考查了作轴对称图形和位似图形，求三角形的面积，解题的关键是作出三角形三个顶点的对应点． 六、（本题满分12分） 21. 如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）过点B作轴且，连接，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据的图象过得，则，根据的图象过得，则，根据图象过A，B两点得，进行计算即可得一次函数的解析式； （2）过A作交于N，根据，，且轴得，，根据得在中，，，根据勾股定理得，则，即可得的面积． 【小问1详解】 解：∵的图象过， ∴， ∴， ∵的图象过， ∴， ∴， ∵图象过A，B两点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：过A作交于N，如图 ∵，，且轴， ∴，， ∵， ∴ 在中，，，根据勾股定理得 ， ∴， ． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，勾股定理，添加辅助线及掌握反比例函数的性质，一次函数的性质，勾股定理是解题的关键 七、（本题满分12分） 22. 2022 年亚运会即将在杭州召开， 某网络经销商购进了一批以亚运会为主题的文化衫进行销售， 文化衫进价为 40元/件． 当售价为50元/件时， 销售量为500件． 在销售过程中发现： 售价每上涨1元销售量就减少10件． 设销售单价为元/件， 销售量为件． （1） 写出与的函数表达式 （不要求写出自变量的取值范围）． （2） 当销售单价为多少元时， 销售总利润为8000元? （3） 若每件文化衫的利润不超过， 要想获得总利润最大， 每件文化衫售价为多少元? 并求出最大利润． 【答案】（1）；（2）或元时；（3）售价为元时，利润最大，为元 【解析】 【分析】（1）根据题意，找到等量关系，求解即可； （2）根据总利润等于销售量乘以每件利润，求得每件利润和销售量，求解即可； （3）根据题意，求得销售单价的取值范围，设利润为元，求得与的关系式，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）设销售单价为元/件，上涨了元，此时销售量下降了件 则销售量 故答案为 （2）由题意可得： 化简得： 解得， 答：当销售单价为或元时， 销售总利润为8000元 （3）设总利润为元，则由题意可得：，解得 ∵，开口向下，对称轴， ∴时，随的增大而增大 又∵ ∴当时，最大，为元 答：售价为元时，利润最大，为元 【点睛】此题考查了二次函数的应用，涉及了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握二次函数的有关性质，并理解题意找到题中的等量关系，列出函数关系式和方程． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接． （1）观察、猜想 观察图1，猜想 ， （2）探究、说理 把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 （3）拓展、思考 在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围 【答案】（1），90 （2） （1）中的结论还成立，理由如下： 证明：如图2， 在中，， ∴， 在中，∴， ∴ 又， ∴ ∴ ∴ ∵是的中位线， ∴． 同理可得， ∴ ∵是的中位线， ∴， ∴ ∵， 由于，有， 由得： ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由平行得，则，由平行得到，则，由三角形中位线定理得到，故，，再根据平行导角即可； （2）由角正切得到，证明，则，由三角形中位线得到，，再根据平行和相似三角形的性质导角即可； （3）由题意可知，，则，由于是的中位线，则，继而可求取值范围． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵点F、G、H分别是的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴, 故答案为：，90； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可知，， ∴，即 ∴绕点C旋转时，当D点落在边上时，AD最小值为6；当点D落在延长线上时，最大值为14， ∵是的中位线，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，难度较大，综合性强，熟练掌握知识点和基本图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $