精品解析： 广东省梅州市五华县2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省梅州市五华县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. “敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段中，成比例线段的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4. 下列函数不是反比例函数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，且的面积为3，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 27 6. 若点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 若菱形的两对角线长分别是方程的两根，则该菱形的面积是（ ） A. 6 B. 12 C. 12或 D. 6 9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图所示是两棵小树在同一时刻的影子，可以断定这是_____投影． 12. 为了估计湖里有多少条鱼，有如下方案：从湖里捕上100条鱼做上标记，然后放回湖里，经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕上300条，若其中带有标记的鱼有20条，那么估计湖里大约有______条鱼． 13 若，则_____________________． 14. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为____________________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 15. 用适当的方法解方程：． 16. 在每个小正方形的边长均为的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上．在图的方格纸中画出以为一边的平行四边形，点、在小正方形的顶点上，平行四边形的面积为，并且直接写出平行四边形的周长；在图的方格纸中画出以为一边的菱形，点、在小正方形的顶点上，菱形的面积为． 17. 如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，若苗圃园的面积为，求x的值． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 18. 为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据统计图信息完成下列问题： （1）在这项调查中，共调查了 名学生； （2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“C”所在扇形圆心角度数为 ； （3）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，求所选2人都是选修“书法”的概率． 19. 如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． （1）求对应的函数解析式； （2）根据函数图象写出关于x的不等式的解集． 20. 如图是一个几何体的三视图，求该几何体的表面积． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 21. 【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高AB高为多少？ 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为81m，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 22. 如图1，已知点，，且a、b满足，的边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线经过C、D两点． （1）求k的值； （2）如图2，点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标； （3）如图3，以线段为对角线作正方形，点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省梅州市五华县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形进行解答即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形是一个长方形，在偏上的位置有一条横着的虚线，即看到的图形如下： 故选：B． 2. “敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如图： 共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3， ∴小刚、小强两人恰好选择同一场馆的概率, 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 3. 下列各组线段中，成比例线段的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 根据比例线段的定义对各选项进行判断． 解：A．由于，则四条线段不成比例线段，故不符合题意； B．由于，则四条线段不成比例线段，故不符合题意； C．由于，则四条线段不成比例线段，故不符合题意； D．由于，则四条线段成比例线段，故符合题意． 故选：D． 4. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．，符合反比例函数的定义； B．即，符合反比例函数的定义； C．，不符合反比例函数的定义； D．，符合反比例函数的定义； 故选C． 5. 如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，且的面积为3，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 18 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 由题意得与的相似比为，则与的面积比为，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴与的相似比为， ∴与的面积比为， ∵的面积为3， ∴的面积为27． 故选：D． 6. 若点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的增减性是解题的关键． 根据反比例函数解析式可得反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小，根据自变量的值，区分象限中函数值的大小，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数（为常数）， ∵， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小， 当时，，当时，， ∵， ∴， ∴， 故选：A ． 7. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， ∴ ∴ ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 8. 若菱形的两对角线长分别是方程的两根，则该菱形的面积是（ ） A. 6 B. 12 C. 12或 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、菱形的面积，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系、菱形的面积公式即可得． 【详解】解：设菱形的两条对角线的长分别为， 由一元二次方程的根与系数的关系得：， 则菱形的面积是， 故选：A． 9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与系数的关系是解答本题的关键． 根据根的判别式大于零且二次项系数不等于零列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．过点作轴于点，连接，设点的坐标为，点的坐标为，则，，再证出，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，然后求出，最后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， 由题意，设点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点为线段中点， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴与的边上的高相等， ∴， 又∵， ∴， 解得， 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图所示是两棵小树在同一时刻的影子，可以断定这是_____投影． 【答案】中心． 【解析】 【详解】试题分析：由同一点(点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影．分别连接小树的影子的顶端与树的顶端，并延长相交于一点，则说明为中心投影，交点即为点光源的位置.中心投影的特点就是物体影子的顶端与物体顶端连接延长线交于一点，并且影子和光源位于物体两侧.故答案为中心. 12. 为了估计湖里有多少条鱼，有如下方案：从湖里捕上100条鱼做上标记，然后放回湖里，经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕上300条，若其中带有标记的鱼有20条，那么估计湖里大约有______条鱼． 【答案】 【解析】 【分析】首先求得样本中有标记的鱼的频率是，再进一步求得鱼塘里鱼的总数． 【详解】解：(条)． 故答案为． 【点睛】此题考查了用频率估计概率，进一步求得总体的计算方法．关键是得到有标记的鱼的条数占总的鱼的条数的百分比． 13. 若，则_____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，根据比例关系设出参数是解题关键．根据a与b的比例关系可设，再代入代数式可得答案． 【详解】解：∵， ∴设，则． 故答案为：． 14. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，掌握相似三角形的判定与性质及“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”、三角形面积计算公式是解题的关键． 根据相似三角形的判定与性质及“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【详解】解：如图． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 15. 用适当的方法解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解方程．利用公式法解方程即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 16. 在每个小正方形的边长均为的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上．在图的方格纸中画出以为一边的平行四边形，点、在小正方形的顶点上，平行四边形的面积为，并且直接写出平行四边形的周长；在图的方格纸中画出以为一边的菱形，点、在小正方形的顶点上，菱形的面积为． 【答案】周长是，见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、勾股定理、平行四边形的判定、菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合平行四边形的判定画出平行四边形，再利用勾股定理求出的长，进而可得平行四边形的周长； （2）根据菱形的判定与性质画图即可． 【详解】解：图中，四边形即为所求； ， ∴平行四边形的周长是 图2中，菱形即为所求． ∵每个小正方形的边长均为， ∴每个小正方形的对角线均为， ∴，， ∴菱形的面积为． 17. 如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，若苗圃园的面积为，求x的值． 【答案】x的值为10 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．根据矩形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为． 根据题意得，， 解得， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故x的值为10． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 18. 为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据统计图信息完成下列问题： （1）在这项调查中，共调查了 名学生； （2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“C”所在扇形圆心角的度数为 ； （3）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，求所选2人都是选修“书法”的概率． 【答案】（1）40； （2）条形统计图补充完整见解析，； （3）． 【解析】 【分析】（1）由A的人数除以所占百分比即可； （2）用总人数减去其它项目的人数求得绘画人数，即可补全条形统计图，由“C”的人数除以调查的学生数再乘以360°即可得出扇形统计图中“C”所在扇形圆心角的度数； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，所选2人都是选修“书法”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 本题考查的是用列表法与树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【小问1详解】 解：依题意，共调查的学生人数为：（名）， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：依题意，绘画的人数（名）， 条形统计图补充完整如下： 扇形统计图中“C”所在扇形圆心角的度数为：， 故答案为：； 小问3详解】 解：依题意，把2人选修书法的记为A、B，1人选修绘画的记为C，1人选修摄影的记为D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所选2人都是选修“书法”的结果有2种，即， ∴所选2人都是选修“书法”的概率为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． （1）求对应的函数解析式； （2）根据函数图象写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数解析式为；反比例函数解析式为； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据图象及两个函数的交点坐标，直接写出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：∵直线与双曲线相交于两点． ∴， ∴，， ∴反比例函数解析式为，， ∵和在直线图象上， ， 解得， ∴一次函数解析式； 【小问2详解】 解：根据图象可知，不等式的解集为或． 20. 如图是一个几何体三视图，求该几何体的表面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由三视图判断几何体和几何体的表面积，掌握几何体的形体特征是正确计算的前提． 根据三视图及相应的数据，得出几何体形状以及底面、侧面形状和大小，进而计算出面积即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是三棱柱， 其表面积为：， 答：该几何体的表面积为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 21. 【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高AB高为多少？ 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为81m，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：12.8；问题二：；问题三：见详解 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质： 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 22. 如图1，已知点，，且a、b满足，边与y轴交于点E，且E为中点，双曲线经过C、D两点． （1）求k的值； （2）如图2，点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标； （3）如图3，以线段为对角线作正方形，点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 【答案】（1） （2），或，或， （3），不发生改变，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t的值即可； （2）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标； （3）连接、、，易证，故，，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ，解得：， ，， E为中点， ， 设， 又， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， 反比例函数的解析式为， 点P在双曲线上，点Q在y轴上， 设，， ①当为边时： 如图1，若为平行四边形， 则，解得， 此时，； 如图2，若为平行四边形， 则，解得， 此时，； ②如图3，当为对角线时， ，且； ，解得， ，； 综上：，或，或，； 【小问3详解】 解：的值不发生改变， 理由：如图4，连接、、， 是线段的垂直平分线， ， 四边形是正方形， ， 在与中， ， （）， ，, ， 四边形中，，而， 所以，， 因为，四边形内角和为， 所以， ， ， 即的值不发生改变． 【点睛】本题考查了非负数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的存在性问题，正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，四边形的内角和，直角三角形的性质等知识点，有一定的难度，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$