精品解析：2025年江西省中考模拟预测数学试题

江西省2025年寒假初中学考适应性考试 数学试题卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选，多选或未选均不得分． 1. 下面各式中，结果比3大且是整数的是（ ） A. B. C. D. 2. 央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，若的外角为，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点，，在同一直线上，四边形是平行四边形，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在等腰三角形中，，，点是边的中点，沿翻折三角形得到三角形，使点落在同一平面的点处，若，则的长度为（ ） A. 5 B. C. D. 6. 如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有3个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的6个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的四个小正方形组成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：______． 8. 1月18日，江西省统计局公布江西省2024年经济运行情况．统计显示，2024年江西省GDP超3.4万亿元．“3.4万亿”用科学记数法表示为______． 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设绳长尺，可列一元一次方程为_______ 10. 如图，是上的点，，与交于点，，，，的半径为______． 11. 如图，一个面积为2的正方形放在数轴上，其左端放在原点上，现让这个正方形翻转（数轴足够长），那么翻转3次后，这个正方形右端所对应的数字的小数部分为______． 12. 如图，O是等边三角形内一点，，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，当α为__________________度时，是等腰三角形． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）已知二次函数的值始终大于0，求a的取值范围． 14. 一次数学活动课上，江老师要求大家化简，下面是小西和小赣两位同学的运算过程： 小西： 原式 小赣： 原式 （1）小赣第一步的运算依据是______； （2）江老师认为小西和小赣两人都错，现请你写出正确的运算过程； （3）若a，满足，求这个式子的值． 15. “春节−−中国人庆祝传统新年的社会实践”已于12月4日列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录当中．春节期间，小鄱与其家人们准备在初二至初四期间前往A．外婆家、B．姨奶奶家、C．叔叔家拜年． （1）小鄱一家初二至初四时分别前往外婆家、姨奶奶家、叔叔家拜年是______事件； （2）小鄱一家在初二时前往外婆家拜年的概率．（用树状图或列表格的方法） 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于，两点，已知点的坐标为． （1）求函数的解析式和点的坐标； （2）求的面积． 17. 如图是的正方形网格，是格点三角形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中在上取一点，使得； （2）在图②中过点作边的垂线． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 近年来，江西省委、省政府十分重视生态环境保护，某公交公司为落实省委，省政府的政策要求，计划购买型和型两种型号的新能源公交车若干辆，若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需340万元；若购买型公交车3辆，型公交车4辆，共需820万元． （1）求购买型和型公交车每辆各需多少万元？（用二元一次方程解答） （2）若该公交公司购买型和型公交车的总费用不超过1640万元，共购买14辆，则该公交公司哪种购买型车的量最少？这种购车方案应花费多少钱呢？ 19. 如图，在中，，为的直径．与相交于点．过点作于点，延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 20. 踢正步是解放军战士的一门必修课．图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是它的示意图，已知，这名解放军战士的身高为，他到军帽的长为长的，为他的右臂（不含手掌），、分别为他的左腿和右腿，．（参考数据：，，结果保留到） （1）若点到的垂直距离为，，求他的腿的长度； （2）若（1）中条件不变，手臂的长度为，点到点的竖直距离为，，求军帽的长度． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 江西省从年开始，高考不分文理科，实行“”模式，其中“”指的是语文、数学、外语这门必选科目，“”指的是考生需要在物理、历史这门首选科目中选择门，“”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这门再选科目中选择门．某调查小组为了了解学生们的选科意向，对某学校的高一年级新生和初三年级学生中分别抽取名学生进行统计与调查．然后小组将调查得到的选科意向分成了五组：．物化生；．物化政；．物化地；．史政地；．史政生；．其他．将所得数据进行收集，整理、描述． 收集数据 高一年级名新生选科意向数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 组合 物化生 史政地 物化政 物化生 史政地 物生地 物化地 物化政 史政地 物化生 编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 组合 物化政 物生地 史政地 史政生 物化生 物化地 史生地 史政生 物化生 物化地 初三年级20名学生选科意向数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 组合 物化政 物化生 史政地 物化生 史地生 物化地 物化生 物化政 物生地 物化生 编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 组合 物化生 物化政 史政地 史政生 史生地 物化政 物化地 史政地 物化地 史生地 整理、描述数据 利用数据 （1）补全条形统计图； （2）求出扇形统计图中组合所对的圆心角度数； （3）已知该校高一年级人，初三年级有人． ①估计该校高一年级有意向选择物化地的人数； ②估计两个年级有意向选择历史方向（不含其他类型）的人数． （4）根据以上统计数据，为选科提出一条合理化的建议． 22. 课本再现 想一想 你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？ 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明 （1）已知：如图①，是的中位线．延长至点，使，连接． 求证：且． 知识运用 （2）如图②，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． （3）如图③，在四边形中，，，为的中点，，分别为，边上的点，若，，，求的长． 六、解答题（共12分） 23. 综合与实践 基础尝试 如图，抛物线经过，两点，与轴另一交点为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； 深入探究 （2）若将抛物线变为，为了使得与一直都有四个交点，求出的取值范围； 拓展运用 如果点是线段上一动点，过点的直线轴，分别交直线、抛物线于点、．连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止． （3）当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2025年寒假初中学考适应性考试 数学试题卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选，多选或未选均不得分． 1. 下面各式中，结果比3大且是整数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算以及算术平方根，立方根，二次根式的混合运算，根据以上知识逐项计算，结合题意选出比3大且是整数的选项，即可求解． 【详解】解：A. ，但不是整数，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，但不是整数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2. 央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、图案是中心对称图形，不符合题意； B、图案不是中心对称图形，符合题意； C、图案不是中心对称图形，不符合题意； D、图案不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 如图，已知，若的外角为，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质，作出合适的辅助线． 过点作，则，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点作，如图： 则， ，， ，， ． 故答案为：D． 4. 如图，点，，在同一直线上，四边形是平行四边形，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平角、平分线的定义等知识，由平行四边形的性质得，再由平角求出，然后由平分线的定义即可得出结果，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 点、、在同一直线上， ， 平分， ， 故选：C． 5. 如图，在等腰三角形中，，，点是边的中点，沿翻折三角形得到三角形，使点落在同一平面的点处，若，则的长度为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．记的交点为F，设，，则，，，由翻折的性质可知，，，，证明，得，由勾股定理得，得，； ；得，，可求，则，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解，，进而可求的值． 【详解】解：如图，记的交点为F，设，，则，，， 由翻折的性质可知，，，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 由勾股定理得，，即，整理得，； ，即，整理得，； 得，， ∴， ∴，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故选：B． 6. 如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有3个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的6个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的四个小正方形组成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，直接利用轴对称图形的性质得出答案．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，正确把握轴对称图形的定义是解题关键． 【详解】解：如图所示：在剩余的6个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的四个小正方形组成轴对称图形，符合题意的有：1，2，3，4共4个， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用提公因式法、平方差公式分解因式，先提取公因式，再用平方差公式来分解因式． 【详解】解： 故答案为：． 8. 1月18日，江西省统计局公布江西省2024年经济运行情况．统计显示，2024年江西省GDP超3.4万亿元．“3.4万亿”用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：3.4万亿， 故答案为：． 9. 《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设绳长尺，可列一元一次方程为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由绳长尺，则可知木长尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于的一元一次方程． 【详解】解：由绳长尺，则木长尺， 根据题意得：． 故答案为：． 10. 如图，是上的点，，与交于点，，，，的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 连接，易得，即可求出，连接，由垂径定理可得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，设交于点H，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵ ∴，即A是的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得． 故答案为：． 11. 如图，一个面积为2的正方形放在数轴上，其左端放在原点上，现让这个正方形翻转（数轴足够长），那么翻转3次后，这个正方形右端所对应的数字的小数部分为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，无理数的估算，根据题意可得结论． 【详解】解：∵正方形的面积为2，所以边长为， 第一次翻转后，正方形的右端为； 第二次翻转后，正方形的右端点移动到； 第三次翻转后，正方形的右端点移动到； ∵的整数部分为5， ∴右端点的小数部分为 故答案为： 12. 如图，O是等边三角形内一点，，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，当α为__________________度时，是等腰三角形． 【答案】110或140或125 【解析】 【分析】由旋转知是等边三角形，故可表示出，，然后分三类分别解方程即可． 【详解】解：∵将绕点C按顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上：或或． 故答案为：110、140或125． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质和三角形内角和定理等知识，表示出，，运用分类思想是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）已知二次函数的值始终大于0，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和二次函数的性质，运用相关知识求解即可． （1）根据负整数指数幂，零次幂和特殊角三角函数值计算各项后，再进行加减运算即可； （2）根据二次函数的值始终大于0列不等式组求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）由题意，得：， 解得． 14. 一次数学活动课上，江老师要求大家化简，下面是小西和小赣两位同学的运算过程： 小西： 原式 小赣： 原式 （1）小赣第一步的运算依据是______； （2）江老师认为小西和小赣两人都错，现请你写出正确的运算过程； （3）若a，满足，求这个式子的值． 【答案】（1）乘法分配律 （2） 原式 ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的性质，绝对值的非负性，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）观察小赣同学的解题过程，即可确定运算依据； （2）先算括号内同分母的分式减法，再算除法即可； （3）根据非负性，分别求出a，b的值，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：小赣第一步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：满足， ，， 原式． 15. “春节−−中国人庆祝传统新年的社会实践”已于12月4日列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录当中．春节期间，小鄱与其家人们准备在初二至初四期间前往A．外婆家、B．姨奶奶家、C．叔叔家拜年． （1）小鄱一家初二至初四时分别前往外婆家、姨奶奶家、叔叔家拜年是______事件； （2）小鄱一家在初二时前往外婆家拜年的概率．（用树状图或列表格的方法） 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，列表法或画树状图求随机事件的概率，清晰地列出所有可能的情况，并准确找出满足条件的情况，是解题的关键． （1）根据事件的分类，即可解答； （2）画树状图，找出所有等可能的结果，并从中找出满足要求的结果数，最后计算概率． 【小问1详解】 小鄱一家初二至初四时分别前往外婆家、姨奶奶家、叔叔家拜年是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，而初二时前往外婆家拜年的结果有2种． 所以初二时前往外婆家拜年． 16. 如图所示，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于，两点，已知点的坐标为． （1）求函数的解析式和点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式，联立两个函数解析式求出点Q坐标即可； （2）求出直线与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为，再进行计算即可． 【小问1详解】 解： 的图象相交于， ， 函数的解析式为． 将代入中，得， 直线函数的解析式为， ， 解得， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：直线函数的解析式为， 与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为． ． 17. 如图是的正方形网格，是格点三角形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中在上取一点，使得； （2）在图②中过点作边的垂线． 【答案】（1） 如图，点即为所求作； （2）如图，即为所求作． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，垂线等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）找出格点，相交于点点即为所求作； （2）找出格点连接，则即为所求作； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 近年来，江西省委、省政府十分重视生态环境保护，某公交公司为落实省委，省政府的政策要求，计划购买型和型两种型号的新能源公交车若干辆，若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需340万元；若购买型公交车3辆，型公交车4辆，共需820万元． （1）求购买型和型公交车每辆各需多少万元？（用二元一次方程解答） （2）若该公交公司购买型和型公交车的总费用不超过1640万元，共购买14辆，则该公交公司哪种购买型车的量最少？这种购车方案应花费多少钱呢？ 【答案】（1）型公交车每辆需108万元，型公交车需124万元 （2）购买型车6辆，型车8辆时购买型车的量最少，应花1640万元 【解析】 【分析】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题． （1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需340万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车4辆，共需820万元”可列出二元一次方程组解决问题； （2）设型公交车购买辆，则型公交车购买辆．，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1640万元”可列出不等式组探讨得出答案即可得到购车方案，利用一次函数的性质可求最少总费用． 【小问1详解】 解：设型公交车每辆需万元，型公交车需万元． 由题意得：，解得 所以，型公交车每辆需108万元，型公交车需124万元． 【小问2详解】 解：设型公交车购买辆，则型公交车购买辆． 由题意得： 解得： 所以，当时，购买型车的量最少，应花（万元） 答：购买型车6辆，型车8辆时购买型车的量最少，应花1640万元． 19. 如图，在中，，为的直径．与相交于点．过点作于点，延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握切线的判定． （1）根据已知条件证得即可得到结论； （2）如图，过点O作于点H，则，构建矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，则， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， 是的直径， ． 20. 踢正步是解放军战士的一门必修课．图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是它的示意图，已知，这名解放军战士的身高为，他到军帽的长为长的，为他的右臂（不含手掌），、分别为他的左腿和右腿，．（参考数据：，，结果保留到） （1）若点到的垂直距离为，，求他的腿的长度； （2）若（1）中条件不变，手臂的长度为，点到点的竖直距离为，，求军帽的长度． 【答案】（1）解放军战士的腿的长度为约为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）如图，过点作于点，根据，即可求解； （2）如图，过点作于点，先求得，进而求得， 根据军帽的长为长的，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点 ，， 解放军战士的腿的长度为. 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ，， ，又， ， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 江西省从年开始，高考不分文理科，实行“”模式，其中“”指的是语文、数学、外语这门必选科目，“”指的是考生需要在物理、历史这门首选科目中选择门，“”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这门再选科目中选择门．某调查小组为了了解学生们的选科意向，对某学校的高一年级新生和初三年级学生中分别抽取名学生进行统计与调查．然后小组将调查得到的选科意向分成了五组：．物化生；．物化政；．物化地；．史政地；．史政生；．其他．将所得数据进行收集，整理、描述． 收集数据 高一年级名新生选科意向数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 组合 物化生 史政地 物化政 物化生 史政地 物生地 物化地 物化政 史政地 物化生 编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 组合 物化政 物生地 史政地 史政生 物化生 物化地 史生地 史政生 物化生 物化地 初三年级20名学生选科意向数据统计表 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 组合 物化政 物化生 史政地 物化生 史地生 物化地 物化生 物化政 物生地 物化生 编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 组合 物化生 物化政 史政地 史政生 史生地 物化政 物化地 史政地 物化地 史生地 整理、描述数据 利用数据 （1）补全条形统计图； （2）求出扇形统计图中组合所对的圆心角度数； （3）已知该校高一年级人，初三年级有人． ①估计该校高一年级有意向选择物化地的人数； ②估计两个年级有意向选择历史方向（不含其他类型）的人数． （4）根据以上统计数据，为选科提出一条合理化的建议． 【答案】（1） 补全条形统计图如图所示； （2） （3）①高一年级有意向选择物化地的人数为人；②两个年级有意向选择历史方向（不含其他类型）的人数为人 （4）选科时要选择自己擅长且感兴趣的组合 【解析】 【分析】题目主要考查统计调查表及扇形统计图，结合图形，熟练掌握用样本估计总体是解题关键． （1）根据题中由统计表可得选择的有人，选择的有人，从而补全条形统计图； （2）结合扇形统计图用度乘以组合所占百分比即可； （3）①用乘以高一年级有意向选择物化地的所占分比即可；②用乘以两个年级有意向选择历史方向（不含其他类型）的人数所占比例即可； （4）合理即可． 【小问1详解】 解：由统计表可得选择组合的有人，选择的有人， 【小问2详解】 解：由题意得：，． 所以，组合所对的圆心角度数为． 【小问3详解】 解：①如图可知，抽查人中有人选择物化地， 所以，， 所以，高一年级有意向选择物化地的人数为（人）． ②高一年级抽查人中有人选择历史方向，初三年级抽查人中有人选择历史方向， 所以， 所以，两个年级有意向选择历史方向（不含其他类型）的人数为（人） 【小问4详解】 解：选科时要选择自己擅长且感兴趣的组合． 22. 课本再现 想一想 你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？ 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明 （1）已知：如图①，是的中位线．延长至点，使，连接． 求证：且． 知识运用 （2）如图②，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． （3）如图③，在四边形中，，，为的中点，，分别为，边上的点，若，，，求的长． 【答案】（1）证明：在与中， ， ， ，， ， 又， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 且； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用证明，于是可得，，由内错角相等两直线平行可得，进而可得，结合，可证得四边形为平行四边形，于是可得，，再结合，即可得出结论； （2）取的中点，连接，延长、交于点，由正方形的性质可得，由邻补角互补可得，进而可得，由为的中点可得，利用可证得，于是可得，，由三角形的中位线定理可得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，则，由此即可求出的长； （3）取的中点，连接，延长到点，使得，连接，由为的中点可得，利用可证得，于是可得，，过点作，交的延长线于点，连接，由邻补角互补可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，于是可得，由等角对等边可得，由勾股定理可得，于是可得，，在中，根据勾股定理可得，由三角形的中位线定理可得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，则，由此即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，取的中点，连接，延长、交于点， 四边形是正方形， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， ，且为的中点， ， ； （3）解：如图，取的中点，连接，延长到点，使得，连接， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 过点作，交的延长线于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， ，且为的中点， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理的证明及应用，全等三角形的判定与性质（、），平行四边形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，内错角相等两直线平行，线段中点的有关计算，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 六、解答题（共12分） 23. 综合与实践 基础尝试 如图，抛物线经过，两点，与轴另一交点为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； 深入探究 （2）若将抛物线变为，为了使得与一直都有四个交点，求出的取值范围； 拓展运用 如果点是线段上一动点，过点的直线轴，分别交直线、抛物线于点、．连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止． （3）当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？ 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为（2）（3） 【解析】 【分析】利用待定系数法求解即可； 由绝对值的性质可得的图象在轴及上方部分，找到翻折后顶点坐标，结合图象确定直线的运动范围，进而即可得解； 首先点的运动的时间值等于折线的长度值，由垂线段最短得出折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段，进而通过求直线交点即可得解． 【详解】解：由抛物线经过，两点可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 令， ， ∴， 将，代入直线中，得：，解得， ∴直线的解析式为 由题意得，抛物线变为， 由(1)得，， 对于抛物线，将其化为顶点式， 抛物线的顶点坐标为， 的图象是将抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，而轴上方的部分保持不变， 翻折后顶点变为， 要使与一直都有四个交点，那么直线应该在轴和翻折后的抛物线顶点之间，图象如图所示， 的取值范围为． 如图，过点作轴于点，则，，， ， ． 过点作轴交直线于点，则，，如上图， 由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：， ，即运动的时间值等于折线的长度值， 由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段． 过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点，如上图， 直线的解析式为， 点横坐标为， ， ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的图象与性质，解直角三角形，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $