精品解析：河南省信阳市平桥区2024-2025学年九年级上学期12月期中数学试题

九年级数学第二次质量调研试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 中国传统文化博大精深，下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 京剧脸谱 B. 剪纸对鱼 C. 中国结 D. 风筝燕归来 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符符合题意； C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、该图形是既不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 2. 如图，已知的半径为3，平面内有一点到圆心的距离为4，则该点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案． 【详解】平面内有一点到圆心的距离为4，． 该点在圆外， 点符合要求． 故选：D． 3. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图象，如图2所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器消耗的电功率最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及到用待定系数法求解析式和二次函数的性质． 先利用待定系数法求抛物线的解析式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过和， ∴抛物线的对称轴为， 设抛物线的解析式为， ∴ 解得 ∴ ∵， ∴当时，电功率P有最大值为220， 即变阻器R消耗的电功率P最大为， 故选D． 4. 如图，是的内接四边形的一个外角，若的度数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由圆的内接四边形的性质得到，由同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得到． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 由题意得 ∵， ∴， 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及二次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k的取值范围，难度不大．首先根据一元二次方程没有实数根确定k的取值范围，然后根据二次函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， 解得：， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴正半轴，且关于y轴对称， 四个选项中，只有选项C符合， 故选：C． 6. 下列命题中，正确的命题是（　　） A. 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点 B. 三点确定一个圆平分一条弦的直径一定垂直于弦 C. 相等的两个圆心角所对的两条弧相等 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据确定圆的条件，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、符合外心的定义，故原命题正确； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误； C、平分一条弦（非直径）的直径一定垂直于弦，故原命题错误； D、在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的两条弧相等，故原命题错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了确定圆的条件，垂径定理的推论以及圆心角、弦、弧的关系，正确掌握相关性质是解题关键． 7. 对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新运算，一元二次方程根的判别式；由新运算得关于x的一元二次方程，根据判别式非负即可求得m的范围． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵有两个实数根， ∴， ∴； 故选：C． 8. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大范围推广，取得了很大的成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. 1.5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 根据点是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，即， ， ， 米， 故选：B． 9. 如图，菱形，是对角线上一点，将线段绕点顺时针旋转角度，点恰好落在边上点处，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作交CD于点G，作交BC于点H，先通过菱形和旋转的性质证明，得出，进而有，然后利用四边形内角和即可求出答案． 【详解】过点E作交CD于点G，作交BC于点H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴ ． 又，， ∴ ． 由旋转可知， ， 在和中， ， ． ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，四边形内角和，能够做出辅助线将角度进行转化是解题的关键． 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④方程的两根是．其中结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，与方程相联系，掌握二次函数与方程的关系，利用数形结合的思想，确定代数式的值．①根据时，对应的，代入可得结论；②根据时，对应的，代入可得结论；③根据顶点坐标中，可得方程有两个相等的实数根；④将替换x，由方程的两根，，可得结论． 【详解】解：①由抛物线的对称性可知：与x轴交于另一点为， ∴； 故①正确； ②由图象得：当时，， ∴， 故②正确； ③∵抛物线的顶点， ∴方程有两个相等的实数根， 即方程有两个相等的实数根； 故③正确； ④由题意得：方程的两根为：， ∴方程的两根是：或， ∴， 故④正确； 故选：D． 二．填空题（共5小题每小题3分，共15分．） 11. 一个三角形的两边长分别为3和8，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长是_____． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法和三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯． 因式分解法解方程求出的值，再根据三角形三边之间的关系求出符合条件的的值，最后求出周长即可． 【详解】解：∵，即， 或， 解得：或， 当时，三角形的三边，构不成三角形，舍去； 当时，这个三角形的周长为， 故答案为：18． 12. 若一个正n边形，绕着某一点旋转能与自身重合，则n可能的值为________（写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一5的倍数即可） 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转对称图形，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．直接利用旋转对称图形的性质，结合正多边形中心角相等进而得出答案． 【详解】解：， 有一个正n边形，绕某一点旋转后能与自身重合，n可能的值为5， 故答案为：5（答案不唯一）． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是， 故答案为：． 14. 圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为___m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设该门洞的半径的半径为，过点作于点，延长交圆于点，连接，则，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设该门洞的半径的半径为，如图，过点圆心作于点，延长交圆于点，连接， 则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即该门洞的半径为， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，进而可得平移方向及平移距离，据此即可求解，求出抛物线与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为； 当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴将抛物线向上平移个单位长度，或者向左平移个单位长度，或者向右平移个单位长度，可以使平移后的抛物线恰好经过原点， ∴的最小值为， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，共75分．） 16. 解方程： （1）；（公式法） （2）．（因式分解法） 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法． （1）先求出的值，再代入公式求出即可； （2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：，． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出关于点O成中心对称的图形； （2）画出将绕点B顺时针旋转得到的； （3）请分别写出以下两点的坐标：(________，________)，(________，________)． 【答案】（1） 如图， （2） 如图， （3），，5，0 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和性质的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质，作出对应点即可； （2）根据旋转的性质，作出对应点即可； （3）由点的位置，即可得出坐标． 【小问1详解】 解：与关于点O成中心对称，即为所求； 【小问2详解】 解：绕点B顺时针旋转得到的，，，即为所求； 【小问3详解】 解：由作图可知，，． 故答案为：，，5，0． 18. 如图，已知为的直径，D是上的一点，且点C是的中点，过点C作直线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）连接，过点O作于F，延长交于M，若B为的中点，半径为4，求的长． 【答案】（1）证明：连接，交于点S， ∵为的直径， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点S，证明四边形是矩形，从而可得结论； （2）证明，，结合三角形的外角的性质可得：，再求解，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点O作于F，延长交于M， ∵B为的中点， ∴，， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∵半径为， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，圆周角定理的应用，弧，圆心角之间的关系，垂径定理的应用，圆的切线的判定，熟练的运用圆的基本性质与圆中基本定理是解本题的关键． 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． （1）若抛物线过点，求该抛物线的对称轴； （2）若，在抛物线上，且满足，当抛物线对称轴为直线时，求t的取值范围． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线 （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键． （1）先求得抛物线与y轴的交点坐标，根据二次函数的对称性求解即可； （2）先求得、、，再根据已知列不等式组，然后解不等式组即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线， 当时，，即抛物线与y轴的交点坐标为； 抛物线经过点， 又抛物线过点， 抛物线的对称轴为直线，即直线； 【小问2详解】 解：若抛物线对称轴为直线，则，即， 抛物线的解析式为， 在抛物线上， ， 又， ， ∴ ． 20. 阅读与思考 请阅读以下材料，并完成相应的任务． 《义务教育数学课程标准（2022版）》在尺规作图版块给出必学要求：会过圆外一个点作圆的切线． （1）下面是李明所在的小组“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，和外一点P． 求作：过点P的的切线． 作法一：①连结，作线段的中点M； ②以M为圆心，的长为半径作圆，交于点； ③作直线和． 直线即为所求作的切线． 请运用尺规作图在图1中补全图形，并完成直线PA即为所求作的切线的证明． 证明：连接， 由作法可知，为的直径， （________）（填推理的依据）， ， 点A在上， 直线是圆的切线（________）（填推理的依据）， 同理，直线也是圆的切线． （2）李明所在数学小组经过思考与探索，给出了另一种作法： 作法二：①如图2，连接，交于点B，作直径；②以点O为圆心，长为半径画弧，以点P为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为过点P所求的其中一条切线．请你仿照李明的证明方法，说说直线即为所求作的切线的理由． 【答案】（1） 补全图形， ， 直径所对的圆周角为直角，经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 （2） 证明：是的直径，点在上， ， ， ，即为的中点， 由作图可知，， ， 为的切线． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理及其推论，切线的判定定理，辅助圆的构造思路，构造辅助线是解题的关键． （1）连接，以为直径构造辅助圆，与交于两点，作直线即可，连接，根据切线的判定定理即可证明是圆的切线； （2）先证是的中点，根据是等腰三角形，利用“三线合一”证明即可． 【小问1详解】 解：证明：连接， 由作法可知，为的直径， （直径所对的圆周角是直角）， ， 点A在上， 直线是圆的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）， 同理，直线也是圆的切线． 故答案为：直径所对的圆周角为直角，经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【小问2详解】 略 21. 重庆火锅，源于明末清初的重庆嘉陵江畔、朝天门等码头船工纤夫的粗放餐饮方式，后随着社会的发展，历史的变迁，重庆火锅的独特风味渐渐受人们的喜爱，每逢假期，全国各地有大量游客来到重庆品尝地道美味的火锅．据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同． （1）求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？ （2）后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价． 【答案】（1）该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元 （2）降价后每份毛肚的实际售价为元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用； （1）设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据两次购进的数量相等建立分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设降价元，依题意得，，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元，则第二次的进价为，根据题意，得 解得： 经检验，是原方程的解； 答：该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份元 【小问2详解】 解：设降价元，依题意得， 解得：或（舍去） ∴降价后每份毛肚的实际售价为（元） 答：降价后每份毛肚的实际售价为元 22. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1）； （2）水面的直径为 （3） 锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 【解析】 【分析】（1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【小问1详解】 由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线． 【小问2详解】 当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， ∴此时水面的直径为． 【小问3详解】 略 【点睛】考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. 23. 已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．    （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长． 【答案】（1），； （2）； 理由：∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得，，， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； （3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）利用正方形、旋转的性质以及边角边关系证全等，即可得到结论； （2）利用全等的性质得到，利用勾股定理求得，代入转化即可； （3）利用旋转的性质得到是直角三角形，再根据转化为求的长，通过作垂线构造，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1），； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转，得到线段， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 则，即； （2）略 （3）过点C作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 若点E在线段上，     ∵， ∴， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， 若点E在的延长线上时，     同理，， ∴， 同理，， 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质以及矩形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第二次质量调研试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 中国传统文化博大精深，下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 京剧脸谱 B. 剪纸对鱼 C. 中国结 D. 风筝燕归来 2. 如图，已知的半径为3，平面内有一点到圆心的距离为4，则该点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图象，如图2所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器消耗的电功率最大为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的内接四边形的一个外角，若的度数为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，正确的命题是（　　） A. 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点 B. 三点确定一个圆平分一条弦的直径一定垂直于弦 C. 相等的两个圆心角所对的两条弧相等 7. 对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大范围推广，取得了很大的成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. 1.5 D. 9. 如图，菱形，是对角线上一点，将线段绕点顺时针旋转角度，点恰好落在边上点处，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④方程的两根是．其中结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二．填空题（共5小题每小题3分，共15分．） 11. 一个三角形的两边长分别为3和8，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长是_____． 12. 若一个正n边形，绕着某一点旋转能与自身重合，则n可能的值为________（写出一个即可）． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是_____． 14. 圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为___m． 15. 在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为______． 三．解答题（共8小题，共75分．） 16. 解方程： （1）；（公式法） （2）．（因式分解法） 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出关于点O成中心对称的图形； （2）画出将绕点B顺时针旋转得到的； （3）请分别写出以下两点的坐标：(________，________)，(________，________)． 18. 如图，已知为的直径，D是上的一点，且点C是的中点，过点C作直线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）连接，过点O作于F，延长交于M，若B为的中点，半径为4，求的长． 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． （1）若抛物线过点，求该抛物线的对称轴； （2）若，在抛物线上，且满足，当抛物线对称轴为直线时，求t的取值范围． 20. 阅读与思考 请阅读以下材料，并完成相应的任务． 《义务教育数学课程标准（2022版）》在尺规作图版块给出必学要求：会过圆外一个点作圆的切线． （1）下面是李明所在的小组“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，和外一点P． 求作：过点P的的切线． 作法一：①连结，作线段的中点M； ②以M为圆心，的长为半径作圆，交于点； ③作直线和． 直线即为所求作的切线． 请运用尺规作图在图1中补全图形，并完成直线PA即为所求作的切线的证明． 证明：连接， 由作法可知，为的直径， （________）（填推理的依据）， ， 点A在上， 直线是圆的切线（________）（填推理的依据）， 同理，直线也是圆的切线． （2）李明所在数学小组经过思考与探索，给出了另一种作法： 作法二：①如图2，连接，交于点B，作直径；②以点O为圆心，长为半径画弧，以点P为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为过点P所求的其中一条切线．请你仿照李明的证明方法，说说直线即为所求作的切线的理由． 21. 重庆火锅，源于明末清初的重庆嘉陵江畔、朝天门等码头船工纤夫的粗放餐饮方式，后随着社会的发展，历史的变迁，重庆火锅的独特风味渐渐受人们的喜爱，每逢假期，全国各地有大量游客来到重庆品尝地道美味的火锅．据了解，某火锅店里主营菜品是毛肚，该火锅店第一次用15000元购进毛肚若干份，深受人们喜爱，很快售完．于是，火锅店又用12000元购入毛肚，每份的进价比第一次少了5元，所购数量与第一次购进数量相同． （1）求该火锅店第一次购进毛肚的进价为每份多少元？ （2）后续经营中，火锅店按第二次购买毛肚的进价持续进货，每份标价40元出售，每天能售出480份．为庆祝国庆节并吸引更多顾客消费，该火锅店决定降低毛肚的售价，经研究发现每份毛肚的售价每下降1元，每天的销量就增加2份．降价后，该店毛肚每日销售额为15000元，求降价后每份毛肚的实际售价． 22. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 23. 已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．    （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $