精品解析：辽宁省铁岭市调兵山市第二高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

调兵山市第二高级中学2024-2025学年度高二上学期期末考试 数 学 命题人：高二数学组 时间120分钟 满分150分 时间：2025年1月 一、单项选择题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某地为践行“绿水青山就是金山银山”的人与自然和谐共生的发展理念，对该地企业已处理的废水进行实时监测．对当地甲、乙两家企业20天内已处理的废水的某项指标值的检测结果如下图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲企业样本数据的中位数是72 B. 甲企业样本数据的平均数大于80 C. 甲企业样本数据的众数大于乙企业样本数据的众数 D. 不低于80的样本数据个数，甲企业多于乙企业 5. 一个体积为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A. B. C. D. 6. 函数的最小值为(   ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 已知是第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的零点所在的区间是 A. B. C. D. 二、多项选择题（每题6分，共24分） 9. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法中正确的是 A. 若，，，则 B. 若m，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的零点是 D. 的单调递增区间为 11. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 在棱上存在点，使平面 B. 异面直线与所成的角为90° C. 二面角大小为45° D. 平面 12. 已知函数，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间为 B. 当时，有3个零点 C. 当时，所有零点之和为-1 D. 当时，有1个零点 三、填空题（每题5分，共40分） 13. 某校围棋社团､舞蹈社团､美术社团和篮球社团的学生人数分别为，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出18人参加一项活动，则美术社团中选出的学生人数为__________. 14. 已知向量，，且，则______. 15. 已知，，用含a、b式子表示______. 16. 若、是一元二次方程两个根，则______． 四、解答题（共66分） 17. 已知平面向量且 （1）若，求的值; （2）若与共线，求实数的值. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求的值； （2）若，求的面积． 19. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点. (1)求证：PA⊥BD； (2)求证：平面BDE⊥平面PAC； (3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积． 20. 年月日中国神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功．在太空停留期间，航天员们开展了两次“天宫课堂”，在空间站进行太空授课，极大的激发了广大中学生对航天知识的兴趣．为此，某班组织了一次“航空知识答题竞赛”活动，竞赛规则是：两人一组，两人分别从3个题中不放回地依次随机选出个题回答，若两人答对题数合计不少于题，则称这个小组为“优秀小组”．现甲乙两位同学报名组成一组，已知3个题中甲同学能答对的题有个、乙同学答对每个题的概率均为，并且甲、乙两人选题过程及答题结果互不影响． （1）求甲同学选出的两个题均能答对的概率； （2）求甲乙二人获“优秀小组”的概率． 21. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的值，并证明：在上单调递增； （2）求不等式的解集； （3）若在区间上的最小值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 调兵山市第二高级中学2024-2025学年度高二上学期期末考试 数 学 命题人：高二数学组 时间120分钟 满分150分 时间：2025年1月 一、单项选择题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】由得，解得，则， 又因为，则. 故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算可得，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】, 所以复数在复平面对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】按充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】， 故是的必要不充分条件， 故选：B 4. 某地为践行“绿水青山就是金山银山”的人与自然和谐共生的发展理念，对该地企业已处理的废水进行实时监测．对当地甲、乙两家企业20天内已处理的废水的某项指标值的检测结果如下图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲企业样本数据的中位数是72 B. 甲企业样本数据的平均数大于80 C. 甲企业样本数据众数大于乙企业样本数据的众数 D. 不低于80的样本数据个数，甲企业多于乙企业 【答案】C 【解析】 【分析】求得甲企业样本数据的中位数判断A；求得甲企业样本数据的平均数判断B；求得甲乙企业样本数据的众数判断C；求得甲乙两企业不低于80的样本数据个数判断D. 【详解】对于A：甲企业样本数据的中位数是，故A错误； 对于B：甲企业样本数据的平均数为： ， 故甲企业样本数据的平均数小于80，故B错误； 对于C：甲企业样本数据的众数为79，由频率分布直方图可得乙企业样本数据的众数为75，故C正确； 对于D：不低于80的样本数据个数甲企业为5个，乙企业为，故D错误. 故选：C. 5. 一个体积为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为正方体的体积为，所以棱长为，因为正方体的定点都在球面上，所以正方体的体对角线应该为球的直径，所以球的直径为所以球的半径为，所以球的表面积为 考点：本小题主要考查正方体与其外接球的关系和球的表面积的计算，考查学生的运算求解能力. 点评：正方体外接于球，则正方体的体对角线为球的直径；如果球内切于正方体，则正方体的棱长等于球的直径. 6. 函数的最小值为(   ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先对解析式等价变形，再利用基本不等式即可得出答案 【详解】，， 函数， 当且仅当时取等号， 因此函数的最小值为8 答案选C 【点睛】本题考查基本不等式求 最值的应用，属于基础题 7. 已知是第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角的三角函数基本关系式先求出余弦值，再求正切值即得. 【详解】因是第二象限角，且，故， 则. 故选：B. 8. 函数的零点所在的区间是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由零点存在定理，依次判断选项中区间端点函数值的正负，从而得到零点所在的区间. 【详解】因为，， ，， 所以上存在零点． 故选C. 【点睛】本题考查零点存在定理的运用，考查基本运算求解能力，求解时只要算出区间端点函数值的正负，即可得到答案. 二、多项选择题（每题6分，共24分） 9. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法中正确的是 A. 若，，，则 B. 若m，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据线面位置关系判定A正确，根据面面垂直的性质可得D正确，B选项必须两条直线相交，C选项两条直线可能平行也可能异面. 【详解】A选项若，，则，，则，所以该选项正确； B选项若m，，，，必须m与n相交，才能得出，所以该选项错误； C选项若，，，则可能平行也可能异面； D选项根据面面垂直的性质可得若，，，，则该选项正确. 故选：AD 【点睛】此题考查空间线面位置关系的判定，关键在于熟练掌握线面之间的垂直和平行关系的判断，结合定理和性质即可判定. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的零点是 D. 的单调递增区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据两角和差的正余弦公式化简函数，然后利用正弦函数的图象与性质逐项分析即可. 【详解】. 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，，所以不是的图象的对称轴，故B错误； 对于C，由，可得，所以， 所以，故C正确； 对于D，由，得， 所以函数的单调递增区间为，故D错误. 故选：AC 11. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ） A. 在棱上存在点，使平面 B. 异面直线与所成的角为90° C. 二面角的大小为45° D. 平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，取的中点，利用三角形知识得垂直关系，再利用线面垂直的判定定理证明平面；选项B，利用平面，可得；选项C，先作出并证明所求的二面角为，再利用直角三角形知识求解；选项D，利用反证法，假设平面，再证明平面，得到，与与的夹角为矛盾来说明. 【详解】A选项：如图，取的中点，连接， ∵侧面为正三角形，， 又底面是菱形，，是等边三角形， 又为中点， 又，，在平面内，且相交于点， 平面，故选项A正确； B选项：由选项A知，平面，又平面，， 即异面直线与所成的角为90°，故选项B正确； C选项：∵平面， ， 平面，，， 又平面平面，是二面角的平面角， 设，则，， 在直角中，，即， 故二面角的大小为，故选项C正确； D选项：因为平面平面，， 所以平面，又平面，所以. 假设平面，则有，又，在平面内，且相交于点， 所以平面，又平面，所以， 而由题可知，与的夹角为，矛盾，故假设不成立，故选项D错误. 故选：ABC. 12. 已知函数，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间为 B. 当时，有3个零点 C. 当时，的所有零点之和为-1 D. 当时，有1个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】画出的图象，然后逐一判断即可. 【详解】的图象如下： 由图象可知，的增区间为，故A错误 当时，与有3个交点，即有3个零点，故B正确； 当时，由可得，由可得 所以的所有零点之和为，故C错误； 当时，与有1个交点，即有1个零点，故D正确； 故选：BD 三、填空题（每题5分，共40分） 13. 某校围棋社团､舞蹈社团､美术社团和篮球社团的学生人数分别为，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出18人参加一项活动，则美术社团中选出的学生人数为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据抽样比即可求解. 【详解】美术社团中选出的学生人数为, 故答案为：4 14 已知向量，，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据平面向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以，即. 故答案为：. 15. 已知，，用含a、b的式子表示______. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算法则计算即可. 【详解】因为，，所以. 故答案为： 16. 若、是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数关系可求得所求代数式的值. 【详解】因为、是一元二次方程的两个根，则， 上述两个等式相加可得. 故答案为：. 四、解答题（共66分） 17. 已知平面向量且 （1）若，求的值; （2）若与共线，求实数的值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用平面向量坐标运算法则先求出，由此能求出的值． （2）求出，由与共线，由此能求出的值． 【小问1详解】 因为， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为 所以， 因为与共线，所以，解得. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积． 【小问1详解】 由于， ，则．因为， 由正弦定理知，则． 【小问2详解】 因为，由余弦定理，得， 即，解得，而，， 所以的面积． 19. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点. (1)求证：PA⊥BD； (2)求证：平面BDE⊥平面PAC； (3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（Ⅱ）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（Ⅲ）由即可求解. 试题解析:（I）因为，，所以平面， 又因为平面，所以. （II）因为，为中点，所以， 由（I）知，，所以平面. 所以平面平面. （III）因为平面，平面平面， 所以. 因为为的中点，所以，. 由（I）知，平面，所以平面. 所以三棱锥的体积. 【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据面面垂直的性质定理转化为证明线面垂直. 20. 年月日中国神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功．在太空停留期间，航天员们开展了两次“天宫课堂”，在空间站进行太空授课，极大的激发了广大中学生对航天知识的兴趣．为此，某班组织了一次“航空知识答题竞赛”活动，竞赛规则是：两人一组，两人分别从3个题中不放回地依次随机选出个题回答，若两人答对题数合计不少于题，则称这个小组为“优秀小组”．现甲乙两位同学报名组成一组，已知3个题中甲同学能答对的题有个、乙同学答对每个题的概率均为，并且甲、乙两人选题过程及答题结果互不影响． （1）求甲同学选出的两个题均能答对的概率； （2）求甲乙二人获“优秀小组”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用古典概率模型即可求解;(2)根据古典概型和事件的独立性对获“优秀小组”分类讨论即可. 【小问1详解】 设三个题中甲能答对的题编号为,答错的题编号为1, 则样本空间, 共有6个样本点, 两个题均能答对的有2个样本点, 由古典概型的概率公式可得两个题均能答对的概率为. 【小问2详解】 设表示“甲答对的题数为”，表示“乙答对的题数为”， 表示“甲、乙二人获得优秀小组”． 由(1)知由古典概型得或． 由事件的独立性，，． 由题意，． 而事件、、两两互斥，事件与相互独立，， ． 所以，甲、乙二人获“优秀小组”的概率为． 21. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的值，并证明：在上单调递增； （2）求不等式的解集； （3）若在区间上的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质得，解出；由单调性的定义即可求解， （2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可； （3），令，可化为关于的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为，解出即可； 【小问1详解】 是定义域为上的奇函数， ，，，， 此时， 经检验，符合题意； 函数的定义域为，在上任取，，且， 函数在上单调递增， 【小问2详解】 由（1）可知，且在上单调递增的奇函数， 由可得， ，即， 或， 不等式的解集为或； 【小问3详解】 ， ． 令，，， ， 当时，当时，，则（舍去）； 当时，当时，，解得，符合要求， 综上可知或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $