精品解析：山东省潍坊市五县联考2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试卷

2024—2025学年上学期期末质量监测 高一数学 2025.01 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集定义易得. 【详解】因，故. 故选：B. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求解分式不等式，再结合充分不必要条件定义判断即可. 【详解】因为，所以，即得， 若，则；若，则不一定满足； “”是“”的 充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数的反函数图象过点，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由反函数所过点求得的图象所过点，由此求得的值. 【详解】依题意函数的反函数图象过点， 所以的图象经过点， 所以，解得. 故选：D. 4. 已知甲、乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图．若甲组数据的中位数为a，乙组数据的分位数为b，则的值是（ ） 甲 乙 7 9 8 5 7 9 3 4 6 2 0 1 2 3 7 8 5 1 1 3 2 0 1 0 A. 37 B. 38 C. 39 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】利用中位数与分位数的定义计算可求结论. 【详解】甲组数据从小到大排列为7，8，9，15，17，19，23，24，26，32共10个数据， 所以中位数为，所以， 乙组数据从小到大排列为5，7，8，11，11，13，20，22，30，31共10个数据， 又，所以乙组数据的分位数为22，所以， 所以. 故选：D. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查函数的定义域为，取排除D项，利用函数的值域为易排除B项，通过取特殊值，计算对应函数值，得出时，，即函数在上不能是增函数，排除C项，即得正确选项. 【详解】对于，函数定义域为，当时，，可排除D项； 因，故在上恒成立，排除B项； 当时，，取，则，， 显然，结合A，C选项，C项函数在上为增函数，不合题意，易得A项符合. 故答案为：A. 6. 已知函数，则解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情部况，解不等式即可． 【详解】当时，由，得，所以，所以，解得， 当时，由，则，解得， 综上，原不等式解集为或． 故选：C． 7. 设是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式求得，再利用对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因是两个互斥事件，故， 于是，. 故选：C. 8. 已知函数，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的定义域，进而判断奇偶性，利用复合函数的单调性判断在的单调性，通过比较的大小可得结论. 【详解】函数的定义域为， 又因为，所以函数为偶函数， 设，则，因为在为单调递增函数， 函数在为单调递减函数， 所以在为单调递减函数， ， 又，又，所以， 所以，即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数奇偶性和单调性比较函数值的大小关系的问题，解题关键是能够根据对数函数单调性确定自变量的大小关系，进而结合函数的单调性确定函数值的大小. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 若为实数且，则 B. 若为正实数且，则 C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质易判断A，C；对于B，运用作差比较法即可判断；对于D，利用基本不等式即可. 【详解】对于A，因，则由不等式的性质易，故A正确； 对于B，因，且为正实数，由，可得，故B错误； 对于C，由可知，由不等式的性质，可得，故C正确； 对于D，因，，当且仅当时等号成立，此时的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 10. 从这六个数字中，每次任意取出一个数字，有放回地取两次，设事件A为“第一次取出的数字为2”，事件B为“第二次取出的数字为奇数”，事件C为“两次取出的数字之和等于7”，则（ ） A. A与B是互斥事件 B. 事件A与B相互独立 C. B与C是互斥但不对立事件 D. 事件A与C相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】运用互斥事件，对立事件，独立事件概念分别分析每个选项即可. 【详解】对于选项A，事件为“第一次取出的数字为”，事件为“第二次取出的数字为奇数”. 第一次取到并不影响第二次取到奇数，这两个事件是可以同时发生的，比如第一次取，第二次取或或. 所以与不是互斥事件，A选项错误. 对于选项B，，因为从这个数字中第一次取到的概率是. ，第二次取到奇数（、、）的概率是. ，即第一次取且第二次取奇数的概率. 因为，满足相互独立事件的条件. 所以事件与相互独立，B选项正确. 对于选项C，事件为“第二次取出的数字为奇数”，事件为“两次取出的数字之和等于”. 当第二次取到，第一次取到；第二次取到，第一次取到；第二次取到，第一次取到时，与是可以同时发生的. 所以与不是互斥事件，C选项错误. 对于选项D，，，两次取数之和等于的情况有、、、、、共种，总情况有种. ，而，满足. 所以事件与相互独立，D选项正确. 故选：BD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于y轴对称 B. 在上单调递增 C. D. 关于x的方程有3个解的充要条件是 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，利用奇函数的定义可判断A；利用单调性的定义可证在上单调递增，利用奇函数的性质可判断B；计算可得，可判断C；数形结合可判断D. 【详解】函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，故A错误； 当时，，，且， ， 因为，所以，又，所以， 所以，所以，所以在上单调递增， 又函数为奇函数，所以在上单调递增，故B正确； ， 所以，故C正确； 关于x的方程有3个解，则关于x的方程有3个解， 所以与的图象有3个交点， 作出图象如图所示： 由图象可得，所以关于x的方程有3个解的充要条件是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：方程的解的个数，函数零点个数问题，常常通过转化为两函数的图象的交点个数问题解决. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据的标准差为3，且，则的方差为_______． 【答案】36 【解析】 【分析】利用方差的定义计算可得结论. 【详解】因为，又数据的标准差为3， 所以， 又， 所以 . 故答案为：. 13. 已知函数，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，证明该函数为奇函数，由求出，由奇函数得，从而求得. 【详解】设，则， 由，可得为奇函数， 因解得，故， 于是. 故答案为：. 14. 已知函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有某性质P；反之，若不存在，则称函数不具有某性质．若函数具有性质，则的值为_______；已知函数不具有性质，则a的取值范围是_______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据函数具有性质，可得方程，解方程即得的值；由函数不具有性质，可推得在定义域内无解，转化为无解，求出函数的值域即可求得参数的范围. 【详解】因具有性质，则有，即，解得. 又因函数不具有性质，即在定义域内无解， 即无解，即无解， 因，则得无解， 设，则，则. ① 当时，，，当且仅当时取等号， 此时，，又，由题意知，； ② 当时，依题意，只需； ③ 当时，， 若，函数在上先增后减，则， 此时，由题意知，； 若，函数在上单调递减，故， 此时，，由题意知，. 综上可得，a的取值范围是. 故答案为：1；. 【点睛】思路点睛：在求解第二空时，要注意等价转化，就是将“不具有性质”转化为方程无解，继而利用对勾函数和基本不等式求出函数的值域，取其补集即得参数的范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求； （2）“若，则”是真命题，求a的取值范围． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）分别解一元二次不等式求出集合，即可求得； （2）由题设可得，借助于数轴表示，得，解之即得. 【小问1详解】 因，则， 而或， 故或； 【小问2详解】 因“若，则”是真命题，故， 由或， 则有，解得， 所以a的取值范围为. 16 已知函数，满足． （1）求的解析式； （2）判断函数的奇偶性； （3）解不等式． 【答案】（1） （2）奇函数 （3） 【解析】 【分析】（1）先求得函数的定义域，进而利用换元法求得的解析式； （2）利用奇函数定义判断即可； （3）由题意可得，进而利用对数函数的单调性可得，求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，解得，设，则， 则，所以，即． 【小问2详解】 因为函数的定义域为，满足， 所以，所以函数为奇函数． 【小问3详解】 由题意，则， 所以，解得或， 又因为，所以的解集为. 17. 已知二次函数 （1）若的一个零点在内，另一个零点在内，求a的取值范围； （2）求在区间的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合二次函数的单调性与零点存在性定理得到不等式组，计算得到答案. （2）考虑的对称轴为的三种情况，求解即可. 【小问1详解】 因为方程的一个根在内，另一个根在内， 结合二次函数的单调性与零点存在性定理得 解得， 即a的取值范围为 【小问2详解】 的对称轴为，开口向上， 若，则在区间上是增函数，所以最小值为 若最小值为 若，则在区间上是减函数，所以最小值为 综上，在区间上的最小值为 18. 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大． 【答案】（1），平均成绩为77.5 （2） （3）首场由甲乙比赛才能使甲获胜的概率最大 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率之和为来求的值，再利用平均数的计算公式求出平均成绩； （2）先根据分层抽样确定两组抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式计算至少有名学生成绩在的概率； （3）需要分别计算甲与乙、甲与丙、乙与丙参加首场比赛时甲获胜的概率，再进行比较. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，， 解得． 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，平均成绩为77.5 【小问2详解】 由（1）知，成绩在的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为， 在中随机抽取了人，记， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：， 共10个样本点， 设事件“至少有1名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以至少有1名学生的成绩在内的概率． 【小问3详解】 若首场甲乙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲乙比赛甲胜，甲丙比赛甲胜，概率为， ②甲乙比赛甲胜，甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜的概率为 ③甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，乙甲比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为； 若首场甲丙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲丙比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为， ②甲丙比赛甲胜，甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜的概率为 ③甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜概率为， 若首场乙丙比赛，则甲获胜有两种情况： ①乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为 ②乙丙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为， 因为， 所以首场由甲乙比赛才能使甲获胜的概率最大． 19. 悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形．如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到了悬链线的原理．悬链线函数是与e有关的著名函数——双曲函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数．已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质： ①定义域均为R，且在R上是增函数； ②为奇函数，为偶函数； ③（常数e是自然对数的底数，…）． 利用上述性质，解决以下问题： （1）求函数的解析式； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）已知函数在上的最大值为，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用双曲函数满足的等式和奇偶性构造方程组，求解即得； （2）利用（1）的结论和题设范围将不等式转化为，继而把不等式恒成立转化为求函数的最小值，接着利用基本不等式即可求得最值； （3）通过令，将函数化成，从而把双曲函数问题转化成二次函数在给定区间上的最值问题，经过分析计算，利用绝对值不等式性质即可求得其最小值. 【小问1详解】 因为函数分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且满足①， 所以，即②， 联立①，②，解得 【小问2详解】 因为，所以，得， 所以， 即在上恒成立，等价于使 因为， 当且仅当，即时，等号成立． 故，即实数m的取值范围为. 【小问3详解】 函数 设，由性质①在R上是增函数， 可知当时，， 由，可得 于是原函数可化为：， 设为二次函数， 由题意 所以，，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：在（3）题中通过换元，得到后，需要结合函数的最大值为这一条件，判断得到，从而通过拼凑消元，利用绝对值不等式性质可得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上学期期末质量监测 高一数学 2025.01 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的反函数图象过点，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 已知甲、乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图．若甲组数据的中位数为a，乙组数据的分位数为b，则的值是（ ） 甲 乙 7 9 8 5 7 9 3 4 6 2 0 1 2 3 7 8 5 1 1 3 2 0 1 0 A. 37 B. 38 C. 39 D. 40 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 7. 设是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则（ ） A. B. C. D. 8 已知函数，记，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 若为实数且，则 B. 若为正实数且，则 C. 若，则 D. 若，则最小值为 10. 从这六个数字中，每次任意取出一个数字，有放回地取两次，设事件A为“第一次取出的数字为2”，事件B为“第二次取出的数字为奇数”，事件C为“两次取出的数字之和等于7”，则（ ） A. A与B是互斥事件 B. 事件A与B相互独立 C. B与C是互斥但不对立事件 D. 事件A与C相互独立 11 已知函数，则（ ） A. 的图象关于y轴对称 B. 在上单调递增 C. D. 关于x的方程有3个解的充要条件是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据的标准差为3，且，则的方差为_______． 13. 已知函数，且，则_______． 14. 已知函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有某性质P；反之，若不存在，则称函数不具有某性质．若函数具有性质，则的值为_______；已知函数不具有性质，则a的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求； （2）“若，则”是真命题，求a的取值范围． 16. 已知函数，满足． （1）求的解析式； （2）判断函数的奇偶性； （3）解不等式． 17. 已知二次函数 （1）若的一个零点在内，另一个零点在内，求a的取值范围； （2）求在区间最小值． 18. 某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大． 19. 悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形．如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到了悬链线的原理．悬链线函数是与e有关的著名函数——双曲函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数．已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质： ①定义域均为R，且在R上是增函数； ②为奇函数，为偶函数； ③（常数e是自然对数的底数，…）． 利用上述性质，解决以下问题： （1）求函数的解析式； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）已知函数在上最大值为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $