精品解析：山东省东营市利津县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中教学质量调研 九年级数学试题 （总分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共7页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0．5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 若，且为锐角，则的值为（    ） A B. C. 1 D. 2. 如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（　　） A. 主视图和左视图 B. 主视图和俯视图 C 左视图和俯视图 D. 主视图、左视图、俯视图 3. 如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 当x＞1时，y随x的增大而减小 C. 当x＜1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x＝﹣1 5. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图像与线段相交于点，且点是线段的中点，若点坐标为，的面积为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 根据如表中二次函数自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A. B. C. D. 10. 如图是抛物线的图象，其对称轴为，且该图象与x轴的一个交点在点（－3，0）和（－4，0）之间，并经过点与点，则下列结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 已知函数是反比例函数，且正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值为__________． 12. 如图是一个三棱柱的三视图，其俯视图为等边三角形，则其侧面积为____________． 13. 在中，若，则的度数是_____________． 14. 如图，大楼AD高30m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，则塔高BC为_________m． 15. 如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y＝的图象上，则k的值为_____． 16. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是___________． 17. 如图，先锋村准备在坡角为α＝30°山坡上栽树，要求相邻两树之间水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为_____米． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线在直线上取一点，记为，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交直线于点，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交直线于点，…，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则__________． 二、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2） 20. 已知二次函数y=ax2＋bx的图象经过点(2，0)和(－1，6). （1）求二次函数的解析式； （2）求它的对称轴和顶点坐标. 21. 如图在平面直角坐标系中，直线AB：与反比例函数的图像交于A、B两点与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）点P为反比例函数图像的任意一点，若，求点P的坐标． 22. 为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． （1）求∠APB的度数； （2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 23. 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温（℃）与时间（）的关系如图所示： （1）分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式； （2）怡萱同学想喝高于50℃水，请问她最多需要等待多长时间？ 24. 某商场销售一批名牌衬衫，每件成本元，当每件售价元时，每天可售出件．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件降价1元，商场平均每天可多销售2件． （1）若现在设每件衬衫降价x元，平均每天盈利为y元．求出y与x之间的函数关系式． （2）当每件降价多少元时，商场平均每天盈利最多？此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利多少元？ （3）若商场每天平均需盈利元，每件衬衫应降价多少元． 25. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点． （1）求此二次函数的解析式； （2）求的面积； （3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期中教学质量调研 九年级数学试题 （总分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共7页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0．5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 若，且为锐角，则的值为（    ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的相关计算，先求解，可得，再结合特殊角的三角函数值可得答案． 【详解】解：∵，且为锐角， ∴， ∴， ∴， 故选C 2. 如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（　　） A. 主视图和左视图 B. 主视图和俯视图 C. 左视图和俯视图 D. 主视图、左视图、俯视图 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：将正方体①移走后，主视图不变，俯视图变化，左视图不变， 故选A． 【点睛】此题主要考查简单组合图的三视图，解题的关键是熟知三视图的定义. 3. 如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB． 【详解】过C点作，垂足为D 则根据旋转性质可知， 中， 所以 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法． 4. 对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 当x＞1时，y随x的增大而减小 C. 当x＜1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x＝﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对比四个选项即可得出结论． 【详解】解：A、y＝2（x﹣1）2﹣8， ∵a＝2＞0， ∴图象开口向上，故本选项错误； B、当x＞1时，y随x的增大而增大；故本选项错误； C、当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确； D、图象的对称轴是直线x＝1，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将二次函数关系式变为顶点式，结合二次函数性质对比四个选项即可． 5. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 6. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可知的图象在二、四象限，在每个象限内，y随x值的增大而增大，由此可解． 【详解】解：， 在每个象限内，y随x值的增大而增大，且点在第二象限，点，在第四象限， ， ，， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据反比例函数中k的符号判断图象所在象限及增减性． 7. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3， ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF＝AD＝5，EF＝DE， 在Rt△ABF中，BF＝， ∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1， 设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x 在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2， ∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝， ∴DE＝EF＝3﹣x＝， ∴tan∠DAE＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图像与线段相交于点，且点是线段的中点，若点坐标为，的面积为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式得到S△AOC＝S△OAB＝，再根据反比例函数系数k的几何意义得到|k|＝，然后利用反比例函数的性质确定k的值，最后把C（3，n）代入反比例函数的解析式，即可求得C的坐标． 【详解】解：∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点， ∴S△AOC＝S△OAB＝， 而S△AOC＝|k|， ∴|k|＝， 而k＞0， ∴k＝3， ∴y＝， ∵反比例函数y＝的图象经过点C，点C为坐标（3，n）， ∴3n＝3， ∴n＝1， ∴C（3，1）， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 9. 根据如表中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．根据二次函数的函数值的正负情况即可方程的根的范围． 【详解】根据表中数据得到时，，时，则x取6.18到6.19之间的某个数时，使，于是可判断方程为常数)的一个解的范围是． 故选：C． 10. 如图是抛物线的图象，其对称轴为，且该图象与x轴的一个交点在点（－3，0）和（－4，0）之间，并经过点与点，则下列结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断①．由对称轴为直线可得，根据抛物线与轴交点范围及对称性可得抛物线与轴另一交点在，之间，再有判断②．根据抛物线开口向下，对称轴为直线，由点与点和对称轴的距离判断③．由图象可得时函数值最大，将化为判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴左侧， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，①正确，符合题意． 对称轴为直线， ， 抛物线与轴一交点在和之间， 抛物线与轴另一交点在，之间， 时，， ，②正确，符合题意． 抛物线对称轴为直线且图象开口向下，， ，③正确，符合题意． 抛物线开口向下，对称轴为直线， 时取最大值， 由可得， 当时，即， ④错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 已知函数是反比例函数，且正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义以及正比例函数的性质．此题应根据反比例函数的定义求得k的值，再由正比例函数图象的性质确定出k的最终取值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， ∴， ∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图是一个三棱柱的三视图，其俯视图为等边三角形，则其侧面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据主视图可知等边三角形的边长为，进而可得其边长即侧面长方形的长为，列式计算可得侧面积．本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积等相关知识，考查学生的空间想象能力． 【详解】解：根据主视图可知等边三角形的边长为，进而可得其边长即侧面长方形的长为， ∴该几何体的侧面面积是：， 故答案为：． 13. 在中，若，则度数是_____________． 【答案】120° 【解析】 【分析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴sinA-=0，cosB-=0， ∴sinA=，cosB=， ∴∠A=30°，∠B=30°， ∴∠C的度数是：180°-30°-30°=120°． 故答案为：120°． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 14. 如图，大楼AD高30m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，则塔高BC为_________m． 【答案】45 【解析】 【分析】用AC分别表示出BE，BC长，根据BC﹣BE=30得方程求AC，进而求得BC长． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∴BC=， ∵BE=DEtan30°=ACtan30°=． ∴大楼高AD=BC﹣BE=（）AC=30． 解得：AC=15． ∴BC=AC=45． 故答案为：45． 15. 如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y＝的图象上，则k的值为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意和旋转的性质，可以得到点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数y=中，即可求出k的值． 【详解】∵OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（2，4），∴OB=2,AB=4 ∵将△AOB绕点A逆时针旋转90°，∴AD=4,CD=2,且AD//x轴 ∴点C坐标为（6，2）， ∵点O的对应点C恰好落在反比例函数y=的图象上， ∴k=2， 故答案为12． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化-旋转，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据题意可得关于x的一元二次方程有实数根，据此利用判别式和一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与x轴有交点即对应的一元二次方程有实数根是解题的关键． 17. 如图，先锋村准备在坡角为α＝30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为_____米． 【答案】. 【解析】 【分析】】直接利用锐角三角函数关系得出cosα=，进而得出答案 【详解】解：由于相邻两树之间的水平距离为5米，坡角为α＝30°， 则两树在坡面上的距离（米）． 故答案为. 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线在直线上取一点，记为，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交直线于点，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交直线于点，…，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2024除以3，根据商的情况确定出即可． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， … 由上可知， …，3个为一组依次循环， ∵， ∴， 故答案为：． 二、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）利用特殊角度，求解其对应三角函数值，然后进行计算即可； （2）结合特殊角度的三角函数值、幂、绝对值及根式化简，然后计算即可； 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及绝对值和幂的基本性质，关键在灵活应用； 20. 已知二次函数y=ax2＋bx的图象经过点(2，0)和(－1，6). （1）求二次函数的解析式； （2）求它的对称轴和顶点坐标. 【答案】（1）（2）对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，－2）. 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，将已知的两个点坐标代入函数即可得解； （2）将（1）所得函数解析式化为顶点式解析式，然后写出对称轴与顶点坐标即可． 【详解】（1）∵二次函数y=ax2＋bx的图象经过点(2，0)和(－1，6)， 得：， 解得： ∴二次函数的解析式为：． （2）原函数可化为：y=2(x﹣1)2﹣2， 则对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－2）. 21. 如图在平面直角坐标系中，直线AB：与反比例函数的图像交于A、B两点与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）点P为反比例函数图像的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点A代入直线得：，求出点A的坐标，再代入反比例函数关系即可作答； （2）先求出B点坐标，再根据A、B的坐标，数形结合即可作答； （3）先求出点C的坐标为：，即，可得，即，再根据，可得，即有，问题随之得解． 【小问1详解】 把点A代入直线得：， 解得：， ∴点A的坐标为：， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 即反比例函数的解析式为， 【小问2详解】 把点B代入直线得：， 解得：， ∴点B的坐标为：， 结合点A的坐标为：， 数形结合，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 把代入得：， 解得：， 即点C的坐标为：，即， 结合点A的坐标为：， ∴， ∵， 即：， ∵，即， ∴， 当点P的纵坐标为3时，则，解得， 当点P的纵坐标为时，则，解得， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题得关键． 22. 为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． （1）求∠APB的度数； （2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】（1）30°；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的． 【解析】 【分析】（1）根据直角的性质和三角形的内角和求解； （2）过点P作PH⊥AB于点H，根据解直角三角形，求出点P到AB的距离，然后比较即可． 【详解】解：（1）在△APB中，∠PAB=30°，∠ABP=120° ∴∠APB=180°-30°-120°=30° （2）过点P作PH⊥AB于点H 在Rt△APH中，∠PAH=30°，AH=PH 在Rt△BPH中，∠PBH=30°，BH=PH ∴AB=AH-BH=PH=50 解得PH=25＞25，因此不会进入暗礁区，继续航行仍然安全． 23. 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温（℃）与时间（）的关系如图所示： （1）分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式； （2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？ 【答案】（1）与的函数关系式为： ，与的函数关系式每分钟重复出现一次；（2）她最多需要等待分钟； 【解析】 【分析】（1）分情况当，当时，用待定系数法求解；（2）将代入，得，将代入，得，可得结果. 【详解】（1）由题意可得， ， 当时，设关于的函数关系式为：， ，得， 即当时，关于的函数关系式为， 当时，设， ，得， 即当时，关于的函数关系式为， 当时，， ∴与的函数关系式为： ，与的函数关系式每分钟重复出现一次； （2）将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴怡萱同学想喝高于50℃的水，她最多需要等待分钟； 【点睛】考核知识点：一次函数和反比例函数的综合运用.根据实际结合图象分析问题是关键. 24. 某商场销售一批名牌衬衫，每件成本元，当每件售价元时，每天可售出件．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件降价1元，商场平均每天可多销售2件． （1）若现在设每件衬衫降价x元，平均每天盈利为y元．求出y与x之间的函数关系式． （2）当每件降价多少元时，商场平均每天盈利最多？此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利多少元？ （3）若商场每天平均需盈利元，每件衬衫应降价多少元． 【答案】（1） （2）当每件降价元时，商场平均每天盈利最多，此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利元 （3）元或元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的最值，一元二次方程的应用． （1）由题意知，降价后的价格为元，销量为件，依题意得，，整理求解即可； （2）由题意知，，根据二次函数的性质进行求解，然后作答即可； （3）由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，降价后的价格为元，销量为件， 依题意得，， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵， ∴当时，y有最大值， ∴（元）， ∴当每件降价15元时，商场平均每天盈利最多，此时，与降价前比较，每天销售这种商品可多获利元； 【小问3详解】 解：由题意知，当时，， 解得，， ∴商场每天平均需盈利元，每件衬衫应降价元或元． 25. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点． （1）求此二次函数的解析式； （2）求的面积； （3）在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的面积是3 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形即可求解； （3）分别讨论为等腰三角形底边或腰，即可求解． 【小问1详解】 解: 将，，代入， 得， 解得， 故此二次函数的解析式为. 【小问2详解】 解：由知，. ∵，， ， ， ， ∴. ∴是直角三角形，且. ∴， 即的面积是3. 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或. 由（2），知，对称轴为直线， ①若以为底边，则， 设点的坐标为， 根据勾股定理，得， ∴， 又∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得，. ∵点在其对称轴右侧的抛物线上，对称轴为直线， ∴， ∴， 即点的坐标为； ②若以为一腰， ∵点在其对称轴右侧的抛物线上， ∴由抛物线的对称性可知，点与点关于直线对称，此时点的坐标为. 综上所述，点的坐标为或. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、二次函数与特殊三角形问题．利用分类讨论思想是求解第三问的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$