精品解析：河北省廊坊市香河县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024~2025学年八年级第一学期第三次学情评估 数学（人教版） 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则“？”是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2. 将长方形纸片沿竖直虚线对折，用针尖在上面扎出“L”，然后展平，则可得到（ ） A. B. C. D. 3. 下图是驼梁山景区一段索道示意图，点A，B之间的距离为30米，，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（的长）为（ ） A. 18米 B. 16米 C. 15米 D. 12米 4. 如图，已知，若，，则的长为（ ） A. 3.2 B. 3.6 C. 4 D. 4.2 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若正多边形的内角和是，则该正多边形的每个外角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于甲、乙、丙的计算判断正确的是（ ） 甲：；乙：；丙： A. 甲对，乙对 B. 乙错，丙对 C. 乙对，丙错 D. 甲对，丙错 8. 已知射线在内部，点P在射线上，于点E．尺规作图痕迹如图所示．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 对任意整数n，整式的值都能（ ） A. 被10整除 B. 被9整除 C. 被8整除 D. 被7整除 10. 在平面内，将长度分别为1，3，1，d的四条线段，首尾顺次相接组成一个凸四边形，如图所示，则d的值可能是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 11. 在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ） A. B. C. D. 12. 题目：“如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点P，求的度数”．嘉嘉求解的结果是，淇淇说：“嘉嘉的解答正确，但不全面，还有另一个不同的值．”则下列判断中正确的是（ ） A. 淇淇说得对，的另一个值是 B. 淇淇说得不对，只能等于 C. 嘉嘉求的结果不对，应等于 D. 淇淇说得对，的另一个值是 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 点与关于____________（填“x轴”或“y轴”）对称． 14. 如图，在中，是中线，作，与的延长线交于点E，且，则中线的长为____________． 15. 如图，在中，，，垂直平分边，交于点D，交于点E，动点P在线段上，连接，，则周长的最小值为________． 16. 如图1，有边长为b和的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，a的长方形纸片一张，且，把纸片A，C按如图2所示的方式放入纸片B内，图2中的阴影部分面积，则b与a之间的数量关系为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各小题． （1）； （2）． 18. 下图是某休闲广场的平面示意图，A，D是广场的两个入口，，，是小路，现要在广场（四边形）内部修建一处喷泉（点P），使喷泉P满足以下两个条件： ①喷泉P到小路，的距离相等； ②喷泉P到入口A和D的距离相等． 请利用尺规确定点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）． 19. 为测量某工业槽具的壁厚（壁厚均匀），李师傅用特殊工具按如图所示方法测量．这个特殊工具中，． （1）求证：； （2）若测得的长为4厘米，槽具外侧的长为6厘米，求该工业槽具的壁厚． 20. 如图，在中，E是边上一点，点P在的延长线上，于点M，且，． （1）若垂直平分线段，求的度数； （2）若是的高线，是的角平分线，求的度数． 21. 已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）计算的结果． 22. 如图，在四边形中，已知，连接，且，点E在边上，过点A作，垂足为F，且． （1）求证：； （2）试判断，及之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，请直接写出的度数． 23. 完全平方公式：经过适当变形后可解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，，∴，， ∴． 【探究】（1）若，，求的值； 【延伸】（2）若，求的值； 【应用】（3）如图，点C在线段上，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 24. 阅读材料：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段将这个三角形分割成两个小的等腰三角形；那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”： （1）在中，，，是中线，则_______（填“是”或“不是”）的两分线； （2）如图，在中，，平分，．求证：是的两分线； （3）图中①、②均是可两分三角形，请利用量角器和直尺画出①、②的两分线，并标出分成的等腰三角形顶角的度数； （4）已知是可两分三角形，且，为钝角，请直接写出所有可能的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年八年级第一学期第三次学情评估 数学（人教版） 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则“？”是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法．根据同底数幂的乘法法则计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴“？”是6， 故选：D． 2. 将长方形纸片沿竖直虚线对折，用针尖在上面扎出“L”，然后展平，则可得到（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称．根据轴对称的性质判定即可． 【详解】解：根据题意，选项B中的图形关于直线对称， 故选：B． 3. 下图是驼梁山景区一段索道示意图，点A，B之间的距离为30米，，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（的长）为（ ） A. 18米 B. 16米 C. 15米 D. 12米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了含的直角三角形的性质，掌握所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 根据含所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：在中，，米， ∴米． 故选：C． 4. 如图，已知，若，，则的长为（ ） A. 3.2 B. 3.6 C. 4 D. 4.2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，掌握全等三角形对应边相等成为解题的关键． 由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了零次幂，积的乘方，同底数幂除法和整式的乘法．根据零次幂，积的乘方，同底数幂除法和整式的乘法法则求解判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 6. 若正多边形的内角和是，则该正多边形的每个外角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和外角和．边形的内角和可以表示成，根据题意列方程，求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和为解答即可． 【详解】解：设该正多边形的边数为， 根据题意列方程，得， 解得， ∴该正多边形的边数是9， ∵多边形的外角和为， ， ∴该正多边形的一个外角为． 故选：B． 7. 下列关于甲、乙、丙的计算判断正确的是（ ） 甲：；乙：；丙： A. 甲对，乙对 B. 乙错，丙对 C. 乙对，丙错 D. 甲对，丙错 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查乘法公式．根据完全平方公式和平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：甲：，正确； 乙：，原计算错误； 丙：，正确； 观察四个选项，选项B符合题意； 故选：B． 8. 已知射线在内部，点P在射线上，于点E．尺规作图痕迹如图所示．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图、角平分线的判定定理、三角形外角的性质等知识点，掌握角平分线的判定定理是解题的关键． 由题意可得，结合已知条件可得的是的角平分线，易得，最后根据三角形外角的性质列式计算即可． 【详解】解：由作图过程可得：， ∵，， ∴是的角平分线， ∴， ∴． 故选：C． 9. 对任意整数n，整式的值都能（ ） A. 被10整除 B. 被9整除 C. 被8整除 D. 被7整除 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式、整式的混合运算等知识点，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 先利用平方差公式、整式的混合运算法则化简，然后化简后的式子中只要含有因数即可解答． 【详解】解： ． ∵n为整数， ∴能被10整除． 故选：A． 10. 在平面内，将长度分别为1，3，1，d的四条线段，首尾顺次相接组成一个凸四边形，如图所示，则d的值可能是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理．如图，设这个凸四边形为，连接，并设，先在中，根据三角形的三边关系定理可得，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，即从而可得，据此即可解答． 【详解】解：如图，设这个凸四边形为，连接，并设， 在中，，即， 在中，，即， 所以． 观察四个选项可知，只有选项B符合． 故选：B． 11. 在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的外角的性质、全等三角形的判定等知识点，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A．满足两边对应相等且夹角相等，所以剪下的两个三角形全等；不符合题意； B．满足两边对应相等且夹角相等，所以剪下的两个三角形全等；不符合题意； C．如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴根据可知剪下的两个三角形全等；不符合题意； D．如图: 同理可得：，而， 但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意． 故选∶D． 12. 题目：“如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点P，求的度数”．嘉嘉求解的结果是，淇淇说：“嘉嘉的解答正确，但不全面，还有另一个不同的值．”则下列判断中正确的是（ ） A. 淇淇说得对，的另一个值是 B. 淇淇说得不对，只能等于 C. 嘉嘉求的结果不对，应等于 D. 淇淇说得对，的另一个值是 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质等知识点，掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据题意画出图形，分点P在上方和下方，再分别运用等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴； 如图，当点P在上方时： 由作图可知：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在下方时： 同理：， ∴． ∴淇淇说得对，的另一个值是． 故选A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 点与关于____________（填“x轴”或“y轴”）对称． 【答案】x轴 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，“横坐标相等，纵坐标互为相反数的两点关于x轴对称；横坐标互为相反数，纵坐标相等的两点关于y轴对称”．两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，那么过这两点的直线平行于y轴，两点到x轴的距离均为2，由此即可得出答案． 【详解】解：∵两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∴点与关于x轴对称， 故答案为：x轴． 14. 如图，在中，是中线，作，与的延长线交于点E，且，则中线的长为____________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线、全等三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． 由三角形中线的定义可得，再运用证明可得，最后根据中线的定义即可解答． 【详解】解：∵在中，是中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 15. 如图，在中，，，垂直平分边，交于点D，交于点E，动点P在线段上，连接，，则周长的最小值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 如图：连接，先根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长为，再根据两点之间线段最短可得当点P与点E重合时，取得最小值，最小值为的长，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵垂直平分边， ∴， ∵， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点P与点E重合时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴的周长最小值． 故答案为：12． 16. 如图1，有边长为b和的正方形纸片各一张，长和宽分别为b，a的长方形纸片一张，且，把纸片A，C按如图2所示的方式放入纸片B内，图2中的阴影部分面积，则b与a之间的数量关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、列代数式等知识点，用含a，b的代数式表示出是解题的关键． 先用含a，b的代数式表示出，再利用化简即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各小题． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算、单项式除法、整式的四则混合运算等知识点，掌握相关运算法则测截图的关键． （1）先根据积的乘方、幂的乘方化简，然后根据单项式除法发展计算即可； （2）先用多项式乘多项式、单项式乘多项式运算法则计算，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 下图是某休闲广场的平面示意图，A，D是广场的两个入口，，，是小路，现要在广场（四边形）内部修建一处喷泉（点P），使喷泉P满足以下两个条件： ①喷泉P到小路，的距离相等； ②喷泉P到入口A和D的距离相等． 请利用尺规确定点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）． 【答案】 如图：点P的位置即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识点，掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图方法是解题的关键． 作的角平分线，作线段的垂直平分线，两线的交点即为所求点P的位置． 【详解】略 19. 为测量某工业槽具的壁厚（壁厚均匀），李师傅用特殊工具按如图所示方法测量．这个特殊工具中，． （1）求证：； （2）若测得的长为4厘米，槽具外侧的长为6厘米，求该工业槽具的壁厚． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴； （2）该工业槽具的壁厚为厘米． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证是解题关键． （1）利用即可证明； （2）利用全等三角形的性质求得厘米，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，厘米， ∴ ∵厘米， ∴圆形容器的壁厚是：， 该工业槽具的壁厚为厘米． 20. 如图，在中，E是边上一点，点P在的延长线上，于点M，且，． （1）若垂直平分线段，求的度数； （2）若是的高线，是的角平分线，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由垂直平分线的定义可得，，即；易证可得，最后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线的定义可得，三角形的内角和定理可得，再根据三角形外角的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【小问1详解】 解：∵垂直平分线段， ∴，， ∵， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵是的角平分线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴． 21. 已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）计算的结果． 【答案】（1）3 （2）15 （3） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，逆用这些法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则求得，结合（1）所求即可解答； （3）逆用积的乘方法则解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ． 22. 如图，在四边形中，已知，连接，且，点E在边上，过点A作，垂足为F，且． （1）求证：； （2）试判断，及之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，请直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． （2） 解：，理由如下： 如图：连接， ∵，， ， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形性质、三角形内角和、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用用等量代换是解题的关键． （1）先根据角的和差得到，再根据证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）连接，根据条件可证得，然后根据全等三角形的性质及等量代换即可解答； （2）先说明可得，再由三角形全等的性质可得，进而得到，易得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 23. 完全平方公式：经过适当变形后可解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，，∴，， ∴． 【探究】（1）若，，求的值； 【延伸】（2）若，求的值； 【应用】（3）如图，点C在线段上，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）23；（3） 【解析】 【分析】本题主要完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据完全平方公式得出，然后再整体代入求值即可； （2）根据完全平方公式将转化为，然后再整体代入求值即可； （3）设， ，可得，，再根据完成平方公式可得求出，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴，解得： ∴阴影部分的面积． 24. 阅读材料：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段将这个三角形分割成两个小的等腰三角形；那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”： （1）在中，，，是中线，则_______（填“是”或“不是”）的两分线； （2）如图，在中，，平分，．求证：是的两分线； （3）图中①、②均是可两分三角形，请利用量角器和直尺画出①、②的两分线，并标出分成的等腰三角形顶角的度数； （4）已知是可两分三角形，且，为钝角，请直接写出所有可能的度数． 【答案】（1）是 （2） 证明：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴与都是等腰三角形， ∴是的两分线； （3） “两分线”如图所示， （4）符合条件的的度数为或或． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质． （1）根据直角三角形斜边中线的性质即可得解； （2）根据等腰三角形的性质作图求出各角度即可证明； （3）根据“两分线”的定义画出图形即可； （4）根据题意分情况讨论作图即可求解． 【小问1详解】 解：∵中，，，是中线， ∴， ∴与都是等腰三角形， ∴是的两分线； 故答案为：是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图中，当是“两分线”时，如果， 则； 如果，， 则； 如果，， 则（不合题意舍去）； 如图中，当是“两分线”时，，，则， 符合条件的的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $