2024-2025学年中考数学专题分层突破专题十六 四边形（解析版）

2024-2025学年中考数学专题分层突破 专题十六 四边形 一、知识总结 一、多边形： 1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形； （1）内角和：n边形的内角和为(n－2) ×180°； ①三角形的内角和等于180°； ②四边形的内角和等于360°； （2）外角和：任意多边形的外角和为360°； （3）对角线：在多边形中连接 互不相邻 的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线； ①n边形共有条对角线； ②从一个顶点出发的对角线把n边形分成 (n-2)个三角形。 （4）不稳定性：n边形(n>3)具有不稳定性；（三角形具有稳定性） （5）注意： ①多边形的外角和与边数无关； ②多边形的内角中最多有3个锐角。 2.正多边形： （1）边：各条边 都相等 ； （2）内角：各个内角 都相等 ，且正n边形的每个内角为； （3）外角：各个外角相等，且正n边形的每个外角为； （4）对称性： ①正多边形都是 轴 对称图形，其中边数为偶数的正多边形也是 中心 对称图形； ②正n边形有 n 条对称轴； 3.平面镶嵌： （1）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全 覆盖 ，叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)； （2）平面镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为 360°时，可以平面镶嵌。 二、平行四边形： 1.平行四边形的概念： （1）概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； （2）表示：符号“□ABCD”表示，读作“平行四边形ABCD”。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的邻角互补，对角相等； （2）平行四边形的对边平行且相等； 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等； （3）平行四边形的对角线互相平分； （4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。 3.平行四边形的判定： （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4.面积： S=ah(a表示一条边长，h表示此边上的高)； 5.相关结论： （1）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成 面积相等 的四个三角形； （2）同底等高的平行四边形的面积相等； （3）若一条直线过平行四边形的对角线的交点，则这条直线等分平行四边形的面积。 6.三角形的中位线 1）定义：三角形两边中点的连线叫中位线。2）性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 三、特殊平行四边形 1.矩形性质的应用问题 矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有下列性质： ①矩形的四个角都是直角； ②矩形的对角线相等.将这些性质与其他条件结合，可用来证明线段相等或倍分、直线平行以及角相等的问题． 2.矩形的判定方法： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形． 因此，要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明． 3.矩形的折叠问题的常用解题思路： （1）对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各相等的边或角； （2）选择一个直角三角形，运用勾股定理列出方程求解． 4.菱形性质的应用问题 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有下列性质： （1）菱形的四条边都相等； （2）菱形的两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角． 利用菱形的性质求线段的长，主要是利用菱形的四条边都相等，且对角线互相垂直平分，通过构造直角三角形进行求解． 5.菱形的判定方法： （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）四条边都相等的四边形是菱形； （3）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分． 6.正方形性质的应用问题 正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形、菱形，因此正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． 掌握正方形性质的特殊性，对求与正方形有关角的度数及线段的长度问题非常有用，如正方形对角线与边的夹角为45°；正方形的一条对角线把正方形分成两个完全相同的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成4个完全相同的等腰直角三角形． 7.正方形的判定方法： 判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角；还可以先判定四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形有一个角为直角和一组邻边相等． 二、真题演练 分析各地三年中考真题，这部分考题主要考查平行四边形的有关证明与计算，平行四边形周长与面积，多边形的相关计算，菱形、矩形、正方形的有关证明与计算，菱形周长与面积，矩形的折叠及相关计算，正方形的平移旋转，在命题点下拓展其他新的考查形式。形式上年年有创新，年年有新意。从各地中考趋势看常与全等三角形、尺规作图、相似三角形等其他知识结合考查，命题在继承中有创新，创新体现在加大开放探究，设置条件开放，结论开放、解题策略的开放等试题，注重学生思维认知能力的考查。 1．[2024年山西中考真题]如图，在中，AC为对角线，于点E，点F是AE延长线上一点，且，线段，的延长线交于点G.若，，，则BG的长为________. 2．[2023年山西中考真题]如图，在中，.以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE.分别以点A,E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为__________. 3．[2023年山西中考真题]如图，在四边形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O.若，，，则AD的长为__________. 4．[2024年北京中考真题]如图，在正方形中，点E在上，于点F，于点G.若，，则的面积为__________. 5．[2024年上海中考真题]如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则_________（结果用含，的式子表示）. 6．[2024年山西中考真题]综合与探究 问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作于点E，过点C作于点F. 猜想证明：（1）判断四边形AECF的形状，并说明理由； 深入探究：（2）将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，点E，B的对应点分别为点G，H. ①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N.猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由； ②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点Q.若，直接写出四边形AMNQ的面积. 7．[2023年山西中考真题]综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中,.将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）.当时，延长DE交AC于点G.试判断四边形BCGE的形状，并说明理由. 数学思考： （1）谈你解答老师提出的问题. 深入探究： （2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题. ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交BE的延长线于点M,BM与AC交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明.请你解答此问题. ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，，求AH的长.请你思考此问题，直接写出结果. 8．[2024年北京中考真题]如图，在四边形中，E是的中点，，交于点F，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 9．[2024年天津中考真题]如图，正方形的边长为，对角线，相交于点O，点E在的延长线上，，连接. （1）线段的长为______； （2）若F为的中点，则线段的长为______. 10．[2024年天津中考真题]将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，. （I）填空：如图①，点C的坐标为______，点B的坐标为______； （II）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上，点C的对应点为.设. ①如图②，若直线l与边相交于点Q，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点E.试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）. 11．[2024年上海中考真题]如图所示，在矩形中，E为边上一点，且. （1）求证：； （2）F为线段延长线上一点，且满足，求证：. 12．[2024年河北中考真题]情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的. 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示. （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形. 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接.根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长. 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形. 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长. 13．[2024年上海中考真题]四边形为矩形，过A、C作对角线的垂线，过B、D作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为( ) A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形 14．[2024年河北中考真题]下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点M是的中点，连接并延长交于点D，连接. 求证：四边形是平行四边形. 证明：，. ，，， ①______. 又，， （②______）. .四边形是平行四边形. 若以上解答过程正确，①，②应分别为( ) A.， B.， C.， D.， 三、中考预测 预测2025年中考以考查多边形的相关计算、平行四边形的性质、判定、矩形、菱形、正方形的相关计算、矩形、菱形、正方形性质、判定为重点，加大开放探究，注重条件开放、结论开放、解题策略开放，在探究中解决开放性问题。对矩形、菱形、正方形性质、判定的考查中注重学生思维认知能力的考查。 1．陕西某民间灯会活动中,主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案,如图,与为该正多边形的一组相邻边,小丽量得,则这个正多边形的边数为______. 2．在平行四边形中，，，，分别连接、， （1）线段与的位置关系是_______； （2）点E是边上的动点，过点B作直线的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为_______. 3．如图,在矩形中,点E是延长线上的一点,连接,,点F是边的中点,的延长线交于点G,若,,则线段的长为______. 4．如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平,再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,已知,则线段EG的长度为______. 5．如图,将透明直尺叠放在正五边形徽章上,若直尺的下沿于点O,且经过点B,上沿经过点E,则的度数为( ) A. B. C. D. 6．如图,在平行四边形中,,.连接AC,过点B作,交DC的延长线于点E,连接AE,交BC于点F.若,则四边形ABEC的面积为( ) A. B. C.6 D. 7．如图,在矩形中,动点E,F分别从点D,B同时出发,沿,向终点A,C移动.要使四边形为平行四边形,甲、乙分别给出了一个条件,下列判断正确的是( ) 甲：点E,F的运动速度相同； 乙： A.甲、乙都可行 B.甲、乙都不可行 C.甲可行,乙不可行 D.甲不可行,乙可行 8．在学习了平行四边形与菱形的相关知识后,小西进行了更深入的研究,他发现,作平行四边形的一条对角线的垂直平分线与平行四边形的对边相交,这两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形,可利用三角形全等得到此结论.根据他的想法与思路,完成以下作图和填空. (1)如图,在平行四边形中,用尺规作对角线的垂直平分线,分别交、、于点E,F,O,连接、.(不写作法,保留作图痕迹) (2)已知,平行四边形,点E、F分别是、上的点,且垂直平分,求证：四边形是菱形. 证明：在平行四边形中,, ①, 垂直平分, ②,, , , ∵, 四边形是平行四边形, ③, 四边形是菱形. 进一步思考：如果四边形是矩形,作矩形的一条对角线的垂直平分线与矩形的对边相交,则④. 9．综合与探究——课堂上,同学们探究正方形旋转中的数学问题 问题情境：如图1,已知正方形与正方形的边长相同,点E在对角线上(不与B,D重合),点G在的延长线上,线段交边于点M,线段交边于点N. 初步思考：(1)“乐学”小组发现,改变点E的位置,四边形始终是正方形,请你证明； 动态分析：(2)如图2,“善思”小组将正方形绕点E顺时针旋转,线段交边于点M,线段交边于点N,对角线交边于点K.他们提出如下问题,请你解答：当时,猜想线段与之间的数量关系,并说明理由； 拓展探究：(3)“好问”小组在“善思”小组的基础上继续将正方形绕点E顺时针旋转,设直线交边于点P,直线交边于点Q.若正方形的边长为6,,当直线经过点A时,直接写出四边形的面积. . 10．如图1，在正方形中，点、分别为边、上的动点，且，、分别交对角线于点P、Q. （1）如图2，当时， ①求证； ②当时，求的值； （2）求的值； （3）如图3，连接，当E在上移动时是否发生变化？如果不发生变化，求出的值；如果发生变化请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年中考数学专题分层突破 专题十六 四边形（解析版） 一、知识总结 一、多边形： 1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形； （1）内角和：n边形的内角和为(n－2) ×180°； ①三角形的内角和等于180°； ②四边形的内角和等于360°； （2）外角和：任意多边形的外角和为360°； （3）对角线：在多边形中连接 互不相邻 的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线； ①n边形共有条对角线； ②从一个顶点出发的对角线把n边形分成 (n-2)个三角形。 （4）不稳定性：n边形(n>3)具有不稳定性；（三角形具有稳定性） （5）注意： ①多边形的外角和与边数无关； ②多边形的内角中最多有3个锐角。 2.正多边形： （1）边：各条边 都相等 ； （2）内角：各个内角 都相等 ，且正n边形的每个内角为； （3）外角：各个外角相等，且正n边形的每个外角为； （4）对称性： ①正多边形都是 轴 对称图形，其中边数为偶数的正多边形也是 中心 对称图形； ②正n边形有 n 条对称轴； 3.平面镶嵌： （1）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全 覆盖 ，叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)； （2）平面镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为 360°时，可以平面镶嵌。 二、平行四边形： 1.平行四边形的概念： （1）概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； （2）表示：符号“□ABCD”表示，读作“平行四边形ABCD”。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的邻角互补，对角相等； （2）平行四边形的对边平行且相等； 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等； （3）平行四边形的对角线互相平分； （4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。 3.平行四边形的判定： （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4.面积： S=ah(a表示一条边长，h表示此边上的高)； 5.相关结论： （1）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成 面积相等 的四个三角形； （2）同底等高的平行四边形的面积相等； （3）若一条直线过平行四边形的对角线的交点，则这条直线等分平行四边形的面积。 6.三角形的中位线 1）定义：三角形两边中点的连线叫中位线。2）性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 三、特殊平行四边形 1.矩形性质的应用问题 矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有下列性质： ①矩形的四个角都是直角； ②矩形的对角线相等.将这些性质与其他条件结合，可用来证明线段相等或倍分、直线平行以及角相等的问题． 2.矩形的判定方法： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形． 因此，要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明． 3.矩形的折叠问题的常用解题思路： （1）对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各相等的边或角； （2）选择一个直角三角形，运用勾股定理列出方程求解． 4.菱形性质的应用问题 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有下列性质： （1）菱形的四条边都相等； （2）菱形的两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角． 利用菱形的性质求线段的长，主要是利用菱形的四条边都相等，且对角线互相垂直平分，通过构造直角三角形进行求解． 5.菱形的判定方法： （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）四条边都相等的四边形是菱形； （3）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分． 6.正方形性质的应用问题 正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形、菱形，因此正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． 掌握正方形性质的特殊性，对求与正方形有关角的度数及线段的长度问题非常有用，如正方形对角线与边的夹角为45°；正方形的一条对角线把正方形分成两个完全相同的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成4个完全相同的等腰直角三角形． 7.正方形的判定方法： 判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角；还可以先判定四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形有一个角为直角和一组邻边相等． 二、真题演练 分析各地三年中考真题，这部分考题主要考查平行四边形的有关证明与计算，平行四边形周长与面积，多边形的相关计算，菱形、矩形、正方形的有关证明与计算，菱形周长与面积，矩形的折叠及相关计算，正方形的平移旋转，在命题点下拓展其他新的考查形式。形式上年年有创新，年年有新意。从各地中考趋势看常与全等三角形、尺规作图、相似三角形等其他知识结合考查，命题在继承中有创新，创新体现在加大开放探究，设置条件开放，结论开放、解题策略的开放等试题，注重学生思维认知能力的考查。 1．[2024年山西中考真题]如图，在中，AC为对角线，于点E，点F是AE延长线上一点，且，线段，的延长线交于点G.若，，，则BG的长为________. 答案： 解析：在中,,,可得,, 四边形是平行四边形, ,, , (依据:等角对等边). 设,则, 在中,由勾股定理,得,即,解得,即, 如图,过点G作,垂足为H,则, ,(依据:相似三角形的对应边成比例). ,. 设,则,,, ,. 2．[2023年山西中考真题]如图，在中，.以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE.分别以点A,E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为__________. 答案： 解析：如图，连接EF.由尺规作图可知BP平分，.四边形ABCD是平行四边形，，，，四边形ABEF是菱形，.易求得，. 3．[2023年山西中考真题]如图，在四边形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O.若，，，则AD的长为__________. 答案： 解析：如图，过点A作于点M，AM交BD于点P，过点D作于点N. ，， . 又，， .易知四边形CDNM是矩形， . 结合，易证， ，. 又， . 又，， ， ， ， . 4．[2024年北京中考真题]如图，在正方形中，点E在上，于点F，于点G.若，，则的面积为__________. 答案： 解析：根据正方形的性质，得，， ， ， , ， ， ， ， ， 的面积为； 故答案为：. 5．[2024年上海中考真题]如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则_________（结果用含，的式子表示）. 答案： 解析：四边形是平行四边形，，.是上一点，，，，，故答案为：. 6．[2024年山西中考真题]综合与探究 问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作于点E，过点C作于点F. 猜想证明：（1）判断四边形AECF的形状，并说明理由； 深入探究：（2）将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，点E，B的对应点分别为点G，H. ①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N.猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由； ②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点Q.若，直接写出四边形AMNQ的面积. 答案：（1）矩形 （2）①；②或 解析：（1）四边形AECF为矩形. 理由如下：，， ，. 四边形ABCD为菱形，，. . 四边形AECF为矩形. （2）①. 理由如下： 证法一：四边形ABCD为菱形，，. 旋转得到， ，. ，. ，. ，. . 证法二：如图，连接HD. 四边形ABCD为菱形，，. 旋转得到， ，. ，. . . . ，. . ②或. 7．[2023年山西中考真题]综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中,.将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）.当时，延长DE交AC于点G.试判断四边形BCGE的形状，并说明理由. 数学思考： （1）谈你解答老师提出的问题. 深入探究： （2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题. ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交BE的延长线于点M,BM与AC交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明.请你解答此问题. ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，，求AH的长.请你思考此问题，直接写出结果. 答案：（1）四边形BCGE为正方形.理由见解析 （2）①；② 解析：（1）四边形BCGE为正方形. 理由：，. ，.. 又，，四边形BCGE为矩形. ，，矩形BCGE为正方形. （2）①. 证明：交BE的延长线于点M，. 又，，，. 又，. ②AH的长为. 解法提示：如图，设AB，DE的交点为M，过点M作于点G. ，，，， ，. 又，.， 又，点G是BD的中点. 由勾股定理得，. ，， ，. ，，，， ，. 8．[2024年北京中考真题]如图，在四边形中，E是的中点，，交于点F，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 答案：（1）见详解 （2） 解析：（1）证明：E是的中点，， ， ， 四边形为平行四边形； （2）， ， 在中，，， ， E是的中点，， ， 四边形为平行四边形， ， 在中，由勾股定理得. 9．[2024年天津中考真题]如图，正方形的边长为，对角线，相交于点O，点E在的延长线上，，连接. （1）线段的长为______； （2）若F为的中点，则线段的长为______. 答案：（I）2 （II） 解析：(1)四边形是正方形, ,, 在中,, , , , ； 故答案为:2. (2)延长到点G,使,连接EG,过E作于H, F为中点,A为中点, 为中位线, , 在中,, , , , , 在中, , . 故答案为:. 10．[2024年天津中考真题]将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B，C在第一象限，且，. （I）填空：如图①，点C的坐标为______，点B的坐标为______； （II）若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点落在x轴的正半轴上，点C的对应点为.设. ①如图②，若直线l与边相交于点Q，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点E.试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）. 答案：（1）， （2）①；② 解析：（I）过点C作 四边形是平行四边形，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为:，. （II）①由折叠知，，，则. 点，得. . 四边形为平行四边形， ，.得. 为等边三角形.有. ，即， ，其中t的取值范围是. ②如图:过点C作， 由（1）得出，， ， ， ， 当时， ， ，开口向上，对称轴直线， 在时，随着t的增大而增大， ； 当时，如图: ， ，S随着t的增大而增大， 在时，， 在时，， 当时，； 当时，过点E作轴，如图: 由①得出是等边三角形，， ， ，， ， ， ， 开口向下，在时，S由最大值， ， 在时，， ， 则在时，； 当时，如图: , ，S随着t的增大而减小， 在时，则把，分别代入， 得出， ， 在时，， 综上:. 11．[2024年上海中考真题]如图所示，在矩形中，E为边上一点，且. （1）求证：； （2）F为线段延长线上一点，且满足，求证：. 答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 解析：（1）证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）证明：连接交于点O，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， . 12．[2024年河北中考真题]情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的. 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示. （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形. 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接.根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长. 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形. 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长. 答案：（1） （2），；的长为或. 解析：如图，过作于K， 结合题意可得：四边形为矩形， ， 由拼接可得：， 由正方形的性质可得：， ，，为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 设， ， ，， 正方形的边长为2， 对角线的长， ， ， 解得：， ； （2）为等腰直角三角形，； ， ， ， ， ； 如图，以B为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线， 此时，，符合要求， 或以C圆心，为半径画弧，交于P，交于Q，则直线为分割线， 此时，， ， 综上：的长为或. 13．[2024年上海中考真题]四边形为矩形，过A、C作对角线的垂线，过B、D作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为( ) A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形 答案：A 解析：如图所示： 四边形为矩形， ，， 过A、C作对角线的垂线，过B、D作对角线的垂线， ， 如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形， 故选：A. 14．[2024年河北中考真题]下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点M是的中点，连接并延长交于点D，连接. 求证：四边形是平行四边形. 证明：，. ，，， ①______. 又，， （②______）. .四边形是平行四边形. 若以上解答过程正确，①，②应分别为( ) A.， B.， C.， D.， 答案：D 解析：证明：，.，，，①.又，，（②）..四边形是平行四边形.故选：D. 三、中考预测 预测2025年中考以考查多边形的相关计算、平行四边形的性质、判定、矩形、菱形、正方形的相关计算、矩形、菱形、正方形性质、判定为重点，加大开放探究，注重条件开放、结论开放、解题策略开放，在探究中解决开放性问题。对矩形、菱形、正方形性质、判定的考查中注重学生思维认知能力的考查。 1．陕西某民间灯会活动中,主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案,如图,与为该正多边形的一组相邻边,小丽量得,则这个正多边形的边数为______. 答案：/十二 解析：由题意知,, ∴, ∴, 设这个正多边形的边数为n, 依题意得,, 解得,, 故答案为：. 2．在平行四边形中，，，，分别连接、， （1）线段与的位置关系是_______； （2）点E是边上的动点，过点B作直线的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为_______. 答案：； 解析：（1）平行四边形，， 平行四边形是菱形， ， 故答案为：， （2）如图，记，，二线交于点G， ， 点G在以为直径的圆上， 设圆心为O，则半径， 连接， ，菱形， ， 是等边三角形 ， 是等边三角形， ，， 点F的运动路径为， 的长为：， 故答案为：. 3．如图,在矩形中,点E是延长线上的一点,连接,,点F是边的中点,的延长线交于点G,若,,则线段的长为______. 答案：/ 解析：过点E作于H,交于P,如图, ∵矩形, ∴,, ∴, ∵点F是边的中点, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴,, ∴,, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵,即, ∴, ∴即, ∴, ∴, 故答案为：. 4．如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平,再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,已知,则线段EG的长度为______. 答案： 解析：如答图,由第一次折叠得,, ∴,. ∵四边形ABCD是矩形, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, 又由第二次折叠得, ∴, ∴, ∴. 由第二次折叠得, ∴. ∵,, ∴,∴, ∴. ∵, ∴. ∵四边形ABCD是矩形, ∴. 由第二次折叠得. 由第一次折叠得. 在中,由勾股定理得, 故答案为：. 5．如图,将透明直尺叠放在正五边形徽章上,若直尺的下沿于点O,且经过点B,上沿经过点E,则的度数为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意可得, ∵, ∴, ∴四边形中,, ∴, 故选：B. 6．如图,在平行四边形中,,.连接AC,过点B作,交DC的延长线于点E,连接AE,交BC于点F.若,则四边形ABEC的面积为( ) A. B. C.6 D. 答案：B 解析：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴,,,, ∵, ∴四边形ABEC为平行四边形, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, 即, ∴平行四边形ABEC是矩形, ∴, ∴, ∴矩形ABEC的面积为. 故选：B 7．如图,在矩形中,动点E,F分别从点D,B同时出发,沿,向终点A,C移动.要使四边形为平行四边形,甲、乙分别给出了一个条件,下列判断正确的是( ) 甲：点E,F的运动速度相同； 乙： A.甲、乙都可行 B.甲、乙都不可行 C.甲可行,乙不可行 D.甲不可行,乙可行 答案：A 解析：若添加甲条件,可证四边形为平行四边形,理由如下： 四边形是矩形 , 又点E,F分别从点D,B同时出发且运动速度相同 即 四边形为平行四边形； 若添加乙条件,可证四边形为平行四边形,理由如下： 四边形是矩形 ,,, 在和中 即 四边形为平行四边形. 故选A. 8．在学习了平行四边形与菱形的相关知识后,小西进行了更深入的研究,他发现,作平行四边形的一条对角线的垂直平分线与平行四边形的对边相交,这两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形,可利用三角形全等得到此结论.根据他的想法与思路,完成以下作图和填空. (1)如图,在平行四边形中,用尺规作对角线的垂直平分线,分别交、、于点E,F,O,连接、.(不写作法,保留作图痕迹) (2)已知,平行四边形,点E、F分别是、上的点,且垂直平分,求证：四边形是菱形. 证明：在平行四边形中,, ①, 垂直平分, ②,, , , ∵, 四边形是平行四边形, ③, 四边形是菱形. 进一步思考：如果四边形是矩形,作矩形的一条对角线的垂直平分线与矩形的对边相交,则④. 答案：(1)作图见解析 (2),,,两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形 解析：(1)如图所示,直线、线段和即为所求； (2)证明：在平行四边形中,, , 垂直平分, ,, , , ∵, 四边形是平行四边形, , 四边形是菱形. 进一步思考：如果四边形是矩形,作矩形的一条对角线的垂直平分线与矩形的对边相交,则两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形. 理由：同理上可得,四边形是菱形. 故答案为：,,,两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形. 9．综合与探究——课堂上,同学们探究正方形旋转中的数学问题 问题情境：如图1,已知正方形与正方形的边长相同,点E在对角线上(不与B,D重合),点G在的延长线上,线段交边于点M,线段交边于点N. 初步思考：(1)“乐学”小组发现,改变点E的位置,四边形始终是正方形,请你证明； 动态分析：(2)如图2,“善思”小组将正方形绕点E顺时针旋转,线段交边于点M,线段交边于点N,对角线交边于点K.他们提出如下问题,请你解答：当时,猜想线段与之间的数量关系,并说明理由； 拓展探究：(3)“好问”小组在“善思”小组的基础上继续将正方形绕点E顺时针旋转,设直线交边于点P,直线交边于点Q.若正方形的边长为6,,当直线经过点A时,直接写出四边形的面积. 答案：(1)见解析 (2),理由见解析 (3)11 解析：(1)证明：如图, ∵正方形, ∴,,, ∴,, ∴, 同理, ∴, ∴, ∴, ∵正方形, ∴, ∴四边形是矩形, ∴四边形是正方形. (2), 理由：如图, 由(1)知：, ∵正方形,正方形, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∵,, ∴, ∴. (3)如图,过点E作于M,作于N, ∵正方形, ∴,,,, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵,, ∴,, ∴四边形是矩形, ∴,,, ∴ ∴ ∵ ∴ ∴,, ∴, ∴, ∵正方形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴. 10．如图1，在正方形中，点、分别为边、上的动点，且，、分别交对角线于点P、Q. （1）如图2，当时， ①求证； ②当时，求的值； （2）求的值； （3）如图3，连接，当E在上移动时是否发生变化？如果不发生变化，求出的值；如果发生变化请说明理由. 答案：（1）①见解析 ② （2） （3）不发生变化， 解析：（1）①证明：正方形， ，，，， ， ，， 为等腰直角三角形， ， . 在和中， ， . ②如图，连接交于点G，则， ， ， 由①知，，， 又， ， 在和中， ， . ， ， . （2）如图，连接， ， ， 又， ， . （3）不发生变化，理由如下： 如图，连接， 由（2）知， ， 又， 为等腰直角三角形， . 学科网（北京）股份有限公司 $$