精品解析：福建省莆田市哲理中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024－2025学年上学期九年级数学期中考试卷 一、选择题： 1. 下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心进行分析即可 【详解】A.不是中心对称图形,故此选项错误 B.是中心对称图形,故此选项正确; C.不是中心对称图形,故此选项错误 D.不是中心对称图形,故此选项错误; 故选B 【点睛】此题考查中心对称图形，难度不大 2. 已知⊙O的半径是4，OP＝7，则点P与⊙O的位置关系是（ ）． A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得⊙O的半径为4，则点P到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点P在⊙O外． 【详解】解：∵OP＝7，r＝4， ∴OP＞r， 则点P在⊙O外． 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r． 3. 已知＝5，则的值是（ ） A. B. ﹣ C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由=5，可得b=5a，然后代入，即可求出其值． 【详解】解： ， ，且 ， 则 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确运用基本性质．本题中要先确定a与b的关系，再确定a-b与a+b的关系． 4. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，然后判断作答即可． 【详解】解：， ， ∴或， 解得，，， 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解此题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 5. 如果抛物线开口向下，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口向下可得不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∴． 故选择：B． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记“时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．” 6. 如图，D是边AB上一点，过点D作交AC于点E．若，则的值（ ） A. 2：3 B. 4：9 C. 2：5 D. 4：25 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 7. 如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形． 由网络可得出线段和的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标． 【详解】解：如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为， 故选：C 8. 如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． 【详解】解：A．能判定，符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； B．不能判定，不符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； C．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似； D．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似． 故选B． 9. 如图，中，点C为弦中点，连接，，，点D是上任意一点，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA，在上取点E，连接AE，BE，先证明，可得∠AOB=112°，结合圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可求解． 【详解】解：连接OA，在上取点E，连接AE，BE， ∵点C为弦中点， ∴OC ⊥AB，即∠ACO=∠BCO=90°， 又∵AC=BC，OC=OC， ∴， ∴∠AOC=，即：∠AOB=112°， ∴∠E=∠AOB=56°， ∵四边形ADBE是的内接四边形， ∴=180°-56°=124°， 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、圆的内接四边形的性质，添加辅助线，构造圆的内接四边形，是解题的关键． 10. 如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 是等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，，结合选项逐一判定即可． 【详解】解：∵旋转，点旋转后的对应点恰好在直线上， ∴， ∴，，，， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∴，故C选项正确，不符合题意； ∵与不一定相等， ∴不一定是等腰三角形，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 二、填空题： 11. 在直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：在直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转40°后得到，若，则的度数是______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据将绕点O按逆时针方向旋转后得到，可得，即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质． 13. 如图，在中，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，．点、，，处的读数分别为，，，，若直尺宽，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入得到，进一步即可得到答案 【详解】∵点，，，处的读数分别为，，0，1． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得： 故答案为：1． 14. 若抛物线与x轴只有一个公共点，则k的值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】令y=0得到关于x的一元二次方程，由抛物线与x轴只有一个交点，得到方程根的判别式等于0，计算求解即可． 【详解】解：令y=0，得到 ． ∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴==64-4k=0，解得k=16 故答案为：16． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键在于明确交点个数与判别式△的关系． 15. 如图，在⊙O中，AB为直径，弦于点H，若，则⊙O的半径长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】连接OC，设圆的半径为x，根据垂径定理可得CH=4，在Rt△OCH中由勾股定理建立方程求解即可； 【详解】解：如图，连接OC，设圆的半径为x， 由垂径定理可得：CH=CD=4， Rt△OCH中，OH=AH-AO=8-x，则 ， ， 解得：x=5，即⊙O半径为5， 故答案为：5； 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识；掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题关键． 16. 如图，已知，相邻两条平行直线间的距离相等，的三个顶点分别在这三条平行直线上，且，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义，构造“K”字形转换线段长度之间的关系为解题关键．过点A作的垂线，垂足为D，过点B作的垂线，垂足为E、F，设之间的距离为a，则与之间的距离也为a，根据为等腰直角三角形，可推出，则，则，，即可得到. 【详解】解：如图1所示， 过点A作的垂线，垂足为D，过点B作的垂线，垂足为E、F， 设之间的距离为a，则与之间的距离也为a， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 三、解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据特殊角的三角函数值，零指数幂计算即可． 【详解】解： ． 18. 如图，中，，点是内一点，将旋转后能与重合 （1）旋转中心是点______； （2）若，求旋转角的度数． 【答案】（1） （2）旋转角的度数为 【解析】 【分析】本题主要考查的旋转的性质，等腰三角形的定义，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质，结合题意即可求解； （2）根据等边对等角，三角形内角和定理得到的角度，由旋转的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵将旋转后能与重合， ∴旋转中心是点， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵将旋转后能与重合， ∴旋转角为，旋转角的度数为． 19. 如图，∠1 = ∠2，∠C = ∠D，求证：． 【答案】 证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE， ∴∠BAC＝∠EAD， ∵∠C = ∠D， ∴△BAC∽△EAD， ∴． 【解析】 【分析】根据∠1＝∠2可得∠BAC＝∠EAD，结合∠C＝∠D，证明△BAC∽△EAD，再根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 20. 如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED． （1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由； （2）求证：． 【答案】 解：（1）直线EO与AB垂直．理由如下： 如图，连接EO，并延长交CD于F． ∵ EO过点O，E为AB的中点， ． （2），， ． ∵ EF过点O， ， 垂直平分CD， ． 【解析】 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）易证，由垂径定理可得结论. 【详解】略 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键. 21. 在综合实践课上，某兴趣小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，在地面C处测得A处的仰角为处的仰角为．（图中所有点都在同一平面内） （1）求的距离； （2）求这架无人机的飞行高度． 【答案】（1）80m （2）m 【解析】 【分析】（1）根据路程速度时间即可得到结论； （2）过作于，于，得到，m，推出是等腰直角三角形，求得，设，根据三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 解：的距离m； 【小问2详解】 过作于，于， 则，m， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， ， ， 答：这架无人机的飞行高度为m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 22. 如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E． （1）求证：AC是∠DAB的平分线； （2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长． 【答案】 （1）证明：连接，如图： ∵直线与相切于点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是的平分线． （2）6． 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCM＝90°，得到OC∥AD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论； （2）连接BC，连接BE交OC于点F，根据勾股定理求出BC，证明△CFB∽△BCA，根据相似三角形的性质求出CF，得到OF的长，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，连接交于点，如图： ∵AB是的直径 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，为线段中点 ∵， ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∵为直径中点，为线段中点 ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质以及三角形中位线的性质，适当的添加辅助线是解题的关键． 23. 已知整数，，，．满足，． （1）求证：为正数； （2）若为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵，则 ∴为正数． （2） 不可以，理由如下： ∵，，，为整数，为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴为偶数， ∴，同为偶数或者同为奇数， ∴为偶数， 若为奇数，则为奇数， ∴为奇数， ∴为奇数与为偶数矛盾， ∴不可以为奇数． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、奇数和偶数的识别等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． （1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明． （2）由，，，为整数，为偶数，可得出为偶数，进而可得出为偶数，为偶数，若为奇数，则为奇数，则为奇数，与为偶数矛盾，则不可以为奇数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知，如图1，在中，点E是中点，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）如图2，点G是边上任意一点（点G不与点B、C重合），连接交于点H，连接，过点A作，交于点K． ①求证：； ②当时，恰有，求n的值． 【答案】（1） 证明： 中，， ，， 又点E是中点， ， ； （2） ①证明：如图，作交于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ，， ， ∴， ∴． 由（1）的方法可知，， ∴， ∴； ② 5 【解析】 【分析】（1）由中，可得，，结合，可证； （2）由得，，再证，得出，同（1）可证，推出，等量代换可得； （3）作交于M，分别证明，，，根据相似三角形的性质计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：如图，作交于M， ∵， ∴，， ∵， ，， ， ． ∵， ，， ， ， ， ∵，， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 25. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，能否为直角三角形，请简要说明； （3）如图2，经过定点作直线与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值？若为定值请求出定值，若不为定值，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不存在第三象限的点，使为直角三角形；理由如下， ∵，令，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点， ∴，，， ①当，由勾股定理得， ∴， 整理得， 解得， 此时点与点重合， ∴不存在点，使； ②当，由勾股定理得， ∴， 整理得， 解得，， ∵点D在第三象限内的一点， ∴， 此时点与点重合， ∴不存在点，使； ③当，由勾股定理得， 即， 整理得，即， 解得或， ∴不存在点，使； 综上，不存在第三象限的点，使为直角三角形； （3）是4，是定值 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）点，，，，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，据此解答即可； （3）设经过点的一次函数的解析式为，，，得到，利用根与系数的关系，公式变形计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线解析式为与x轴交于，两点， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是定值．理由如下： 设经过点的一次函数的解析式为， ∴， ∴， 故一次函数的解析式为， 设，， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ， 同理可证，， ∴ ， ∴，是定值． 【点睛】本题考查了待定系数法，勾股定理，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，熟练掌握待定系数法，勾股定理，根与系数的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年上学期九年级数学期中考试卷 一、选择题： 1. 下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知⊙O的半径是4，OP＝7，则点P与⊙O的位置关系是（ ）． A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 不能确定 3. 已知＝5，则的值是（ ） A. B. ﹣ C. D. 4. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 5. 如果抛物线开口向下，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，D是边AB上一点，过点D作交AC于点E．若，则的值（ ） A. 2：3 B. 4：9 C. 2：5 D. 4：25 7. 如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，点C为弦中点，连接，，，点D是上任意一点，则度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 是等腰三角形 二、填空题： 11. 在直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是_____． 12. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转40°后得到，若，则的度数是______． 13. 如图，在中，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，．点、，，处的读数分别为，，，，若直尺宽，则的长为______． 14. 若抛物线与x轴只有一个公共点，则k的值为________． 15. 如图，在⊙O中，AB为直径，弦于点H，若，则⊙O的半径长为______． 16. 如图，已知，相邻两条平行直线间的距离相等，的三个顶点分别在这三条平行直线上，且，，则的值是______． 三、解答题 17. 计算： 18. 如图，中，，点是内一点，将旋转后能与重合 （1）旋转中心是点______； （2）若，求旋转角的度数． 19. 如图，∠1 = ∠2，∠C = ∠D，求证：． 20. 如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED． （1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由； （2）求证：． 21. 在综合实践课上，某兴趣小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，在地面C处测得A处的仰角为处的仰角为．（图中所有点都在同一平面内） （1）求的距离； （2）求这架无人机的飞行高度． 22. 如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E． （1）求证：AC是∠DAB的平分线； （2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长． 23. 已知整数，，，．满足，． （1）求证：为正数； （2）若为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 24. 已知，如图1，在中，点E是中点，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）如图2，点G是边上任意一点（点G不与点B、C重合），连接交于点H，连接，过点A作，交于点K． ①求证：； ②当时，恰有，求n的值． 25. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，能否为直角三角形，请简要说明； （3）如图2，经过定点作直线与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值？若为定值请求出定值，若不为定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $