精品解析： 山东省济宁市兖州区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024~2025学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题 （时间：100分钟 满分：100分） 卷面要求：整洁美观，格式规范，布局和谐 卷首语：大胆假设，小心求证，尽力去做！ 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10道小题，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分，本大题共30分． 1. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可． 【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意； B．图案成轴对称，故符合题意； C．图案不成轴对称，故不符合题意； D．图案不成轴对称，故不符合题意； 故你：B． 2. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 3. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 4. 计算：（　　） A 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法等，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式运算法则分别判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ） A. 与一定相等 B. 与一定不相等 C. 与一定相等 D. 与一定不相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵点P在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：A， 7. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可． 【详解】解：， ， ， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解， 故选：A． 8. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A.， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 9. 某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设实际平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵， 根据题意，可列方程：， 故选：B． 【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程． 10. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】如图1，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，证明，则，是等边三角形；进而可判断①的正误；由，可知，进而可判断②的正误；由的周长为，可知当时，最短， 的周长最小，进而可判断③的正误；如图2，当时，，则是等边三角形，则与重合，与交于点；进而可判断④的正误． 【详解】解：如图1，连接，作于，于， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形；①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值；②正确，故符合要求； ∵的周长为， 当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求； 如图2，当时， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴与重合，与交于点；④错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，多边形内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，平行线的性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共70分） 二、填空题：本大题共5道小题，每小题3分，共15分，要求只写出最后结果． 11. 若一个多边形每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】9 【解析】 【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9． 故答案为：9． 12. 计算的结果为___． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式计算后再加减即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键． 13. 如图，在中，点D、E分别在边、上，如果，那么的大小为___________． 【答案】##240度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，补角的计算，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和的性质可得，再根据平角的定义，即可求得答案． 【详解】 ， ． 故答案为：． 14. 如图，，，，如果点P在线段上以/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则t的值是____________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当和②当时，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解，利用全等三角形对应边相等，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意知，，， ， ①当时， ∴， ， ； ②当时， ∴， ， ， 综上，当的值是1或时，能够使与全等， 故答案为：1或． 15. 如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形等知识的综合，理解等边三角形的性质，构造三角形全等，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接，证明，得到，当时，值最小，根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，结合坐标与图形即可求解． 【详解】解：如图所示，以边，在左边作等边三角形，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 和中， ， ∴， ∴， ∴的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：4 ． 三、解答题：本大题共7道小题，满分55分，解答应写出文字说明和推理步骤． 16. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式混合运算和分式加减运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式，积的乘方，合并同类项法则进行计算即可； （2）根据异分母分式加减运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，112 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键；因此此题根据乘法公式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解： ； ∵， ∴原式． 18. 如图，在与中，点在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见解析； （2）2． 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件． （1）直接利用全等三角形的判定方法即可证明； （2）由全等三角形的性质可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 即． 19. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线．求证：DE＝DF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质得到∠ADB＝∠ADC＝90°，∠1＝∠2，再通过证明△ADE和△ADF全等，即可求解． 【详解】证明：如图， ∵AB＝AC，D为BC中点， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠1＝∠2， ∵DE、DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线， ∴，， ∴∠ADE＝∠ADF， 在△ADE和△ADF中， ， ∴△ADE≌△ADF（ASA）， ∴DF＝DE． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，涉及了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 20. 【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①，② 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可； （2）①把式子加上9，再减去9，再仿照题意分解因式即可； ②把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可． 【详解】解：（1） ． （2）①原式 ． ②原式 ． 21. 定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 【答案】（1）A与B互为“和整分式”，“和整数值”. （2）①，②1 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，理解题意是解此题的关键． （1）先计算，再根据结果即可得解； （2）①求出，结合题意得出，计算即可得解；②先求出，再结合题意计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ， ∴A与B互为“和整分式”，和“整数值”； 【小问2详解】 解：，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴； ②∵， 若分式D的值为正整数， ∴或， 解得或（舍去）， ∴正整数x的值为1． 22. 如图，是等边三角形，，，，延长至E，使，连接． （1）求证：； （2）求的面积； （3）点M，N分别是线段，上的动点，连接，求的最小值． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”可得，，根据，可得，即有，问题得证； （2）过D点作于点G，利用含角的直角三角形的性质可得，问题随之解得； （3）将沿向下翻转得到，再作N点关于的对称点H，连接、、，根据对称性有：，，，先证明、是等边三角形，即有，结合图形有：，当M点在上时，，此时有最小值，即可得，问题得解． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 过D点作于点G，如图， ∵，，， ∴在中，， ∵在（1）中已求出， ∴； 【小问3详解】 将沿向下翻转得到，再作N点关于的对称点H，连接、、，如图所示， 根据翻折可知：、关于轴对称， ∴N点关于的对称点H在上， 根据对称性有：，，， ∴， ∴是等边三角形， ∵N点关于的对称点是点H， ∴垂直平分线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 结合图形有：， 当M点在上时，，此时有最小值， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，灵活利用轴对称构造辅助线，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题 （时间：100分钟 满分：100分） 卷面要求：整洁美观，格式规范，布局和谐 卷首语：大胆假设，小心求证，尽力去做！ 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10道小题，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分，本大题共30分． 1. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线 3. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 4. 计算：（　　） A. 2 B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ） A. 与一定相等 B. 与一定不相等 C. 与一定相等 D. 与一定不相等 7. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 8. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共70分） 二、填空题：本大题共5道小题，每小题3分，共15分，要求只写出最后结果． 11. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 12. 计算的结果为___． 13. 如图，在中，点D、E分别在边、上，如果，那么的大小为___________． 14. 如图，，，，如果点P在线段上以/秒速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则t的值是____________． 15. 如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为__________． 三、解答题：本大题共7道小题，满分55分，解答应写出文字说明和推理步骤． 16. 计算： （1） （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在与中，点在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 19. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线．求证：DE＝DF． 20. 【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 21. 定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； （2）已知分式，，C与D互“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 22. 如图，等边三角形，，，，延长至E，使，连接． （1）求证：； （2）求的面积； （3）点M，N分别是线段，上的动点，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $