精品解析：辽宁省大石桥市水源镇九年一贯制学校2024-2025学年八年级上学期期中质量监测数学试卷

2024——2025学年度上学期期中质量监测 八年数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各组线段中，能构成三角形的是（　　　）． A. 3，4，7 B. 4，5，6 C. 5，5，11 D. 6，8，16 2. 下列体育运动图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，的三个外角度数的比为，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点．已知与的周长分别为和，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，钢架桥是一种常见的桥梁结构形式，其中蕴含了一个数学道理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 6. 如图，这两个三角形全等，则∠1的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A岛在B岛的北偏西80°方向，A岛在C岛的南偏西65°方向，则的度数为（ ） A. 35° B. 45° C. 65° D. 80° 8. 如图在等腰中，其中，，P是内一点，且，则等于（ ） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 9. 正三角形中，，与交于点P，的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，是的一条角平分线，点E，F分别是线段，上的动点，若，，那么线段的最小值是（ ） A. B. 5 C. 4 D. 6 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 已知等腰三角形的周长为，一边长为，则它的另两边长为_____． 12. 已知、，点C在x轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的C有 _____个． 13. 如图，在四边形ABCD中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则______． 14. 如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则点A到直线CD的距离是_____． 15. 如图所示，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N再分别以MN为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的有________． ①AD是的平分线；②；③点D在AB的中垂线上；④ 三、解答题 16. 如图，在中，， （1）求证：； （2）以为边，作等边三角形，且点在的左侧，连接，，．求的面积． 17. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求和的度数． 18. 按要求完成作图． （1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P的点的坐标： 19. 如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点P在上，已知． （1）求证：； （2）求的长． 20. 如图，已知中，平分，且，点是延长线上一点，且，过点作于点． （1）求证：； （2）判断的形状并说明理由． （3）若，求的长． 21. 如图所示，在△ABC中AB＝AC，AD⊥BC，BE⊥AC，AE＝BE． （1）△AEH与△BEC全等吗？请说明理由； （2）求证：AH＝2CD． 22. 我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 23. 【课本再现】我们知道：三角形三个内角的和等于，利用它我们可以推出结论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【定理证明】 （1）为证明此定理，小红同学画好了图形（如图1），写好了“已知”和“求证”，请你完成证明过程经， 已知：如图1，是的一个外角． 求证：． 【知识应用】 （2）如图2，在中，，点D在BC边上，交AC于点F，，求的度数． （3）如图3，直线与直线相交于点O，夹角为锐角，点B在直线上且在点O右侧，点C在直线上且在直线上方，点A在直线上且在点O左侧运动，点E在射线CO上运动（不与点C、O重合）．当时，平分，平分交直线于点G，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025学年度上学期期中质量监测 八年数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各组线段中，能构成三角形的是（　　　）． A. 3，4，7 B. 4，5，6 C. 5，5，11 D. 6，8，16 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各选项进行一一判断即可． 【详解】解：A选项，3＋4＝7，不能构成三角形，不符合题意； B选项，4＋5＝9>6，能构成三角形，符合题意； C选项，5＋5＝10<11，不能构成三角形，不符合题意； D选项，6＋8＝14<16，不能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题关键． 2. 下列体育运动图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意， 选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 3. 在中，，，的三个外角度数的比为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，解一元一次方程等知识点，根据三角形的外角和等于列出方程，解方程即可，熟练掌握三角形的外角和等于是解决此题的关键． 【详解】解：设的三个外角度数分别为， ∴， 解得，， ∴的外角为， ∴， 故选：B． 4. 如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点．已知与的周长分别为和，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是的垂直平分线得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线 ∴， ∵与的周长分别为和， ∴，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握性的垂直平分线的性质是解题的关键． 5. 如图，钢架桥是一种常见的桥梁结构形式，其中蕴含了一个数学道理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【解析】 【分析】根据图示，三角形的性质即可求解，本题主要考查三角形的稳定性，理解图示，掌握三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，蕴含了一个数学道理是三角形具有稳定性， 故选：． 6. 如图，这两个三角形全等，则∠1的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等去判定对应关系后计算． 【详解】解：由图可得：边c的对角为：， ∵两个三角形全等， ∴， 故选：D． 7. 如图，A岛在B岛的北偏西80°方向，A岛在C岛的南偏西65°方向，则的度数为（ ） A. 35° B. 45° C. 65° D. 80° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，与方向角有关的计算．根据题意，可知， ，，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意可知：，，， ∴， ∴； 故选A． 8. 如图在等腰中，其中，，P是内一点，且，则等于（ ） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 【答案】A 【解析】 【分析】根据的条件，求出的度数，再根据，∠1=∠2，求出，于是可求出，然后根据三角形的内角和定理求出∠BPC的度数． 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，关键是根据的条件，求出的度数． 9. 正三角形中，，与交于点P，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定方法，是解题的关键．证明，进而得到，根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 10. 如图，在中，，是的一条角平分线，点E，F分别是线段，上的动点，若，，那么线段的最小值是（ ） A. B. 5 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，交于，此时，即的最小值，利用面积法可求出的值，即的最小值． 【详解】解：过点作于点，交于， ，是的一条角平分线， 点为底边的中点，，， 点、关于对称， ， ，此时的最小值， ，， ， ， ， 的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 已知等腰三角形的周长为，一边长为，则它的另两边长为_____． 【答案】##、 【解析】 【详解】本题考查了等腰三角形的定义和性质，分等腰三角形的腰长为与等腰三角形的底边长为两种情况去分析求解，即可求得答案，利用分类讨论思想是解题的关键． 解：当等腰三角形的底长为时，腰长； ∵，能构成三角形， ∴等腰三角形的三边长为； 当等腰三角形的腰长为时，底长， ∵，不能构成三角形， ∴等腰三角形的腰长不能为； ∴等腰三角形另外两边的长为， 故答案为：． 12. 已知、，点C在x轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的C有 _____个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，分，，三种情况，根据等腰三角形性质即可求解． 【详解】解：以B为圆心，以为半径画弧，交x轴于，两点，此时； 以A为圆心，以为半径画弧，交x轴于点，此时； 作的垂直平分线交x轴于，此时， 满足这样条件的C有: （个）， 故答案为：4． 13. 如图，在四边形ABCD中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义可得，，再根据四边形的内角和可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：∵的角平分线与的外角平分线相交于点P， ∴，， ∵在四边形ABCD中，， ∴， 由三角形的外角性质得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形的内角和、角平分线的定义等知识点，熟练掌握角平分线的性质及外角性质是解题关键． 14. 如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则点A到直线CD的距离是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据垂直的定义得到∠BCD=，延长CD到H使DH=CD，由线段中点的定义得到 AD=BD ，根据全等三角形的性质得到 AH=BC=4． 【详解】∵ DC⊥BC， ∴ ∠BCD=， ∵ ∠ACB=， ∴ ∠ACD=， 如图，延长 CD 到 H 使 DH=CD ， ∵ D 为 AB 的中点， ∴ AD=BD， 在 ΔADH 与 ΔBCD 中， ， ∴ ΔADH≅ΔBCD(SAS)， ∴ AH=BC=4，∠AHD=∠BCD=90°， ∴点A到CD的距离为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 15. 如图所示，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N再分别以MN为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的有________． ①AD是的平分线；②；③点D在AB的中垂线上；④ 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①根据题目中尺规作图的步骤即可判断出AD是的平分线； ②利用直角三角形两锐角互余求出的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出结论； ③通过角平分线的定义能够得出，则然后根据垂直平分线性质定理的逆定理即可得出结论； ④根据含30°的直角三角形的性质得出，则，又因为和高相同，则和面积之间的关系可求． 【详解】由题干可知，AD是的平分线，故①正确； ∵， ∴ ∵AD平分∠BAC ∴ , 故②正确； ∴点D在AB的中垂线上，故③正确； ∵和高相同， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，角平分线的定义，掌握等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，角平分线的定义是解题的关键． 三、解答题 16. 如图，在中，， （1）求证：； （2）以为边，作等边三角形，且点在的左侧，连接，，．求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， ， ； （2） 16 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键； （1）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理求出，即可解答； （2）过点D作，交的延长线于点，由等边三角形的性质得，，再利用所对直角边是斜边的一半得出，最后由三角形面积公式即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，交的延长线于点， 是等边三角形， ，， ， ， 的面积， 的面积为； 17. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求和的度数． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和三角形的外角性质，三角形高线、角平分线的定义，根据定义解题即可． 【详解】解：∵是的高， ∴． 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴． ∵，是角平分线． ∴， ， ∴． 在中，． 18. 按要求完成作图． （1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P的点的坐标： 【答案】 （1）分别作出点三点关于y轴对称的点，然后连接，，，则即为所求，如图所示： （2）x轴上使PA+ PC最小的点P，点P的坐标为(-3，0)，如图所示． 【解析】 【分析】（1）分别作出点三点关于y轴对称的点，然后连接，，，即可； （2）确定出点A关于x轴的对称点的位置，然后连接，根据轴对称确定最短路线问题，与x轴的交点即为所求的点P． 【详解】解：（1）略 （2）点A关于x轴的对称点，则 由三角形三边关系可得，当三点共线时，，此时最小， 由图形可得：， 则 设直线的解析式为，代入、得 ，解得，即 令，解得， ∴点P的坐标为(-3，0) 【点睛】此题考查了轴对称作图，以及轴对称的性质，涉及了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 19. 如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点P在上，已知． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：由题意得：， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ 在和中 ， ∴； （2）的长为 【解析】 【分析】（1）根据垂直及各角之间的等量代换得出，再由全等三角形的判定即可证明； （2）由题意得：，再由全等三角形的性质结合图形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：， 由（1）得， ∴． ∴， 答：的长为． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 20. 如图，已知中，平分，且，点是延长线上一点，且，过点作于点． （1）求证：； （2）判断的形状并说明理由． （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， 在和中， ， ， （2） 是等腰三角形． 证明：过作，与的延长线交于点，如图， ，，， ， ， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据角平分线的定义可得，，进而结合已知条件根据证明即可； （2）过作，与的延长线交于点，证明，便可得出结论； （3）设，证明，用表示，进而表示，再由线段和差求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 21. 如图所示，在△ABC中AB＝AC，AD⊥BC，BE⊥AC，AE＝BE． （1）△AEH与△BEC全等吗？请说明理由； （2）求证：AH＝2CD． 【答案】（1） △AEH≌△BEC，理由如下： ∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠BEC＝∠AEH＝90°， ∵∠CBE+∠BHD＝90°，∠EAH+∠AHE＝90°，∠AHE＝∠BHD， ∴∠EAH＝∠CBE， 在△AEH和△BEC中， ∴△AEH≌△BEC（ASA）． （2） 证明：∵△AEH≌△BEC， ∴AH＝BC， ∵，， ∴BC＝2BD， ∴AH＝2BD． 【解析】 【分析】（1）根据垂直得到直角，再利用等角的余角相等，得出∠EAH＝∠CBE，根据“ASA”证明△AEH≌△BEC即可； （2）根据全等三角形的性质得出AH＝BC，根据等腰三角形的性质，得出BC＝2BD，即可证明结论． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，对顶角的性质，根据题意证明∠EAH＝∠CBE，熟记三角形全等的判定方法，是解题的关键． 22. 我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】（1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理； 【清想论证】（2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】（3）请利用（2）中的结论解决问题，如图3，在中，，．平分，求证：． 【答案】（1）③ ； （2），理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】解：（1）∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2） 略 （3） 略 23. 【课本再现】我们知道：三角形三个内角的和等于，利用它我们可以推出结论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【定理证明】 （1）为证明此定理，小红同学画好了图形（如图1），写好了“已知”和“求证”，请你完成证明过程经， 已知：如图1，是的一个外角． 求证：． 【知识应用】 （2）如图2，在中，，点D在BC边上，交AC于点F，，求的度数． （3）如图3，直线与直线相交于点O，夹角为锐角，点B在直线上且在点O右侧，点C在直线上且在直线上方，点A在直线上且在点O左侧运动，点E在射线CO上运动（不与点C、O重合）．当时，平分，平分交直线于点G，求的度数． 【答案】（1）如图1中，∵，， ∴． （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和为180度，平角为180度，等量代换即可证明； （2）利用三角形外角的性质先求出，再根据平行线的性质可得 （3）分点E在点O的上方和下方两种情况，画出图形，利用三角形内角和定理、外角的性质、角平分线的定义，分别求解即可． 【详解】解：【定理证明】 （1）略 【知识应用】（2）如图2中，∵， ∴， ∵， ∴； （3）①当点E在点O的上方时，如图3-1： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， 即． ②当点E在点O的下方时，如图3-2： 由题意知，，，， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质，熟练运用等量代换及分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $