精品解析：河南省南阳市2024-2025学年高三上学期期末数学试题

2024年秋期高中三年级期终质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，再结合复数的四则运算求解. 【详解】因为，则，可得. 所以. 故选：B. （改编自《数学》（必修第一册）第7页例4） 2. 已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，利用集合的真子集个数公式可求得集合的真子集个数. 【详解】因为，则， 所以，集合的真子集个数为. 故选：A. 3. 直线交圆于、两点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】直线与圆方程联立，求出点坐标，再根据平面向量数量积的坐标运算，可求. 【详解】联立解得：，， 所以. 故选：D 4. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合立方和公式可得，结合二项式的展开式通项公式求结论. 【详解】因为. 的二项展开式的通项公式为. 而， 所以的系数为为. 故选：C. 5. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 【点睛】二进制转换为十进制方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权（即该数位上的1表示2的多少次方），然后相加之和即是十进制数，是基础题. 6. 已知点，Q为曲线上任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设Q的坐标为，利用两点间的距离公式建立关于的函数关系式，从而求得最大值. 【详解】为曲线上任意一点，可设， 所以 当时，最大. 故选：C. 7. 已知函数，则（ ） A. 当时，在区间上单调递增 B. 当时，的图象关于点对称 C. 若将的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值为 D. 若在区间上恰有两个极值点，三个零点，则实数的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】把代入，利用余弦函数的性质求解判断AB；利用图象变换网络零售一图象特征列式求解判断C；求出相位的范围，由已知列出不等式求解判断D. 【详解】对于AB，当时，，当时，， 函数在区间上单调递减，，的图象关于不对称，AB错误； 对于C，的图象向左平移个单位长度，得， 由图象与原图象重合，得，解得，的最小值为，C错误； 对于D，当时，，由在区间上恰有两个极值点，三个零点， 得，解得，因此实数的最大值为，D正确. 故选：D 8. 如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件依次求得两点的坐标，由此可求得的值. 【详解】设椭圆标准方程为，双曲线的标准方程为， 则，由，， 所以，所以椭圆方程可化为， 由，两式相减得， ，则， 根据对称性可知关于原点对称，关于轴对称. 则， 直线的方程为. 将代入得， 由，解得或， 而，，所以， 所以，所以双曲线方程可化为， 由消去并化简得， 设，解得，所以， 所以. 故选：B 【点睛】本题中，涉及圆和双曲线、圆和椭圆、直线和双曲线等图象的“交点”，求交点的坐标，主要是通过联立方程组来进行求解，要注意运算的准确性，另外也要注意运算的速度.在双曲线和椭圆中，的关系是不相同的. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 一组数据，，，，，，，，的分位数为 B. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 在对高三某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中，抽取男生人，其平均数为，方差为；抽取女生人，其平均数为，方差为，则这名学生物理成绩的方差为 D. 若随机变量，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求样本的分位数，判断A，由条件结合相关系数的定义确定相关系数判断B，根据分层抽样的方差公式求这名学生物理成绩的方差判断C，结合正态密度曲线的对称性可求结论判断D. 【详解】对于A：该组数据已从小到大排序，又， 故分位数为第位，即，故A错误； 对于B：因为样本点都在直线上，说明是负相关且相关系数为，故B错误； 对于C：这名同学物理成绩的平均数为：， 所以这名同学物理成绩的方差为：，故C正确； 对于D：因为，且，所以， 所以，故D正确. 故选：CD. 10. 小明在“数学建模活动”课中，取两个三角形模具，把它们的斜边靠在一起，如图所示，三角形模具绕着可以转动.其中斜边，，，则（ ） A. 当A，B，C，D四点共面时， B. 当A，B，C，D四点共面时，设与交于点，则 C. 当平面平面时， D. 当A、B、C、D不共面时，四点A、B、C、D在同一球面上，且此球的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用余弦定理判断A；由及三角形面积公式列方程求边长判断B；由面面、线面垂直的性质定理得，即可求边长判断C；取的中点并说明其为外接球球心，进而求半径，可得球体的体积判断D. 【详解】由，，，可得，，. 对于A：， 由余弦定理得，错误； 对于B：由，得 即，解得，正确； 对于C：过作于，则为中点，连接. 当面面时，面面，面，则面. 而面，则，所以为直角三角形，，正确； 对于D：取的中点，则， 所以四点A、B、C、D在同一球面上，且球的半径为5， 所以，正确. 故选：BCD 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数存在唯一极值点，且 B. 令，则函数无零点 C. 若恒成立，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由在上单调递增，又，，即可判断A；由导数判断出恒大于0，恒大于0，即可判断B；由的值域即可判断C；由的单调性即可判断D. 【详解】对于A：，显然在上单调递增，又，， 所以，使得，故A正确； 对于B：由A得，，使得，即，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以恒大于0； 所以要研究函数的零点，只需研究函数的零点. 由，令，， ，当时，，即在单调递增， 当时，，即在单调递减， 所以，即，即在单调递增， 又时，，所以， 由恒大于0，恒大于0，故无零点，故B正确； 对于C：由B得，由恒成立，得在恒成立， 所以，即，故错误； 对于D：因为在单调递增，又，，则， 所以，即， 整理得， 不等式两边同除以得，，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 某校高三年级有男生660人，女生440人，现按性别用分层随机抽样的方法从高三年级所有学生中抽取5人组成某活动志愿者小队，再从被抽取的这5人中抽取2人作为志愿者小队队长，则恰有1名男队长的概率为_____. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据分层抽样确定5人的组成，应用组合数及古典概型的概率求法求概率即可. 【详解】由分层抽样知，所抽取的这5人中有3男2女，所以恰有1个男队长的概率. 故答案为： 13. 已知等差数列的前项和为，若，且，，，四点共面（为该平面外一点），则_____. 【答案】 【解析】 【分析】结合空间向量共面定理可得，再结合等差数列前项和公式求结论. 【详解】因为，所以. 因为，，，四点共面， 所以，即 所以. 故答案为：. 14. 已知双曲线的方程为：，离心率为，过的右支上一点，作两条渐近线的平行线，分别交轴于，两点，且.过点作的角平分线，在角平分线上的投影为点，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由条件先求双曲线的渐近线方程，表示的方程，求点的坐标，结合关系可求双曲线方程，延长交于点，结合双曲线定义可得，结合关系求的范围可得结论. 【详解】， ，即， ∴两渐近线方程为， 为右支上一点，. 设，， 分别令，可得，， 又，， 即，， ∴双曲线方程为，故，，. 延长交于点，如图， 平分且，， 又，，为的中点， ， ， 易知，，， ，即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用表示的坐标，结合条件关系求出双曲线方程，再结合平面几何知识及双曲线定义利用表示. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）如图（1），在圆O的内接四边形ABCD中，，，，求四边形ABCD的面积． （2）如图（2），设圆O的内接四边形的边长分别为a，b，c，d，试证明其面积为． 【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）连接BD，分别在和 中，利用余弦定理，结合 ，得到，然后由求解； （2）连接AC，分别在和中，利用余弦定理结合，求得，再由，结合，得到，由证明. 【详解】（1）如图所示： 连接BD，在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得:, 因为，则， 两式相减得， 又， 所以， 所以. （2）如图所示： 连接AC，在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得: , 因为，则， 两式相减得：， 所以， 而， 因为， 所以， 所以， 所以， 则， ， 即. 16. 已知抛物线. （1）求抛物线在点处的切线方程； （2）若直线交抛物线于不同于原点的两点，，经研究，下面三个结论等价，请选择其中一个作为条件，证明其他两个成立. ①；②直线过定点；③，. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）法一：设斜率并应用点斜式写出直线方程，联立抛物线得到一元二次方程，再由求斜率，即可得直线方程；法二：应用导数几何意义求切线方程； （2）设直线联立抛物线得到一元二次方程，写出韦达公式，根据所选条件应用向量垂直的坐标表示并带入韦达公式得到参数关系证明结论即可. 【小问1详解】 法一：显然抛物线在处的切线的斜率存在，设其为， 则切线方程为，与抛物线联立，得， 即，只需，解得， 所以切线方程为. 法二：要求抛物线在处的切线，则由可得 所以在处的切线的斜率，所以切线方程为. 【小问2详解】 因为直线交抛物线于，两点，所以可设直线 由，消去可得， 所以，，， ， ， 由①②③：因为，所以，即， 所以（舍去）. 所以直线经过定点，即证②. 所以，，即证③. 由②①③：因为直线经过定点，则 由上面可得，，即证③； 所以，所以，即证①. 由③①②：因为，， 所以，所以，即证①. 由上面可得，解得， 所以直线经过定点，即证②. （改编自《数学》）（选择性必修第一册）第219页A组第6题） 17. 高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申. （1）从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率； （2）从数学成绩超过分的同学中随机抽取人. ①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望； ②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果） 【答案】（1） （2）①分布列见解析，；②. 【解析】 【分析】（1）解法一：记事件所抽取的学生的数学成绩超过分，记事件所抽取的学生的总成绩超过分，求出、的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率； 解法二：确定数学成绩超过分的学生人数，以及数学成绩超过分中总成绩超过分的学生人数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）①分析可知的可能取值有：、、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求出的值； ②由题意可知，利用二项分布期望公式可求得的值. 【小问1详解】 解法一：记事件所抽取的学生的数学成绩超过分，则， 记事件所抽取的学生的总成绩超过分，则， 所以. 即任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为； 解法二：数学成绩超过分的有人，其中包含总成绩超过分以上的有人， 所以任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为 【小问2详解】 ①名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的， 所以所有可能的取值为：、、、， ，， ，. 所以的分布列为： . ②名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的， 按可放回抽样的方式随机抽取，则随机变量，所以. 18. 已知函数. （1）当时，求证：的图象关于点对称； （2）若，，证明：； （3）若，恒有，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称中心的定义计算即可证明； （2）解法一：求函数导函数根据，在上递减结合指数运算及对数运算即可证明；解法二：先把不等式转化为，再构造函数得出函数的单调性即可证明； （3）解法一：先应用特殊值法得出，所以，再构造函数得出函数的单调性即可求解；解法二：构造，有两个实根，一根小于1，一根大于1，计算求解，进而得出，最后计算求参. 【小问1详解】 当时，的定义域为. 对任意，都有 因为恒成立， 所以的图象关于点对称； 【小问2详解】 解法一：， 当时，是递增函数，因此，， 又，所以，在上递减， ， 因为，所以， 从而； 解法二：因为，所以， 欲证，只需证明 记，则 因为，，， 所以， 所以，在上递减， 因为，所以， 从而； 【小问3详解】 解法一：因为，恒有，所以 即，所以. 当时，因为，所以， 记，则 在上递减，在上递增，， 所以 综上所述的取值范围是. 解法二：，， 当时，，在上是减函数， 当时，， 因此不可能恒成立. 时，由得， 记，， 则有两个实根，一根小于1，一根大于1， 大于1的根为，知它是关于的减函数， 注意到在上是增函数，且， 即时，，时，， 所以时，，递减，时，，递增， 所以， 时，，此时， 记，在上递减，在上递增，且， 因此，，即成立. 当时，，， 当时，，，所以不恒成立. 综上，时，恒成立 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数再应用导函数得出函数单调性进而计算求解. 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中），且为该平面的法向量. （1）若平面，，且，求实数的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； （3）记集合中所有点构成的几何体为. ①求的体积的值； ②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小. 【答案】（1） （2） （3）①16；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可得两个面的法向量，结合向量垂直运算求解； （2）分析可知几何体为正八面体.法1：根据题中公式直接求内切圆半径，即可得表面积；法2：利用等体积法求内切圆半径，即可得表面积； （3）根据题意分析几何体的结构特征.①利用割补法求体积；②求相应的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故. 【小问2详解】 不妨设，在平面内取一点，则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面距离为 对于， 当时，表示经过，，的平面在第一象限的部分. 由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体. 法1：设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离， 则. 所以内切球的表面积为； 法2：考虑； 即为三个坐标平面与围成的四面体，其四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为， 由对称性知，正八面体的体积， 设内切球的半径为，正八面体的表面积为， 所以，解得：. 所以内切球的表面积为； 【小问3详解】 由（2）可知所围几何体是关于平面，，对称的， 其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中、OB、两两垂直，且. 集合所表示的几何图形也关于平面，，对称， 其在第一卦限内的部分的图形如图（1）， ①如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果. 所以所构成的几何体如图3所示. 法一：其中正方体记为集合所构成的区域. 而构成了一个正四棱锥，且到面的距离为1， 所以， 所以几何体的体积. 法二：从图2可以看出，几何体在第一卦限的部分为有公共底面的两个三棱锥和. 设其体积为. 由正方体的性质可知面. 因为，， 所以其体积. 所以几何体的体积. ②由题意可知：面方程为，所以其法向量，面方程为，其法向量. 所以 由图知两个相邻面所成角为钝角. 故相邻两个面所成角为. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何新定义，解题关键是利用新定义求出法向量，然后利用向量求法得到所要求的二面角余弦值即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期高中三年级期终质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. （改编自《数学》（必修第一册）第7页例4） 2. 已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 3. 直线交圆于、两点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 计算机是将信息转换成二进制进行处理，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，Q为曲线上任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 当时，区间上单调递增 B. 当时，的图象关于点对称 C. 若将的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值为 D. 若在区间上恰有两个极值点，三个零点，则实数的最大值为 8. 如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 一组数据，，，，，，，，的分位数为 B. 若一组样本数据对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C. 在对高三某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中，抽取男生人，其平均数为，方差为；抽取女生人，其平均数为，方差为，则这名学生物理成绩的方差为 D. 若随机变量，且，则 10. 小明在“数学建模活动”课中，取两个三角形模具，把它们的斜边靠在一起，如图所示，三角形模具绕着可以转动.其中斜边，，，则（ ） A. 当A，B，C，D四点共面时， B. 当A，B，C，D四点共面时，设与交于点，则 C. 当平面平面时， D. 当A、B、C、D不共面时，四点A、B、C、D在同一球面上，且此球的体积为 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数存在唯一极值点，且 B. 令，则函数无零点 C. 若恒成立，则 D 若，，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 某校高三年级有男生660人，女生440人，现按性别用分层随机抽样的方法从高三年级所有学生中抽取5人组成某活动志愿者小队，再从被抽取的这5人中抽取2人作为志愿者小队队长，则恰有1名男队长的概率为_____. 13. 已知等差数列的前项和为，若，且，，，四点共面（为该平面外一点），则_____. 14. 已知双曲线的方程为：，离心率为，过的右支上一点，作两条渐近线的平行线，分别交轴于，两点，且.过点作的角平分线，在角平分线上的投影为点，则的取值范围为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）如图（1），在圆O的内接四边形ABCD中，，，，求四边形ABCD的面积． （2）如图（2），设圆O的内接四边形的边长分别为a，b，c，d，试证明其面积为． 16 已知抛物线. （1）求抛物线在点处的切线方程； （2）若直线交抛物线于不同于原点的两点，，经研究，下面三个结论等价，请选择其中一个作为条件，证明其他两个成立. ①；②直线过定点；③，. （改编自《数学》）（选择性必修第一册）第219页A组第6题） 17. 高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申. （1）从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率； （2）从数学成绩超过分的同学中随机抽取人. ①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望； ②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果） 18. 已知函数. （1）当时，求证：的图象关于点对称； （2）若，，证明：； （3）若，恒有，求实数的取值范围. 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中），且为该平面的法向量. （1）若平面，，且，求实数的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； （3）记集合中所有点构成的几何体为. ①求的体积的值； ②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $