专题07 一线三等角 讲义 2025年江苏省中考数学专题复习

专题复习——一线三等角 一、一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角，不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”． 二、一线三等角的分类 1、K字型全等 同侧 锐角 直角 钝角 异侧 模型性质总结： 题目如果两个条件：“一线三等角”和对应边相等的两个条件，必全等． 模型常见背景： “一线三等角”的背景图形一般为正方形、等边三角形、等腰三角形等等． 2、K字型相似 K字型相似基本图形1: 条件：B，C，E三点共线,∠B=∠ACD=∠E=90° 结论：△ABC∽△CED K字型相似基本图形2: 条件：B，D，C三点共线,∠B=∠EDF=∠C= α 结论：△BDE∽△CFD 证明： 1．（2024.苏州中考真题）7. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 2、（2022秋•如东县期中）如图，△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且∠BDE=90°，DB=DE=AE，若BC=5，则AD的长是 ． 3、（2022春•金牛区校级期中）在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB=42cm,AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为 cm. 4、（2023秋•锡山区校级月考）如图，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=6，则△BCD的面积为 ． 5、（2023春•海曙区期末）如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC=12，则AB的长为 ． 6、（2022•惠州一模）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=30°，AB=AC=4，D为边AB上一动点（B点除外）连接CD，作ED⊥CD，且ED=CD，连接BE，则△BDE面积的最大值为 ． 7、（2022春•锦江区校级期中）已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB=AC，AD=AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F． （1）如图1，当AB=AD时 ①请直接写出BF与DF的数量关系：BF DF（填“＞”、“＜”、“=”） ②求证：CE=2AF （2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 8、（2022•齐齐哈尔模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，则AF的最小值是（　　） A．5 B． C．2 D．3 9、（2023•郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD=2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为 时， △CDE与△ACE相似． 10、（2022•信阳模拟）如图，平面直角坐标系中，A（4，0），点B为y轴上一点，连接AB，tan∠BAO=2，点C，D为OB，AB的中点，点E为射线CD上一个动点．当△AEB为直角三角形时，点E的坐标为（　　） 11、（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE=3，BF=2，FC=6，则DG的长是（　　） A．4 B． C． D．5 12、（2022秋•铁西区期中）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=60°，若DE＝4，＝，则AD的长度为 ． 13、（2024南通中考）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______． 14、（2024扬州中考）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． （1）如图，若，，求点与点之间的距离； （2）如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； （3）如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 15、（2023.南通中考）25. 正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点． （1）如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________； （2）过点作，垂足为，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题复习——一线三等角 一、一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角，不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”． 二、一线三等角的分类 1、K字型全等 同侧 锐角 直角 钝角 异侧 模型性质总结： 题目如果两个条件：“一线三等角”和对应边相等的两个条件，必全等． 模型常见背景： “一线三等角”的背景图形一般为正方形、等边三角形、等腰三角形等等． 2、K字型相似 K字型相似基本图形1: 条件：B，C，E三点共线,∠B=∠ACD=∠E=90° 结论：△ABC∽△CED K字型相似基本图形2: 条件：B，D，C三点共线,∠B=∠EDF=∠C= α 结论：△BDE∽△CFD 证明： 1．（2024.苏州中考真题）7. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 2、（2022秋•如东县期中）如图，△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且∠BDE=90°，DB=DE=AE，若BC=5，则AD的长是 ． 10 3、（2022春•金牛区校级期中）在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，其中AB=42cm,AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为 cm. 18或28 4、（2023秋•锡山区校级月考）如图，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=6，则△BCD的面积为 ． 【答案】9． 【分析】过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，根据垂直定义可得∠AEB=∠DFC=90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DBF+∠BDF=90°，再利用平角定义可得∠ABE+∠DBF=90°，从而利用同角的余角相等可得∠ABE=∠BDF，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得BE=BC=3，再证明一线三等角全等模型△AEB≌△BFD，从而可得BE=DF=3，最后利用三角形的面积进行计算即可解答． 5、（2023春•海曙区期末）如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC=12，则AB的长为 ． 6、（2022•惠州一模）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=30°，AB=AC=4，D为边AB上一动点（B点除外）连接CD，作ED⊥CD，且ED=CD，连接BE，则△BDE面积的最大值为 ． 7、（2022春•锦江区校级期中）已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB=AC，AD=AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F． （1）如图1，当AB=AD时 ①请直接写出BF与DF的数量关系：BF DF（填“＞”、“＜”、“=”） ②求证：CE=2AF （2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 8、（2022•齐齐哈尔模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，则AF的最小值是（　　） A．5 B． C．2 D．3 【答案】A 9、（2023•郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD=2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为 时， △CDE与△ACE相似． (，0)或(，0) 10、（2022•信阳模拟）如图，平面直角坐标系中，A（4，0），点B为y轴上一点，连接AB，tan∠BAO=2，点C，D为OB，AB的中点，点E为射线CD上一个动点．当△AEB为直角三角形时，点E的坐标为（　　） 【答案】C 11、（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE=3，BF=2，FC=6，则DG的长是（　　） A．4 B． C． D．5 【答案】B 12、（2022秋•铁西区期中）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=60°，若DE＝4，＝，则AD的长度为 ． 6 13、（2024南通中考）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 14、（2024扬州中考）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． （1）如图，若，，求点与点之间的距离； （2）如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； （3）如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】（1）或； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为，解方程即可； （）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为然后由二次函数的性质求解即可； （）连接，由四边形是正方形，得，即点对角线所在直线上运动，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴，即，则， 解得：或， ∴或； 【小问2详解】 设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，有最大，最大值为； 【小问3详解】 连接， ∵四边形是正方形， ∴， 即点在对角线所在直线上运动， 如图，作关于的对称点，连接，过作于点， ∴，四边形为矩形， 则点三点共线，， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∴在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 15、（2023.南通中考）25. 正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点． （1）如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________； （2）过点作，垂足为，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值． 【答案】（1） （2）的度数为或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件得到，即可得到答案； （2）当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，证明，得到，推出为等腰直角三角形，得到答案； 当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，同理得到，得到为等腰直角三角形得到答案； （3）由平行的性质得到分线段成比例． 【小问1详解】 ． 正方形， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：①当点在边上时（如图）， 过点作，垂足为，延长交于点． ， 四边形是矩形． ． ，， ， 为等腰直角三角形，． ． ． ． ， ． 为等腰直角三角形，． ． ②当点在边上时（如图）， 过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形， 同理，． ． 为等腰直角三角形，． ． 综上，的度数为45°或135°． 【小问3详解】 解：当点在边延长线上时，点在边上（如图）， 设，则． ． ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的分线段成比例以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$