5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

利用函数性质判定方程解的存在性 ---邹文婷 试判断下列方程根的个数： 不会求解 一个 两个 眼力脑力大比拼 一次、二次方程，很容易求解，对于三次、四次方程，在16世纪，数学家也找到了一般的根式解法，但直到19世纪，阿贝尔、伽罗瓦等数学家才发现，其实高于四次以及含有指数对数形式的方程，没有根式解法，因此对于方程（3）我们必须另辟蹊径 1.画出下列函数图像，写出函数图像与X轴交点的坐标 x y -2 -1 0 1 2 3 4 2.判断下列方程根的个数，并求解 思考：方程的根和函数图像与x轴交点坐标有什么关系？ 方程的不相等的实数根个数与函数图像与x轴交点个数相同 方程的实数根就是函数图像与x轴交点的横坐标 由特殊到一般 对于函数 y=f(x) ，我们把使 f(x)=0 的 实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点。 1.函数的零点： 思考：零点是不是点？ 零点不是点，是实数 方程f(x)=0的根 对于函数 y=f(x) ，我们把使 f(x)=0的 实数 x 叫做函数y=f(x) 的零点。 1.函数零点的定义： 思考：零点是不是一个点？ 零点不是点，是实数 函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标 方程f(x)=0的根 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)图像与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 数 形 2.三个等价关系： ①（方程法）解方程 的根. [总结]:判定函数 有零点的方法有哪些？ 思考2：如果一个函数的图象画不出来，且相应的方程的根也解不出来，那么我们能不能判断这个函数是否存在零点呢？ ②（图象法）利用函数的图象找零点. ___0. ___ . ___0. ____ ； 有 有 < < 1. 观察二次函数 的图象填空: 2. 由右图回答: ___0. __ . < 有 ● ● y x O x1 x2 x3 ● ● 思考3：通过以上两个例子，你能概括归纳出：一个函数f(x)在区间[a,b]上应满足什么条件可以得出f(x)在区间(a,b)上存在零点. 【探究】 3.零点存在性定理： 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) · f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的根。 存在性 零点唯一吗？ y o y o 不唯一 零点存在定理加强版 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，且是单调函数，那么这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4 -1.31 1.10 3.39 5.61 7.79 9.95 12.08 14.20 画图看函数零点有1个 几何画板演示，让学生通过数形结合，确定函数零点所在区间，学生得出的不同答案，可以使学生意识到零点的区间是不唯一的 1.函数 的零点所在区间是（ ） 　　Ａ（２，３）　　　　　　Ｂ（０，１）　　 　　Ｃ（１，２）　　　　　　Ｄ（３，４） Ａ C 判断零点个数 方程法 解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点 图像法   零点存在定理 先画出图像（整体画或分拆画），再用定理验证；也可以结合函数单调性。 判零点个数     方程法 判零点个数     方程法 图像法 判零点个数   ③f(0)=1+0-2=-1<0, f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0, ∴f(x)=0在(0,2)上必定存在实根. 又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点. 定理法 试判断函数 的零点个数. 所以原函数零点即为函数y＝x2与y＝3x图象 交点的横坐标，在同一直角坐标系下，作出 两函数的图象(如图). 解：令函数 则有 由图象知，两函数的交点只有1个. 所以，函数 的零点有1个. 课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获？ 1.一个关系：函数零点与方程根的关系； 2.两种思想：函数与方程思想，数形结合思想； 3.三种题型：求函数零点、判断零点所在区间、求零点个数． 函数 方程 零点 根 数 值 存在性 个 数 感谢聆听，谢谢大家 ！ 解析　因为f(1)=ln 2-<0,f(2)=ln 3-1>0, 且函数f(x)在(0,+∞)上连续, 所以函数的零点所在区间为(1,2).故选C. 2. 函数f(x)=ln(x+1)－的零点所在的大致区间是(　　). A.(3,4) B.(2,e) C.(1,2) D.(0,1) 方法指导　根据零点的存在性定理判断. $$