精品解析：上海民办华曜宝山实验学校 2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

上海民办华曜宝山实验学校2024学年度第一学期 （时间 100分钟， 满分150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列图形，一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个等边三角形 D. 两个菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解． 【详解】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似； B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似； C.两个等边三角形，角都是60°，故相似； D..任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似； 故选C． 【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键． 2. 在中，的对边分别为，那么下列等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用锐角三角函数的定义解答即可. 【详解】∵的对边分别为， ∴sinA=，则，故A选项正确， cosB=，则，故B选项错误， tanB=，则，故C选项正确， cotA=，则，故D选项正确， 故选B. 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，正弦是锐角的对边与斜边的比值；余弦是邻边与斜边的比值；正切是对边与邻边的比值；余切是邻边与对边的比值；熟练掌握定义是解题关键. 3. 将抛物线 向右平移5个单位后所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答． 【详解】解：把二次函数的图象向右平移5个单位， 得：． 故选：A． 4. 如图，对角线与相交于点，如果，，那么下列选项中，与向量相等的向量是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形根据平行四边形法则，可求得，然后由三角形法则，求得与，继而求得答案． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴＝，， ∴， ， 故选：C． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键． 5. 如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，下列结论中正确的有（ ） ①；②；③； ④当（为实数）时， A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解题的关键是数形结合．由图像开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，根据对称轴方程得到，于是得到，故①错误；根据抛物线与轴有两个交点，可得：，即，故②错误；根据，代入，故可以判断③；当（为实数）时，，故④正确． 【详解】解：由图像开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知， 又对称轴为直线， ， ， ，故①错误； 二次函数的图像与轴交于，两点， ， ，故②错误； 又， ， ，故③错误； 当为实数时， 当（为实数）时，，故④正确， 故选：A． 6. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交边于点E、F，连结与相交于点H，有下列5个结论：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得即可判断①；根据，可推出，；根据，可推出，即可判断②；若，则，即可判断③；证，得，即可判断④． 【详解】解：由题意得：，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故②正确； 若，则， ∵， 故③错误； ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故④正确； 故选：C． 二、填空题 （本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题考查的是比例的性质，通过设参数的方法将比例关系转化为具体的数值，进而求解代数式的值．解题的关键是根据已知的比例关系设出参数，，再代入式子进行计算． 【详解】， ， 设，， ． 故答案为：． 8. 某滑雪运动员沿着坡比为的斜坡滑行了350米，那么他身体下降的高度为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，设运动员身体下降的高度为米，根据坡比得到运动员水平方向移动了米，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设运动员身体下降的高度为米， ∵坡比为， ∴运动员水平方向移动了米， 由勾股定理，得：，解得：（负值已舍去）； 故答案为：． 9. 已知点P是线段的黄金分割点，，如果，那么的长是 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割点的概念列式求解即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的概念．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 10. 在比例尺为的地图上，一块面积为的区域表示的实际面积约为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例尺，根据比例尺等于图上距离与实际距离之比，进行求解即可． 【详解】解：设实际面积为， 由题意，得： 解得：； 故答案为：． 11. 两个相似三角形的对应边上中线之比为，它们的周长之和为，那么较大的三角形的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，对应边上的中线比等于相似比，设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边上中线之比为， ∴两个三角形的相似比为：， ∴两个三角形的周长比为：； ∴设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为， 则：， 解得：， ∴较大的三角形的周长为； 故答案为：． 12. 在锐角中，，那么_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，过点作，根据，得到，勾股定理求出，再根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，则：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 在中， 如果，那么的重心到顶点A的距离为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，重心的性质，过点作，根据余弦的定义，得到，勾股定理求出，根据重心的性质，进行求解即可． 【详解】解：过点作，设重心为点，如图，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为4． 14. 如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么______得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 15. 如图， 直线， 如果 那么的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，过点作，易得均为平行四边形，得到，证明，列出比例式求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3， BC＝2，tanA＝，则CD＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解． 【详解】如图，延长AD、BC相交于点E， ∵∠B=90°， ∴， ∴BE=， ∴CE=BE-BC=2，AE=， ∴， 又∵∠CDE=∠CDA=90°， ∴在Rt△CDE中，， ∴CD=． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键． 17. 如图， 正方形中， 将绕着点逆时针旋转到， ，分别交对角线于点，．如果 那么 的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，根据正方形及旋转的性质可以证明，利用相似的性质即可得出答案． 【详解】解：在正方形中，， ∵将绕着点逆时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处，连接．若点D、E、F在同一条直线上，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据折叠和平行线的性质说明，设，则，证明，得到，代入解方程可得答案． 【详解】解：∵把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，说明是解题的关键． 二、解答题（本天题共7 题，满分78 分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，再根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，在平行四边形中，点在边上，相交于点． （1）求的值； （2）如果，，试用表示向量． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线可得三角形相似，进而根据对应边成比例求解即可； （2）利用向量加法的三角形法则求解即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、平面向量加法三角形法则等知识，数形结合，熟练掌握基本几何知识是解题的关键． 21. 如图， 在中，平分，． （1）已知，求的长； （2）如果 求（用的代数式表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例： （1）证明，列出比例式进行求解即可； （2）根据平行线分线段成比例，得到，再根据同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，某公园内有一座古塔，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为 此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子． 中午12时太阳光线与地面的夹角为，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上） ，求塔的高度 （结果精确到0.01米）参考数据 ． 【答案】塔高约为米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，如图：过点作 ， 垂足为点，设，则，然后解直角三角形即可解答；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解∶ 过点作 ， 垂足为点． 由题意，得 ． 设，则． 在中，，， ∴， ． 在 中，． ∴，即：， 解得： 故塔高约为米． 23. 已知：如图，在梯形中，，对角线、相交于点E，且． （1）求证：； （2）点F在的延长线上，联结，．求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴,， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2） 证明： ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定： （1）证明得出，，进而证明得出，两个比例式联立，即可得证； （2）证明得出，得出，根据已知条件得出，证明可得，等量代换即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标； （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或． 【解析】 【分析】（1）直接将和点代入，解出a，b的值即可得出答案； （2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标； （3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案． 【详解】（1）抛物线过点和点 抛物线解析式为： （2）当时， 直线BC解析式为： 过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F 设 即 （3） 为等腰直角三角形 抛物线的对称轴为 点E的横坐标为3 又点E在直线BC上 点E的纵坐标为5 设 ①当MN=EM，,时 解得或（舍去） 此时点M的坐标为 ②当ME=EN，时 解得：或（舍去） 此时点M的坐标为 ③当MN=EN，时 连接CM，易知当N为C关于对称轴l的对称点时，， 此时四边形CMNE为正方形 解得：（舍去） 此时点M的坐标为 在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或． 【点睛】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线． 25. 问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 【答案】问题背景： 证明：∵， ∴∠BAC=∠DAE， ， ∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴； 尝试应用：3； 拓展创新：． 【解析】 【分析】问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证； 尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案； 拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案． 【详解】问题背景：略 尝试应用：连接CE， ∵，， ∴， ∴， ∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴， 由于，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵ ∴， ∴； 拓展创新： 如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE， ∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，， ∴∠ADE=∠ABC， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴， ∴， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴， 设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海民办华曜宝山实验学校2024学年度第一学期 （时间 100分钟， 满分150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列图形，一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个等边三角形 D. 两个菱形 2. 在中，的对边分别为，那么下列等式中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线 向右平移5个单位后所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 4. 如图，对角线与相交于点，如果，，那么下列选项中，与向量相等的向量是（ ）. A. B. C. D. 5. 如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，下列结论中正确的有（ ） ①；②；③； ④当（为实数）时， A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交边于点E、F，连结与相交于点H，有下列5个结论：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 （本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么______． 8. 某滑雪运动员沿着坡比为的斜坡滑行了350米，那么他身体下降的高度为_____米． 9. 已知点P是线段的黄金分割点，，如果，那么的长是 _____． 10. 在比例尺为的地图上，一块面积为的区域表示的实际面积约为______ 11. 两个相似三角形的对应边上中线之比为，它们的周长之和为，那么较大的三角形的周长为______． 12. 在锐角中，，那么_________ 13. 在中， 如果，那么的重心到顶点A的距离为 _______． 14. 如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么______得到． （填“能”或“不能”） 15. 如图， 直线， 如果 那么的长为____． 16. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3， BC＝2，tanA＝，则CD＝_____． 17. 如图， 正方形中， 将绕着点逆时针旋转到， ，分别交对角线于点，．如果 那么 的值为_________． 18. 如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处，连接．若点D、E、F在同一条直线上，，则______． 二、解答题（本天题共7 题，满分78 分） 19. 计算： 20. 如图，在平行四边形中，点在边上，相交于点． （1）求的值； （2）如果，，试用表示向量． 21. 如图， 在中，平分，． （1）已知，求的长； （2）如果 求（用的代数式表示） 22. 如图，某公园内有一座古塔，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为 此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子． 中午12时太阳光线与地面的夹角为，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上） ，求塔的高度 （结果精确到0.01米）参考数据 ． 23. 已知：如图，在梯形中，，对角线、相交于点E，且． （1）求证：； （2）点F在的延长线上，联结，．求证：． 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标； （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $