专题04相交线与平行线专题之铅笔模型讲义-2025年中考数学总复习

相交线与平行线——铅笔模型 一、图解模型 【证明】如上图所示，过点O作OE//AB. ∵AB∥CD, OE//AB//CD. ∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°, ∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°， ∴∠B＋∠BOC+∠C=360°. 二、模型拓展 多拐点铅笔模型：如图所示，两平行线间存在多个外拐点 ，是否还有相同的结论呢？ 当两平行线间有2个外拐点时： 过点A2，A3分别做直线MA1的平行线，发现一共有3组相邻的平行线，利用两直线平行，同旁内角互补，故有： ∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=180°×3=540° 当两平行线间有3个外拐点时： 过点A2，A3分别做直线MA1的平行线，发现一共有4组相邻的平行线，利用两直线平行，同旁内角互补，故有： ∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=180°×4=640° 通过以上推理，所以当两平行线间有n个外拐点时，有 ∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+…+∠An+1+∠An+2 =180°×（n+1） 【例1】如图所示，，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【例2】①如图1，，则； ②如图2，，则； ③如图3，，则； ④如图4，直线，点在直线上，则． 以上结论正确的是　　 A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．②④ 【例3】已知，点是平面内一点． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若，求的度数． 【变式1】如图所示，直线，，，则　　 A． B． C． D． 【变式2】图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则　　；现将支撑杆调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板至，使得，则　　． 【变式3】阅读下列材料： 如图，点是线段，所在直线之间的一点，且，连接，． 小马同学通过观察，度量，提出猜想： ． 接着他对猜想进行了证明，证明思路是： 如图1，过点作，由，可得． 根据平行线的性质，可得，． 从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题： （1）如图2，点是线段，所在直线上方的一点，且，连接，．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 【变式4】如图，图1是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图2和图3，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间数量关系时，有如下发现． （1）如图2，若，，求的度数； （2）在图3中，若，，求的度数； （3）阳阳在图2和图3的基础上，画出了如图4所示的图形，其中，请判断，，之间的数量关系，并说明理由． 1．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中，测得，，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．如图，，则　　 A． B． C． D． 3．如图所示，直线，垂直于于，则的大小是　　 A． B． C． D． 4．如图，，那么，，的数量关系是　　 A． B． C． D． 5．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，，则以上结论正确的是　　 A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 6．如图，已知，，，则　　度． 7．如图，已知，，，则　　． 8．如图，直线，，，则　78　度，　　度． 9．如图所示，将长方形纸片沿虚线、剪下，已知，，则　　度． 10．如图，，直线分别交、于点、．若，则　　． 11．观察图形：已知，在第一个图中，可得 　　，则按照以上规律，　　度． 12．（1）【感知】如图①，，点在直线上，点在直线上，点为，之间一点，求证：． 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：如图①，过点作． ，（已知）， 　 　， ， 　　， （等式的基本性质）， ． （2）【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明如图②，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点．猜想并证明与（小于平角）的数量关系． 13．如图，，点是直线，之间一点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，的平分线相交于点．求的度数； （3）如图3，若，，．请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 14．已知，直线和直线，分别交于点，，并把平面分成六个区域（如图甲），点是六个区域中（不在直线，，上）的任意一点，连接，． （1）图乙是点在区域⑤的情况，嘉嘉猜想出，，之间的数量关系，请帮她完善证明过程； 嘉嘉猜想的结论是：． 证明：过点作， 　　　　． ，， 　　． 　　　　． 　　． 又， ． （2）图丙是点在区域②的情况，那么（1）中的结论还成立吗？请加以证明； （3）请你探索点在①③④⑥区域时的情况，并直接写出，，之间的数量关系． 15．已知，和都不经过点，探索与，的数量关系， （1）在图1中，小明发现：． 小明是这样证明的：过点作 ，． 　 　 即 （2）应用：在图2中，若，，则的度数为 　　； （3）拓展：在图3中，探索与，的数量关系，并说明理由． 16．（1）如图①，直线，是与之间的一点，连接，，求证：． （2）如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：． （3）如图③，，其他条件不变，则、、有怎样的数量关系，请直接写出，不需证明． 17．已知直线，点、分别在直线、上，点在直线和之间． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，点在直线上，且，求证：； （3）如图3，平分，平分，且．若，直接写出的度数． 18．如图，，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． 【感知】如图①，当点在线段左侧时，若，，求的度数． 分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的性质，这时需要构造出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形，过点作，根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可知，进而求出的度数． 【探究】如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为 　　． 19．已知，点在射线，之间． （1）如图1，若，，小聪同学过点作，利用平行线的性质，求得　 　度； （2）如图2，请写出你发现的，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，平分交于点，平分交于点，交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由． 20．如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． （1）如图1，若，，则　　； （2）如图2，点是、之间另外一点，且平分，平分． ①若，求的度数； ②如图3，在的下方有一点，平分，平分，求 的度数． 21．（1）如图1，，是内部一点，在的右侧，探究，，之间的关系？ 小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得，，之间满足数量关系是 　　．（直接写出结论） （2）如图3，，是，内部一点，在的左侧，可得，，之间满足数量关系是 　　．（直接写出结论） （3）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：如图4，已知，与两个角的角平分线相交于点，若，求的度数． 22．如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为 　　；请说明理由； （2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 23．【发现问题】 如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点． 【提出问题】 ，和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究； 【解决问题】 （1）如图2，写出，和三个角之间存在的数量关系，并说明理由； （2）如图3，已知，点，分别在，上，点是，之间，右侧任意一点，连接，，则，，的数量关系为 　　；（不需要写解答过程） （3）如图4，在（2）条件下，，之间，左侧再取一点，连接，，若使得，，求与的数量关系．（用表示） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 相交线与平行线——铅笔模型 一、图解模型 【证明】如上图所示，过点O作OE//AB. ∵AB∥CD, OE//AB//CD. ∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°, ∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°， ∴∠B＋∠BOC+∠C=360°. 二、模型拓展 多拐点铅笔模型：如图所示，两平行线间存在多个外拐点 ，是否还有相同的结论呢？ 当两平行线间有2个外拐点时： 过点A2，A3分别做直线MA1的平行线，发现一共有3组相邻的平行线，利用两直线平行，同旁内角互补，故有： ∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=180°×3=540° 当两平行线间有3个外拐点时： 过点A2，A3分别做直线MA1的平行线，发现一共有4组相邻的平行线，利用两直线平行，同旁内角互补，故有： ∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=180°×4=640° 通过以上推理，所以当两平行线间有n个外拐点时，有 ∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+…+∠An+1+∠An+2 =180°×（n+1） 【例1】如图所示，，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：过点作， ， ，． ． 故选． 【例2】①如图1，，则； ②如图2，，则； ③如图3，，则； ④如图4，直线，点在直线上，则． 以上结论正确的是　　 A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．②④ 【答案】 【解析】解：①过点作， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ②如图：设与交于点， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 故②正确； ③由①可得：， ， ， ， 故③不正确； ④， ， ， ， ， ， 故④正确； 所以，以上结论正确的是①②④， 故选． 【例3】已知，点是平面内一点． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若，求的度数． 【解析】解：（1）过点作， ， ， ， ， ； （2）过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】如图所示，直线，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：， ， ， ． 故选． 【变式2】图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则　　；现将支撑杆调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板至，使得，则　　． 【答案】；． 【解析】解：如图2：过点作， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 如图3：延长交于点， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． 【变式3】阅读下列材料： 如图，点是线段，所在直线之间的一点，且，连接，． 小马同学通过观察，度量，提出猜想： ． 接着他对猜想进行了证明，证明思路是： 如图1，过点作，由，可得． 根据平行线的性质，可得，． 从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题： （1）如图2，点是线段，所在直线上方的一点，且，连接，．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； （2）在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 【解析】解：（1）如图2，过点作， ， ， ， ， ， ，即； （2）根据题意，补全图形如下： 平分，平分， ，， ，，且， ， ， ， 由（1）知， ，即（或． 【变式4】如图，图1是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图2和图3，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间数量关系时，有如下发现． （1）如图2，若，，求的度数； （2）在图3中，若，，求的度数； （3）阳阳在图2和图3的基础上，画出了如图4所示的图形，其中，请判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【解析】解：（1）过点作， ， ， ， ， ， ， ，， ； （2）过点作， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）， 理由：延长到， 由（1）可得：， ， ， ． 1．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中，测得，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图所示：过点作． ， ； ，； ． 故选． 2．如图，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：过点作， ， ， ， ， ， 即， 故选． 3．如图所示，直线，垂直于于，则的大小是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选． 4．如图，，那么，，的数量关系是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：连接． ， ， ， ． 故选． 5．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，，则以上结论正确的是　　 A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】 【解析】解：①如图：过点作， ， ， ， ， ， ， 故①不正确； ②如图：设与交于点， 是的一个外角， ， ， ， ， 故②正确； ③如图：延长交于点， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 故③正确； ④， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 所以，以上结论正确的是②③④， 故选． 6．如图，已知，，，则　　度． 【答案】65 【解析】解：过点作平行于，如图： ， ． ， ， ． 故填． 7．如图，已知，，，则　　． 【答案】 【解析】解：如图，延长交的延长线于点， ，， ， ， ． 故答案为：． 8．如图，直线，，，则　78　度，　　度． 【答案】360 【解析】解：如图所示：过的顶点作， ， ， ，， 又， ； 又 ． 9．如图所示，将长方形纸片沿虚线、剪下，已知，，则　　度． 【答案】90 【解析】解：作，则， ， ， ， 即度． 故填90． 10．如图，，直线分别交、于点、．若，则　　． 【答案】． 【解析】解：如图，过点作， 则， ，即， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．观察图形：已知，在第一个图中，可得 　　，则按照以上规律，　　度． 【答案】∠1+∠2=150°；． 【解析】解：如图 ， ， 如图2：过点作， ， ， ， ， ， ； 如图3：过点作，过点作， ，， ， ， ， ， ； ． 则按照以上规律，， 故答案为：． 12．（1）【感知】如图①，，点在直线上，点在直线上，点为，之间一点，求证：． 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：如图①，过点作． ，（已知）， 　 　， ， 　　， （等式的基本性质）， ． （2）【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明如图②，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点．猜想并证明与（小于平角）的数量关系． 【解析】解：（1）如图1，过点作， ，（已知）， （平行于同一条直线的两条直线平行）， 、（两直线平行，内错角相等）， （等式性质）， ， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等； （2）结论：， 理由：由（1）得，， 平分，平分， ，， ． 13．如图，，点是直线，之间一点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，的平分线相交于点．求的度数； （3）如图3，若，，．请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【解析】解：（1）如图所示：过点作， ， ， ， ， ， 即； （2）由（1）可知：； ， ， ，的平分线相交于点， ， ， ； （3），， ， 由（1）可知：， ， ， ， ． 14．已知，直线和直线，分别交于点，，并把平面分成六个区域（如图甲），点是六个区域中（不在直线，，上）的任意一点，连接，． （1）图乙是点在区域⑤的情况，嘉嘉猜想出，，之间的数量关系，请帮她完善证明过程； 嘉嘉猜想的结论是：． 证明：过点作， 　　　　． ，， 　　． 　　　　． 　　． 又， ． （2）图丙是点在区域②的情况，那么（1）中的结论还成立吗？请加以证明； （3）请你探索点在①③④⑥区域时的情况，并直接写出，，之间的数量关系． 【解析】解：（1）证明：过点作， （两直线平行，内错角相等）， ，， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． （两直线平行，内错角相等）， ， 又， ， 故答案为：，两直线平行，内错角相等，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，，两直线平行，内错角相等，； （2）（1）中的结论不成立，应该是，证明如下： 证明：如图所示，过点作， （两直线平行，同旁内角互补）， ，， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ， ； （3）若在①区域时，如图所示： ， ， ， ； 若在③区域时，如图所示：过点作， ， ， ， ， ； 若在④区域时，如图所示： ， ， ， ； 若在⑥区域时，如图所示： ， ， ， ，， ， 综上可知在①③④区域，，在⑥区域时，． 15．已知，和都不经过点，探索与，的数量关系， （1）在图1中，小明发现：． 小明是这样证明的：过点作 ，． 　 　 即 （2）应用：在图2中，若，，则的度数为 　　； （3）拓展：在图3中，探索与，的数量关系，并说明理由． 【解析】解：（1）过点作， ， ，， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ， ， 即． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行； （2）如图，过作， ， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：； （3）， 理由是：， ， ． 16．（1）如图①，直线，是与之间的一点，连接，，求证：． （2）如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：． （3）如图③，，其他条件不变，则、、有怎样的数量关系，请直接写出，不需证明． 【解析】（1）证明：过点作， ， ， ， ， ， ； （2）证明：过点作， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ． 17．已知直线，点、分别在直线、上，点在直线和之间． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，点在直线上，且，求证：； （3）如图3，平分，平分，且．若，直接写出的度数． 【解析】（1）证明：过点作，如图： ， ，， ， ． （2）证明：． ， ， ， ，， ． （3）解：． ， ， ， ， 平分，平分， ，， 又， ， ， ， ． ． 18．如图，，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． 【感知】如图①，当点在线段左侧时，若，，求的度数． 分析：从图形上看，由于没有一条直线截与，所以无法直接运用平行线的性质，这时需要构造出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形，过点作，根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可知，进而求出的度数． 【探究】如图②，当点在线段右侧时，、、之间的数量关系为 　　． 【解析】（1）过点作， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 19．已知，点在射线，之间． （1）如图1，若，，小聪同学过点作，利用平行线的性质，求得　 　度； （2）如图2，请写出你发现的，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，平分交于点，平分交于点，交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【解析】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：120； （2）， 证明：过点作， ， ， ， ， ， ， ； （3）， 理由：平分，平分， ，， ， ， 由（2）得： ， ， ， ， ， ． 20．如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． （1）如图1，若，，则　　； （2）如图2，点是、之间另外一点，且平分，平分． ①若，求的度数； ②如图3，在的下方有一点，平分，平分，求 的度数． 【解析】解：（1）过点作， ， ， ， ， ， ． 故答案为：70． （2）①如图，分别过点、作，， ， ．， ，， ，， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ． ②如图，分别过点，作，，过点作， ， ， ，，，， ， ， 平分，平分， ，， ， ，平分，平分， ，， 设， ，， ， ，， 设， ， ， ， ． 21．（1）如图1，，是内部一点，在的右侧，探究，，之间的关系？ 小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得，，之间满足数量关系是 　　．（直接写出结论） （2）如图3，，是，内部一点，在的左侧，可得，，之间满足数量关系是 　　．（直接写出结论） （3）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：如图4，已知，与两个角的角平分线相交于点，若，求的度数． 【解析】解：（1），， ， ①， ②， ①②得； 故答案为：； （2）过作，如图， ， ， ①， ②， ①②得； 故答案为：； （3）由（1）可得，， ， ， 、分别为和的角平分线， ， ． 22．如图1，，，，求度数． 小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为 　　；请说明理由； （2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 【解析】解：（1），， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ； （3）分两种情况： 当点在射线上运动时，， 理由：如图：过点作， ， ， ， ， ， ； 当点在上运动时，， 理由：如图：过点作， ， ， ， ， ， ； 综上所述：当点在射线上运动时，；当点在上运动时，． 23．【发现问题】 如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术．如图2是图1的轴截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点． 【提出问题】 ，和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究； 【解决问题】 （1）如图2，写出，和三个角之间存在的数量关系，并说明理由； （2）如图3，已知，点，分别在，上，点是，之间，右侧任意一点，连接，，则，，的数量关系为 　　；（不需要写解答过程） （3）如图4，在（2）条件下，，之间，左侧再取一点，连接，，若使得，，求与的数量关系．（用表示） 【解析】解：（1）， 理由：如图：过点作， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图：过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）由（1）可得：， ，， ， ， 由（2）可得：， ， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $$