1.3.2等比数列的前n项和(第2课时)导学案-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

主备人：邹文婷 主备人：邹文婷 等比数列的前n项和(第2课时) 持之以恒，水到渠成。第 1 页 共 3 页 持之以恒，水到渠成。第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学校： 班级： 姓名： 小组号： 学习目标 1. 能灵活运用等比数列的前n项和公式进行求和，发展数学运算素养； 2. 能在实际的问题情境中，抽象出等比数列模型，并能运用等比数列的概念、通项公式和前n项和公式、性质解决一些综合问题，发展数学建模和逻辑推理素养． 重点难点 重点：等比数列的前n项和公式性质及其应用． 难点：等比数列模型的建立，等差数列与等比数列的前n项和公式的综合应用． 课程流程 环节一：复习回顾 公式：首项为，公比为的等比数列的前n项和的公式为： 问题1：等比数列的前n项和有怎样的函数特征？ 当时，是关于n的一次函数； 当时，是一个特殊的指数型函数. 例1 如图1-19，作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去,求前n个内切圆的面积和. 解 设第n个正三角形的内切圆的半径为an. 因为从第2个正三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切半径的，故 a1=atan30=a·=a. a2=a1, … an=an-1. 即数列{an}是首项a1=a、公比q=的等比数列. 所以an=×()n−1a. 设前n个内切圆的面积和为,则Sn=(a12+a22+a32+⋯+an2) =[a12+(a1q)2+(a1q2)2+⋯+(a1qn−1)2] =a12[1+()2+()2+⋯+] =a12[1++()2+⋯+] = =. 因此，前n个内切圆的面积和为. 环节二：新知探究 问题2：在学习了等差数列的前n项和公式后，我们研究了等差数列的前n项和的一些性质，你能类比等差数列前n项和的性质，得到等比数列前n项和的一些性质吗？ 一般地，为等差数列的前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，公差为，类比该性质，你能推广到等比数列么？ 例2 已知等比数列的公比q，前项和为Sn．证明Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，并求这个数列的公比． 思路一：当q＝1时，，，， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1． 当q≠1时，Sn＝，S2n＝，S3n＝.S2n－Sn＝－＝， S3n－S2n＝－＝，而＝，Sn(S3n－S2n)＝·，故有＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 思考1：不用分类讨论的方式能否证明该结论？ 证明：， ， 所以 ． 因为qn为常数，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn． 思考2：同学们想一想为什么题目条件中强调“公比q”? 提示：例如，通项公式为的数列，当n为偶数时，导致结论不成立. 追问：你还能得到等比数列前n项和的哪些性质？ （1）对于首项为，公比为的等比数列，其奇数项的和记为，偶数项的和记为，则有以下结论： ①前2n项和中，，，即 ②前项和中，，，即. （2）你能否用等比数列中的，来表示？ 提示：思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm ＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm. 等比数列前n项和性质 （1）片段和性质：等比数列的公比，前项和为，则，，成等比数列，公比为． （2）奇偶项和性质：首项为,公比为的等比数列,其奇数项的和记为,偶数项的和记为,①前2n项和中,;②前项和中,. （3）前n项和间的关系：等比数列的前n项和中的，与满足． 环节三：课堂练习 练习1：(一题多解)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. 解：法一：因为S2n≠2Sn，所以q≠1， 由已知得 ②÷①得1＋qn＝，即qn＝，③ ③代入①得＝64， 所以S3n＝＝64＝63. 法二：因为{an}为等比数列，显然公比不等于－1， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列， 所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以S3n＝＋S2n＝＋60＝63. 法三：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，得qn＝， 所以S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×＝63. 练习2：若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为________，项数为________． 解析：由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，S2n＋1＝＝341＋170＝511，解得n＝4，即这个等比数列的项数为9. 练习3：一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝________． 解析：设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝＝.又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以a·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×，n∈N＋.故答案为：12×，n∈N＋ 环节四：课堂小结 片段和性质：等比数列的公比，前项和为，则，，成等比数列，公比为． 奇偶项和性质：首项为,公比为的等比数列,其奇数项的和记为,偶数项的和记为,①前2n项和中,;②前项和中,. 前n项和间的关系：等比数列的前n项和中的，与满足． 环节五：反思答疑 通过以上学习，你还存在那些疑惑？在空白处简要说明。 1. ；2. . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$北海市课堂导学案（高二数学） 使用时间：XXX 主备人：邹文婷 审核：XXX 编号：SXXA-选择性必修2-X-X 课题：等比数列的前n项和(第2课时) 第 1 页 共 3 页 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学校： 班级： 姓名： 小组号： 学习目标 1. 能灵活运用等比数列的前n项和公式进行求和，发展数学运算素养； 2. 能在实际的问题情境中，抽象出等比数列模型，并能运用等比数列的概念、通项公式和前n项和公式、性质解决一些综合问题，发展数学建模和逻辑推理素养． 重点难点 重点：等比数列的前n项和公式性质及其应用． 难点：等比数列模型的建立，等差数列与等比数列的前n项和公式的综合应用． 课程流程 环节一：复习回顾 公式：首项为，公比为的等比数列的前n项和的公式为： . 问题1：等比数列的前n项和有怎样的函数特征？ 例1 如图1-19，作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求前n个内切圆的面积和. 环节二：新知探究 问题2：在学习了等差数列的前n项和公式后，我们研究了等差数列的前n项和的一些性质，你能类比等差数列前n项和的性质，得到等比数列前n项和的一些性质吗？ 一般地，为等差数列的前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，公差为，类比该性质，你能推广到等比数列么？ 例2 已知等比数列的公比q，前项和为Sn．证明Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，并求这个数列的公比． 思考1：不用分类讨论的方式能否证明该结论？ 思考2：同学们想一想为什么题目条件中强调“公比q”? 追问：你还能得到等比数列前n项和的哪些性质？ （2）你能否用等比数列中的，来表示？ 等比数列前n项和性质 （1）片段和性质：等比数列的公比，前项和为，则，，成 ，公比为． （2）奇偶项和性质：首项为,公比为的等比数列,其奇数项的和记为,偶数项的和记为,①前2n项和中,;②前项和中,. （3）前n项和间的关系：等比数列的前n项和中的，与满足. 环节三：课堂练习 练习1：(一题多解)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. 练习2：若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为________，项数为________． 练习3：一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝________． 环节四：课堂小结 片段和性质：等比数列的公比，前项和为，则，，成等比数列，公比为． 奇偶项和性质：首项为,公比为的等比数列,其奇数项的和记为,偶数项的和记为,①前2n项和中,;②前项和中,. 前n项和间的关系：等比数列的前n项和中的，与满足． 环节五：反思答疑 通过以上学习，你还存在那些疑惑？在空白处简要说明。 1. ；2. . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$