空间向量与立体几何讲义-2025届高三数学一轮复习

空间向量与立体几何 【答题技巧】 1.利用空间向量证明平行问题的方法 （1）线线平行：证明两条直线的方向向量共线. （2）线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示. （3）面面平行：①证明两个平面的法向量平行；②转化为线线平行、线面平行问题. 2.利用空间向量证明垂直问题的方法 （1）线线垂直：证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零. （2）线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量共线；②证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直. （3）面面垂直：①其中一个平面与另一个平面的法向量平行；②两个平面的法向量垂直. 3.向量法求角问题的解题步骤 （1）识图：分析几何体，找出确定几何体底面和高的条件，根据所学知识，理清图形中的数量关系； （2）建系设点：寻找题目中有三条直线两两垂直的特征，建立空间直角坐标系，从而确定点的坐标； （3）求向量坐标：用终点坐标减去起点坐标写出所需要的向量坐标； （4）计算或证明：利用证明两个非零向量垂直的充要条件和向量夹角的余弦公式进行计算和证明. 【练习应用】 1.已知点，，则的最小值为( ) A. B.27 C. D.12 2.设，向量，，，且，，则( ) A. B. C.5 D.6 3.我国古代数学名著《九章算术》中记载，斜解立方，得两堑堵.堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.在堑堵中，，点P为的中点，则( ) A.6 B. C.2 D. 4.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的“曲池”，它的高为4，，，，均与“曲池”的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 5.如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，的中点，则直线到平面的距离为( ) A. B. C. D. 6.如图，在四棱雉中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为1，且与，的夹角都等于.若M是的中点，则( ) A. B. C. D. 7.在直三棱柱中，为等边三角形，，M是的中点，则AM与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 8.在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则( ) A. B.与平面所成的角为 C. D.与平面所成的角为 9.（多选）在长方体中，，动点P满足，，，，则下列结论正确的有( ) A.当时， B.当时，平面 C.当，时，点P到直线的距离为 D.当时，点P为的重心 10.（多选）已知正方体的棱长为1，点E满足（，），下列说法正确的是( ) A.若，则与垂直 B.三棱锥的体积恒为 C.若，，平面与平面夹角的余弦值为 D.若，，则点到平面的距离为 11.空间直角坐标系中，平面与分别以与为其法向量，若，则直线l的一个方向向量为___________. 12.在正方体中，点P、Q分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 13.已知正四棱锥中异面的两条棱所在直线所成角的余弦值为，过AB的平面与线段PC交于点E，，，则点P到的距离为___________. 14.如图，在平行六面体中，侧面是菱形且与底面垂直，M是棱的中点，N是线段上一点，且，，. (1)证明：侧面是矩形; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 15.如图，在底面为正方形的四棱锥中，，，. （1）求证：平面BCE. （2）若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半. （ⅰ）求点C到平面AEF的距离； （ⅱ）求平面AEF与平面BCF所成二面角的正弦值. 答案以及解析 1.答案：A 解析：因为，，所以，所以，所以，当时，等号成立.所以当时，取得最小值，为.故选A. 2.答案：D 解析：因为，，，所以，所以， 因为，，，所以，所以，所以， 所以. 3.答案：A 解析：根据堑堵的几何性质知，，，，如图. 因为，，所以 .故选A. 4.答案：A 解析：设上底面圆心为，下底面圆心为O，连接，，，，， 以O为原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，则，.所以， 又异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成角的余弦值为.故选A. 5.答案：B 解析：在直三棱柱中，，如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，因为，E、F分别为，的中点，则，，，，，所以，，， 设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以是平面的一个法向量，又因为，所以点F到平面的距离为.因为在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，则且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，则点F到平面的距离即为直线到平面的距离.故选B. 6.答案：D 解析：因为M是的中点， 所以， 所以. 因为侧棱的长为1，且与，的夹角都等于， 所以， 所以. 7.答案：B 解析：如图所示，取AC的中点D，连接DM，BD，以D为原点，BD，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 不妨设，则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则即 取，则，， 所以. 设AM与平面所成角为， 向量与n所成的角为， 所以， 即AM与平面所成角的正弦值为. 故选B. 8.答案：D 解析：如图，建立空间直角坐标系，不妨设，，. 则，，，，，依题意，根据长方体的结构特征可知，与平面所成的角为，与平面所成的角为，所以，即，所以， 解得. 对于A，，，所以，故A错误； 对于B，，， 设平面的一个法向量为， 则 令，则，，所以，设与平面所成的角为，则，所以，故B错误； 对于C，，，，故C错误； 对于D，，平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为，，则，所以，故D正确. 9.答案：BCD 解析：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，，可得，，. 对于选项A：设，则， 因为，所以，不为0， 所以不成立，故A错误； 对于选项B：由，可知，平面，平面，所以平面，同理可得，平面， 又，，平面， 所以平面平面，当时，A，，，P四点共面， 即平面，所以平面，故B正确； 对于选项C：当，时，，，可得，又， 所以点P到直线的距离为，故C正确； 对于选项D：当时，， 且，可知，由，，可知，的重心为，所以点P为的重心，故D正确. 故选BCD. 10.答案：ACD 解析：A.若，则点E在上且E不与D重合， 建立如下空间直角坐标系： ，，， ， ， ，，，故A正确 B.由（，）， 可知点E在平面上， 则点E到平面的距离恒为1， 故三棱锥的体积恒为，故B错误 C.若，， 则E为的中点，由上图， 则，，，. 设平面的法向量为，， ，， 则 令，则， 易知是平面的一个法向量， ，故C正确 D.设点到平面的距离为d，则， 即点到平面的距离为，故D正确综上， 故选：ACD. 11.答案：(答案不唯一) 解析：方法一：设直线l的一个方向向量为，则所以令，则，，此时.(答案不唯一) 方法二：由可设直线l的一个方向向量为，又，所以，即，所以直线l的一个方向向量为.(答案不唯一) 12.答案： 解析：设正方体中棱长为3， 以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 设异面直线与所成角为，则. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13.答案： 解析：解法一：如图所示，正四棱锥中异面的两条棱一定是一条侧棱和底面中与其不相交的一条棱，故PB与AD所成角的余弦值为，又，所以的余弦值为， 又，所以，又，则. 故点P到底面ABCD的距离为，又，所以点E到底面ABCD的距离为.连接AE，BE，则平面ABE即平面，连接AC，在中，易知，，所以，在中，，，，所以，所以，所以，所以. 设点C到平面的距离为h，由得，所以，所以点P到平面的距离为. 解法二：正四棱锥中异面的两条棱一定是一条侧棱和底面中与其不相交的一条棱，故PB与AD所成角的余弦值为，又，所以的余弦值为， 又，所以，又，则.故点P到底面ABCD的距离为.连接AC，BD，交于点O，连接PO，AE，BE，则平面ABE即平面，以直线OB，OC，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，. 设平面的法向量为，则，即，取，得， 则点P到平面的距离为. 14.答案：(1)证明见解析 (2) 解析：(1)因为侧面是菱形，，所以， 由余弦定理可得， 所以，所以，则为等边三角形， 如图，连接，因为M是棱的中点，所以， 又因为，所以. 因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面. 因为、平面，所以，， 连接，因为，，且、平面， 所以平面. 因为平面，所以. 设，则，易得， 即，得，即，所以， 则，所以. 因为，，且、平面， 所以平面. 又平面，所以. 因为，所以， 又侧面是平行四边形，所以侧面是矩形. (2)由(1)知、、两两垂直，故以A为坐标原点， 、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 15.答案：（1）证明见解析 （2）（ⅰ） （ⅱ） 解析：（1）法一：因为四棱锥的底面为正方形，所以. 因为，， 所以在中，根据余弦定理得 ， 所以， 所以. 又，，平面BCE，所以平面BCE. 法二：因为 ， 所以，所以. 因为四棱锥的底面为正方形，所以， 又，，平面BCE，所以平面BCE. （2）（ⅰ）在底面为正方形的四棱锥中，以D为坐标原点，DA，DC分别为x，y轴，过D且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则，，， 所以，， 因为，， 所以，所以， 因为， 所以，解得， 所以， 则， 又，所以， 所以，. 连接AC，因为三棱锥的体积是四棱锥体积的一半， 所以， 又，平面BCE， 所以，且， 所以，. 设平面AEF的法向量为， 则，得，取，则. 设点C到平面AEF的距离为d， 因为，所以， 即点C到平面AEF的距离为. （ⅱ）由（ⅰ）知，平面AEF的一个法向量为， 设平面BCF的法向量为， 易知，， 由，得， 取，则， 所以. 设平面AEF与平面BCF所成二面角为， 则， 所以平面AEF与平面BCF所成二面角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$