精品解析：陕西省西安市滨河学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试题

2024-2025-1单元学情调查（期中）八年级数学 一、选择题（共30分，每题3分） 1. 给出下列实数：、、0、、3.14、、﹣0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 若，则点M（，-7）在第（ ）象限 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，点A(﹣2，1)到y轴的距离为（ ） A. ﹣2 B. 1 C. 2 D. 4. 如图，以Rt的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（　　） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 5. 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有【 】 A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ 6. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在第三象限，则一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m的值为（ ） A. ﹣2 B. ﹣2或2 C. 1 D. 2 9. 将直线向右平移个单位，平移后的直线经过点，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共18分，每题3分） 11. 比较大小：_____2（填“”，“”或“”）． 12. 如果P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点P的坐标是______． 13. 已知，方程是关于的二元一次方程，则________． 14. 如图，根据图中标注在点所表示的数为______． 15. 如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝cm，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为________cm． 16. 如图在中，，，，点是边上的一个动点，点与点关于直线对称，连接，，，当是直角三角形时，求的长为______． 三、解答题（共72分，共9道题） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 解方程组： （1）； （2）． 19. 已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 20. 如图，的三个顶点的坐标分别为、、． （1）在图中作出关于轴对称的，并写出点、、的坐标（点、、的对应点分别是点、、）； （2）求的面积． 21. 学校正在增加绿化区域，种植花草树木，提高校园的绿化覆盖率，准备在四边形的空地上种植花卉，如图所示，，，，，，求四边形的面积． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的表达式； （2）将直线向上平移个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积. 23. 号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 24. 某学校组织春游，租用甲、乙两辆大巴车，从学校出发，去距离学校360千米的某风景区，甲车先出发，一段时间后乙车再出发，两车在同一条笔直的路上匀速行驶，乙车超过甲车后不久出现故障，停车检修．当甲车追上乙车时，乙车恰好修完，两车又立刻以各自原来的速度继续行驶，如图是甲、乙两车行驶的路程y（单位：km），与甲车行驶时间x（单位：h）之间的函数图象． （1）a______，乙车的速度是______ km/h． （2）求线段BC所在直线的函数解析式． （3）直接写出乙车出现故障前甲乙两车相距时x的值． 25. 【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为______；点坐标为______； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025-1单元学情调查（期中）八年级数学 一、选择题（共30分，每题3分） 1. 给出下列实数：、、0、、3.14、、﹣0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义进行化简即可． 【详解】解：、0、、3.14属于有理数； 、、﹣0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）属于无理数； ∴无理数有3个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义，无限不循环小数是无理数． 2. 若，则点M（，-7）在第（ ）象限 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用各象限内点的坐标特点得出M点的位置． 【详解】解：∵a＞0， ∴点M（a，-7）的位置在第四象限． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确把握各象限内点的坐标特点是解题关键． 3. 如图，点A(﹣2，1)到y轴的距离为（ ） A. ﹣2 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为点A的坐标为(﹣2，1)， ∴点A到y轴的距离为2． 故选C． 【点睛】本题考查点到坐标轴的距离．掌握点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，到y轴的距离为其横坐标的绝对值是解题关键． 4. 如图，以Rt的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（　　） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积． 5. 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有【 】 A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形，因此，对各选项逐一计算即可判断即可. 【详解】①∵22+32=13≠42，∴以2，3，4为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意； ②∵32+42=52，∴以3，4，5为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意； ③∵12+（）2=22，∴以1，，2为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意. 故构成直角三角形的有②③. 故选D. 6. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得： 故选：A． 7. 已知点在第三象限，则一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像与系数的关系，根据点在第三象限可得出，，结合一次函数图像与系数的关系可得出直线经过的象限．解题的关键是牢记：，的图像经过一、二、三象限；，的图像经过一、三、四象限；，的图像经过一、二、四象限；，的图像经过二、三、四象限． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴，， ∴直线经过二、三、四象限． 故选：B． 8. 一次函数的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m的值为（ ） A. ﹣2 B. ﹣2或2 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由于一次函数y＝（m−1）x＋m2的图象过点（0，4），则m2＝4，再由y随x的增大而增大，可得m＞0；即可求出满足条件的m的值． 【详解】解：根据题意得： m2＝4且m＞0， 解得m＝2． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的图象与坐标轴的交点并能根据函数的增减性判断比例系数的范围是解题的关键． 9. 将直线向右平移个单位，平移后的直线经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数图象上点的坐标特征，根据图象平移的规律“左加右减”得出平移后的解析式，再将坐标代入求解即可，熟练掌握图象平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】∵将直线向右平移个单位后的解析式为， ∴将点代入，得， 解得：， 故选：． 10. 如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数图象逐个分析即可． 【详解】由函数图象可得： 当时，或；故①错误； 当时，有最小值；故②正确； 点在直线上，直线与函数图象有3个交点，故③错误； 将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合． 二、填空题（共18分，每题3分） 11. 比较大小：_____2（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】采用平方法将无理数转化为有理数后比较，根据两个正实数，平方更大的原数更大得到结果． 【详解】解：∵，， 又 ∵， ∴． 12. 如果P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点P的坐标是______． 【答案】（0，-2） 【解析】 【分析】根据已知条件点P（m+3，2m+4）在y轴上，可知点P的横坐标为0，据此求出m的值，进而求出点P的坐标． 【详解】∵P（m+3，2m+4）在y轴上， ∴m+3=0，得m=-3， 即2m+4=-2．即点P的坐标为（0，-2）， 故答案为：（0，-2）． 【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上点的坐标的特征，y轴上的点的横坐标为0． 13. 已知，方程是关于的二元一次方程，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用二元一次方程的定义得出关于，的方程，解方程并代入代数式即可． 【详解】∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键． 14. 如图，根据图中标注在点所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，利用勾股定理结合两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：由图和勾股定理，得：到的距离为：， ∴点所表示的数为； 故答案为：． 15. 如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝cm，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为________cm． 【答案】10 【解析】 【分析】把圆柱的侧面展开，连接AP，利用勾股定理即可得出AP的长，即蚂蚁从A点爬到P点的最短距离． 【详解】解：已知如图： ∵圆柱底面直径为cm、高BC=12cm，P为BC的中点， ∴圆柱底面圆的半径是cm，BP=6cm， ∴AB=×2×π×=8(cm)， 在Rt△ABP中，AP==10（cm）， ∴蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 16. 如图在中，，，，点是边上的一个动点，点与点关于直线对称，连接，，，当是直角三角形时，求的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质．如图1，作于，则，由勾股定理得，，由题意知，当是直角三角形时，，分①在上，②在上，两种情况求解即可． 【详解】解：如图1，作于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由题意知，当是直角三角形时，， ①当点在上时，如图1，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴； ②当点在上时，如图2，， ∴． ∴． ∴． ∴， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（共72分，共9道题） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】直接利用立方根以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案； 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式， ． 【点睛】不同组看出来实数的运算，结合零指数幂、负指数幂计算是解题的关键． 18. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）加减消元法解题； （2）去分母，加减消元法解方程组． 【详解】解：（1）①②，得，解得， 把代入①，得，解得， ∴原方程组的解为：． （2）可变形为：， ②①，得，∴， 把代入②，得，解得， ∴原方程组的解为：． 【点睛】本题考查用加减消元法解二元一次方程组，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 19. 已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 20. 如图，的三个顶点的坐标分别为、、． （1）在图中作出关于轴对称的，并写出点、、的坐标（点、、的对应点分别是点、、）； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， 、、 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，写出点的坐标，三角形的面积； （1）分别作出点，，关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可得，再根据点的位置写出坐标即可； （2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 解：由图知，、、； 【小问2详解】 解：的面积为 21. 学校正在增加绿化区域，种植花草树木，提高校园的绿化覆盖率，准备在四边形的空地上种植花卉，如图所示，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，先由勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式求解即可；理解定理，作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 是直角三角形， ； 答：四边形的面积为． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． （1）求这个一次函数的表达式； （2）将直线向上平移个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题； （1）直接把点和B代入一次函数,求出，的值即可得出函数解析式； （2）求出直线平移后的函数解析式，再求出直线与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点和 ∴ 解得： ∴ 【小问2详解】 一次函数的解析式为， 直线向上平移个单位后所得直线的解析式为， 当时，； 当时，， 直线与坐标轴的交点为，， 平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积 23. 号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1） 解：海港受台风影响， 理由：，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港C受台风影响； （2）小时 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米/小时， (小时)． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 24. 某学校组织春游，租用甲、乙两辆大巴车，从学校出发，去距离学校360千米的某风景区，甲车先出发，一段时间后乙车再出发，两车在同一条笔直的路上匀速行驶，乙车超过甲车后不久出现故障，停车检修．当甲车追上乙车时，乙车恰好修完，两车又立刻以各自原来的速度继续行驶，如图是甲、乙两车行驶的路程y（单位：km），与甲车行驶时间x（单位：h）之间的函数图象． （1）a______，乙车的速度是______ km/h． （2）求线段BC所在直线的函数解析式． （3）直接写出乙车出现故障前甲乙两车相距时x的值． 【答案】（1）300##100 （2）线段BC所在直线的函数解析式为： （3），， 【解析】 【分析】（1）根据图象可求解析式，从而可求，进而可求乙的速度； （2）由（1）可求，，利用待定系数法即可求解； （3）根据题意，建立方程，进而可求解． 【小问1详解】 解：由图象得，甲的函数图象是线段，可设， 经过， ， 解得：， ， 当时，， 乙的速度为：． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：当时，即：， 解得：， ， 乙行驶的时间为：， ， ， 设段的函数解析式，则有 ， 解得：， 段的函数解析式为：． 【小问3详解】 解：由（1）知甲车行驶的路程y（单位：km），与甲车行驶时间x（单位：h）之间的函数为：， 由（2）知乙车行驶的路程y（单位：km），与甲车行驶时间x（单位：h）之间的函数为：， 当， 解得：， 此时乙车还没走，甲乙两车相距； 当乙车开始走时，由图像知此时甲、乙两车相距，乙车开始走之后， ， 解得：； 当乙车超过甲车后，在没出故障前， ， 解得：； 乙车出现故障前甲乙两车相距时，． 【点睛】本题考查了一次函数的在行程问题中的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 25. 【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为______；点坐标为______； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）①，；②；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）①分别令和求解即可； ②过作于，证明得到，利用勾股定理求得，根据垂线段最短得的最小值是的长，进而可求解； （2）在图2中，过作交直线于，过作轴于，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴于，过点作于，证明．分两种情况，由全等三角形的性质得，，可得点的坐标，将点的坐标代入求得的值，即可求解． 【详解】解：（1）①直线与轴，轴分别交于，两点， 当时，，当时，由，解得， 点坐标为：点坐标为； 故答案为：，． ②在图中，过作于， ， ， ， ， 点坐标为，点坐标为， ， ， ， ， 在中，； 是正比例函数图象上的两个动点， 根据垂线段最短，得的最小值是的长， 故的最小值是； （2）在图2中，过作交直线于，过作轴于， 则， ， ， 直线绕点逆时针旋转得到直线， ， 是等腰直角三角形，则， ， ，， 一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点 当时，，当时，由得， ，， ，， ，， ， 设直线对应的函数表达式为， 将、代入，得，解得， 直线对应的函数表达式为； （3）根据题意，当时，如图，过点作轴于，过点作，交延长线于， ， ， ， ， ， 又， ． ，， ， 点的坐标为， 将点的坐标代入得，， 解得：， 点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作，交延长线于， ， ， ， ， ， 又， ． ，， ， 点的坐标为， 将点的坐标代入得，， 解得：， 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $