山东省菏泽市单县第一中学2025届高三第一次模拟考试数学试题

2025年高三一模第一次模拟考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若集合，则(    ) A. B. C. D. 2.已知，则(    ) A. B. C. D. 3.已知椭圆的离心率为，则(    ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4.已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则(    ) A. 2 B. C. 0 D. 1 5.已知，，，则    A. B. C. D. 6.若函数的极小值点为，则(    ) A. 1 B. C. D. 7.已知正项数列的前n项积为，若，则(    ) A. 4049 B. 4048 C. 2025 D. 2024 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.有一组样本数据，，，，其中，由这组数据得到新样本数据，，，，则(    ) A. 两组样本数据的极差一定相等 B. 两组样本数据的平均数一定相等 C. 两组样本数据的中位数可能相等 D. 两组样本数据的方差可能相等 10.已知函数，且，则(     ) A. B. 是奇函数 C. 的图象关于对称 D. 一定为的极小值点 11.如图，在正三棱柱中，，点Q在底面内，D，M，N，P分别为棱AB，，，的中点，则下列结论正确的是(    ) A. 直线与所成角的余弦值为 B. 若，则点Q的轨迹长度为 C. 若，则 D. 过M，N，P三点的平面将三棱柱分成两部分的体积之比为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知为第一象限角，若，则          . 13.若实数a，b满足，则的最小值为          . 14.已知抛物线的焦点为F，准线为l，以F为圆心的圆与抛物线C交于M，N两点，与准线l交于P，Q两点，且，设直线MF的斜率为k，则          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知， 求的面积; 设D在边BC上，AD平分，若，求 16.本小题15分 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，为等边三角形，平面平面SAD， 证明：平面平面 设点E为棱SC的中点，求二面角的余弦值. 17.本小题15分 《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》于2024年3月1日经国务院常务会议审议通过.家电以旧换新的具体品类包括冰箱、洗衣机、电视、空调、电脑、热水器、家用灶具、吸油烟机等，每位消费者每类产品可补贴一件，每件补贴标准不超过2000元，部分品类及补贴标准如下表.居民甲欲将家中电视机和洗衣机进行更换，其中更换电视机的概率为，两种电器只更换其中一件的概率为，两种电器都不更换的概率为 品类名称 热水器 冰箱 洗衣机 电视机 空调 补贴标准单位：元/件 1000 1000 1500 2000 2000 求居民甲在不更换洗衣机的条件下更换电视机的概率;居民乙欲从表中5个品类中任选3个不同的品类进行以旧换新，每个品类只选一件，记居民乙获得政府补贴为X，求X的分布列与期望. 18.本小题17分 设函数 当时，求的单调区间; 当时，，求a的取值范围. 19.本小题17分 在直角坐标系xOy中，已知动圆过定点，且截x轴所得的弦长为 求动圆圆心的轨迹方程 ，D为曲线C上的两个动点，过B，D中点M且与y轴平行的直线交曲线C于点N，曲线C在点N处的切线交y轴于点 ⅰ证明： ⅱ若点M在直线上，求面积的最大值. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高三一模第一次模拟考试 数学试题答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.B  2.C  3.A  4.D  5.B 6.D  7.A 8.B  4.D 解：由向量  ，，可得   且   ，因为向量  在  方向上的投影向量为  ，可得  ，所以 .故选 5.B 解：因为，则，， 所以故选： 6.D 解：的定义域为R，， 令，得或，因为存在极小值，所以，则当，即时，在上，在上， 在上，则是函数的极小值点，由题可知， 解得当，即时，在上，在上，在上，则是函数的极小值点，由题可知，矛盾;当，即时，恒成立，函数在R上单调递增，无极值点.综上得故选： 7.A 解：依题意，当时，，又，所以，当时，，所以，又，所以，所以为首项为3，公差为2的等差数列，即，.故选： 8.B 解：在十个顶点中任取三个顶点，有共种情况，要构成直角三角形，则直角顶点与圆心的连线必然是直径，正十边形有5条直径，每条直径对应8个直角三角形除直径的两个端点外，还有8个顶点可以选，所以其中能构成直角三角形的的有，故所求概率：故选： 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.BCD 解：极差：新样本数据中，最大值和最小值可能发生变化，因此极差不一定相等， A错误；平均数：新样本数据中，每个数据都加减了常数，但总和不变，因此平均数相等， B正确；中位数：两组样本数据的中位数可能相等，C正确；方差：新样本数据中，方差的计算公式中，每个数据都加减了常数，但方差可能相等，也可能不相等，D正确.故选： 10.AC 解：依题意，为的一个极值点，又，所以，所以，故A正确;由A可知，，所以为偶函数，故B错误;，所以为图象的一个对称中心，故C正确;因为b的正负未知，所以无法判断是否为极小值点，故D错误.故选： 11.ABD 解：如图，对于A，以线段AC中点O为坐标原点，OA，OB，OM所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标，，，，，易得，， ，直线与所成角的余弦值为，故A正确；对于B，连接AQ，则， 点Q的轨迹是以点A为圆心，半径为1的在内的一段圆弧， 点Q的轨迹长度为，故B正确；对于C，， ，，， ，故C错误；对于D，设平面MNP与交于点R， 则易知点R是的中点，设点H是的中点，连接RH，PH， 则三棱柱被截面分成的下面部分的几何体为三棱柱和三棱台， 该部分几何的体积为，三棱柱被截面分成的上面部分的几何体的体积为，过M，N，P三点的平面将三棱柱分成两部分的体积之比为或，故D正确.故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 解： 由题意，因为为第一象限角，，所以， 所以故答案为： 13.1  解：，，，令， 则，，，，令，则，当且仅当，即时取等号，故答案为： 14. 解：依题意，抛物线的焦点为，圆心，点F到直线PQ的距离为2，所以，即圆F的半径，设，则，即，所以，则，即，故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分解：由及余弦定理得：， 又，故，由及正弦定理得：，故， 所以的面积为………………………………6分 设，则，在ABD中， 由正弦定理得则，解得， 所以 ………………………………13分 16.本小题15分解：证明：取SD的中点M，连接CM，因为为等边三角形，所以，因为平面平面SAD，平面平面， 平面SCD， 所以平面SAD，因为平面SAD， 所以，因为底面ABCD是正方形，所以， 又CM，CD是平面SCD内两条相交直线，所以平面SCD， 又平面平面ABCD，所以平面平面ABCD； 解：取CD中点O，因为为等边三角形， 所以，……………7分 由可知平面平面ABCD，平面平面，平面SCD， 则平面ABCD，以O为坐标原点，建立如图所示空间坐标系， 则，，，，则， ，，设平面SBD的法向量为，则，取，则， 设平面BDE的法向量为，则，取，则， 设平面SBD与平面BDE夹角为，， 由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 ……15分 17.本小题15分解：设事件“更换电视机”，事件“更换洗衣机”， 因为，所以，因为，， 且，所以，由全概率公式，得，所以， 同理可得，所以，则， 所以居民甲在不更换洗衣机的条件下更换电视机的概率为；……………8分 由题意知X的可能取值为3500，4000，4500，5000，5500， ，，， ，所以X的分布列为 X 3500 4000 4500 5000 5500 P 则元. 15分 18.本小题17分解：当时，，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增;…………7分 ，令，解得或， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则在处取得极大值，， 当，即时，在处取得最大值， 所以，解得，则，当时，在或处取得最大值， 所以，解得， 综上a的取值范围是 ………………………………17分 19.本小题17分解：设动圆圆心坐标为，因为动圆过定点，截x轴所得弦长为2，所以，整理得， 即动圆圆心的轨迹方程；………………………………4分 不妨设，，，由题满足， 两式作差得， 所以，即，因为过点M与y轴平行的直线交曲线C于点N， 所以，因为，即，所以，所以， 即；………………………………10分 因为M在直线上，所以，又M为B，D中点，所以M在曲线C内部， 则，解得，因为直线， 即，直线，即， 所以平行线BD和NP间距离为， 因为， 由，则点B到直线NP的距离即为平行线BD和NP间距离， 所以， 又，则， 令，，则， 令，解得或，所以，，单调递增; ，，单调递减，则最大值为， 即面积的最大值为 ………………………………17分 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$