上海市嘉定高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年上海市嘉定高级中学高一（上）期中数学试卷✥ 一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，，则的值(    ) A. B. C. D. 2.已知a、，则“”是“”的条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3.已知集合，，则下列结论正确的是(    ) A. 存在，使得 B. 当时， C. 当时， D. 对任意的，都有 4.设、、、、、都是非零实数，方程与的解集分别为集合A与B，那么“”是“”的(    ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 二、填空题：本题共12小题，共54分。 5.方程组的解集是______. 6.命题“若，则”是______命题填“真”或“假” 7.“且”的否定形式为______. 8.已知集合，，若，则______. 9.关于x的方程的解集为______. 10.不等式的解集为______. 11.已知，则函数的最大值为______. 12.关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是______. 13.已知正实数a、b满足，则的最小值为______. 14.已知集合有且仅有两个子集，则实数      . 15.x为实数，且不等式有解，则实数m的取值范围是______. 16.已知关于x的不等式的解集为，求不等式的解集______. 三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题13分 已知集合，若，且求实数p及q的值. 18.本小题15分 设全集为R，集合，集合 若，求集合A，B，； 若，求实数a的取值范围. 19.本小题16分 设集合 求证：，，； 用反证法证明：10不是集合A的元素. 20.本小题17分 设函数 解关于x的不等式； 当时，不等式恒成立，求a的取值范围. 21.本小题17分 若集合，满足，则称为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当时，与为集合A的同一种分拆， 集合的不同分拆种数为多少？ 集合的不同分拆种数为多少？ 由上述两题归纳一般的情形：集合…的不同分拆种数为多少？不必证明 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：，， 则 故选： 根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解． 本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题． 2.【答案】C  【解析】解：， ， 则是的充要条件． 故选： 利用立方差公式，再结合充要条件的定义判定即可． 本题考查了立方差公式的运用、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查集合的运算，两条直线的位置关系，两条直线的交点坐标，属于中档题． 根据几何含义可知A错误；通过求解两直线交点可知B错误；分别讨论和的情况，得到C错误；通过计算两直线重合的情况可知D正确． 【解答】 解：对于A，表示过定点，且斜率不为0的直线， 集合A表示直线上所有的点， ，A错误； 对于B，当时，，， 由得：， ，B错误； 对于C，当时，，满足； 当，即时，直线与平行， ，解得：； 综上所述：当时，或，C错误； 对于D，若，则且直线与重合， ，方程组无解，，D正确． 故选： 4.【答案】A  【解析】解：由、、、、、都是非零实数， 可得， 方程与方程为同一方程，故，即充分性成立； 而当时，可以取方程与方程，但不满足，即必要性不成立． 故选： ；不能推出 充要条件需要判断两个互逆命题的真假；真命题需要证明，假命题举反例． 5.【答案】  【解析】解：因为，解得， 所以所求解集是 故答案为： 解方程结合列举法表示集合即可得结果． 本题主要考查方程组解的个数与两直线的位置关系，属于基础题． 6.【答案】假  【解析】解：取，，显然不成立． 故答案为：假． 通过取反例即可判断． 本题主要考查了命题真假的判断，属于基础题． 7.【答案】或  【解析】解：“且”的否定形式为：或 故答案为：或 由原命题的否定的定义可直接得到结论． 本题主要考查命题的否定，属于基础题． 8.【答案】2  【解析】解：， ， 故答案为： 根据题意可得出，然后即可求出a的值． 本题考查了交集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题． 9.【答案】  【解析】解：由已知可得，解得， 所以方程的解集为 故答案为： 整理可得，结合对数解方程即可． 本题考查了对数的运算性质，属于基础题． 10.【答案】  【解析】解：不等式，可化为，即， 恒成立， ， 解得， 即不等式的解集为 故答案为： 把分式不等式转化为整式不等式求解即可． 本题主要考查了分式不等式的解法，属于基础题． 11.【答案】4  【解析】解：， 因为，所以当时， 故答案为： 将二次函数改为顶点式，结合求出最大值即可． 本题考查了二次函数最值的求法，属基础题． 12.【答案】  【解析】解：当时，则有，合乎题意； 当时，则，解得 综上所述，实数a的取值范围是 故答案为： 分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数a的不等式组，综合可得出实数a的取值范围． 本题考查了分类讨论的思想，一元二次不等式的解集为R时，判别式的取值情况，是基础题． 13.【答案】8  【解析】解：，，且， ，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最小值为 故答案为： 由题意可得，，再利用基本不等式求解即可． 本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题． 14.【答案】1或  【解析】解：若A恰有两个子集， 所以关于x的方程恰有一个实数解， ①当时，，满足题意； ②当时，，所以， 综上所述，或 故答案为：1或 结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可． 本题主要考查集合子集的应用，属于基础题． 15.【答案】  【解析】解：利用三角不等式，有，当时等号成立， 因为有解，只需即可， 所以实数m的取值范围是 故答案为： 求出的最小值，只需m大于最小值即可满足题意． 本题考查绝对值不等式的应用，属于基础题． 16.【答案】  【解析】解：由关于x的不等式的解集为， 可知：的根为，2，且， 则，可得， 不等式即为， 且，可得，解得， 故答案为： 由题意可知：的根为，且，利用韦达定理可得a，b，c之间的关系，代入运算即可． 本题主要考查不等式的求解，属于基础题． 17.【答案】解：集合或， ，且 ， 故，3是方程的两根， 由韦达定理可得，  【解析】先求出集合A，然后利用并集与交集的定义，求出集合B，从而得到，3是方程的两根，由韦达定理求解即可 本题考查交集与并集定义与应用，考查运算求解能力，是基础题． 18.【答案】解：因为，所以， 所以，解得，所以， 又因为，所以，所以，所以， 所以； 因为，所以， 所以， 又因为，且即， 所以，所以， 所以实数a的取值范围是  【解析】分别求解出分式不等式、绝对值不等式的解集为集合A，B，再根据交集运算求解出； 先表示出集合B，然后根据列出关于a的不等式组，由此求解出结果． 本题主要考查了集合的交集运算及集合包含关系的应用，属于基础题． 19.【答案】解：易知：，， 故，， 假设10是A的元素，集合， 则存在、，使得， 因为，同为奇数或者同为偶数， 所以假设不成立， 故10不是A的元素．  【解析】找出m，n使，，得到答案． 假设10是A的元素，则，讨论方程成立的各种情况，均无解，得证． 本题考查了集合的元素与集合关系，反证法，意在考查学生的逻辑推理能力． 20.【答案】解： 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为 因为所以由可化为：， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以 所以a的取值范围为   【解析】本题考查含参的一元二次不等式的求解以及不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值，属于一般题. 对a分类讨论：当时；当时；当时，分别求出对应的解集； 利用分离参数法得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出a的取值范围. 21.【答案】解：时，，此时只有1种分拆； 为单元素集时，有二种情况，此时或A，故分拆种数为4； 当为A时，可取A的任何子集，此时有4种情况，故分拆种数为4； 故分拆种数共有9种． 时，，此时只有1种分拆； 为单元素集时，或A，此时有三种情况，故分拆种数为6； 为双元素集时，例如，，，，，有三种情况，分拆种数为12； 当为A时，可取A的任何子集，此时有8种情况，故拆法为8种；总之，共27种分拆． 集合…的不同分拆种数为  【解析】根据拆分的定义，对分以下几种情况讨论：，， 考虑集合为空集，有一个元素，2个元素，和集合A相等四种情况，由题中规定的新定义分别求出各自的分析种数，然后把各自的分析种数相加，即可求出值．当为A时，可取A的任何子集，此时有8种情况，故拆法为8种；总之，共27种拆法． 集合…的不同分拆种数为 本题属于创新型的概念理解题，准确地理解拆分的定义，以及灵活运用集合并集的运算和分类讨论思想是解决本题的关键所在． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$