四川省泸州高级中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025学年四川省泸州高级中学高一（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为(    ) A. 或 B. 或 C. D. 2.已知函数是幂函数，则(    ) A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 3.下列函数中，是奇函数且在区间上为减函数的是(    ) A. B. C. D. 4.下列四组函数，表示同一函数的是(    ) A. ， B. C. D. ， 5.已知且a、b都不等于1，则下列不等式不一定成立的是(    ) A. B. 若，则 C. D. 6.已知函数的值域为R，那么实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 8.19世纪美国天文学家西蒙纽康和物理学家本福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本福特定律，即在大量10进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若说明符号，则k的值为(    ) A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列命题中是真命题的是(    ) A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“，都有”的否定是“，使得” C. 已知，，且满足，则xy的最小值为9 D. 至少有一个，使得成立 10.下列四组图象中，每组分别都是两个函数的图象，其中两个函数图象与解析式对应可能正确的是(    ) A. B. C. D. 11.已知函数的定义域为R，，则(    ) A. B. 是奇函数 C. 若，则 D. 若当时，，则，在单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.对且的所有正实数，函数的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是______. 13.已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 14.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是“函数为奇函数”.易知为奇函数，则的图象的对称中心为如果对于变量x，y满足，，且，那么代数式的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 计算下列各式的值. ； 16.本小题15分 已知集合， 当时，求，； 若，求实数m的取值范围. 17.本小题15分 某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量件与天的关系如表； 时间天 1 3 6 10 36 … 日销售量件 94 90 84 76 24 … 未来40天内，前20天每天的价格且x为整数，后20天每天的价格. 且x为整数 请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，求出日销售量m与时间天之间的关系式； 请预测示来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ 18.本小题17分 已知函数 若，判断并证明函数的奇偶性； 探究函数在上的单调递减区间，并用定义法证明你的结论； 若函数的图像与x轴有两个不同的交点，求实数a的取值范围. 19.本小题17分 已知函数为奇函数，其中a为常数. 求函数的解析式； 若关于x的方程在上有解，求实数k的最大值； 若关于x的不等式在恒成立，求实数的取值范围. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：因为，，， 所以，图中阴影部分所表示的集合为 故选： 化简集合A、B，根据图中阴影部分表示的意义，求解即可． 本题考查了集合的化简与运算应用问题，是基础题． 2.【答案】A  【解析】解：由幂函数的定义可知，，解得， 故， 因此， 故选： 根据函数为幂函数，求出实数k的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值． 本题主要考查幂函数的应用，属于基础题． 3.【答案】A  【解析】解：对于A：由幂函数的性质可知是奇函数且在上为减函数，故A正确； 对于B：由幂函数的性质可知是奇函数且在上为增函数，故B错误； 对于C： 对于函数，其定义域为R，关于原点对称， ， 对进行变形，分子分母同乘， 得到， 所以该函数是奇函数， 设，对t求导得， 在区间上，，所以， 即在区间上是增函数，又 因为对数函数在其定义域上是增函数， 根据复合函数同增异减的性质，可知在区间上是增函数， 不符合要求，故C错误； 对于D：易知是非奇非偶函数，故D错误． 故选： 由函数的奇偶性和单调性逐一判断即可． 本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题． 4.【答案】D  【解析】【分析】 根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数． 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目． 【解答】 解：对于A，，与的对应关系不同，不是同一函数； 对于B，或，与的定义域不同， 不是同一函数； 对于C，，与的定义域不同，不是同一函数； 对于D，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选： 5.【答案】D  【解析】解：由题意知且a，b都不等于1，所以， 对A：由，所以，故A一定成立； 对B：，故B一定成立； 对C：，故C一定成立； 对D：由，不妨设，，则，，故D不一定成立． 故选： 由且a，b都不等于1，则得，然后根据不等式性质可对A判断，利用作差法可对B判断，利用指数函数性质可对C判断，利用对数函数性质及特殊值可对D判断． 本题主要考查指数、对数不等式的解法，属于基础题． 6.【答案】C  【解析】解：函数， 而是增函数，当时，， 则当时，函数的值域为 函数的值域为R，在当时，函数取尽一切负数， 当，即时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，为增函数， 由可得， 则需，解得， 实数a的取值范围是 故选： 根据给定条件结合分段函数的值域的意义可得在取尽一切负数，再列出不等式求解即可作答． 本题考查函数的单调性、分段函数、值域等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 7.【答案】A  【解析】解：因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，则， 则，所以， 则当时，， 当时，， 则， 则当时，不等式为， 解得， 当时，不等式为， 解得， 故不等式的解集为， 故选： 根据条件可求得时的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当时的解析式，分情况解出不等式即可． 本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于中档题． 8.【答案】B  【解析】解：由题意知，， 由可得 ； 所以，解得 故选： 利用对数的运算法则可得，再由符号说明表达式，即可求得k的值． 本题考查了对数的运算问题，是基础题． 9.【答案】BCD  【解析】解：因为或， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以A选项错误； 因为命题“，都有”的否定是“，使得”，所以B选项正确； 因为，，且满足， 所以，解得，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以xy的最小值为9，所以C选项正确； 当时，，所以至少有一个，使得成立，所以D选项正确． 故选： 根据充分与必要条件的概念，含一个量词的命题的否定的结论，基本不等式，针对各个选项分别求解即可． 本题考查命题真假的判定，属中档题． 10.【答案】ABD  【解析】解：A，指数函数在R上单调递减，则，可得， 对数函数在上为增函数，则，A满足条件； B，对数函数在上为减函数，则， 由幂函数在第一象限内的图象可知，， 取，令，该函数的定义域为R， ，此时函数为奇函数，B满足条件； C，函数为减函数，且该函数的图象交y轴于点， 由图可得，解得， 函数的图象在第二、四象限，则，C不满足条件； D，函数为减函数，且该函数的图象交y轴于点， 由图可得，解得， 由幂函数在第一象限的图象可知，，取， 令，该函数的定义域为， ，此时，函数为偶函数，合乎题意，D满足条件． 故选： 根据每个选项中两个函数的图象，求出实数a的取值范围，然后观察每个选项中实数a的范围是否一致，即可得出合适的选项． 本题考查函数图象与性质的应用，属于中档题． 11.【答案】BCD  【解析】解：时，，，A错． 时，，， ，，为奇函数，B对． ，， ， ，C对． 时，， ， 又时，，， ， ， ，即， 在单调递减，D对． 故选： 由已知利用赋值法检验选项A，B，C，结合单调性定义检验选项 本题主要考查了赋值法在抽象函数求值及单调性判断中的应用，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：由函数，当时，可得， 所以该函数恒经过定点 故答案为： 根据指数函数的性质，令，求得，即可求解． 本题主要考查了指数函数性质的应用，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：函数的定义域为， 函数， 则，解得， 故函数的定义域为 故答案为： 列出使函数有意义的不等式组，即可求解． 本题主要考查复合函数的定义域，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：因为为奇函数，图象关于原点对称， 则的图象可由的图象向右平移1个单位，向上平移1个单位， 即的对称中心为对称，即， 因为，，且， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为： 结合函数图象的平移及奇函数的对称性先求出a，b，然后结合基本不等式即可求解． 本题主要考查了函数对称性的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 15.【答案】解：原式   【解析】利用指数幂的运算法则计算即可得解； 利用对数的运算法则计算即可得解． 本题主要考查指数、对数的运算，属于基础题． 16.【答案】解：当时，， 则或， ， 故，； ， 则， 当，即时，，满足题意， 当时，则，解得， 综上所述，m的取值范围为或  【解析】根据已知条件，结合交集、并集、补集的定义，即可求解； 结合交集的定义，推得，再分类讨论，即可求解． 本题主要考查集合的混合运算，属于中档题． 17.【答案】解：注意到图表中随着天数每变多1天，销售量以2件递减， 可设函数解析式为，代入，得， 解之得，即， 经检验，其余各数据都符合该解析式， 所以日销售量件与时间天的函数关系式为； 设日利润为W，由题意可知， 即， 当时，， 利用二次函数的两点式可知此时函数的对称轴为， 由于此时函数开口向下， 即日利润在第18天时取得最大值，； 当时，， 利用二次函数的两点式可知此时函数的对称轴为， 由于函数开口向上，则日利润在第21天时取得最大值，； 显然日利润在第18天时取得最大值，最大值为  【解析】观察图表结合所学函数的性质列出函数关系即可； 利用二次函数的性质分类讨论计算最大值即可． 本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题． 18.【答案】解：根据题意，为偶函数； 证明：，则，其定义域为， 有， 故为偶函数； 根据题意，在区间上，，是增函数， 在区间上，，是减函数， 故函数在上的单调递减区间为， 证明：设， 则， 又由，则，， 则有， 故在为减函数； 根据题意，设， 则， 在区间上，为减函数，且， 在区间上，为增函数，且， 在区间上，为减函数，且， 在区间，为增函数，且， 若函数的图像与x轴有两个不同的交点，即方程有两个根， 则的图象和有两个交点，必有或， 解可得或， 故a的取值范围为或  【解析】根据题意，求出的解析式，由偶函数的定义分析可得结论； 根据题意，化简函数的解析式，可得的递减区间，由作差法证明可得结论； 根据题意，设，分析的单调性和取值范围，原问题可以转化为的图象和有两个交点，进而分析可得答案． 本题考查函数与方程的关系，涉及函数的奇偶性和单调性，属于中档题． 19.【答案】解：依题意，，解得， 经检验，符合题意， ； 令， ， ， 关于x的方程在上有解，等价于在上有解， 即在上有解， 又， ，即实数k的最大值为； 由于在R上单调递增，则在R上单调递减， 又， 等价于， ， 令，则由可知，， 令， 则结合题设及可得，对任意，， ， ，即实数的取值范围为  【解析】由可建立关于a的方程，解出后验证即可得到答案； 令，原问题可等价于在上有解，结合二次函数的性质容易得到答案； 易知函数在R上单调递减，则可把不等式转化为，令，可得对任意，，由此可建立关于的不等式组，解出即可． 本题考查奇函数的性质以及不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$